苏科版八年级数学下册期末提优复习：第11章 反比例函数

第11章《反比例函数及其图象》单元复习1．反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试 要求反比例函数的概念 一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠____________________)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数．自变量的取值范围是____________________． B 级确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法．C 级y ＝kx(k ≠0) 图象所在象限 性质 k>0一、三象限(x 、y 同号) 在每个象限内，y 随x 增大而____.k<0二、四象限(x 、y 异号)在每个象限内，y 随x 增大而____.反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是 ，且关于 对称．注意点在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k ＞0时，y 就随x 的增大而减小．2．反比例函数中k 的几何意义考试内容考试要求k 的几何意义反比例函数图象上的点(x ，y)具有两数之积(xy ＝k)为 这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 ．C 级结论的推导如图，过双曲线上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝____________________·____________________＝____________________．∵y＝kx，∴xy＝____________________，∴S＝____________________．拓展在上图中，易知S△POM＝S△PON＝．所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数．3.反比例函数的实际应用考试内容考试要求步骤①根据实际情况建立反比例函数模型；②利用待定系数法或其他学科的公式等确定函数解析式；③根据反比例函数的性质解决实际问题．C级注意点在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围．考试内容考试要求基本思想1.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．C级2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析．1．(2018·台州)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝UR，当电压为定值时，I关于R的函数图象是()（第1题）2．如图，函数y1＝k1x与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，当y1<y2时，自变量x的取值范围是()A．x＞1；B．－1＜x＜0；C．－1＜x＜0或x＞1；D．x＜－1或0＜x＜1。

根据图象回答下列问题：
m
x
2
的图象的一支，
(1)图象的另一支在哪个象限?
y
x
常数m的取值范围是什么? 0
(2)已知点（－3，y1）, （－1，y2）, （2，y3）,
则函数值y1、y2、y3的 大小关系怎样？
反比例函数与一 次函数的综合题
１、如图，直线y=-2x-2与双曲
y
线 y k 交于点A，与x轴、y
D:
y
1
1 2
1 3
1 4
求反比例函数 的解析式
x x 1、设 yy1y2，且 y 1 与 成正比例, y 2 与 成
反比例,当 x 1 时 y 1; 当 x 2 时, y 1,求:
(1) y 与 x 的关系式; (2)求当 x 3 时, y 的值.
2、如图反比例函数
y
k x
与直线y=－2x
增减性：当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
渐近性： 双曲线无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴.
对称性：双曲线关于原点和直线y=±x对称.
5、与面积有关的问题：
(1)设P(m,n)是双曲 y线 k(k0)上任意,一 x
过P作x轴的垂 ,垂线足A为 ,则
相交于点A，点A的横坐标为－1，则此反
比例函数的解析式为（ C ）
(A) y 2 (B) y 1
x
2x
(C) y 2 (D) y 1
x
2x
y
A x
-1
反比例函数的 图象与性质
1、写出一个图象分布在第二、四象限内的反
比例函数解析式是
.
2、已知反比例函数 y a 2 的图象在第一、三象限，

第八讲 反比例函数1.反比例函数：一般地，形如：xky =（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数．（自变量x 是一切不为0的实数） 2.反比例函数图象及画法：一般地，反比例函数xky =（k 为常数，k ≠0）的图象是由两个分支组成的，是双曲线．这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．双曲线两个分支关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图象与 x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 画反比例函数的图象的基本步骤为： ① 列表；描点；③ 连线． 3.反比例函数性质：4.求反比例函数关系式的基本方法． （1）待定系数法是最基本的方法；（2）若已知两个函数的交点，可把交点坐标直接代入关系式；（3）若有两个函数时，先分别设出解析式（用 k 1， k 2分别表示比例系数），将两个解析式联立建立方程组，利用方程组的相关知识求解；（4）过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22kxy S ==。

命题点1 反比例函数的图象与性质1. 点A (－1，1)是反比例函数y ＝m ＋1x 的图象上一点，则m 的值为( )A. －1B. －2C. 0D. 12. 已知反比例函数y ＝6x ，当1<x <3时，y 的取值范围是( )A. 0<y <1B. 1<y <2C. 2<y <6D. y >63. 若点A (3，－4)、B (－2，m )在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为( ) A. 6 B. －6 C. 12 D. －124. 已知y 是x 的反比例函数，当x >0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式________．5. 反比例函数y ＝2a －1x 的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是________.6.已知点A (－1，y 1)，B (1，y 2)和C (2，y 3)都在反比例函数y ＝kx(k >0)的图象上，则________<________<________(填y 1，y 2，y 3).命题点2 反比例函数k 的几何意义7. 如图，点A 的坐标是(2，0)，△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点B ，则k 的值是( )A. 1B. 2C. 3 D ．2 3第7题图 第8题图 第9题图8. 如图，A 、B 是双曲线y ＝kx 上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ，若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( )A. 43B. 83C. 3D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数y ＝4x 的图象交于A 、B两点，则四边形MAOB 的面积为________.命题点3 反比例函数与一次函数综合题10. 在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象大致是( )11. 在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点．若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A. b ＞2B. －2＜b ＜2C. b ＞2或b ＜－2D. b ＜－2第11题图12. 反比例函数y 1＝mx (x >0)的图象与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于A ，B 两点，其中A (1，2)．当y 2>y 1时，x的取值范围是( )A ．x <1B ．1<x <2C ．x >2D ．x <1或x >213.如图，直线y ＝kx 与双曲线y ＝2x(x >0)交于点A (1，a )，则k ＝________.第13题图14.如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝8x (x ＞0)和y ＝kx(x ＞0)的图象交于P 、Q 两点，若S △POQ ＝14，则k 的值为________.第14题图15. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与双曲线y ＝8x 的一个交点为P (2，m )，与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B .(1)求m 的值；(2)若P A ＝2AB ，求k 的值.16. 反比例函数y ＝kx(k ≠0)与一次函数y ＝mx ＋b (m ≠0)交于点A (1，2k －1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的解析式.17. 如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于点A 和点B (－2，n )，与x 轴交于点C (－1，0)，连接OA .(1)求一次函数和反比例函数的解析式：(2)若点P 在坐标轴上，且满足P A ＝OA ，求点P 的坐标．第17题图18. )如图，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y 2＝k 2x 的图象分别交于C 、D 两点，点D (2，－3)，点B 是线段AD 的中点．(1)求一次函数y 1＝k 1x ＋b 与反比例函数y 2＝k 2x 的解析式；(2)求△COD 的面积；(3)直接写出y 1>y 2时自变量x 的取值范围．第18题图第八讲 反比例函数命题点1 反比例函数的图象与性质1. B 【解析】由点A (－1，1)是反比例函数图象上一点，可把点A 的坐标代入反比例函数解析式，即可求得m 的值．∵点A (－1，1)在反比例函数y ＝m ＋1x 上，∴把点A (－1，1)代入解析式得，1＝m ＋1－1，解得，m ＝－2，故选择B.2. C 【解析】本题考查反比例函数图象的性质．反比例函数y ＝6x图象在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，当1<x <3时，图象在第一象限，且当x ＝1时，y ＝6; 当x ＝3时，y ＝2. 故当1<x <3时，y 的取值范围是2<y <6.3. A 【解析】设反比例函数的解析式为y ＝kx ，把A (3，－4)代入得k ＝3×(－4)＝－12，所以反比例函数的解析式为：y ＝－12x ，把x ＝－2代入得m ＝－12－2，即m ＝6，故选A.4. y ＝1x (x ＞0)(答案不唯一) 【解析】反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而减少，则k ＞0.5. a ＞12 【解析】本题考查了反比例函数的图像的位置与其系数的关系．因为反比例函数的图象有一支位于第一象限，所以2a －1＞0，所以a ＞12.6. y 1，y 3，y 2 【解析】本题有三种方法：一是根据反比例函数y ＝kx ，当k ＞0时，图象在第一、三象限；图象在每个象限内y 随x 的增大而减少，且在第三象限y 值为负数，在第一象限y 值为正数，所以y 1＜y 3＜y 2；二是可以取特殊值，如取k ＝1，则y 1＝－1，y 2＝1，y 3＝12，所以y 1＜y 3＜y 2；三是画出y ＝kx (k ＞0)的图象，根据图象可知y 1＜y 3＜y 2.命题点2 反比例函数k 的几何意义7. C 【解析】△ABO 为等边三角形，且OA ＝2，可求得B 点的坐标为(1，3)，又反比例函数y ＝kx 的图象经过点B ，所以k ＝1×3＝3，故选C.8. B 【解析】如解图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，由反比例函数的比例系数的几何意义得，k ＝2S △AOC ＝2S△BOE，∴S四边形BDCE＝S △AOD ＝1，∵CD ∥BE ，D 是OB 的中点，∴△OCD ∽△OEB ，CD ＝12BE ，∴S △OCD S △OBE ＝(CD BE)2＝14，∴S 四边形BDCE S △OBE＝34，∴S △OBE ＝43S 四边形BDCE ＝43，k ＝2S △AOC ＝2S △OBE ＝83.第8题解图9. 10 【解析】如解图，设AM 与x 轴交于点C ，MB 与y 轴交于点D ，∵点A 、B 分别在反比例函数y ＝4x上，根据反比例函数k 的几何意义，可得S △ACO ＝S △OBD ＝12×4＝2，∵M(－3，2)，∴S 矩形MCOD ＝3×2＝6，∴S 四边形MAOB ＝S △ACO ＋S △OBD ＋S 矩形MCOD ＝2＋2＋6＝10.第9题解图命题点3 反比例函数与一次函数综合题10. A 【解析】本题考查一次函数及反比例函数的图象与性质．11. C 【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题．∵直线y ＝－x ＋1与y ＝－x ＋b 平行，∴y ＝－x＋b 可以由直线y ＝－x ＋2平移得到．∵直线y ＝－x ＋2与双曲线在第一象限有唯一交点，∴当直线向右平移时，直线y ＝－x ＋b 与双曲线在第一象限有两个交点，∴b ＞2；∵直线向左平移到y ＝－x －2时，直线与双曲线在第三象限有唯一交点，再向左平移时直线与双曲线在第三象限有两个交点，∴此时b ＜－2.由此可知b 的取值范围是b ＞2或b ＜－2.12. B 【解析】先用待定系数法求出反比例函数与一次函数的解析式，再联立方程组求出另一个点B 的坐标，再根据图象得出不等式的解集．把A(1，2)分别代入反比例函数与一次函数的解析式解得m＝2，b＝3，∴y1＝2x，y2＝－x＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝2xy＝－x＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1y1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2y2＝1，∴B(2，1)，A(1，2)画出草图如解图，由图象可知，当y2>y1时，1<x<2.第12题解图13. 2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合．把点A坐标(1，a)代入y＝2x，得a＝21＝2，∴点A的坐标为(1，2)，再把点A(1，2)代入y＝kx中，得k＝2.第13题解图14. －20【解析】本题考查反比例函数k的几何意义．由题意可知S△POM＝12×8＝4，S△QOM＝12|k|，∵S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝14，∴4＋12|k|＝14，则|k|＝20.∵反比例函数图象在第四象限，∴k＜0，∴k＝－20.15. 解：(1)点P(2，m)在函数y＝8x的图象上，得m＝82，解得m＝4.(2分)(2)由(1)知，点P坐标为(2，4)，代入y＝kx＋b，得4＝2k＋b，即b＝4－2k，∵y＝kx＋b与x、y轴交于A、B两点，∴A(2－4k，0)，B(0，4－2k)，(3分)∴一次函数的图象与y轴交点存在两种情况：即与y轴交于正半轴或负半轴．当一次函数的图象与y轴交于正半轴时，如解图①：过P点作PD⊥x轴于点D，∵PA＝2AB，∴PB＝AB，则OD＝OA＝2.∴4k－2＝2，∴k＝1.图①图②第15题解图当一次函数与y轴交于负半轴时，如解图②：过P点作PD⊥x轴于点D，∵PA＝2AB，∴PD＝2OB＝4，∴OB＝2，∴4－2k＝－2，k＝3.综上，k的值为1或3(5分)16. 解：(1)由已知可知，反比例函数y＝kx过点A(1，2k－1)，∴k1＝2k－1，k＝2k－1，解得k＝1.反比例函数的解析式为y ＝1x.(2分)(2)画出直线的草图如解图．过点A 作AM ⊥x 轴于M.由(1)得点A(1，1)，第16题解图∴点A 到x 轴的距离AM ＝1.(3分)由已知，得S △AOB ＝12×|OB|×|AM|＝3，∴12×|OB|×1＝3，|OB|＝6. ∵点B 在x 轴上，故B(6，0)或 B ′(－6，0)．(5分)①当一次函数的图象过A(1，1)和 B(6，0)时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝16m ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－15b ＝65.此时一次函数解析式为y ＝－15x ＋65.(6分)②当一次函数的图象过A(1，1)和B′(－6，0)时， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝1－6m ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝17b ＝67，此时一次函数解析式为y ＝17x ＋67.(7分)∴符合条件的一次函数解析式为y ＝－15x ＋65或y ＝17x ＋67.(8分)17. 解：(1)把C(－1，0)代入y ＝x ＋b 得0＝－1＋b ，解得：b ＝1. ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1.(1分)把B(－2，n)代入y ＝x ＋1得n ＝－2＋1＝－1， ∴B(－2，－1)．(2分)把B(－2，－1)代入y ＝k x 得－1＝k－2，解得k ＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x .(3分)(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x，(4分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝2. ∴A 点坐标为(1，2)．∵OA ＝PA.∴△OPA 为等腰三角形．当点P 在x 轴上时，P 点坐标为(2，0)； 当点P 在y 轴上时，P 点坐标为(0，4). (7分) 18. 解：(1)∵D(2，－3)在y 2＝k 2x 上，∴k 2＝2×(－3)＝－6， 故y 2＝－6x.(1分)如解图，作DE ⊥x 轴，垂足为E ，第18题解图∵D(2，－3)，B 是AD 中点， ∴A(－2，0)．∵A(－2，0)，D(2，－3)在一次函数y 1＝k 1x ＋b 图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k 1＋b ＝02k 1＋b ＝－3， 解得⎩⎨⎧k 1＝－34b ＝－32.∴y 1＝－34x －32.(3分)(2)由⎩⎨⎧y ＝－34x －32y ＝－6x，解得C(－4，32)，(4分)∴S △COD ＝S △AOC ＋S △AOD ＝12×2×32＋12×2×3＝92.(6分)(3)当x ＜－4或0＜x ＜2时，y 1＞y 2.(8分)。

反比例函数要点解读反比例函数是初中阶段数学学习的重要内容之一，学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于运用数形结合的方法，将函数解析式与函数图象紧密地联系在一起，根据函数图象探索函数的性质，并在理解函数性质的基础上能灵活运用.具体到解题，要注意利用好反比例函数的以下知识点，现举例进行介绍. 一、反比例函数图象上点的坐标特征 如果把反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)变形为xy k =(k 为常数，0k ≠)，那么可以看出，变量x ，y 的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数k . 例1 (2018年哈尔滨)若反比例函数23k y x-=的图象经过点(1，1)，则k 的值为( ) A. –1 B.0 C.1 D.2解析:把(1，1)代入23k y x-=，得2311k -=⨯. 解得2k =. 故选D.例2 (2018年徐州)如果点(3，–4)在反比例函数ky x=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( ).A. (3，4)B.(–2，–6)C.(–2，6)D.(–3，–4)解析:∵点(3，–4)在反比例函数ky x=的图象上， ∴3(4)12k =⨯-=-.在四个选项中，点的横、纵坐标乘积为–12的只有选项C. 故选C.例3 (2018年宁波)如图1，平行于x 轴的直线与函数1k y x =(10k >，0x >)，2k y x= (20k >，0x >)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，点C 为x 轴上的一个动点.若ABC ∆的面积为4，则12k k -的值为( ).A. 8B.–8C.4D.–4解析:∵直线//AB x 轴， ∴A ，B 两点的纵坐标相同.设(,)A a h ，(,)B b h ，则1ah k =，2bh k =. ∵12111()()4222ABC A S AB y a b h k k ∆==-=-=g ， ∴128k k -=. 故选A.例4 (2018年广东)如图2，已知等边11OA B ∆，其顶点1A 在双曲线y =(0x >)上，点1B 的坐标为(2，0)，姓点1B 作121//B A OA ，交点2A ，过点2A 作2211//A B A B ，交x 轴于点2B ，得到第2个等边122B A B ∆；过点2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过点3A 作3322//A B A B ，交x 轴于点3B ，得到第3个等边233B A B ∆；……以此类一推，点6B 的坐标为 .解析:如图2，作2A C x ⊥轴于点C ，设1B C a =，则2A C =，∴112OC OB B C a =+=+，(2)a +.∵点2A 在双曲线y x=(0x >)上，∴(2)a +=，解得1a =，或1a =(舍去).∴2112OB OB BC =+=∴点2B 的坐标为(，0).作3A D x ⊥轴于点D ，设2B D b =，则3A D =，∴22OD OB B D b =+=，3)A b ，∵点3A 在双曲线y =(0x >)上，∴)b =解得b =b =舍去).∴322OB OB B D =+=∴点3B 的坐标为(0).同理可得，点4B 的坐标为(0)，……，点n B 的坐标为(0).∴点6B 的坐标为(，0).故填(0).二、反比例函数解析式中k 的几何意义过反比例函数k(0)y k x=≠的图象上任意一点(,)P x y 作x 轴、y 轴的垂线PM ， PN ，垂足分别为点M ，N ，则矩形PMON 的面积为k .过反比例函数k(0)y k x=≠的图象上任意一点(,)P x y 作x 轴(或y 轴)的垂线，垂足为点M ，连接OP ，则OPM ∆的面积为2k .例5 (2018年舟山)如图3，点C 在反比例函数k(0)y k x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且A B B C =，若A O B ∆的面积为1，则k 的值为( ). A. 1 B.2 C. 3 D. 4解析:如图3，过点C 作CD y ⊥轴，垂足为点D ，作CE x ⊥轴，垂足为点E ，则90AOB CDB CEA ∠=∠=∠=︒. 又AB BC =，ABO CBD ∠=∠， ∴ABO CBD ∆≅∆. ∴1CBD ABO S S ∆∆==.∵90BOA CEA ∠=∠=︒，BAO CAE ∠=∠， ∴ABO ACE ∆∆:. ∴21()4ABO ACE S AB S AC ∆∆==， ∴44ACE ABO S S ∆∆==，∴4CBD ODCE OBCE S S S ∆=+=矩形四边形，∴4k =.故选D.例6 (2018年抚顺)如图4，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A ，B 两点的横坐标分别为1，3，若反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积是( )A. B. 4C.D. 2解析:如图4，作AH BC ⊥，交CB 的延长线于点H . ∵反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别为1，3, ∴A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，即点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(3，1). ∴312AH =-=，312BH =-=. ∴在Rt AHB ∆中，AB ==.∴四边形ABCD 是菱形，∴BC AB == ∴菱形ABCD的面积为BC AH =g 故选A.例7 (2018年烟台)如图5，反比例函数ky x=的图象经过ABCD Y 对角线的交点P ，若点A ，C ，D 在坐标轴上. BD DC ⊥，ABCD Y 的面积为6，则k = .解析:如图5，过点P 作PE y ⊥轴于点E . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD =. 又BD x ⊥轴，∴四边形ABDO 是矩形. ∴AB DO =.∴6ABCD ABDO S S ==Y 矩形.∵点P 为ABCD Y 对角线的交点，PE y ⊥轴， ∴四边形PDOE 是矩形，面积为3， 即3DO EO =g .设点P 的坐标为(,)x y ，则3k xy ==-. 故填–3.例8 (2018年内江)如图6，点A ，B ，C ，D 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是(用含π的代数式表示).解析:∵点A ，B ，C ，D 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的四个整数点， ∴1x =，8y =；2x =，4y =；4x =，2y =；8x =，1y =.∴顶点A ，D 所在正方形的边长为1，橄榄形的面积为2222()422r r ππ--=. 顶点B ，C 所在正方形的边长为2，橄榄形的面积为222()2(2)42r r ππ-=-. ∴这四个橄榄形的面积总和是2222(2)5102πππ-⨯+⨯-=-.故填510π-.三、根据已知条件求反比例函数的表达式根据已知条件求反比例函数的表达式主要有两种类型，一是确定实际问题中的反比例函数关系式;二是用待定系数法确定反比例函数关系式.例9 (2018年杭州)已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v (单位:吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为t (单位:小时). (1)求v 关于t 的函数表达式.(2)如果要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨?解析:(1)由题意可得100vt =，则100v t=. (2)∵要求不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴5t ≤.答:平均每小时至少要卸货20吨.例10 (2018年湘西)如图7，反比例函数ky x=(k 为常数，且0k ≠)的图象经过点(1,3)A ，(3,)B m .(1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标.(2)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标.解析:(l)把点(1,3)A 的坐标代入ky x=，得3k =， ∴反比例函数的解析式为3y x =. 把点(3,)B m 的坐标代入ky x=，得33m =.解得1m =.∴点B 的坐标为(3，1).(2)如图7，作点A 关于x 轴的对称点'A ，连接'BA 交x 轴于点P ，则'(1,3)A -. ∵''PA PB PA PB BA +=+=， ∴此时PA PB +的值最小. 设直线'BA 的解析式为y mx n =+.把点'(1,3)A -，B (3，1)的坐标代入，得331m n m n +=-⎧⎨+=⎩， 解得25m n =⎧⎨=-⎩.∴直线'BA 的解析式为25y x =-. 当0y =时，250x -=. 解得52x =， ∴点P 的坐标为5(,0)2.四、反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称，对称轴是直线y x =和直线y x =-.由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.反比例函数的性质:(1)当0k >时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小;(2)当0k <时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大.例11 (2018年威海)若点1(2,)y -，2(1,)y -，3(3,)y 在双曲线ky x=(0k <)上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ).A. 123y y y <<B. 123y y y >>C. 213y y y <<D. 312y y y << 解析:∴0k <，∴双曲线的两个分支分布在第二、四象限. ∵点1(2,)y -，2(1,)y -，3(3,)y 在双曲线ky x=(0k <)上， ∴点1(2,)y -，2(1,)y -在第二象限的双曲线分支上，点3(3,)y 在第四象限的双曲线分支上，在每个象限内，y 随x 的增大而增大. ∴312y y y <<. 故选D.例12 (2018年无锡)若点(,)P a m ，(,)Q b n 都在反比例函数2y x=-的图象上，且0a b <<，则下列结论一定正确的是( ).A. 0m n +<B. 0m n +>C. m n <D. m n >解析:∵函数2y x=-中的20k =-<，∴双曲线的两个分支分布在第二、四象限. ∵0a <∴点(,)P a m 在第二象限的双曲线的分支上. ∴0m >. ∵0b >,∴点(,)Q b n 在第四象限的双曲线的分支上. ∴0n <.∴0n m <<，即m n >. 故选D.例13 (2018年凉州)若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是( ).解析: 0ab <分两种情况:当0a >，0b <时，正比例函数y ax =的图象在第一、三象限，反比例函数b y x=的图象在第二，四象限，无此选项;当0a <，0b >时，正比例函数y ax =的图象在第二、四象限，反比例函数b y x=的图象在第一、三象限，选项B 符合. 故选B.例14 (2018年上海)若反比例函数1k y x-=(k 是常数，1k ≠)的图象有一支在第二象 限，则k 的取值范围是 . 解析:∵反比例函数1k y x-=的图象有一支在第二象限， ∴10k -<. 解得1k <. 故填1k <.五、双曲线与直线的交点问题例15 (2018年临沂)如图8，正比例函数11=y k x 与反比例函数22k y x=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1.当12y y <时，x 的取值范围是( ).A. 1x <-或1x >B.10x -<<或1x >C. 10x -<<或01x <<D. 1x <-或01x <<解析:∵正比例函数11=y k x 与反比例函数22k y x=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1，∴点B 的横坐标为–1.当12y y <时，x 的取值范围是1x <-或01x <<. 故选D.例16 (2018年潜江)，如图9，在平面直角坐标系中，直线12y x =-与反比例函数ky x=(0k ≠)在第二象限内的图象相交于点(,1)A m . (1)求反比例函数的解析式.(2)将直线12y x =-向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B ，与y 轴交于点C ，且ABO ∆的面积为32，求直线BC 的解析式.解析:(1)∵直线12y x =-经过点(,1)A m ， ∴112m -=， 解得2m =-∴(2,1)A -. ∵反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)A -， ∴212k =-⨯=-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. (2)如图9，设直线BC 的函数解析式为12y x b =-+. ∵ABO ACO S S ∆∆=，32ABO S ∆=， ∴13222ACO S OC ∆==g ， ∴32OC =， ∴32b =. ∴直线BC 的解析式为1322y x =-+. 例17 (2018年淄博)如图10，直线14y x =-+，234y x b =+都与双曲线ky x=交于点(1,)A m ，这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点. (1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)直接写出当0x >时，不等式3k4x b x+>的解集. (3)若点P 在x 轴上，连接AP 把ABC ∆的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标.解析:(1)把点(1,)A m 的坐标代入14y x =-+，得m=一1+4=3，3m =.把点(1,3)A 的坐标代入双曲线k y x=，得3k =. ∴y 与x 之间的函数关系式为3y x =. (2)∵(1,3)A ，∴当0x >时，不等式3k 4x b x+>的解集为1x >. (3)∵14y x =-+，令0y =，则4x =，∴点B 的坐标为(4，0).把点(1,3)A 的坐标代入234y x b =+，得334b =+， 解得94b =. ∴23944y x =+. 令0y =，则3x =-，即点(3,0)C -.∴7BC =.∵AP 把ABC ∆的面积分成1:3两部分， ∴1744CP BC ==，或1744BP BC ==. ∴75344OP =-=，或79444OP =-=. ∴5(,0)4P -或9(,0)4P . 六、反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题，最关键的一步就是建立函数模型一般地，建立函数模型有两种思路:一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数;二是从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，要先找出等量关系，把变量联系起来.例18 (2018年乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图11所示的是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y (℃)与时间x (h)之向的函数关系,其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (024x ≤≤)的函数关系式.(2)求恒温系统设定的恒定温度.(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害?解析:(1)设线段AB 的解析式为11=y k x b +(10k ≠).将(0，10)，(2，14)代入，得110214b k b =⎧⎨+=⎩，解得1210k b =⎧⎨=⎩. ∴线段AB 的解析式为210y x =+(05x ≤<).∵点B 在线段AB 上，当5x =时，20y =，∴点B 的坐标为(5，20).∴线段BC 的解析式为20y =(510x ≤<).设双曲线CD 的解析式为2k y x =(20k ≠). ∵C (10，20)，∴2200k =，∴双曲线CD 的解析式为200y x=(1024x ≤≤) ∴y 关于x 的函数解析式为210(05)20(510)200(1024)x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩. (2)由(1)可知，恒温系统设定的恒定温度为20℃.(3)把10y =代入200y x=，解得20x =. ∴201020-=.答:恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.。