第三章 第三节 等比数列及其性质(课时提能精练)

∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.

课时作业(八) 等比数列的性质及应用[练基础]1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( ) A ．±181 B ．－181C.181 D ．±122．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±643．已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b 等于( )A ．20B ．18C ．16D ．144．已知正项等比数列{a n }，满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017C ．41 018D ．21 0185．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．6．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.[提能力]7．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5<K 6，K 6＝K 7>K 8，则下列选项中成立的是( )A ．0<q <1B ．a 7＝1C ．K 9>K 5D ．K 6与K 7均为K n 的最大值8．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝________.9．已知数列{a n }和{b n }分别满足：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，和⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋3. 试证明数列{a n }与{b n }的公共项由小到大组成的数列{c n }是等比数列．[战疑难]10．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________________成立．课时作业(八) 等比数列的性质及应用1．解析：根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.故选C.答案：C 2．解析：由题意得，a 1a 99＝16，∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16，又∵a 50>0，∴a 50＝4，∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.故选B.答案：B3．解析：由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8，又122＝8b ⇒b ＝18.故选B.答案：B4．解析：由a 2·a 27·a 2 020＝16可得(a 7a 1 011)2＝16， 所以a 7a 1 011＝4，a 509＝2，所以a 1·a 2·…·a 1 017＝(a 7a 1 011)508·a 509＝21 017.故选B.答案：B5．解析：设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.答案：86．解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2da 10＝a 4＋6d ＝10＋6d由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2整理得10d 2－10d ＝0解得d ＝0或d ＝1当d ＝0时，a 1＝a 4＝10，∴S 20＝20×10＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3＝7∴S 20＝20×7＋20×192×1＝330. 7．解析：根据题意，分析选项．对于B ，若K 6＝K 7，则a 7＝K 7K 6＝1，B 正确；对于A ，由K 5<K 6可得，a 6＝K 6K 5>1，则q ＝a 7a 6∈(0,1)，故A 正确；对于C ，由{a n }是各项为正数的等比数列且q ∈(0,1)可得数列单调递减，则有K 9<K 5，故C 错误；对于D ，结合K 5<K 6，K 6＝K 7>K 8，可得D 正确．故选ABD.答案：ABD8．解析：∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.答案：29．证明：由题设有a n ＝2n ，b n ＝3n ＋2，通过观察，容易发现c 1＝a 3＝b 2＝8，设c n ＝a m ＝b k ，则c n ＝2m ＝3k ＋2，又∵a m ＋1＝2m ＋1＝2·2m ＝2·(3k ＋2)＝3·(2k ＋1)＋1，∴a m ＋1∉{b n }，∵a m ＋2＝2m ＋2＝4·2m ＝4·(3k ＋2)＝3·(4k ＋2)＋2，∴a m ＋2∈{b n }，∴c n ＋1＝2m ＋2＝4·2m ＝4·c n .∴c n ＋1c n＝4. 由此可见，{c n }是以8为首项，公比为4的等比数列．10．解析：对应于等差数列和的性质，等比数列具有相应积的性质，分析已知条件，注意1＋19＝2×10，又1＋17＝2×9，猜想：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．事实上，当n ≤8时，17－n ≥9，有b 1b 2…b 17－n b 1b 2…b n＝b n ＋1b n ＋2…b 8b 9b 10…b 17－n ＝(b n ＋1b 17－n )(b n ＋2b 16－n )…(b 8b 10)b 9＝b 29b 29…b 29b 9＝1，∴b 1b 2…b 17－n ＝b 1b 2…b n (n <17，n ∈N *)．同理，当n>8时，17－n<9，＝b18－n b19－n…b n有b1b2…b nb1b2…b17－n＝(b18－n b n)(b19－n b n－1)…(b8b10)b9＝b29b29…b29b9＝1. ∴也有b1b2…b17－n＝b1b2…b n(n<17，n∈N*)．综上所述，猜想成立．答案：b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)。

典例导悟
类型一 等比数列的性质及应用 [例 1] 在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－12，求数列 的通项 an.
[分析] 思路 1：设首项为 a1，公比为 q，由题目中两 等式列方程组，解出 a1，q，进一步可求出 an.
思路 2：利用 am＝anqm－n，可求 q，再进一步求 an.
[解] 方法 1：设首项为 a1，公比为 q，则 a2＝a1q＝4， a5＝a1q4＝－12，
等比数列的性质
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
多项关系
项的运算性质：若 m＋n＝
通项公式的推广：an＝ p＋q(m，n，p，q∈N*)，则
am·qn－m(m，n∈N*)
am·an＝ ap·aq
.
2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an
＝a2· an－1 ＝ak·an＋1－k (＝ ，n 为正奇数)．
3．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 ①{c·an}(c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列； ②{|an|}是公比为 |q| 的等比数列； (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数 列{an·bn}是公比为 q1·q2 的等比数列．
[解析] (1)∵{an}成等比数列， ∴a2，a6，a10 仍成等比数列． ∴a26＝a2a10，∴a10＝aa262＝1262＝128. (2)(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a65＝50，a4a5a6＝a35＝5 2.
[答案] (1)128 (2)A
类型二 等比中项的设项方法 [例 3] 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积 是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四的关系，即找到由周长所 构成的数列的通项公式．

高中数学 1.3.2 等比数列的前n 项和同步精练 北师大版必修5基础巩固1等比数列{a n }中，如果公比q ＞1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性2在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 3在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．14等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.5设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝__________.6某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p ，求这个工厂去年全年产值的总和．7等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 2，S 3成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .8(2009高考全国卷Ⅱ，文13)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________.综合过关9在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－110令f (n )＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，如果对k (k ∈N ＋)，满足f (1)f (2)…f (k )为整数，则称k 为“好数”，那么区间[1,2 010]内所有“好数”的和M ＝______.11求和：9＋99＋999＋…＋999…99n 个9. 12设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和．求证：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n＋1. 能力提升13“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案1答案：D2解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1q 3＝18，解得q ＝12.则该数列的前10项和为S 10＝a 11－q101－q＝1－12101－12＝2－129.答案：B3解析：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3， 从而求得a 4a 3＝3＝q . 答案：A4解析：a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝12，所以S 4＝121－241－2＝152. 答案：1525解析：S 4a 4＝a 1[1－124]1－12[a 1123]＝15.答案：156解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月、4月、…的产值分别为a (1＋p )2、a (1＋p )3、…，去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－1＋p 12]1－1＋p＝a [1＋p12－1]p，即该工厂去年全年的总产值为a [1＋p12－1]p元．7解：(1)依题意有，a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0， 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，解得a 1＝4，从而S n ＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]． 8解析：设等比数列{a n }的公比为q ，很明显q ≠1，则1－q 61－q ＝41－q 31－q ，解得q 3＝3，所以a 4＝a 1q 3＝3.答案：39解析：设等比数列{a n }的公比为q ， (a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，则 (a 1q ＋1)2＝(a 1＋1)(a 1q 2＋1)，即(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，解得q ＝1，则S n ＝2n . 答案：C10解析：设f (1)f (2)…f (k )＝log 23log 34…log (k ＋1)(k ＋2)＝log 2(k ＋2)＝m ，则k ＝2m－2，又k ∈[1,2 010]，则m ∈N ＋且1＜m ＜11，所以M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝221－291－2－18＝2026.答案：2 02611分析：数列9,99,999，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成10－1,100－1,1 000－1，…就容易解决了．解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1) ＝(10＋102＋ (10))－n ＝1010n －110－1－n＝109(10n－1)－n . 12分析：对公比q 是否等于1分类讨论．证明：设{a n }的公比为q ，由题设，知a 1＞0，q ＞0. (1)当q ＝1时，S n ＝na 1，则S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21 ＝－a 21＜0.(2)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1 ＝a 211－q n1－qn ＋21－q2－a 211－q n ＋121－q2＝－a 21q n＜0.由(1)和(2)得S n ·S n ＋2＜S 2n ＋1.根据对数函数的单调性，得log 0.5(S n ·S n ＋2)＞log 0.5S 2n ＋1， 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n ＋1.13解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完． 如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－12n]1－12＝1－(12)n.不论n 为何值，1－(12)n总小于1，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完．。