江苏省常熟2017届高三5月第二次调研数学试题含答案

——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= ．2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．双曲线的准线方程是．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．6．如图中流程图的运行结果是．7．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= ．14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= {2，3，4} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．双曲线的准线方程是y=．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率，由此能估计该校身高不小于175cm 的人数．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2 ．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．如图中流程图的运行结果是 6 ．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为4的概率．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T2017==．故答案为：．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到m的值．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；，得到x=，k1∈Z；由题意x==，k，k1∈Z所以实数m的最小值为；故答案为：．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ﹣18 ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠ADC=α，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由已知求出tanα，得到直线l2的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC 的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= 2x﹣2﹣x．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，由于f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，同理可得f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，利用函数的奇偶性可得﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1），对其变形可得答案．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y），由x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2得△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，a=mcos（），b=mcosθ即可求解．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，⇒sinAcosC﹣cosAsinCsin（A﹣C）=0，即可得a=c，即可．（2）由得⇔⇒⇒b=，即可得cosB=．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1交A1B于E，连结DE，由AC1∥平面A1BD可得AC1∥DE，由E为AB1的中点即可得出D是B1C1的中点；（2）证明A1B⊥平面AB1C1，得出A1B⊥B1C1，再结合B1C1⊥BB1得出B1C1⊥平面A1ABB1，于是平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A1及B1，k1==﹣3k，存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x0，，∴x0•===•x0，则=， =（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，可得数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，利用错位相减法可得A n=4﹣＜4．根据b n≥0，可得F（m，n）≤A n，F（m，n）＜4．（3）S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1=2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k=2k+1﹣2．W k==，对k分类讨论即可得出．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．∴a2k﹣1=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断W的最大值函数的单调性，即可得出W的最大值，再验证车速即可．【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×v2×=v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣v﹣．（2）∵v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴ =∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时， +取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设g（x）=x2lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】根据矩阵的变换求得M=，利用矩阵的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得M的逆矩阵，即可求得矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；（2）根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率，写出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式可得：（k+1）=（k+1）•=．（2）由（1）可得： =，左边==（﹣1）k+1=，即可证明．（3）==+．由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1， =f（n﹣1）．可得f（n）﹣f（n﹣1）=．利用累加求和方法即可得出．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得： =，∴左边==（﹣1）k+1== =右边．∴．（3）==+由（2）可知： ==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．。

2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=，则△PBC面积的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．19．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为19.7【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据加权平均数的定义计算即可．【解答】解：根据题意，样本容量为10，利用组中中近似计算本组数据的平均数，则=×（14×2+17×1+20×3+23×4）=19.7．故答案为：19.7．4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为14．【考点】EF：程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s ＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，∴所求概率为，故答案为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=3．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案为：．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，即可得出结论．【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣4y=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标是C（1，2），半径是，∵直线l：mx+y﹣2m﹣1=0过定点P（2，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，∴﹣m=﹣1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2bcosA=2c ﹣a ，则角B 的大小为．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c 2+a 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．【解答】解：∵2bcosA=2c ﹣a ，∴cosA==，整理可得：c 2+a 2﹣b 2=，∴cosB===，∵B ∈（0，π），∴B=．故答案为：．12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB=，AC=t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若=，则△PBC 面积的最小值为．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P 的坐标， 利用基本不等式求得△PBC 面积的最小值． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ），∵=+=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P （4，1）；又|BC |=，BC 的方程为tx +=1，∴点P到直线BC的距离为d=，∴△PBC的面积为S=•|BC|•d=••=|4t+﹣1|≥•|2﹣1|=，当且仅当4t=，即t=时取等号，∴△PBC面积的最小值为．故答案为：．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|【解答】解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x＜0时，﹣≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，b∈．给答案为：．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为7．【考点】7F：基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1. +b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，∴EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣利用基本不等式的性质即可得出最大值．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值【解答】解：（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣≤67﹣=43，当且仅当x=3时取等号．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．可得x ∈（0，3）时，L′（x ）＞0，函数L （x ）单调递增；x ∈（3，5]时，L′（x ）＜0，函数L （x ）单调递减．∴当x=3时，函数L （x ）取得极大值即最大值．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．18．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e=2.71828． （1）当a ＜0，b=﹣1时，设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最大值；（2）若关于x 的方程f （x ）=0在区间（1，e ]上有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g （a ）的最大值即可；（2）问题转化为函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f （x ）=alnx +x 3，则f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=，∵a ＜0，∴＞0，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下：故g（a）=f （）=ln （﹣）﹣，令t （x ）=﹣xlnx +x ，则t′（x ）=﹣lnx ，令t′（x ）=0，解得：x=1， 且x=1时，t （x ）有最大值1， 故g （a ）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx ﹣bx 3=0在区间（1，e ]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e ]上有2个不同是实数根，即函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x ）=，令m′（x ）=0，得：x=，x ，m′（x ），m （x ）的变化如下：），∴x ∈（1，）时，m （x ）∈（3e ，+∞），x ∈（，e ]时，m （x ）∈（3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e＜≤e 3，即的范围是（3e ，e 3]．19．已知椭圆C ：的左焦点为F （﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA ⊥OB （O 为原点），求△AOB 的面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数﹣4．②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，∴由题设知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ为常数﹣4．解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，==，△AOB的面积S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），则S△AOB令μ=∈（0，1），则=∈[，）．综上所述，△AOB的面积的取值范围是[，]．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），即可证明．（2）①设a n =a 1+（n ﹣1）d=dn ﹣d +1．由a n +1=，可得：a n +1（a n +2）=+4，（dn ﹣d +3）（dn +1）=λ（dn ﹣d +1）2+μ（dn ﹣d +1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：S n ==n 2．设存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S 1，S 2x +1，S 2y +1，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x +1）2+（2y +1）2+（2z ）2=2017，化为2（x 2+x +y 2+y +z 2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S 1，S 2x ，S 2y ，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x ）2+（2y ）2+（2z ）2=2017，化为x 2+y 2+z 2=504．由504为偶数，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i ）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x 1，y=2y 1+1，z=2z 1+1，则2=251，矛盾．（ii ）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设x=2x 1，y=2y 1，z=2z 1，则++=126，则x 1，y 1，z 1中有两个奇数一个偶数．不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），∴：{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30， +y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22， +y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6， +y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，计算OC，BC，即可证明结论．【解答】证明：连接OD，设圆的半径为R，BE=x，则OD=R，DE=2BE=2x，Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2=OC•OE，∴R2=OC（R+x），①∵直线DE切圆O于点D，∴DE2=BE•OE，∴4x2=x（R+x），②，∴x=，代入①，解的OC=，∴BC=OB﹣OC=，∴2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意，=﹣1•，∴，∴a=2，b=2，∴M=，∴|M|=1×2﹣2×3=﹣4，∴M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】不等式两边同时加上a+b+c，分组使用基本不等式即可得出结论．【解答】证明：∵a，b，c为正实数，∴a+≥2b，b+≥2c，c+≥2a，将上面三个式子相加得：a+b+c+≥2a+2b+2c，∴≥a+b+c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为=；则P（X=1）==，P（X=2）=×=，P（X=3）=×（1﹣）×=，P（X=4）=×（1﹣）×=，∴X的分布列为：EX=1×+2×+3×+4×=．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x ﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：f n（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k Ck（x﹣k）k=k!，k则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x ﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k ﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．2017年5月31日。

2017学年第二学期高三调测试卷数学(文)注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集R U =，集合}02|{2≤-=x x x P ，}2|{2x x y y Q -==，则Q P ⋂为 A ．[]2,1- B ．[]2,0 C ．[)+∞,0D ．[)+∞-,1 2．设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数的图象)13sin(+=x y ，只需把函数x y 3sin =的图象上所有的点 A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度 C ．向左平移31个单位长度 D ．向右平移31个单位长度 4．设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是 A ．若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则b //α B ．若a //,ααβ⊥，则a β⊥ C ．若,a βαβ⊥⊥，则a //α或a α⊆ D ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ 5．设{}n a 是等比数列，下列结论中正确的是 A ．若021>+a a ，则032>+a a B ．若031<+a a ，则021<+a a C ．若210a a <<，则3122a a a +<D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a 6．如图，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面 C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是 A ．两段圆弧 B ．两段椭圆弧 C ．两段双曲线弧 D ．两段抛物线弧7．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则该椭圆的离心率为A ．14B ．12C ．74D ．1348．设函数()f x 与()g x 的定义域为R ，且()f x 单调递增，()()()F x f x g x =+，()()()G x f x g x =-，若对任意12,x x R∈12()x x ≠，不等式221212[()()][()()]f x f x g x g x ->-恒成立，则A ．(),()F x G x 都是增函数B ．(),()F x G x 都是减函数C ．()F x 是增函数，()G x 是减函数D ．()F x 是减函数，()G x 是增函数xyO2FQ1F P（第7题图）A ABCDA 'B 'C 'D 'PM第14题图300DC AB第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．椭圆2215y x +=的长轴长是，焦点坐标是． 10．已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin sin cos ααα=-． 11．已知函数()()22,0,log ,0xx f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.则()()2f f -=；若()2f x ≥，则实数x 的取值范围是．12．已知单位向量12,e e 的夹角为︒60，则12=e e ⋅，12e e λ- ()R λ∈的最小值是．13．已知圆2225x y +=和两定点()55,0,0,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若该圆上的点M 满足MA MB ⊥，则直线MA 的斜率是．14．如图，在ABC ∆中，030B ∠=，090BAC ∠=，AD BC ⊥于D ．现将ACD ∆沿直线AD 旋转一周，则在旋转过程中， 直线AC 与直线BD 所成角的取值范围是．15．已知关于x 的方程220x bx c ++=（,R b c ∈）在[]1,1-上有实数根，043b c ≤+≤，则b 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知△ABC 不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求△ABC 的面积．17．如图所示，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，侧面ABB 1A 1为菱形，∠DAB=∠DAA 1． （Ⅰ）求证：A 1B ⊥AD ；（Ⅱ）若AD=AB=2BC ，∠A 1AB=60°，点D 在平面ABB 1A 1上的射影恰为线段A 1B 的中点，求平面DCC 1D 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值．18．对于任意的n∈N*，数列{a n}满足++…+=n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）求证：对于n≥2，++…+＜1﹣．19．已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．2017学年第二学期高三调测试卷参考答案及评分标准（数学文）一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2．A 3．C 4.B5．C6.D7．D8．A二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. 25，()0,2±10.3-，2 11.2；(][),41-∞-+∞ ，12.12，3213．2 14.6090θ︒︒≤≤ 15.[]0,2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知△ABC 不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数． 【分析】（Ⅰ）利用已知等式，化简可得sinC=，结合C 是三角形的内角，得出C ；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA ．再分两种情况cosA=0与cosA ≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC 的面积【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan ，得到，所以，所以sinC=，又C∈（0，π），所以C=或者；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而2sin2A=4sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，得sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==2，可得三角△ABC的面积S=bc=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=12…②，联解①②得a=2，b=4；∴△ABC的面积S=absinC=×2×4×sin60°=2．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．18．对于任意的n∈N*，数列{a n}满足++…+=n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）求证：对于n≥2，++…+＜1﹣．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（I）通过++…+=n+1与++…+=n（n≥2）作差可知a n=1+n+2n（n≥2），进而验证当n=1是否满足即可；（II）通过（I）可知，当n=1时S1=a1=7，当n≥2时利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论；（III）通过（I）放缩可知，当n≥2时＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（I）解：∵++…+=n+1，∴++…+=n（n≥2），两式相减得：=1，即a n=1+n+2n（n≥2），又∵=2，即a1=7不满足上式，∴a n=；（II）解：由（I）可知，当n=1时，S1=a1=7，当n≥2时，S n=7+（n﹣1）++=2n+1+n2+2n+1；综上得，S n=；（III）证明：由（I）可知，当n≥2时，=＜=，∴对于n≥2，++…+＜++…+==1﹣．19．已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）求得D，E和G的坐标，|DG|和|ME|的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）令f（x）=0，则x=，或x=，结合题意可得b的取值范围；（Ⅱ）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b，令f（x）=0，则x=，或x=，若函数f（x）在定义域[0，1]内有两个不同的零点，则∈[0，1]，且，解得：b∈[1，2）∪（2，3]证明：（Ⅱ）要证明：f（x）+M＞0，即证明：f（x）max+f（x）min＞0∵函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，①＜0，或＞1时，f（x）max+f（x）min=f（0）+f（1）=﹣a+b+3a﹣b=2a＞0；②0≤＜，即0≤b＜2a时，f（x）max+f（x）min=f（）+f（1）=﹣a+b﹣+3a﹣b=2a ﹣=＞=a＞0；③≤≤1，即2a≤b≤4a时，f（x）max+f（x）min=f（）+f（0）=﹣a+b﹣﹣a+b=2b ﹣2a﹣==≥=a＞0；综上可得：f（x）max+f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0。

高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合{-2-1012}{|22}A B x x A B ==-<≤= ，，，，，，则A ．{-1012}，，，B ．{-101}，， C ．{-2-101}，，， D ．{-2-1012}，，，，2.复数ii+1-2对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(2,1),(3,)a b x =-=，若3a b ⋅= ，则x =A ．3B ．4C ．5D ．64.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．43B ．54 C ．53 D5.已知条件p ：46x -≤；条件q ：1x m ≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ． (]1,-∞-B ．(]9,∞-C ． []9,1D ．[)∞+，9 6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S =A ．14B ．30C ．62D ．1267.1()nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．56B ．35C ．－56D ．－358.已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥9.已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的 值可以是A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π10.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A ．2人B ．3人C ．2人或3人D ．4人11.已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B (点A 在x 轴下方)，点1A 与 点A 关于x 轴对称，若直线AB 斜率为1，则直线1A B 的斜率为A ．3 B C ．2D 12.下列结论中，正确的有①不存在实数k ,使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根； ②已知△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222a b c +=， 则角C 的最大值为6π； ③函数y=ln与ln tan2xy =是同一函数； ④在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同于,A B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值．A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则6S = __________． 14.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为______ ．15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________ ．16.下列命题正确是 ． (写出所有正确命题的序号) ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称； ②若(0,1)a ∈，则111aaa a++<；③函数1()ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()12lg 2++=x ax x f 为奇函数．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，4b =，2B A π=+．（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且AB AA =1，F E ,分别是BC CC ,1的中点．（1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ； （2）求二面角F AE B --1的余弦值．19.（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]1000，，样本数据分组为第一组[)200，，第二组[)4020，，第 三组[)6040，，第四组[)8060，，第五组[]10080，． （1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200家，试估计 有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选4家，这4家企业年上缴税收少于20万元的家数记为X ，求X 的 分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点P ，离心率2e = ，直线l 的方程为4=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与 l 相交于点M ，记PM PB PA ,,的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得 321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）设),()(x xf x g =若0,a >对于任意的两个正实数1212,()x x x x ≠， 证明：12122()()()2x x g g x g x +<+． 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253 (t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin a =． （1）若2=a ，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数5212)(++-=x x x f ，且m x f ≥)(恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：8223-≤--m x x ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15．61 16．①③ 17．解： （1）∵2B A π=+， ∴2π-=B A ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又3,4a b ==，所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =，又22sin cos 1B B +=，所以3cos 5B =±，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分而2B π>，所以3cos 5B =-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）∵3cos 5B =-，∴4sin 5B =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∵2B A π=+，∴22A B π=-， ∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分432sin cos 2()55B B =-=-⨯⨯-=分又A B C π++=，∴322C B π=-， ∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=． (12)分18．解答： （1）证明：∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点， ∴AF BC ⊥．又∵侧棱ABC AA 平面⊥1，∴面ABC ⊥面11BB C C ...........2分 ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥．…3分 设11AB AA ==，则，EF=，．∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．...........4分 又AF EF F ⋂=，∴1B F ⊥平面AEF ．…而1B F ⊂面1AB F ，故：平面1AB F ⊥平面AEF ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）解：以F 为坐标原点，FA ，FB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图， 设11AB AA ==，则(0,0,0)F ，(2A ，1(0,2B -，1(0,)22E -，1()2AE = ,1(AB = ．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，取平面AEF 的法向量：1(0,,1)2m FB == ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由,取3x =，得(3,1,n =- (10)分设二面角1B AE F --的大小为θ，则cos θ=|cos ＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角1B AE F --的余弦值为．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．解答： 解：（I ）由直方图可得：20(x 0.0250.00650.0032)1⨯+++⨯=解得0.0125x =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 （II ）企业缴税收不少于60万元的频率0.0032200.12=⨯⨯=， ∴12000.12144⨯=．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （III ）X 的可能取值为0,1,2,3,4．由（I ）可得：某个企业缴税少于20万元的概率10.0125200.254=⨯== .............5分25681)43()41()0(4004===C X P 6427)43()41()1(3114===C X P6427)43()41()2(2224===C X P 643)43()41()3(1334===C X P2561)43()41()4(0444===C X P .......................................10分..............11分∴12561464336427264271256810)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ....12分 20．解：（1）由点P 在椭圆上得，22421a b +=①22c e a ==又所以② 由 ①②得2224,8,4c a b ===，故椭圆C 的方程为22184x y +=……………………..4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(2)y k x =-③代入椭圆方程22184x y +=并整理得2222(12)8880k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22121222888,1212k k x x x x k k -+==++④ ……………6分在方程③中，令4x =得，(4,2)M k，从而2121k k ==32422k k k ==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有121222y yk x x ==--……………8分 所以=+21kk 121222y y x x +=--121212112()2222y y x x x x ++----=2k 12121242()4x x x x x x +--++⑤ ……………10分将④代入⑤得=+21kk 2k22222284122888241212k k k k k k k -+=--+++32k k =-， 所以=+21k k 32k . 故存在常数2=λ符合题意…………12分 21.【解答】解：（1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，'11()1x f x x x-=-+=， 令'()0f x =，得1x =．当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <． ................2分∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．max ()(1)1f x f ==-．∴函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为1-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）∵'111(),(0,],[,)f x a x e x x e=+∈∈+∞． ①若1a e≥-，则'()0f x ≥，从而()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴max ()()10f x f e ae ==+≥，不合题意．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分②若1a e <-，则由'1()00f x a x>⇒+>，即10x a <<-由'1()00f x a x <⇒+<，即1x e a-<≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分从而()f x 在1(0,)a -上增函数，在1(,)e a-为减函数 ∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+- 令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=- ∴21e a --=，即2a e =-．∵21e e -<-，∴2a e =-为所求⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （3）法一：即证221212*********()2()ln()ln ln 222x x x x x x a ax ax x x x x ++++≤+++ 22222212121212()2()[]22x x x x a ax ax a x x ++--=⋅-- 212()02x x a -=-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 另一方面，不妨设12x x <，构造函数11111()()ln()ln ln ()2x x k x x x x x x x x x +=+--> 则1()0k x =，而'1()ln ln 2x x k x x +=-=分 由10x x <<易知1012x x x+<< , 即'()0k x <，()k x 在1(,)x +∞上为单调递减且连续， 故()0k x <，即1111()ln()ln ln 2x x x x x x x x ++<+ 相加即得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分法二：'''1()21ln ,()20g x ax x g x a x =++=+> ..........9分 故'()g x 为增函数，不妨令21x x >令111()()()2()()2x x h x g x g x g x x +=+-> ''1()'()()2x x h x g x g +=-..........10分 易知12x x x +>，故''1()'()()02x x h x g x g +=-> .........11分而1()0h x =，知1x x >时，()0h x >故2()0h x >，即12122()()()2x x g g x g x +<+ .........12分22.解 (1)2a =时，圆C 的直角坐标方程为22(y 1)1x +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)圆C ：42222a a y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，直线:4380l x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴圆心C 到直线的距离3812522aad -==⨯，得32a =或3211a =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23.解 (1)544,251(x)6,22144,2x x f x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 当5122x -≤≤时，函数有最小值6，所以6m ≤.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 另解：∵2125(2x 1)(2x 5)66x x -++≥--+=-=.∴6m ≤.(2)当m 取最大值6时，原不等式等价于324x x --≤， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 等价于3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 可得3x ≥或133x -≤<. 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。