高一柱体、椎体、台体的表面积和体积练习题

第一章 1.3 1.3.1A 级 基础巩固一、选择题1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的导学号 09024157( C ) A ．2倍B ．3倍C ．2倍D ．5倍[解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.故选C ．2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于导学号 09024158( C )A ．27B ．43C ．6D ．3[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为导学号 09024159( C )A ．288πcm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 3[解析] 圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×(12)2×8＝288cm 3，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×(82π)2×12＝192πcm 3.4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为导学号 09024160( A )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号 09024161( D )A ．1B ．12C ．32D ．34[解析] 设圆柱底面半径为R ，圆锥底面半径r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，∴r ＝2R ，V 柱︰V 锥＝πR 2h ︰13πr 2h ＝3︰4，故选D ．6．(2015·山东文)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为导学号 09024162( B )A ．22π3B ．42π3C ．22πD ．42π[解析] 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__24导学号 09024163[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1︰S 2＝9︰4，则V 1︰V 2＝__3︰2__.导学号 09024164[解析] 设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.三、解答题9．如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)导学号 09024165[解析] 正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm 2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm 2)．B 级 素养提升一、选择题1．(2017·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是导学号 09024166( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为导学号 09024167( D )A ．180B ．200C ．220D ．240[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240.3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为导学号 09024168( D )A ．18B ．17C ．16D ．15[解析] 由三视图得，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A －A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则VA －A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为导学号 09024169( B )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析] 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B ．二、填空题5．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ __3__cm.导学号 09024170[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)， ∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)， ∴圆柱的底面半径为3 cm.6．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为__2__.导学号 09024171[解析] 由三视图可知，斜三棱柱的底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为V ＝12×2×1×2＝2.C 级 能力拔高1．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.导学号 09024172[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， ∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C -A 1DD 1，求棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比.导学号 09024173[解析] 设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ， ∴VABCD －A 1B 1C 1D 1＝VADD 1A 1－BCC 1B 1＝Sh .而棱锥C -A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的体积为：VC -A 1DD 1＝13×12S ×h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.。

第一章 空间立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱、锥、台的表面积与体积测试题知识点1 柱、锥、台的表面积1．已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( ) A ．33a 2＋6ah B.3a 2＋6hC ．43a 2＋6ah D.323a 2＋6ah2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶1 C ．1∶4 D ．1∶33．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．2804．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．6．如图所示的圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．7．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．8.如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果保留π)10.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．知识点2 柱、锥、台的体积11．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．2 3C.736πD.733π 12．(2014·课标全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13 13．(2014·日照高一检测)某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π314．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．15．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．16．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图，AA 1＝3. (1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．17．如图，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为D.以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【参考答案】1A 【解析】柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S 底＝33a 2＋6ah.2B 【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π，故S 1∶S 2＝1∶1，选B.3B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和．S ＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.4A 【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh)∶2πrh ＝(r ＋h)∶h ＝(2π＋1)∶2π.52∶1 【解析】S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·⎝⎛⎭⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.6 100π【解析】设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝（3r）2＋（4r）2＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2，8，8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.7 S2【解析】如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得⎩⎨⎧π2l2＝S，πl＝2πr.解得r＝S2π，所以底面积为πr2＝π×S2π＝S2.8 【解】几何体的表面积为：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.9 【解】如下图所示，设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1 cm，r2 cm，则r1＝10，r2＝20.因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.又c＝2π·10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20.S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．答：圆台的表面积为1 100πcm2.10 【解】(1)圆锥的母线长为62＋22＝210 cm，∴圆锥的侧面积S＝π×2×210＝410πcm2.(2)画出轴截面如图所示：设圆柱的半径为r .由题意知：r2＝6－x6，∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x)，∴当x ＝3 cm 时，S 最大＝6πcm 2.11D 【解析】 S 1＝π，S 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R)l ， ∴l ＝2，∴h ＝ 3.∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.12C 【解析】由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.13A 【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为13π×2＝2π3，所以该几何体的体积为8－2π3，选A.14.32【解析】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.1533π 【解析】 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝2π，h 2＋r 2＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，h ＝ 3.∴它的体积为13×π×12×3＝33π.16【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S △ABC ＝12×3×332＝934.S 侧＝3AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932.这个三棱柱的体积为934×3＝2734.17【解】 在△ABC 中，由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，∴S 表面积＝πr ·(AC ＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π.V ＝13πr 2(AD ＋BD)＝13πr 2·AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π.所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．11A．54 B．54π C．58 D．58π5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()二、填空题6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积为__________．7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．8．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．三、解答题9．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．10．若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积.1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πS B．2πSC ．πS D.233πS 2．如图1-3-5，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1-ABC ，B -A 1B 1C ，C -A 1B 1C 1的体积之比为( )图1-3-5A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶43．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图1-3-6所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.图1-3-64．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．。

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步精练【考点梳理】考点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积考点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高【题型归纳】题型一：棱柱侧面积和表面积1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A ．12B ．48C ．64D ．722．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的表面积为A ．290cm B ．2365cm C ．272cm D ．254cm 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A ．3034B ．6034C ．3034135+D ．135题型二：棱锥的侧面积和表面积4．已知四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为（）A ．3B ．23C ．33D ．435．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，点P 到底面ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（）A ．93B ．183C ．273D ．3636．已知正四棱锥P ABCD -的底面正方形的中心为O ，若高2PO =，45PAO ∠=︒，则该四棱锥的表面积是（）A ．422+B ．442+C ．423+D ．443+题型三：棱台的侧面积和表面积7．正四棱台上、下底面边长分别为2cm ，4cm ，侧棱长2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．26cm B ．224cm C ．233cm D ．2123cm 8．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.9．已知正四棱台1111ABCD A B C D -上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.题型四：棱柱的体积10．已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．如图，棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为（）A ．13B ．14C ．16D ．11212．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时（如下图2），水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点．（1）求容器中水的体积；（2）当容器底面ABC 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．题型五：棱锥的体积13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（）A ．123S S S B ．1233S S S C ．12323S S S D ．123223S S S14．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（）A ．12B ．24C ．4D ．3015．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．423D ．42题型六：棱台的体积16.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（）A ．8B ．4C ．2D ．2217．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（）A ．62+B ．322+C ．622+D ．618．已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为45，（1）求棱台的高.（2）求棱台的表面积.【双基达标】一、单选题16．若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为19．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（）A ．32B ．3C ．62D ．620．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A ．103B ．73C ．143D ．1421．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度为弧BC 长度的3倍，且2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．6πC ．112πD ．5π22．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：223．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为（）A ．4(334)+B ．12(32)+C ．12(231)+D ．3(38)+24．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱14AA =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，则水面的高为（）A ．2B ．52C ．3D ．7225．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10cm 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）3cm A ．648B ．324C ．162D ．108【高分突破】一：单选题26．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．24cmB ．28cmC ．243cm D ．283cm 27．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（）A ．43B ．433C ．43D ．428．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =-牟方盖差，r 为球的半径，也即正方体的棱长均为2r ，从而计算出343V r π=球，记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V V 方盖差正等于（）A ．2B ．22C ．12D ．2429．已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O B O C ''''=，32O A ''=，则此正三棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．36D ．3230．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（）A ．12.5尺､10833立方尺B ．12.5尺､32500立方尺C ．3.125尺､10833立方尺D ．3.125尺､32500立方尺二、多选题31．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是（）A ．正三棱锥高为3B ．正三棱锥的斜高为392C ．正三棱锥的体积为2734D ．正三棱锥的侧面积为939432．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是423+B ．直三棱柱的外接球表面积是8πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置有关D ．1AE EC +的最小值为2233．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，上底面1111D C B A 边长为2，下底面ABCD 边长为4，高为1，则（）A ．该四棱台的侧棱长为3B ．二面角1A BC B --的大小为4πC ．该四棱台的体积为1423D ．1AA 与BC 所成角的余弦值为1334．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为73D ．该截角四面体的体积为23212三、填空题35．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.36．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的体积是12，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BB C C -的体积为______．37．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为3cm ，高为2cm ，内孔直径为1cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________3cm ．38．如图，三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，记三棱锥111C A B B -体积为1V ，三棱台111ABC A B C -的体积为2V ，则12V V =______．四、解答题39．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m ，底的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？40．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m ，高为27.9m的等腰三角形．试求：(1)展览馆的高度；(2)外墙的面积；(3)该四棱锥的体积．41．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3．（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积．42．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且AB =5，11A B =4，110AA =.（1）求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积；（2）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积.(台体体积公式()13V S S S S h =++⋅⋅下下上上)43．正棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.44．某人买了一罐容积为V L ，高为a m 的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m ，c m 的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？45．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时x的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S．【答案详解】1．D 【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长6318C =⨯=，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高4h =，∴棱柱的侧面积72S Ch ==，故选：D 2．A 【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．【详解】由题意侧棱长为22(35)36-=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．3．A由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222骣骣鼢珑+=鼢珑鼢珑桫桫，则这个直棱柱的侧面积为3434530342创=.4．D 【详解】因为四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，所以1322322BCDS=⨯⨯⨯=，所以该四面体的表面积443BCDS S ==.故选：D.5．C 【解析】【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【详解】解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：136332⨯⨯=，所以正三棱锥的斜高为：()223323+=，所以这个正三棱锥的侧面积为：136231832⨯⨯⨯=，正三棱锥的底面积为：216sin 60932⨯︒=．所以正三棱锥的表面积为18393273+=故选：C ．6．D 【解析】【分析】先在正四棱锥中由高2PO =，45PAO ∠=︒，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.【详解】依题意，正四棱锥的高PO ⊥底面ABCD ，且45PAO ∠=︒，知PAO 为等腰直角三角形，则侧棱22sin sin 45PO PA PAO ===∠︒，且2AO PO ==，则底面正方形ABCD 的对角线2222AC AO AB ===，得正方形的边长2AB =，从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；所以底面积为：24AB =；侧面积为：14422sin 60432PABS =⨯⨯⨯⨯︒=故正四棱锥的表面积为：443+．故选：D7．D 【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设2a cm =，4b cm =，2=l cm ，可得正四棱台的斜高为22()413()2b a h l cm -'=-=-=，所以棱台的侧面积为21(44)2(24)3123()2S a b h cm '=+=⨯+⨯=．故选：D ．8．棱台的高为439，体积为289.【解析】【分析】根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形11DOO D 求出高，进而利用体积公式求其体积.【详解】如图所示，在三棱锥111ABC A B C -中，1O 、O 分别是上、下底面的中心，1D 、D 分别是11B C 、BC 的中点，连接1OO 、11A D 、AD 、1DD ，则1O 、O 分别在11A D 、AD 上，则1OO 是三棱锥的高，记为h ，1DD 是等腰梯形11BCC B 的高，也是三棱锥的斜高，记为0h ，所以()001=32+492S h h ⨯⨯=侧；上、下底面面积之和为()221+=2+4sin 60532S S ⨯=下上，由+S S S =下侧上得：09=53h ，即0539h =，又111332323O D =⨯⨯=，13234323OD =⨯⨯=，在直角梯形11DOO D 中，2222111153343()()()939h OO D D OD O D ==--=-=，则三棱锥的体积14328(343343)399V =⨯++⨯⨯=.9．116843+【解析】【分析】首先在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，从而得到33AE =，再计算表面积即可.【详解】如图所示：正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,10,6AB A B AA ===，在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，则110432A E -==，所以2222116333=-=-=AE AA A E ，所以正四棱台的表面积为2214104(410)331168432++⨯⨯+⨯=+.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于简单题.10．D 【解析】【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.11．C 【解析】【分析】设',,AB a AD b AA c ===，然后表示出棱锥D A CD ''-体积和长方体的体积，再进行相除可得答案【详解】解：设',,AB a AD b AA c ===，因为''A D ⊥平面'D DC ，所以''111326D A CD A D DC V V abc abc ''--==⨯=，因为ABCD A B C D V abc ''''-=，所以棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为16，故选：C12．（1）()333cm ；（2）3cm ．【解析】【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水高度为cm h ，根据水的体积相等得到方程，解得即可；【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为()22211332sin 601sin 60224S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm 所以水的体积为()3334334V cm =⨯=，（2）设图1中水高度为cm h ，则212sin 60332V h =⨯⨯︒⨯=，解得3h =．所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．13．C 【解析】【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为,,a b c ，则123111222S S S ab bc ac =⋅⋅，所以1238abc S S S =，所以三棱锥的体积1231118326V a bc S S S =⋅=⨯12323S S S =.故选：C 14．C 【解析】【分析】求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.【详解】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.15．C 【解析】【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得AO 、PO 的长，根据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥P ABCD -棱长均为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 根据正四棱锥的性质，可得PO ⊥平面ABCD .所以22122AO AB BC =+=，222PO PA AO =-=，所以正四棱锥P ABCD -的体积14222233V =⨯⨯⨯=.故选：C 16．C 【解析】【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x ，8x ，斜高h '为5x ，则棱台的高h =22(5)(3)x x -=4x ，由棱台的体积公式1()3V S SS S h ''=++得：2224161)31(6444++x x x x ⋅=，解得12x =，棱台的高为h =4x =2.故选：C 17．C 【解析】【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.【详解】依题意，棱台的上底面面积2S '=，下底面面积4S =，高为3h =，故由公式可知，棱台的体积是()()11284362233V S S S S h ''=++=⨯++⨯=+，故选：C.18．（1）2；（2）12320+.【解析】【分析】（1）设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，可得145C CO ∠=，根据各线段的长利用勾股定理即可求高；（2）由棱台的高求出斜高，由梯形的面积公式求出侧面积，与上下底面积求和即可.【详解】（1）因为棱台是正四棱台，所以上下底面都是正方形，因为两底面边长分别为2和4，所以1122AC =，42AC =，如图，设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ,因为棱台是正四棱台，所以1OO ⊥面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，则11//C E O O ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，因为正四棱台两底面边长分别为2和4，所以1112222C E CE CO EO CO C O ==-=-=-=，所以棱台的高为2，（2）因为正四棱台的高为2，又2sin 45212EF CE =⋅=⨯=，所以斜高222211(2)13C F C E EF =+=+=，所以侧面积为：()124341232⨯+⨯⨯=，底面积为224420⨯+⨯=，所以表面积为：12320+.19．C 【解析】【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为2，高为2，再结合体积公式计算即可.【详解】解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,所以该三棱柱底面棱长为2，高为2，所以该正三棱柱的体积为：1622sin 60222V Sh ==⨯⨯⨯⨯=故选：C 20．C 【解析】【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.【详解】()()111414142333V S S SS h ''=++=++⨯⨯=台.故选：C.21．B 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，即1r =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：B 22．A 【解析】【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求C A DD '''-及剩余部分的体积，进而求其比例即可.【详解】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S '''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A 23．B 【解析】【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则高为()()22125222BB -⨯==，它的表面积为()16=2622sin 62212324123223S S S π=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+表面积底面积矩形.故选:B.24．C 【解析】【分析】根据题意，当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，利用等体积法可得解.【详解】当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为S ，此时水的体积14V S AA S=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，此时水的体积ABC V S h =⋅V 又34ABC S S =V ，43ABC S h S ∴==V 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，等体积法时解题的关键，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．25．B 【解析】【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：V S h =⋅底即可求解.【详解】如图：由正六边形的每个内角为23π，按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱，即6AB =，所以1062,tan 60232BE BF BE -====，即正六棱柱的高为23所以正六棱柱体积：136662332422V =⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：B 26．D 【解析】【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，所以棱台的斜高为:22312()32--=.所以棱台的侧面积是:1343832+⨯⨯=.故选：D.27．A 【解析】【分析】首先计算正四棱锥的高，再计算体积.【详解】如图，正四棱锥S ABCD -，3SB =，2OB =，则1SO =，则该正四棱锥的体积1422133V =⨯⨯⨯=.故选：A 28．A 【解析】【分析】根据已知条件计算出V 方盖差、V 正，即可得解.【详解】由题意可得3333114418833V r V r r r ππ=-=-⨯⨯=方盖差牟，所有棱长都为r 的正四棱锥的底面对角线长为2r ，高为222222h r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，23122326V r r r =⨯=正，因此，16232V V =⨯=方盖差正.故选：A.29．A 【解析】【分析】根据32O A ''=的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，再结合题中给出三棱锥的高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】因为直观图中O B O C ''''=，32O A ''=，所以在原图中OA 为底面正三角形的高，3OA =，则正三角形边长为2，面积为12332⨯⨯=，又因为正三棱锥高为2，所以其体积为1233233⨯⨯=.故选：A.30．A 【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．【详解】解：如图所示，正四棱锥P ABCD -的下底边长为三丈，即30AB =尺，高二丈五，即25OO '=尺；截去一段后，得正四棱台ABCD A B C D -''''，且上底边长为10A B ''=尺，所以1102125302POPO⨯'=+'⨯，解得25'12.52PO==，所以该正四棱台的体积是22125(30301010)108333V=⨯⨯+⨯+=（立方尺）．故选：A．31．ABD【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接,,PF EF PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又9391242PF =-=，333232EF =⨯=，故393344PE =-=,故AB 正确.而正三棱锥的体积为139339344⨯⨯⨯=，侧面积为13993933224⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确.故选：ABD.32．ABD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A ；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=,则3AC =，底面ABC 和111A B C 是等腰三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+32423⨯=+，故A 正确；设底面外接圆半径为r ，即32sin120r =，即1r =，所以直棱柱的外接球半径22112R =+=，直三棱柱的外接球表面积为248S R ππ==，故B 正确；由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱1BB 上的一个动点，∴三棱锥1E AAO -的高为定值12，114AA OS=×3×2＝32，∴1E AA O V -=13×32×12＝312，故C 错误；把侧面11AAC C 和侧面11CC B B 展开在一个平面上，当E 为1BB 的中点时，1AE EC +取最小值，()()22min121122AE EC =++=+，故D 正确．故选：ABD ．33．AB 【解析】【分析】结合正四棱台中的直角梯形、直角三角形根据二面角的定义、体积公式、异面直线所成的角的定义计算．【详解】如图，1B F ⊥平面ABCD 于F ，1B E BC ⊥于E ，则1B F 是的高，1B E 是斜高，显然F 在对角线BD 中，11B F =，114,2AB A B ==，则1(4222)22BF =-=，所以22113BB BF B F =+=，A 正确，直角1B EF 中1B EF ∠是二面角1A BC B --的平面角，1(42)12EF =⨯-=1B F =，所以14B EF π∠=，B 正确；221281(2244)33V =⨯⨯+⨯+=，C 错；//BC AD ，所以BC 与1AA 所成的角为1A AD ∠或其补角．又12B E =，113cos 33B BC ∠==，正四棱台中11A AD B BC ∠=∠，D 错．故选：AB ．34．BCD 【解析】【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确；对于C ，边长为1的正三角形的面积13311224S =⨯⨯⨯=，边长为1的正六边形的面积1333611222S =⨯⨯⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为33344=7342S =⨯+⨯，故C 正确；对于D ，棱长为1的正四面体的高22361323h ⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，利用等体积法可得该截角四面体的体积为13613633311232=4331122322312V ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，故D 正确.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.35．32【解析】【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.【详解】在正四面体中易知，PO 是正棱锥的高，PE 是正棱锥的斜高，2OE =,30OPE ∠=︒,4PE ∴=,1444322侧==S ∴⨯⨯⨯，故答案为：3236．8【解析】【分析】利用等体积法证明四棱锥11P BB C C -的体积与斜三棱柱111ABC A B C -的体积的关系，即可得解.【详解】11111111111111111111233ABC A B C A B C ABC A B C ABC A B C ABC A B C P BB C C A BB C C A V V V V V V V -------==-=-=21283=⨯=故答案为：837．932π-【解析】【分析】利用柱体体积公式分别计算六棱柱和中间空圆柱的体积，相减即得.【详解】六棱柱的体积为：()1633sin 602932⎧⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，圆柱的体积为：2(0.5)22ππ⨯⨯=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：393cm 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：932π-.38．17【解析】【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.【详解】由三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，可得上、下底面的面积比为1:4，设棱台的高为h ，则点B 到111A B C △的距离也为h ，上底面面积为S ，则下底面面积为4S ，则11111111111111317(44)3C A B B B A B C ABC A B C ABC A B C Sh V V V V S S S S ----===++⨯.故答案为：17.39．3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．【详解】如图，连接SE：S 表示塔的顶点，O 表示底面的中心，则SO 是高，设SE 是斜高，在Rt SOE △中，根据勾股定理得22221.5()0.85=1.285(m)2SE SO OE =+=+，所以()()21 1.54 1.285 3.4m 2S =⨯⨯⨯≈正四棱锥侧，答：制造这种塔顶需要铁板约23.4m ．40．(1)21.6m (2)21975.32m (3)39022.752m 【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算棱锥的高；（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；（3）代入棱锥的体积公式计算体积．(1)解：（1）设正四棱锥为P ABCD -，连接,AC BD 交与点O ，连接OP ，则OP 即为正四棱锥为P ABCD -的高，设AB 的中点为M ，连接OM ，PM ，117.7m 2OM AB ∴==，27.9m PM =，2221.6m PO PM OM ∴=-≈，即展览馆的高度为21.6m ；(2)21135.427.9493.83m 22PAB S AB PM ==⨯⨯=，∴展览馆的外墙面积为24493.831975.32m ⨯=；(3)四棱锥的体积231135.421.69022.752m 33ABCD V S PO ==⨯⨯=．41．（1）623+；（2）233【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．求解PO ，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD 中，可得22223122PD PB BD =-=-=．∴1222PBC S BC PD ==．正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是233622PBC S =⨯=．正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032ABC S =⨯⨯⨯︒=△．则正三棱锥P ABC -的表面积为623+；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．且1333OD AD ==．在Rt POD 中，()22223692233PO PD OD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．∴正三棱锥P ABC -的体积为11692333333ABC S PO ⋅=⨯⨯=．42．（1）9399；（2）613986.【解析】【分析】（1）求出梯形11A B BA 的面积后可得四棱台的侧面积.（2）求出四棱台的高后利用公式可求其体积.【详解】（1）在梯形11A B BA 中，过11,A B 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则54122AE -==，故1139910042A E =-=，故梯形11AB BA 的面积为()1399939945224+⨯=，故四棱台的侧面积为9399493994⨯=.（2）如图，过1A 作1A O ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接EO .因为侧面是全等的等腰梯形，故11A AD A AB ∠=∠，所以O 在DAB ∠的平分线上，故45EAO ∠=︒，因为AB Ì平面ABCD ，故1A O AB ⊥，而1111,A E AB A EAO A ⊥=，故AB ⊥平面1A EO ，而EO ⊂平面1A EO ，故AB EO ⊥.由（1）可得12AE =，故12EO =，所以139913983984442AO =-==，故四棱台的体积为()139861398251645326++⨯⨯=.43．（1）侧棱长为3，侧面的高为5；（2）表面积1685+，体积为163.【解析】【分析】（1）设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，连结,OM OB ，分别在Rt SOD 和Rt SOM ，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，则M 为BC 中点，连结,OM OB ，则,SO OB SO OM ⊥⊥，因为4,2BC BM ==，可得2,22OM OB ==，在Rt SOD 中，22183SB SO OB =+=+=，在Rt SOM 中，225SM SO OM =+=，所以棱锥的侧棱长为3，侧面的高为5.（2）棱锥的表面积为4SBC ABCD S S S =+正方形=1444(45)16852⨯+⨯⨯⨯=+，几何体的体积为1116441333ABCD V S SO =⨯=⨯⨯⨯=正方形.44．3a b c V a++L.【解析】【分析】由题可知当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.【详解】如图所示，设直三棱柱的底面面积为S ，则V =aS ,当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接11,A B AC ，则。