《直线与圆的位置关系》课件6 (北师大版必修2)

k2 ＋ 1
k2 ＋ 1
即|3k－1|＝ 5＋5k2，两边平方，
并整理得到 2k2－3k－2＝0，解得 k＝－1，或 k＝2， 2
所以，所求直线 l 有两条， 它们的方程分别为 y＋3＝－1(x＋3)或 y＋3＝2(x＋3)．
2
即 x＋2y＋9＝0 或 2x－y＋3＝0.
方法归纳 与圆相关的弦长问题的两种解决方法： (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利 用勾股定理可求出弦长，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方 程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之 间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法，但很 繁琐，一般不用．
Δ＝ 4b2－ 8(b2－ 2)＝－ 4b2＋ 16.
(1)当 Δ＞0，即－2＜b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点．
(2)当 Δ＝0，即 b＝2，或 b＝－2 时，直线与圆相切，有一个
公共点．
(3)当 Δ＜0，即 b＞2，或 b＜－2 时，直线与圆相离，无公共 点．
方法归纳 判定直线与圆位置关系的方法步骤有： (1)几何方法步骤： ①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径． ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离． ③作判断：当 d＜r 时，直线与圆相交；当 d＝r 时，直线与圆 相切；当 d＞r 时，直线与圆相离．
求此切线的方程． [解] ∵点 A到圆心 C的距离的平方为(4－3)2＋(－3－1)2＝17 ＞1，∴点 A 在圆外． ①若所求的切线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－4)． ∵圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径 1.
∴|3k－1－3－4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， k2 ＋ 1

练习2、由下列条件所决定的圆x2+y2 =4的切 线方程：
（1）经过点P（ 3 ，1）
（2）斜率为–1
（3）经过点Q（3，0）
• 直线与圆的位置关系有几种？ • 如何判断直线与圆的位置关系？ 三种关系 两种方法 一种思想
作业：
P144 习题4.2A组 1，3，5，6
练习2、求L：2x–y–1=0被圆x2+y2–2y–1=0所截得 的弦长
例1：已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线L与圆的位置关系； 如果相交，求它们交点的坐标. 点评：几何法和代数法体现了数形结合的思想 例2、已知过点M（-3，-3）的直线L被圆
x y 4 y 21 0 所截得的弦长
2 2
为4 5 ，求直线L的方程.
Y
港口
.
L
X
O
直线与圆的位置关系种类
种类: 相离(没有交点) 相交(二个交点) 相切(一个交点) 相离(没有交点) 相交(一个交点)
相交(二个交点)
直线与圆的位置关系的判定
代数方法
直线方程L：Ax+By+C=0 圆的方程C：(x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0 由方程组： (x-a)2+(y-b)2=r2
学习新课
• 在2004年12月26日的印尼大地震引发的大海 啸中，一艘轮船正在沿直线返回印尼雅加达 港口的途中，接到国际救援中心（SOS）的警 报。海啸生成中心位于轮船正西70km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已 知港口位于海啸生成中心正北40km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否受到海啸 的影响？

第二章
解析几何初步
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5 (2)过坐标原点且与圆 x ＋y －4x＋2y＋2＝0 相切的直线方程为(
2 2
)
1 A．y＝－3x 或 y＝3x 1 C．y＝－3x 或 y＝－3x
1 B．y＝3x 或 y＝－3x 1 D．y＝3x 或 y＝3x
没有 方程组______
实数解
方程组
方程组
只有一个 有两个不同的 ____________ _____________
实数解 实数解
解的情况.
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[强化拓展] (1)研究直线与圆的位置关系有两种方法： ①几何法：令圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r.利用 d 与 r 的关系判定． ②代数法： 联立直线方程与圆的方程组成方程组， 消元后得到一元二次方程， 其判别式为 Δ. (ⅰ)Δ＜0⇔直线与圆相离； (ⅱ)Δ＝0⇔直线与圆相切； (ⅲ)Δ＞0⇔直线与圆相交．
2 2
为(2，－1)，半径 r＝
|2k＋1| 5 10 10 1 2＝ 2 ，由题意，得 k2＋1＝ 2 ，解得 k＝－3 或3，
1 故所求切线方程为 y＝－3x 或 y＝3x.
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(3)设 P(x，y)，则由已知可得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30° ，得|PO|＝2，
解析：
方法一：(代数法) 消去 y，
4x－3y＋a＝0， 2 2 由方程组 x y ＋ ＝100，

答案 D 解析 设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线 x＋2y＝0 的距离为 5， 故有 1|2x＋0| 22＝ 5，∴|x0|＝5.又圆心在 y 轴左侧，故 x0＝－5.∴圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5，选 D.
答案
解析
3．若点 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( )
答案
解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为 C(2,1)，半径
r＝2.
圆心
C(2,1)到直线
mx－y－m－1＝0
的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
当 d<2 时，即 m>0 或 m<－34时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－34时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个 公共点；
答案
例 2 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－ 4)．因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k ＋4|＝ k2＋1，所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)，即 15x＋8y－36＝0.
答案 D
解 析 圆 心 (1 ， － 1) 到 直 线 3x ＋ 4y ＋ 12 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |3×1＋43×2＋－421＋12|＝151<r.
答案