《直线与圆的位置关系》课件10 (北师大版必修2)

|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2 ＝ 1＋32x1－x22＝ 10[x1＋x22－4x1x2] ＝ 10×32－4×2＝ 10. ∴弦 AB 的长为 10.
法二：圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为 C(0,1)，半径 r＝ 5， |3×0＋1－6| 10 点 C(0,1)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ ， 2 2 2 3 ＋1 |AB| 所以半弦长 ＝ r2－d2＝ 2 所以弦长|AB|＝ 10. 10 2 10 5 － ＝ . 2 2
[悟一法] 经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一 点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有 两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不 存在，切线为x＝x0的形式．
[通一类] 3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线l的方程． 解：①若直线l的斜率存在，
的
x1＋x2 y1＋y2 几何意义是什么？ ， 呢？ 2 2 提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点 P、Q 的坐标，
x1＋x2 y1＋y2 即有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而( ， )恰为弦 PQ 的 2 2 中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用 几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行
形，数形结合利用勾股定理得到．
[通一类]
2．(2012· 临沂高一检测)已知关于 x，y 的方程 C：x ＋y － 2x－4y＋m＝0， (1)当 m 为何值时，方程 C 表示圆． (2)若圆 C 与直线 l：x＋2y－4＝0 相交于 M，N 两点， 4 且|MN|＝ ，求 m 的值． 5

r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
圆与圆的位置关系及判定
2 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2， 2 则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，
x1－x22＋y1－y22 r2，圆心距d＝|C1C2|＝
.
则两圆C1，C2有以下位置关系
位置关系 公共点个数
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
相切
相离
D＝ r
D>r
|6k＋4| ∵圆心到直线的距离为 2，∴ ＝ 2， 1＋k2 7 即17k ＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－17.

(法二)
如图,设直线 x- 3y+2 3=0 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M,则 OM⊥AB(O 为坐标原 点),
2 2
2
2
所以 OM=
|0-0+2 3 | 12 +(- 3)
2
= 3,
2
所以 AB=2AM=2 OA2 -OM 2 =2 22 -( 3) =2.
.. 导. 学 固思C来自 10.. 导. 学 固思
【解析】因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故 切线长为 (-1-2) + (4-3) -1=3,或 2-(-1)=3.
3
2 2
若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交 4 点,则k的取值范围是 (0, ) .
3
【解析】依题意有
|2k -1| k 2 +1 4 3
利用圆的方程求最值
已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.
【解析】 由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以 3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,
故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.
[问题]在圆的方程中变量x的取值范围是R吗?
.. 导. 学 固思
2 2 又∵点 M(x0,y0)在圆上,∴x0 +y0 =r . 2 ∴所求的切线方程是 x0x+y0y=r . 当点 M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样 适用.
2
(法二)设 P(x,y)为所求切线上的任意一点, 当 P 与 M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为 斜边, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴OP =OM +MP ,即 x +y =x0 +y0 +(x-x0) +(y-y0) , 2 整理得 x0x+y0y=r . 可以验证,当 P 与 M 重合时同样适合上式,故所 2 求的切线方程是 x0x+y0y=r .

直线与圆的位置关系
• 从古希腊时起，代数与几 何这两个古老的分支，独 立的存在与发展。
• 十六世纪以后天文、力学、 航海等方面都对几何学提 出了新的需要，已超出几 何学的范围，导致了解析 几何的出现。
解析几何学的创立，使坐标和变量 进入数学，从而使数与形、代数与 几何实现了有机的统一。
解析几何学成为17世纪最重要 的数学成就之一，其创立和发展主 要归功于数学家笛卡儿和费马。
l B
yl
.C
A
A
OC.
O
Bx
例2.已知直线l : kx y 2k 0和圆C : x2 y2 1. 试问：k为何值时，直线 l与圆C相切？
解法一：（几何法） 已知圆心C(0,0),半径r =1, 由点C到直线l的距离得 d = 2k = 1,两边平方
k2 +1 得，k = 3
3
解法二、（代数法）
• 《几何学》把对立的两 个对象“ 数” 与“ 形” 统一起来。
• 笛卡尔阐明建立平面直 角坐标系，给坐标与点 赋予新的意义，用方程 表示曲线，把几何问题 转化为代数的问题。
• 开启了用代数方法解决 几何问题的新时代。
解析几何的基本思想方法：
解析几何的基本思想方法： 利用直角坐标系，将点用坐标表示，曲线用方 程表示。用代数方法研究几何问题，这类方法 称为“坐标法”
2. 弹性作业： 思考如何判断圆与圆的位置关系 阅读导学案【数学发明故事】，感受数学家对
数学的热爱。
y
.
o
x
拓展提升： 过点M (3， 3)的直线l被圆C : x2 ( y 2)2 25 截得的弦长为4 5，求直线l的方程.
y
.
.o C
x
M
两种方法 几何法、代数法 一种思想 •解析几何思想方法 一种感悟 •数学的文化背景