2019届河北省衡水中学高考押题试卷(二)理科数学

绝密★启封前河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷（二）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.设集合A = {0<4|2x x x -}，B = {0|≥y y }，则=B AA. φB. (0, 4)C. (4,-∞)D. (0,- ∞)2.设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为 A.1 B.-1 C.21D.-2 3.下列三个命题: ①x> 2是x 1 <21的充分不必要条件； ②设R b a ∈,，若6≠+b a ,则3≠a 或3≠b ；③命题p : R x ∈∃0,使得0<1020++x x ，则R x q ∈∀⌝:,都有012≥++x x其中真命题序号是A.①②B.②③C.①③D.②③4.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，己知9,10523=+=a a a S ,则1a =5.一个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何体的体积为310，则h ，为A.23B. 3C. 33D. 35 6. 在矩形ABCD 中，||,300AC AD AC ABC =⋅=∠，则 =⋅AB AC A. 10 B. 12 C. 14 D. 167.若n dx x =⎰)2(20，则n y x )1()1(8++y 的展开式中22y x 的系数是A.56B.84C.112D.16S8.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2, 3...，36这36个整数中等可能随机产生。

河北衡水中学2019年高考押题试卷理数试卷〔二〕第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.此题选择B选项.2.设复数满足，则〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .3.假设，，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴∈〔，〕，又因为，∴故sinα=sin[〔〕-]=sin〔〕cos-cos〔〕sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率 .此题选择A选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.此题选择D选项.6.某几何体的三视图如下图，假设该几何体的体积为，则它的外表积是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的外表积是.此题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．假设相邻两物体的外表相交，外表的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：此题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .此题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，假设输入的，，，则输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y==1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y==,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y==，时不满足条件y2≥x，输出 .10.已知数列，，且，，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数的图象如下图，令，则以下关于函数的说法中不正确的选项是〔〕A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据函数f〔x〕的图象求出A、T、ω和的值，写出f〔x〕的解析式，求出f′〔x〕，写出g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f〔x〕＝A sin〔ωx+〕的图象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根据五点法画图知，当x时，ωx+，∴，∴f〔x〕＝2sin〔x〕；∴f′〔x〕＝2cos〔x〕，∴g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕＝2sin〔x〕+2cos〔x〕＝2sin〔x〕＝2sin〔x〕；令x kπ，k∈Z，解得x kπ，k∈Z，∴函数g〔x〕的对称轴方程为x kπ，k∈Z，A正确；当x2kπ，k∈Z时，函数g〔x〕取得最大值2，B正确；g′〔x〕＝2cos〔x〕，假设函数g〔x〕的图象上存在点P〔x0，y0〕，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，则k＝g′〔x0〕＝2cos〔x0〕＝3，解得cos〔x0〕1，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g〔x〕＝2，则2sin〔x〕＝2，∴sin〔x〕，∴x2kπ或x2kπ，k∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1﹣x2|的最小值为，D正确．故选：C．【点睛】此题考查了由y＝A sin〔ωx+〕的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．12.已知函数，假设存在三个零点，则的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.此题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.向量，，假设向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，假设为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：设，由题意，从而可求椭圆的离心率的取值范围.详解：因为圆与轴相切于焦点，所以圆心与的连线必垂直于轴，不妨设，因为在椭圆上，则，所以圆的半径为，由题意，所以，所以.点睛：此题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．15.设，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如下图，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：此题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记，求的前项和【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：〔1〕首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式；〔2〕，利用裂项求和即可.试题解析：〔1〕当时，由及，得，即，解得．又由，① 可知，②②-①得，即．且时，适合上式，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，故．〔2〕由〔1〕及，可知，所以，故．18.如下图的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；〔2〕余弦值为.【解析】【分析】〔1〕先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面，从而，再利用勾股定理证明,从而可得平面，进而可得结果；〔2〕取中点，可证明平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标，平面的法向量可取为，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】〔1〕因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面,由，，，可知，，，，从而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.〔2〕取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系〔如图示〕，则，，，，.所以，，.由〔1〕可知平面，所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接，，即为所求的二面角的平面角.【点睛】此题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如下图〔视频率为概率〕，根据以上抽样调查数据，答复以下问题：〔1〕试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；〔2〕假设等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？〔3〕为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；〔3〕见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .试题解析：〔1〕从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.〔2〕这100名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.〔3〕由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.则，，，.因此可得的分布列为：则.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且〔为坐标原点〕.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕讨论是否为定值？假设为定值，求出该定值，假设不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：〔1〕由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.〔2〕设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21.设函数.〔1〕试讨论函数的单调性；〔2〕设，记，当时，假设方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①假设时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；②假设时，函数单调递增；③假设时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式. 试题解析：〔1〕由，可知.因为函数的定义域为，所以，①假设时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②假设时，当在内恒成立，函数单调递增；③假设时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 〔2〕证明：由题可知，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以〔*〕式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.又，因此，，故，得证，从而得证.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.在直角坐标系中，曲线：〔为参数，〕，在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.〔1〕试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；〔2〕当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】〔1〕的取值范围为；〔2〕.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：〔1〕曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.〔2〕当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23.已知函数.〔1〕在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；〔2〕假设函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】〔1〕解集为；〔2〕见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：〔1〕因为所以作出图象如下图，并从图可知满足不等式的解集为.〔2〕证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而. 当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。

2019届河北衡水中学第二次模拟考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，答案唯一）1．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“B x A x ∉∈且”成立的充要条件是（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．曲线()2333+-=x x f 在1=x 处的切线倾斜角是（ ） A ．6πB ．3πC ．5π6D ．2π33．下列命题中的假命题是（ ） A ．x ∀＞0，x3＞x2B ．()+∞∈∀,0x ，xe ＞x +1C ．()+∞∈∃,00x ，0x <0sin xD ．R x ∈∃0，0lg x <04．设函数()⎩⎨⎧-≤+=-0,log 10,32212 x x x x f x ，若()4=a f ，则实数a 的值为（ ）A ．21 B ．81 C ．21或81 D ．161 5．设R n m ∈,，已知2log ,2log b a n m ==，且()1,122 b a b a =+，则mnnm +的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．22 D ．21 6．已知()x f 是定义在[]b b +-1,2上的偶函数，且在[]0,2b -上为增函数，则()()x f x f 21≤-的解集为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-321，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311，C ．[]1,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,317．定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，当[]1,0∈x 时，()12+-=x x f ，设函数()()31211x x g x -⎪⎭⎫⎝⎛=-，则()x f 与()x g 的图像交点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知()x f 是定义在()∞+，0上的单调函数，且对任意的∈x ()∞+，0都有()()23=-x x f f ，则方程()()2'=-x f x f 的一个根所在的区间是（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)9．若函数()()0log 221a a x e x f x x -+=-在区间()2,0内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(2，22e) B ．(0，2] C ．(2，222+e ] D ．(22e ，412+e )10．已知函数()()5,ln 23--=+=x x x g x x x a x f ，若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,21x x ，都有()()221≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)∞+，1B ．()∞+，0C ．()0，∞-D ．(]1-∞-，11．()c bx x x f ++=2，若方程()x x f =无实数根，则方程()()x f f x =（ ）A ．有四个相异实根B ．有两个相异实根C ．有一个实根D ．无实数根12．已知函数()x x e ex f --+=11，则满足()1-x f <1-+e e 的x 的取值范围是（）A ．1<x <3B ．0<x <2C ．0<x <eD ．1<x <e第Ⅱ卷（ 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题P ：1,2+∈∀x R x >m ，命题q ：()()xm x f -=3是增函数，若“q p ∧”为假命题且“q p ∨”为真命题，则实数m 的取值范围为_________________.14．()=+-⎰dx x x 21012_________________.15．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()x f y =的图像上；②P ，Q 关于原点对称，则称（P ，Q ）是函数()x f y =的一个“伙伴点组”（点组（P ，Q ）与（Q ，P ）可看成同一个“伙伴点组”），已知()()⎩⎨⎧≥++=0,10,12x x x x k x f 有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是_______________.16．已知k >0，b >0，且()2ln +≥+x b kx 对任意的x >2恒成立，则kb的最小值为___________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知函数()()()xx a x x f 3421+-=是奇函数，()1求实数a 的值；()2若函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 1,1（m >n >1）上的值域为[]2,2--m n ，求m ，n 的值。

河北省衡水金卷2019届高三第二次押题考试数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.【详解】解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2.设，，则是成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。

绝密★启用前河北省衡水市2019届高三年级第二次高考模拟考试数学（理）试题（解析版）2019年5月一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥,则A B =U （ ） A. []02，B. ()13，C. []14，D.[)2-+∞，【答案】D【解析】【分析】 解不等式313x -≤-≤可得集合A ,解1222x +≥可得集合B ,进而得到集合A,B 的并集。

【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤,{}|1B x x =≤,则有{}|2A B x x ⋃=≥-,故选D 。

【点睛】本题考查求集合的并集,属于基础题。

2.复数121z i z i =+=，,其中i 为虚数单位,则12z z 的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. iD. i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ,再由复数的除法运算得到结果即可. 【详解】11211,1,z i z i i z i -=-==--虚部为-1, 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有：点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比,2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S .观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=,可见一本达线人数增加了,故选项A 错误；对于选项B,2015年二本达线人数为0.32S ,2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=,显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍,故选项B 错误；。

绝密★启封前2019届河北衡水中学高考猜题（二）试题数 学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集U R =，集合22{|0log 2},{|2}A x x B y y x =<<==+，则U AC B =A ．()1,2B ．(1,4)C ．[2,4)D ．()0,2 2、已知0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 3、121x dx -=⎰A ．13 B ．12 C ．23 D ．344、命题200:,1p x N x ∃∈<，则p ⌝是A ．200,1x N x ∃∈≥B ．200,1x N x ∃∈> C ．2,1x N x ∀∈> D ．2,1x N x ∀∈≥5、若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞6、曲线x e x f x 2)(12+=+在点11(,())22f --处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．1 B ．2 C ．12 D ．147、函数()21210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且()0,1A ，则点D 的坐标为A ．()2,0-B ．(1-C ．(1,0)-D ．1(,0)2- 8、已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()()067f f f =<，则()f x 在A ．(),0-∞上是增函数B ．()0,+∞上是增函数C ．(),3-∞上是增函数D ．()3,+∞上是增函数9、已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，若()f x 的极大值为()1f ，极小值为(1)f -，则函数)1(x y -=()f x '的图象有可能是10、已知,x y R ∈，命题:p 若x y >,则y x >；命题:q 若0x y +>，则22x y >，在命题（1）p q ∨；（2）()()p q ⌝∧⌝；（3）()p q ∧⌝；（4）p q ∧中，证明题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411、定义在R 上的函数)(x f 可导，且)(x f 图像连续，当0≠x 时11()()0,()()f x x f x g x f x x --'+>=-则函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412、设()222220(4)(2)0k x a kx f x x a a x a x ⎧+-≥⎪=⎨+++-<⎪⎩，其中a R ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠使得)()(12x f x f =成立，则k 的取值范围为 A ．[]10,4-- B ．[]30,9-- C ．[]4,0- D ．[]9,4--第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{A k =∈N }N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =（ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,102. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．158-B ．212- C.54-D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．2π-．12-C.14D ．34π-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9D．25tan 921tan9ππ-- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．⎫⎪⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.⎛ ⎝D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知V ABC 中，若3=AB ，4=AC ，6⋅=uu u r uu u rAB AC ，则=BC ． 14．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件25,2,5.-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩x y x y x 则该校招聘的教师人数最多是 名． 15．若直线10x ay +-=与2430x y +-=平行，则51x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ．16.已知定义在()0,∞上的函数()f x 的导函数()f x '是连续不断的，若方程()0f x '=无解，且()0,x ∀∈+∞，()2015log 2017-=⎡⎤⎣⎦f f x x ，设()0.52=a f ，()4log 3b f =，()log 3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 是等差数列，且1a ，2a （12<a a ）分别为方程2650-+=x x 的二根.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）在（1）中，设=+n n S b n c ，求证：当12=-c 时，数列{}n b 是等差数列. 18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？ （2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望.19．如图，V ABC 为边长为2的正三角形，∥AE CD ，且⊥AE 平面ABC ，22==AE CD .（1）求证：平面⊥BDE 平面BCD ； （2）求二面角--D EC B 的高.20．已知椭圆C ：22221+=x y a b()＞＞a b c 的离心率为12，(),0A a ，()0,b b ，(),0-D a ，△ABD 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设(),o o P x y 是椭圆C 在第二象限的部分上的一点，且直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与 x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.21．已知函数()()ln 1=--f x x a x （1）求函数()f x 的极值；（2）当0a ≠时，过原点分别做曲线 ()y f x =与x y e =的切线1l ，2l ，若两切线的斜率互为倒数，求证：12＜＜a .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,θθ=⎧⎨=+⎩x y （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ+=.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被圆C 所截得的弦长. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1=-f x x 12++-x . （1）求不等式()1≥f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()22≥--f x a a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.2019年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13．7 15．210 16．a c b >> 三、解答题17．解：（1）解方程2650-+=x x 得其二根分别为1和51a ，212()<a a a 分别为方程2650x x -+=的二根 所以11=a ，25=a ，所以{}n a 等差数列的公差为4()1142-∴=⋅+⋅n n n S n 22=-n n （2）当21-=c 时，==+n n S b n c 22212-=-n n n n 1+∴-=n n b b 2(1)22+-=n n所以{}n b 是以2为首项，公差为2的等差数列18．解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是101303= 所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人． 用事件A 表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则()464101==C P A C 1513121014-=． 因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是1314（２）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．3831214(0)55ξ===C p C ， 124831228(1)55C C p C ξ===,214831212(2)55C C p C ξ===， 343121(3)55C p C ξ===， 因此，ξ的分布列如下：1428015555ξ∴=⨯+⨯E 1212315555+⨯+⨯= 19．解：(1)(1)如下图所示：取BD边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是BCD ∆的中位线所以∥FG AE 且=FG AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以∥AG EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ， 故平面⊥BDE 平面BCD(2)由2=AB ，1=AE 可知，BE =DE = 又2DC BC ==，EC 为△BEC ，△DEC 的公共边，知≅△△BEC DEC 过点在△BEC 内做BM EC ⊥，垂足为M ，连接DM ，则DM EC ⊥，所以DMB ∠为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC 中BE EC ==2BC =.由面积相等可知：5MB =，5MD =；BD =根据余弦定理222cos 2+-∠=⋅⋅MD MB BD DMB MD MB14= 所以二面角D EC B --20．解：（1）由题意得()22212122⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩c a a b a b c 2=a，=b 所以椭圆C 的方程为22143+=x y .（2）由（1）知，()2,0A，(B ，由题意可得12=⋅四边形ABNM S AN BM 因为00(,)P x y ，020-<<x,00<y ，22003412+=x y .所以直线PA 的方程为00(2)2=--y y x x 令0=x ，得0022=--M y y x .从而=MBMy 0022=-y x . 直线PB的方程为00=y y x x 令0=y，得=N x .从而2=-N ANx 2=+.所以⋅=ANBM 00222+-y x===12∴=⋅四边形ABNM S ANBM =21. 解：（1）1()f x a x'=-①若0a ≤时，1()f x a x'=-0> 所以函数()f x 在()0,+∞单调递增，故无极大值和极小值 ②若0>a ，由1()0'=-=f x a x 得1=x a， 所以1(0,)∈x a.函数()f x 单调递增，1()∈+∞，x a ，函数()f x 单调递减 故函数()f x 有极大值ln 1--a a ，无极小值.（2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22x y e =，2222x y k e x ==，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111()'==-k f x a x 111==ye x ， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-= 令11()ln 1m x x x e =-+-，则22111)('xx x x x m -=-=， 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 又0x 为()m x 的一个零点，所以①若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈， 因为1111ln 10x x e -+-= 所以111=-a x e11ln =-x ，所以12a <<． ②若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0=m e ，则1=x e ， 所以11ln 0=-=a x （舍去）．综上可知，12<<a22．解：（1）圆C 的参数方程化为普通方程为 22(2)1+-=x y ，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，（2）圆心到直线的距离d ==， 故直线l 被圆C所截得的弦长为=23. 解：（1）原不等式等价于123≤-⎧⎨-≥⎩x x 或1123-<≤⎧⎨≥⎩x 或123>⎧⎨≥⎩x x 解得：32≤-x 或32≥x ， ∴不等式的解集为32⎧≤-⎨⎩x x 或32⎫≥⎬⎭x . （2）()|1||1|2=-++-f x x x |(1)(1)|20≥--+-=x x ，且()22≥--f x a a 在R 上恒成立， 220∴--≤a a ，解得12-≤≤a ， ∴实数a 的取值范围是12-≤≤a。

衡水中学2019届高三二诊数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式：故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．【此处有视频，请去附件查看】6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 5【答案】C【解析】解：在中，，平方整理可得，在方向上的投影是.点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．8.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时，f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y ＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|P A|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|P A″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|P A|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【详解】（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程，（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x ＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。