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小学圆知识点总结一、圆的基本概念1.圆的定义：平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合称为圆。
2.圆的要素：圆心、半径和直径。
圆心是圆上的一个点，半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的一条直线段，且两端点都在圆上。
二、圆的性质1.圆心角和弧：以圆心为顶点的角称为圆心角；圆心角所对的弧称为圆心角弧。
2.圆周角和弦：圆上的两条弧所对的角称为圆周角；弦是圆上的一条线段，其两个端点在圆上。
3.圆的周长和面积：圆的周长是圆周长的长度，公式为周长=2πr，其中r为半径；圆的面积是圆内部区域的大小，公式为面积=πr²。
三、圆的位置关系1.同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆称为同心圆。
2.相交圆：具有不同圆心但有交点的圆称为相交圆。
3.内切圆和外切圆：一个圆与一个三角形、四边形等图形的内部相切，称为内切圆；一个圆与一个三角形、四边形等图形的外部相切，称为外切圆。
四、圆的构造和等分1.通过半径构造圆：以一个点为圆心，以半径为线段，在平面上画一个圆。
2.通过圆心角构造圆：选择圆上一点，以该点为圆心，圆心角度数为圆心角，在平面上画一个圆。
3.圆的等分：可以使用直线段和圆弧进行圆的等分，如将圆分成2等份、3等份等。
五、判断圆与图形的性质1.判断圆内、外、边：通过点到圆心的距离与半径的关系，可以判断一个点是在圆内、在圆外、还是在圆上。
2.判断一个点是否在线段上：若该点到线段的两个端点的距离之和等于线段的长度，则该点在线段上。
3.判断直线与圆的位置关系：圆与直线有三种位置关系，即相离、相切和相交。
相离是指直线与圆没有交点；相切是指直线与圆有且仅有一个切点；相交是指直线与圆有两个切点或者部分直线在圆内。
4.判断弧与直线的位置关系：弧与直线有三种位置关系，即离开线、部分在线上、完全在线上。
完全在线上是指弧上的所有点都在直线上；部分在线上是指弧上的一部分点在直线上；离开线是指弧上的所有点都不在直线上。
5.判断两个圆的位置关系：两个圆之间有四种位置关系，即相离、外切、相交和内切。
九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。
学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。
在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。
3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。
- 圆的直径是半径的两倍。
- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。
- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。
二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。
- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。
- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。
- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。
- 相离圆：两个圆没有公共点。
2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。
- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。
- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。
三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。
- 角度制：以直角为90度，一周为360度。
2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。
- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。
四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。
2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
数学六年级上册圆形知识点圆形是我们在日常生活中经常遇到的图形之一。
它具有独特的性质和特点，在数学学科中有着重要的地位。
本文将为大家介绍数学六年级上册的圆形知识点，包括圆的定义、圆的要素、圆的性质以及圆的应用等内容。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个确定点（圆心）相等的所有点组成的图形。
以大写字母O表示圆心，小写字母r表示圆的半径，用圆周上的一点A和圆心O来表示一个圆，记作⊙O，圆的名称为⊙O。
二、圆的要素1. 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。
2. 半径：圆心到圆周上任意一点的距离，用小写字母r表示。
3. 直径：通过圆心的两个点构成的线段，它的长度等于圆的半径的两倍，用小写字母d表示。
4. 弦：圆上任意两点之间的线段。
5. 弧：圆上两点之间的部分。
6. 弧长：弧的长度，通常用小写字母l表示。
三、圆的性质1. 圆的半径相等：圆心到圆周上任意一点的距离都相等。
2. 圆的直径是半径的两倍：d = 2r。
3. 弦的长度小于等于直径：对于同一个圆来说，任意一个弦的长度都小于等于它的直径。
4. 圆的周长公式：设圆的半径为r，则圆的周长C=2πr，其中π≈3.14。
5. 圆的面积公式：设圆的半径为r，则圆的面积S=πr²，其中π≈3.14。
6. 圆心角和对应弧关系：圆心角的度数等于它所对应的弧所占据的圆心角的度数，即对于同一条弧来说，圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
四、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅具有美观的外形，还能提供更好的空间利用效率。
2. 圆在机械加工中的应用：在车床加工、铣床加工等制造过程中，圆形工件的加工操作较为简单，容易控制质量。
3. 圆在艺术设计中的应用：圆形作为一种基本的图形元素，经常被用于绘画、雕塑、标志设计等领域，能够带来视觉上的舒适感和美感。
4. 圆在日常计算中的应用：在计算机图形学、地图测量、天体运动等领域，圆的相关概念和公式被广泛应用。
圆是数学中的一个基本几何概念，九年级数学中关于圆的知识点如下：一、圆的定义和要素：1.圆的定义：由平面上离一个确定点（圆心）的距离相等的点的全体，构成一个平面图形，称为圆。
2.圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、割线、扇形、弓形等。
二、圆的性质：1.圆的任意两点之间的距离相等。
2.圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离。
3.圆的直径是通过圆心的一条线段，直径的长度等于半径的两倍。
4.圆的弧是圆上两点之间的一段曲线，圆的圆心角对应的弧长是圆的周长的一部分。
5.圆的弦是圆上的两点间的线段。
6.圆的切线是与圆只有一个交点的直线。
7.圆的割线是与圆有两个交点的直线。
8.圆的相似圆是指具有相同圆心，半径成比例的圆。
9.圆与其他几何图形的关系，如圆与直线、圆与多边形等。
三、圆的图形和公式：1.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
2.圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，对应一般方程的圆心坐标为(-D/2，-E/2)，半径为√（(D²+E²)/4-F）。
3.圆的表示方法：各种符号和字母的含义及表示。
四、圆的计算题：1.圆的周长：C=2πr，其中C为周长，r为半径。
2.圆的面积：A=πr²，其中A为面积，r为半径。
3.圆的弧长公式：L=2πr(θ/360°)，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。
4.扇形的面积公式：A=(θ/360°)πr²，其中A为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
5. 弓形的面积公式：A=(θ/360°)πr²-hr，其中A为弓形的面积，r为半径，θ为弧对应的圆心角的度数，h为弓形的高。
五、圆的证明题：1.圆上的弦垂直于直径。
2.圆上的垂直于弦的直径。
3.圆的半径与切线垂直。
六、圆的应用：1.圆的模拟应用，如钟表等。
圆的基本概念圆是几何学中一个常见的形状，它在我们日常生活中无处不在。
圆具有独特的特征和性质，本文将详细介绍圆的基本概念及其相关内容。
一、圆的定义在几何学中，圆是由与其内部的所有点到一个固定点（称为圆心）的距离相等的点的集合。
圆的周长是圆的边界，由无数个点连续构成。
圆的内部区域称为圆的内部，外部区域称为圆的外部。
二、圆的要素1. 圆心：圆的中心点叫做圆心，通常用大写字母O表示。
在圆上任意取两点，连接圆心和这两个点，这两条线段就是半径。
2. 半径：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，它的长度决定了圆的大小。
3. 直径：直经是通过圆心，且两端点都在圆上的线段。
直径是圆最长的线段，通常用大写字母D表示，它的长度是半径的二倍。
4. 弦：弦是圆上两点之间直线段，可以不经过圆心。
5. 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
圆的周长可以看作无限个弧的总和，其中半径为弧长的一半，而直径为整个圆的弧长。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长可以通过公式C = 2πr计算，其中C表示周长，r表示半径。
可以看出，圆的周长与半径成正比关系。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A = πr²计算，其中A表示面积，r表示半径。
圆的面积与半径的平方成正比关系。
3. 弧长、扇形面积和圆心角：圆上的弧长可以通过弧度制或度数制进行度量。
当我们以弧度制来度量时，一个完整的圆周长为2π弧度。
扇形指的是圆心和圆上两点所对应的弧所形成的图形，可以根据圆的半径和圆心角来计算扇形的面积。
4. 圆与其他几何图形的关系：圆与直线、多边形等几何图形之间有着紧密的关联。
例如，圆与直线只有两个交点；圆与正多边形相切于多个点；圆与圆之间可以相切、相离或相交。
四、应用领域圆的基本概念和性质在日常生活和各个领域中得到广泛应用。
以下是一些例子：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，圆的形状经常被使用，例如圆形的建筑结构、圆形的花园设计等。
2. 工程和机械：在工程和机械领域，圆的运动学和动力学特性经常被应用，例如圆形齿轮、同心轴、传动系统等。
圆的概念与基本性质圆是我们生活中常见的一种几何形状，具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨圆的定义、基本要素以及一些与圆相关的重要性质。
一、圆的定义和基本要素圆可被定义为平面上所有与中心点距离相等的点的集合。
中心点通常用字母O表示，半径用字母r表示。
以O为中心，r为半径所得的圆称为圆O。
二、圆的基本性质1. 圆的直径圆的直径是指穿过圆心，且两个端点都落在圆上的线段。
直径的长度等于半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长圆的周长是指圆周上所有点到圆心的距离之和。
如果圆的半径为r，那么它的周长C等于2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14。
3. 圆的面积圆的面积指的是圆内部的部分。
其面积S可以由半径r的平方乘以π计算得到，即S = πr²。
4. 弧圆上的一段弧可以看作是圆周上一段弯曲的部分。
弧是圆的重要元素之一，可以用弧长来描述。
弧长表示的是弧的长度。
5. 弦圆上的两个点间的线段被称为弦。
圆上的每个弦都有一个对应的弧，而且每一个弧都有一个对应的弦。
6. 切线若一条直线与圆只有一个交点，且与该点的切线垂直于半径，则称该直线为圆的切线。
7. 弦切角对于圆上的弦和切线，它们夹角的一半被称为弦切角。
弦切角是圆的重要性质之一，可用于求解与圆相关的问题。
三、圆的重要性质1. 圆的任意直径都相等根据圆的定义，圆上任意两点到圆心的距离相等，因此圆的任意直径必然相等。
2. 圆的半径与切线垂直圆的半径与任何切线相交的角度都是90度（垂直），这一性质能够应用于解决一些相关的几何问题。
3. 两条相交弦的乘积相等如果在圆内，两条弦相交于一点，则与弦相交的第一条弦的两段乘积等于第二条弦两段乘积，即AM*MB=CM*MD（详见图1）。
4. 切线与半径的关系圆上一点到切线的距离等于该点到切点的半径的长度（详见图2）。
这些是圆的一些重要概念和性质，通过对圆的定义、基本要素和性质的了解，我们可以更好地理解圆的几何特征和数学规律，应用于实际问题求解之中。
高中圆的知识点高中圆的知识点圆是几何中的一种重要图形，高中阶段的几何学习涉及到对圆的性质和应用的深入探究。
下面将介绍高中圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和基本性质：1. 定义：平面上所有距离某一点（圆心）相等的点的集合称为圆。
2. 基本要素：圆心、半径、弦、弧、切线等。
3. 基本性质：（1）任意两点到圆心的距离相等，即半径相等。
（2）在圆上的任意两点之间的弦长相等。
（3）在同一个圆中，小弧对应的圆心角相等。
（4）在圆上，与同一个弧或圆心角相等的两个弧相等。
（5）切线与半径垂直。
（6）两条切线之间的夹角等于两条切线所对应的弧的弧度差。
二、扇形和弓形：1. 扇形：扇形是由圆心和两个弧度相等的弧所夹成的图形。
扇形的面积等于弧长与半径之积的一半。
2. 弓形：弓形是由圆上的两个弧和这两个弧所对应的圆心角所围成的图形。
弓形的面积等于弧长与半径之差的一半。
三、圆的位置关系和相交性质：1. 内切：如果两个圆内切于同一点，那么这两个圆的圆心连线垂直于切点处的切线，且切线于切点处相互垂直。
2. 外切：如果两个圆外切于同一点，那么这两个圆的圆心连线垂直于切点处的切线，且切线于切点处相互垂直。
3. 两圆相交：若两个圆在两个不同的点上相交，则连结圆心与两个交点的线段垂直于两个切点处的切线，并且与切线成直角。
4. 共切：如果两个圆在同一个切点上相切，则连结圆心与切点的线段是公切线，且垂直于切线。
四、圆的方程：1. 标准方程：圆的标准方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。
2. 一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
五、圆与直线的位置关系和判定问题：1. 切线判别：过圆外一点作与圆相切的切线，切线的长度等于该点到圆心的距离。
2. 直线与圆之间的位置关系：直线可以与圆相离、相交（过圆心或与圆相切）或相切（不过圆心）。
圆的定义确定基本要素
圆是平面几何中的基本图形，其定义确定了它所具有的基本要素。
圆
是由位于同一平面上且与一个给定点的距离相等的所有点组成的集合。
在
这个定义中，可以确定圆的三个基本要素：圆心、半径和圆周。
首先，圆心是圆的一个重要特征。
圆心是圆的几何中心点，可以看作
所有点距离圆周最远的点。
圆心通常用大写字母O来表示。
圆心的位置决
定了圆的整体位置和方向。
其次，半径是圆的另一个重要要素。
半径是从圆心到圆周上的任意一
点之间的距离，通常用小写字母r表示。
半径的长度决定了圆的大小，不
同的半径长度可以得到不同大小的圆。
半径之间的比较也可用于表示两个
圆的大小关系。
由以上定义可以看出，圆的基本要素之间存在一定的关系。
圆心是圆
形状的中心点，半径是从圆心到圆周上的任意一点的距离，圆周是由圆心
到圆周上的所有点组成的曲线。
这些要素的定义确定了圆的特征和性质。
除了上述基本要素之外，圆还具有一些其他的重要性质。
例如，所有
半径长度相等的圆都具有相等的面积和周长。
两个直径相等的圆，其半径
和面积也相等。
圆与直线的关系也是研究圆的重要内容之一，例如，切线
是与圆周相切且只有一个交点的直线。
总之，圆的定义确定了它所具有的基本要素，包括圆心、半径和圆周。
这些要素之间相互关联，共同决定了圆的形状、大小和位置。
圆的性质和
关系是研究平面几何的重要课题，对于理解和应用圆的概念具有重要意义。
阿氏圆定义
阿氏圆定义是由希腊数学家凯撒·阿氏在公元前300年发明的，它是一种用来描述一个特定的圆的定义。
阿氏圆定义中，圆有如下几个要素：
1、圆心：一个圆的圆心是指圆形物体的中心，它构成了圆的基础；
2、半径：半径是以圆心为起点，沿着圆形物体外侧边缘测量出来的一条直线，它定义了圆形物体的大小；
3、圆周：圆周是指圆形物体围绕圆心旋转的路径，它是由圆上的所有点组成的线段构成；
4、弧：弧是圆周的一部分，它是圆的一部分，也是圆的一部分，它是由两个点加上连接它们的曲线构成的；
5、弦：弦是圆周的一部分，它也是圆的一部分，它是由两个点加上连接它们的直线构成的；
6、圆心角：圆心角是指从圆心出发的一条线段构成的角度；
7、圆面积：圆面积是指圆形物体内部的面积，它是由圆周上的点构成的面积；
8、圆周长：圆周长是指圆形物体周围的长度，它是由圆周上的点构成的线段的总和。
凯撒·阿氏的圆定义被认为是古希腊数学的一个重要发展，它对数学的理解和发展有着重要的作用。
圆的基本概念已经被广泛应用到几何学、物理学、天文学和其他领域中。
同时，阿氏圆定义在现代几何学中仍然被广泛使用，它为现代几何学奠定了基础。
此外，阿氏圆定义也被广泛应用到许多不同领域，例如绘图、设计、建筑等，它为这些领域的发展提供了基础。
此外，它还被用于解决许多实际问题，如求解无穷小的面积和长度、求解圆的位置、求解圆的相关性等。
总之，阿氏圆定义是一种用来描述一个特定的圆的定义，它为数学的发展和运用提供了重要的基础，并被广泛应用到许多领域，为这些领域的发展提供了基础。
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
（确定圆的位置）线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念。
9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。
特别要注意的是，过任意三点不一定能作圆，如果三点在同一直线上，则不能作圆。
10. 反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。
关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形各顶点的距离内切圆与三角形各边都相内心三角形各交点到三切的圆内角角平分线的交点角形各边的距离2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆画圆的关键：确定圆心；确定半径3、性质有哪些(1)外接圆性质：锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆。
直角三角形的外心是斜边的中点。
外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。
(2)内切圆性质：三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。
一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2）直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长注意：等边三角形的内心、外心重合。
练习：1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。
2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。
3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。
4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）内切圆半径（2cm）。
5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）例1. 如图所示，已知矩形ABCD的边。
（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么例2. 画图说明满足下列条件的点的轨迹。
（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹；（2）边，面积为的△ABC的顶点A的轨迹。
例3. 下图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。
甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A. 甲先到B点B. 乙先到B点，C. 甲、乙同时到B点D. 无法确定例4. ⊙O半径为，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P 点、Q点和⊙O是什么位置关系为什么例5. 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上。
已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：E、F、G、H四个点在以O为圆心的同一圆上。
例6. 如图所示，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A. B. C. D.例7. 如图所示，是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心。
例8. 如图所示，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O，证明BD和CE不可能互相平分。
例9. 用反证法证明：三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。
证明：假设三角形的三个内角都小于60°，则这个三角形的内角和小于180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。
例10. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，OC ＝OD。
证明：四边形ABCD一定有外接圆。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）1. AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小⊙O，点P 是AB上异于A、B、Q的任意一点，则点P的位置是（）A. 在大⊙O上B. 在大⊙O的外部C. 在小⊙O的内部D. 在小⊙O外且在大⊙O内2. 下列命题正确的是（）A. 经过点A且半径等于a的圆心O的轨迹，为以O为圆心，a为半径的圆B. 如果一个图形上的每一点到一个角的两边距离都相等，那么这个图形一定是这个角的角平分线C. 到直线AB的距离等于5cm的点的轨迹是平行于直线AB，且到AB的距离等于5cm的一条平行线3. 下列命题正确的是（）A. 三点确定一个圆B. 圆有且只有一个内接三角形C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点4. 下列说法错误的是（）A. 三角形的外心不一定在三角形外部B. 圆的两条非直径的弦不可能互相平分C. 两个三角形可能有公共的外心D. 任何梯形都没有外接圆5. 下列命题中，错误的个数为（）（1）三角形只有一个外接圆；（2）钝角三角形的外心在三角形外部；（3）等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点；（4）直角三角形的外心是斜边的中点。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 用反证法证明，“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”首先应假设（）A. B. C. 点P在⊙O外 D. 点P在⊙O上或点P在⊙O内7. 在一个圆中任意引两条直径并顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这四边形一定是（）A. 等腰梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形二. 填空题。
8. 已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝_________。
9. 直角三角形外接圆的圆心在_________上，它的半径等于_________的一半。
10. P点到⊙O上的点的最小距离是6cm，最大距离是8cm，则⊙O的半径是_________。
11. P是⊙O内与O不重合的点，则在经过P点的所有弦中，最长的弦是_________。
12. 若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_________梯形。
13. 用反证法证明“一个三角形中，不能有两个角是直角”时，第一个步骤是_________。
三. 解答题。
14. 已知△ABC中，∠C＝90°。
求证：AB＞AC，AB＞BC。
15. 如图所示，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，并且E、F、G三点共线，求证：A、B、C、D四点共圆。
16. 如图所示，AC、BD是⊙O的两条直径，求证：四边形ABCD是矩形。
17. 如图所示，四边形ABCD的一组对角∠B、∠D都是直角，求证：A、B、C、D四点在同一圆上。
18. 已知点A的坐标是（0，-3），以C为圆心，5个单位长为半径画圆，求⊙C与坐标轴的交点的坐标并判断点P（-3，0）是否在⊙C上。
例：思考：车轮为什么是圆的3. 与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
注意：直径是一种特殊的弦，直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
以A、B为端点的弧记作（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意：半圆是一种特殊的弧。
补：（5）弧的分类：优弧：大于半圆的弧优弧半圆劣弧：小于半圆的弧注意：优弧、劣弧都是弧，但是优弧大于半圆，劣弧小于半圆。
例：如图：AB、CB为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。
补（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
补（7）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
补（8）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
补（9）等弧：在同心圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。
2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
3、两个半圆是等弧。
4、半径相等的弧是等弧。
5、半径相等的两个半圆是等弧。
6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。
概念辨析：a) 弦是直的，弧是曲的。
b)弓形由弦及其所对的弧组成。
扇形由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成。
c) 同圆指同一个圆，等圆、同心圆指两个圆的关系。
等圆是指半径相等而圆心不同的圆，同心圆指圆心相同，半径不同的圆。
例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。
B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。
C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。
D、直径是圆中最长的弦例：AB为圆O的直径，点C在圆O上，OD举出一些成圆形的物体的实例。
2. 设AB＝3厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点A的距离等于2厘米的点的集合；（2）和点B的距离等于2厘米的点的集合；（3）和点A、B的距离都等于2厘米的点的集合；（4）和点A、B的距离都小于2厘米的点的集合3. 在下面的矩形中，如果OA、OB、OC、OD的中点分别为E、F、G、H。
