圆的基本概念和性质—巩固练习(提高)

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。

（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。

（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。

（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。

（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。

考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。

（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。

（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。

=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。

考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。

（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点4圆周角定理及其推论。

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。

①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。

①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。

关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。

①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。

圆的基本概念1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DCB A【例2】 如图，直线212l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【例3】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧 BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．二 垂径定理及其应用【例4】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O 的半径．【例5】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【例6】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )EDCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCBAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【例7】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【例8】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23【例9】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）OCBAA ．2B ．5C ．22D ．3如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【例10】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米【例11】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【例12】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）AOBEC DOCBAA ．16B ．10C ．8D ．6【例13】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。

基于教学评一体化的《圆》大单元教学设计本教学设计充分体现了教学评一体化的优势。

在教学过程中，强调过程评价的重要性，通过课堂提问、观察学生讨论和实践操作情况，教师及时了解学生的掌握程度和需求，针对学生的疑问进行解答和指导。

教学评一体化有效地将评价与教学紧密结合，使学生在学习过程中得到及时的反馈和支持，从而提高学习效果。

此外，教学评一体化鼓励学生主动参与课堂活动，培养学生的自主学习能力和团队协作能力。

通过关注实际问题，让学生体会到数学知识在生活中的应用价值，提高学生的学习兴趣和动力。

教学评一体化的实施，有助于全面评估学生的知识掌握、技能发展和情感态度，为学生的全面发展奠定基础。

一、教学目标●让学生了解圆的基本概念，如圆心、半径、直径等；●掌握圆的性质及应用；●学会计算圆周长、圆面积以及扇形的面积和弧长；●培养学生的空间想象力、创造力和团队合作精神；●提高学生解决问题的能力。

二、教学过程（一）圆的基本概念和性质1.教学内容●介绍圆的基本概念：圆心、半径、直径；●讲解圆的性质：圆周角、等弧等角；●通过实例引导学生观察圆形物体，了解圆的意义和应用。

2.教学过程导入：通过展示生活中的圆形物体（如钟表、饼干、自行车轮胎等），引导学生观察圆形的特点，并简要介绍圆在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

通过实物、图片和几何软件展示圆的基本概念，如圆心、半径、直径等，并引导学生用简单的语言描述它们之间的关系。

关键问题：什么是圆心、半径、直径？它们之间有什么关系？讲解圆的性质，如圆周角、等弧等角等。

通过实例和动画演示，让学生直观地理解这些性质。

关键问题：圆周角是什么？等弧等角是什么？它们在圆中有什么作用？学生分组进行讨论，总结圆的基本概念和性质。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，并进行互相解答。

过程评价：教师通过课堂提问、观察学生讨论情况，了解学生对圆的基本概念和性质的掌握情况。

针对学生的疑问，进行适时的解答和指导。

课堂总结：教师对本节课的关键问题进行回顾和总结，确保学生对圆的基本概念和性质有清晰的认识。

第01讲圆的基本概念和性质1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。

4.能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心知识点1 ：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2 ：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

知识点3 点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外知识点4 确定圆的条件过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的基本要素和性质（精简版）圆是数学中的一个基本图形，具有一些特殊的要素和性质。

以下是关于圆的基本概念和特点的简要介绍：1. 圆的要素1.1 圆心（Center）：圆的中心点，通常表示为O。

圆的中心点，通常表示为O。

1.2 半径（Radius）：圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。

圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。

2. 圆的性质2.1 圆周与直径的关系：圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。

直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。

圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。

直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。

2.2 圆的面积（Area）：圆的面积表示为A，计算公式为A =πr^2（其中π是一个常数，约等于3.）。

圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。

圆的面积表示为A，计算公式为A = πr^2（其中π是一个常数，约等于3.14159）。

圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。

2.3 圆的周长（Circumference）：圆的周长等于圆周的长度，即 C = 2πr。

周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。

圆的周长等于圆周的长度，即C = 2πr。

周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。

2.4 圆的切线（Tangent Line）：圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线与该点处的半径垂直相交。

圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线与该点处的半径垂直相交。

以上是关于圆的基本要素和性质的简要介绍。

了解圆的这些基本概念和特点，有助于在数学问题和几何图形的研究中运用圆的相关知识。

一年级数学练习题圆圈题在一年级的数学学习中，圆圈题是一个重要的练习题类型。

通过解决这些题目，学生们可以提高他们对圆形的认识，了解圆的性质和应用。

本文将介绍一些基本的圆圈题，并提供对应的解题方法和技巧。

一、基本概念在解决圆圈题之前，我们需要先了解一些基本的概念。

首先，圆是一个平面上的几何图形，由与一个固定点距离相等的所有点组成。

这个固定点被称为圆心，而与圆心距离相等的线段被称为半径。

另外，连接圆心和任意一点的线段被称为半径，而连接圆上两点的线段被称为弦。

我们还需要了解圆的直径、弧和扇形等概念。

二、解题方法1. 判断圆的性质：在解决圆圈题时，首先要确定题目中所给图形是否为一个圆。

我们可以通过以下特征来判断：(1) 是否给出了圆心和半径的信息。

(2) 是否给出了连接圆上两点的线段和圆心的信息。

(3) 是否给出了与圆上的点相关的角度和弧长的信息。

2. 应用圆的性质：一旦确定题目中所给图形是一个圆，我们就可以应用圆的性质来解决问题。

以下是一些常见的解题方法和技巧：(1) 使用半径和直径的关系：半径是直径的一半，即 r = d/2。

(2) 使用弧与圆心角的关系：弧和其所对应的圆心角的度数是相等的。

(3) 使用弦和弦所对应的角的关系：相交于同一弦上的两个角是相等的。

三、示例题目为了更好地说明解题方法和技巧，我们来看几个示例题目：1. 下图中，O 是圆心，若 AB ＝ 6 cm，OB ＝ 4 cm，则 OA 约等于多少 cm？（题目描述：在一个圆上，给出了弦 AB 的长度为 6 cm，半径 OB 的长度为 4 cm。

求半径 OA 的长度。

）解题步骤：根据题目描述，我们可以知道弦 AB 和弦的长度都为 6 cm，弦所对应的圆心角为 90 度。

根据弦和弦所对应的角的关系，我们可以得出角OAB 为一个直角。

因此，根据勾股定理，我们可以求得 OA 的长度。

由于弦 AB 为直径，所以我们可以直接得到直径 OB 的长度为 6 cm。

圆的基本概念和性质—巩固练习【基础练习】一、选择题1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42.在⊙O 中，弧»»2AB CD ，那么( ) A.AB ＝2CD B.AB ＝CD C.AB ＜2CD D.AB ＞2CD 3.过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）条.A. 1B. 2C. 3D. 4 4．等于23圆周的弧叫做（ ） A ．劣弧 B ．半圆 C ．优弧 D ．圆 5.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（）A.2B.3C.4D.5 6.已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）A.2B.3C.4D.57.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A.点PB.点QC.点RD.点M 8．以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 二、填空题9.下列说法正确的是 （填序号）．①半径不等的圆叫做同心圆； ②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦； ④直径是同一个圆中最长的弦． 10.过已知⊙O 上一定点P ，可以画半径_____条；弦____条；直径____条. 11.圆是____ ___对称图形.12. 在平面内到定点A 的距离等于3cm 的点组成的图形是 . 13.已知⊙O 中最长的弦为16cm ，则⊙O 的半径为________cm ． 14. 在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．15.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________． 三、解答题16．某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图27-11所示，那么运动员公寓应建立在何处？17．如图，BD=OD ，∠AOC=114°，求∠AOD 的度数．B ACE DO18.已知MN=6cm ，画出到M 点的距离等于4cm 的所有点，再画出到N 点的距离等于5cm 的所有点，指出既到点M 的距离等于4cm ，又到点N 的距离等于5cm 的点有几个？试说明你的结论.19．已知：如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使DC=EC ，∠AOD=60°，求∠BOE•的度数．BAC ED O【提高练习】一、选择题1.下列说法正确的是（ ）A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．长度相等的弧是等弧D ．过圆心的线段是直径 2.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内一定点可以作无数条直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ）A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条第3题 第4题4.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.已知»AB 、»CD 是同圆的两段弧，且»»2AB CD ，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定6. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是（ ）A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞a ＞bD.a=b=c5 5-5-5PxyO第6题 第7题二、填空题7.如图，P(x ，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x 、y 都是整数，猜想这样的P 点一共有 .8.P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．9.如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=50°，则∠MON 等于 ．BA． O10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB 所对的的长度有__ ___关系；的度数有_ ___关系.11.如图，已知⊙O 内一点P ，过P 点的最短的弦在圆内的位置是__ __；过P 点的最长的弦在圆内的位置是__ _；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，……（1）10个圆把平面最多分成 个部分； （2）n 个圆把平面最多分成 个部分. 三、解答题13．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB•于点D ， 求∠ACD 的度数．14．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数．15．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦（不是直径），点C ，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD ．（1）判断△OCD 的形状，并说明理由．（2）当图中的点C 与点D 在线段AB 上时（即C ，D 在A ，B 两点之间），（1）题的结论还存在吗？【基础答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．2.【答案】C；【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到结论.3.【答案】A；【解析】圆的最长的弦是过该点的直径，只有一条.4.【答案】C；【解析】等于23圆周的弧是大于半圆弧，是优弧.5.【答案】B；【解析】如图，连结PO并延长交圆O于A、B两点，则PA、PB即为最短弦2、最长弦8，故该圆的半径可求.6.【答案】D；7.【答案】B；【解析】观察网格图不难发现AQ=BQ=CQ，所以圆弧所在的圆心是点Q，故选B.8.【答案】A；【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A. 二、填空题9.【答案】④；【解析】①半径不等的圆叫做同心圆，错误；②优弧一定大于劣弧，错误；③不同的圆中不可能有相等的弦，错误；④直径是同一个圆中最长的弦，正确．故答案为：④．10.【答案】1；无数；1；11.【答案】轴对称图形也是中心；12.【答案】以A为圆心3cm为半径的圆；13.【答案】8；14.【答案】重合；15.【答案】位置，大小.三、解答题16. 【答案与解析】任意作连结A、B、C三点中的两点所成的线段的中垂线的交点.17．【答案与解析】解：设∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．18. 【答案与解析】分别画以M为圆心、以4cm为半径的圆，画以N为圆心、以5cm为半径的圆，两圆交于A、B两点，则A、B两点即为所求的2个点.19．【答案与解析】∵C是⊙O直径AB上一点， DE是弦，DC=EC，∴由圆的对称性可得点D、E关于直线AB对称，∵∠AOD=60°，∴∠AOE=∠AOD=60°，BA CEDO∴∠BOE =180°-60°=120°.【提高答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；B、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合．故本选项错误；D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．故选B．2.【答案】C；【解析】①直径是弦符合弦的定义正确；②弧是半圆，这句话不对，可能是半圆，也可能使优弧或劣弧；③长度相等的弧是等弧，这句话不符合等弧的定义：能够完全重合的弧，故错误；•④经过圆内一定点只能作一条直径．所以原题不正确. 故②③④都不正确.3.【答案】B；【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三条.4.【答案】C；【解析】在弦AB所在直线的两侧分别有1个和两个点符合要求,故选C；5.【答案】B；【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到. 6.【答案】D；【解析】如图，连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c．故选D；二、填空题7.【答案】12.【解析】每个象限有2个符合要求的点，坐标轴上有4个点，共12个.即：（3，4）、（4，3）、（3，-4）、（4，-3）、（-3，4）、（-4，3）、（-3，-4）、（-4，-3）、（0，5）、（0，-5）、（5，0）、（-5，0）.8.【答案】8cm，10cm；9.【答案】80°；【解析】∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．=10.【答案】；相等；11.【答案】垂直于过p点的直径的弦；过p点的直径. 如图：12.【答案】（1）92；（2）n2-n+2.【解析】（1）9×10+2=92；（2）（n-1）n+2=n2-n+2.三、解答题13．【答案与解析】∵∠ACB=90°，∠A=40°∴∠B=50°∵以C为圆心、CB为半径的圆交AB•于点D，∴CB=CD，∠CDB=∠B=50°，∴∠DCB=180°-50°-50°=80°，∴∠ACD=90°-80°=10°.14．【答案与解析】解：以A圆心AD长为半径画弧与圆有两个交点D，D' 再连接OD,O D' ；∵AB是⊙O的直径，AB=2，AD=1,∵AD=OD=OA=1，∴△OAD是等边三角形.∴∠DAO=60°.同理可得∠OA D'=60°.∴∠DAC=60°﹣30°=30°；同理可得：∠D' AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD的度数为30°或90°．15．【答案与解析】（1）△OCD是等腰三角形．如图（1）所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，由圆的对称性有MA=MB．又∵AC=BD，∴AC+MA=BD+MB，即CM=DM．又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形．（1）（2）（2）当点C，D在线段AB上时，（1）题的结论还存在.如图（2）所示，同上问，作OM⊥AB，垂足为M，由圆的对称性，得AM=BM．又∵AC=BD，∴CM=AM-AC=BM-BD=DM，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形．。

(完整版)圆的初步认识练习题
圆是几何学中的一种基本图形，具有许多特殊性质。

本文将为
您提供一些关于圆的初步认识练题，帮助您巩固和加深对圆的理解。

问题一
给定一个圆，已知其半径为$5cm$，求圆的直径、周长和面积。

问题二
已知一个圆的周长为$12\pi cm$，求其半径和面积。

问题三
某个圆的直径为$8cm$，求其周长和面积。

问题四
在平面直角坐标系中，圆心位于原点，半径为$3$的圆的方程是什么？
问题五
已知一个圆心为$(2, 3)$，半径为$6$的圆，求它的方程。

问题六
判断下列说法是否正确，并简要解释为什么：
1. 一个圆的直径是两个半径的和。

2. 圆的内接四边形是一个矩形。

3. 一个平行于坐标轴的圆心为原点的圆的方程是$x^2 + y^2 = r^2$。

问题七
在平面直角坐标系中，已知圆心为$(2, -3)$，半径为$r$的圆与$x$轴和$y$轴相交于四个点$A$、$B$、$C$和$D$。

若$AB$的斜率为$-\frac{1}{3}$，求$r$的值。

问题八
一个圆与$x$轴和$y$轴相交于四个点$A$、$B$、$C$和$D$，已知$AB=3$，$BC=4$，求圆的半径。

以上是关于圆的初步认识的练习题，希望能帮助您加深对圆的理解。

在解答问题时，可以借助相关的公式和几何知识进行推导和计算。

通过练习，相信您会对圆的性质有更深入的认识。

九年级数学下练习题（圆的基本性质）一、 填空题：（21分）1、如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（（（44、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ． 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________（5题图） （6题图） （7题图） （二、解答题1题） 二、解答题（70分）1、如上图4，AB 是⊙O 的直径. (1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？ (2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.2、已知：如图，在⊙O 中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD ； ⑵∠AOC=∠BOD3、如图，已知：⊙O 中，AB 、CB 为弦，OC 交AB 于D ，求证：（1）∠ODB>∠OBD ，BBBDCA（2）∠ODB =∠OBC ；4、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

求证：CE=DF5、已知如图，，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，MN 是△ABC 的中位线吗？6、已知⊙O 中，M 、N 分别是不平行的两条弦AB 和CD 的中点，且AB = CD ， 求证：∠AMN=∠CNM7、已知如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE ，CDC求证：∠D=∠B8、已知如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E ， 求证：弧AE=弧EB9、已知如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交另一腰于F ，交底边BC 于D ，则BC 与DF 的关系，证明你的观点。

圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。

本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。

2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。

3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。

5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。

6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。

7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。

周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。

2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。

3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。

弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。

扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。

弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。

三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。

解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。

2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。

4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。

圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。

2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。

圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。

沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为上一点，则．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．【思路点拨】要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．【答案与解析】解：过O作OM⊥BC于M，连接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，，连接AC．(1)求证：△MAC是等腰三角形；(2)若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】证明：(1) ∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)连接OM．∵AC为⊙O直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O中，AB＝2CD，则( )A． B．C． D．与的大小关系无法确定【答案】解：要比较与的大小有两种思路．(1)把的一半作出来，比较与的大小；(2)把作出来，比较与的大小．如图所示，作OE⊥AB，垂足为E，交于F．则，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴，即．答案A.【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题2】3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半径．【思路点拨】过O作OE⊥AB于E，连接BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：(1)过O作OE⊥AB于E，连接BO(如图所示)，则．又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．设AD＝4k，则AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延长AO交⊙O于C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O的直径，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴设AB＝4k，则AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．（2014秋•兴化市月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵O A=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且，求证△DCE≌△OCB．【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切线，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．∴CE＝AE－AC＝＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA．设AB＝2x，则AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC 交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．【答案与解析】解:(1)连接OC，则∠OCP＝90°．∵ OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴ CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴ CP＝．∵ PM平分∠CPA，∴．∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA＝α，∵ PM平分∠CPA，∴∠MPA＝∠CPA．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵ OA＝OC，∴∠CAP＝．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小没有变化∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【答案】证明：(1)如图所示，连接CE，延长CD交⊙O于G，连接AG．∵AB是⊙O直径，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴ AC2＝AF·AE．(2)由(1)得．又∵C是的中点，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．。

数学的圆舞曲小学四年级数学上册圆的学习数学的圆舞曲在小学四年级的数学上册中，圆是一个重要的概念。

通过学习圆的相关知识，学生们可以进一步理解几何形状以及数学的应用。

本文将介绍小学四年级数学上册关于圆的学习内容，并提供一些有趣的练习和例题，帮助学生巩固所学知识。

一、圆的基本概念圆是由一个固定点（圆心）和到该点距离相等的所有点构成的平面图形。

小学四年级的学生可以通过观察、测量和实际操作来理解圆的概念。

老师可以带领学生观察不同大小的圆，测量其半径和直径，并对圆与其他形状进行比较和分类。

二、圆的特征和性质在学习圆的过程中，学生需要了解一些与圆相关的重要概念和性质。

1. 圆的直径和半径：直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，而半径则是连接圆心和圆上一点的线段。

学生可以通过实际操作和绘图来体验和认识这两个概念。

2. 圆周长和面积：圆的周长是圆上一周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中r为圆的半径。

圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，可以通过公式A=πr²计算，其中r为圆的半径。

学生在学习这些公式的同时，也可以通过实际操作将其应用于实际问题中。

3. 直径、半径和圆周长的关系：直径是半径的两倍，圆周长是直径的π倍。

通过这个关系，学生可以进一步理解圆的特征。

三、练习和例题为了帮助学生巩固对圆的学习，以下是一些练习和例题：1. 选择题：请选择正确的答案。

a) 圆上任意两点之间的线段是它们的（半径/直径）。

b) 圆的周长是（半径/直径）的π倍。

c) 一个圆的直径是8 cm，那么它的半径是（4 cm/8 cm）。

2. 计算题：请计算下面问题的答案。

a) 一个圆的直径是12 m，那么它的半径是多少？圆的周长是多少？b) 一个圆的半径是5 cm，那么它的直径是多少？圆的周长是多少？圆的面积是多少？四、总结通过小学四年级数学上册的学习，学生们可以初步了解圆的概念、特征和性质，学会计算圆周长和面积，并将其应用于实际问题中。