数学描述性概念课解读

数学概念教学的三步骤：了解、理解、见解在数学中，作为思维形式的判断与推理，一般以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础. 正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.数学教学的宗旨是使受教育者数学地认识事物，即数学地理解、数学地思考、数学地表达，这是一个螺旋上升的有机结构体系.数学概念教学的三步骤，是指教师引导学生对数学概念的认识要历经了解、理解、见解螺旋上升、逐步深入的过程，具体地说，就是数学概念教学首先要追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造.一、了解――数学概念的产生与发展（一）数学概念的产生数学概念的生成应当是自然的，数学概念教学一要遵循学生的认知规律和认知水平，二要尊重数学概念产生的社会历史背景.案例 1：复数概念的产生（1）要注意从两方面回顾数集的发展一方面，从社会生活看，人们为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展变化着：为了计数的需要产生了自然数，为了测量的需要产生了分数，为了刻画相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数等；另一方面，从数学内部来看，数集是在按照某种“规则”不断扩充的. 在自然数集，加法和乘法总可以实施 . 但是，小数不能减大数，为此引入负数，数集扩充到整数集 . 在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，对于除法只能解决整除问题，如方程3x-2=0就无解，为此，引入了分数，数集扩充到有理数集 . 在有理数集中，加法、减法、乘法、除法（除数不为0）总可以实施 . 但是开方的结果可能不是有理数，如方程x2-2=0 就无解 . 为此引入了无理数，数集扩充到实数集 .（2）要深刻全面理解数系的含义一个数系指的是一个数集连同相应的运算及结构，并不仅仅是数集 . 从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新数得来的 . 而且在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾 . 可见，数系的每一次扩充既要考虑数集的扩充，又要考虑相应的运算及结构 .（3）复数概念的引入水到渠成在实数集中，虽然加法、减法、乘法、除法（除数不为 0）总可以实施，也解决了正数开方的问题，但是我们又面临负数不能开平方的问题，这表明，数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充！那么实数集应怎样扩充呢？为了使负数能够开平方，由于任何一个负数 -a=a （ -1 ）（a>0），所以，只要引入一个“新数”，使它的平方等于-1 ，因此，设“新数”为i ，这样实数集就扩充到了复数集，而且按数系扩充的要求，实数可以与“新数”i 进行四则运算，原有的运算性质保持不变.实数可以与“新数”i 进行加、减、乘、除四则运算，会产生哪些类型的“新数”呢？让学生自己“创造”出诸如2i ，3i ，-i ， 3i+2 ，2-3i等等形式的复数，这些形式的“新数”能用一种统一的形式表示吗？让学生自己得到“符号”a+bi ，（其中a，b 为实数）；形如 a+bi ，（其中 a，b 为实数）的数叫作复数，全体复数所构成的集合叫作复数集 . 这样复数概念的引入水到渠成 .（二）数学概念的发展每一个数学概念都有一定的发展过程，不同学段的学生对同一概念的理解也应当是不同的，这是学生的认知水平和认知规律所决定的 . 如对于长方形与正方形的认识，在小学就认为正方形不是长方形，而到了初中就认为正方形是特殊的长方形.案例 2：函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）（1）图象说若函数 y=f （x）的图象在某一段从左向右看是上升的，我们就说函数y=f （x）在这一段图象所对应的x 的范围内是单调增函数 .（2）变量说若函数 y=f （x）的自变量 x 在其定义域的某一个子区间内增大时，因变量也随着增大，则称该函数在该区间上是单调增函数.（3）符号说若函数 y=f（x）的定义域为 A，区间 I?A ，若对于任意的x1，x2∈I ，当 x10，则称该函数在区间I 上是单调增函数 .单调增函数概念的“图象说”形象直观，是一种描述性语言，符合当时学生的学习心理和认知水平；“变量说”体现了因果变化关系，是学生易于理解的文字语言，“图象说”→“变量说”，从图形的描述到数量的变化，概念的理解深入了一层；但是，“y随着 x 的增大而增大”，怎么用更确切严谨的数学语言来表达呢？“y 随着 x 的增大而增大”意思是说“只要x 较大，其对应的 y 也就较大”，也就是“对任意的x1，x2∈I ，当 x10，即>0，而就是函数y=f （x）的导数，这表明，导数大于0 与函数单调递增密切相关.二、理解――数学概念的理解与欣赏（一）洞察概念之本：顾名思义数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式.这种反映形式用怎样的语言词汇来表达，是极其考究的，甚至要经过几代数学人的不懈努力与完善.简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念学生感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有些困难. 笔者在教学时设计了这样一个 flash故事情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹.大款p对小秘q说：“有我p在，就有你q 吃香的喝辣的！”小秘 q 很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，大款是小秘的充分条件，而小秘是大款的必要条件.”这个小故事就很好地揭示了“充分条件与必要条件”的概念之本质，若 p?q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 . 这是因为只要 p 成立， q 就成立， p 对 q来说就足够了，就充分了，所以， p 是 q 的充分条件；但是若 q 不成立， p 就不成立， q 对 p 来说是必要的，所以， q 是 p 的必要条件 .（当然，对这种社会现象教师要对学生进行正确的价值观引导）（二）理解符号之意：追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式 . 其特点是抽象化和形式化，这也正是数学的魅力所在，但是符号语言毕竟很抽象空泛，那么数学概念中的符号语言该如何理解呢？首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的. 数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、?、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号 . 缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数 N ，实数 R，虚数单位 i ，函数 f ，概率P（A），排列数 A，组合数 C，极限 lim 、正弦 sin 、最大max、最小 min、存在 ?、任意 ?等符号均为此类 . 约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号 +、×、∩，≌，∽， >，再如上述案例 2 函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）的“导数说”，事实上，拉格朗日中值定理告诉我们：如果函数 f （x）满足：（ 1）在闭区间 [a ， b] 上连续；（ 2）在开区间（ a， b）内可导；那么在开区间（ a， b）内至少有一点ε（a0 成立 . 由条件知，对于任意的 x∈（ a， b），恒有 f' （ x）>0，所以，至少有一点ε（a0，从而 a-b 与 f（a）-f （ b）同号，如果就取 x1=a，x2=b（ x1，x2∈I ，且 x10，如 f （x）=x3 在区间 [-1 ，1] 上单调递增，但是 f ' （0）≥0. 因此，函数的单调性概念的“导数说”，并不是数学意义上的概念，因为严格的数学概念中条件和结论应当是充要条件关系. 所以，苏教版高中数学教材选修2-2 （ 2012 年 6月第 3版）第 28 页的阐述是这样的：“⋯⋯这表明，导数大于0 与函数单调递增密切相关”，教材的这种说法还是留有余地的，它并没有说明二者具体是怎样的密切相关法. 事实上，如果函数 f （x）满足：（ 1）在闭区间上 [a ，b] 连续；（ 2）在开区间（ a，b）内可导，则 f（x）在（a，b）上严格单调递增等价于f '（x）≥0在（a，b）上恒成立且不存在（a，b）的任何子区间 I ，当 x∈I时， f '（x）≡ 0.这些就是对函数的单调性概念的“导数说”反思后得到的较为深刻的认识.（二）概念的批判矩阵是高等代数下放到高中选修系列的一个概念，由于矩阵题目操作程序性强、易上手、得分高等原因而被绝大部分市级区域学校和师生所“青睐”，这本无可厚非，但现实教学中，教师不揭示知识的发生发展过程，学生只是被动地狂练；教师不揭示其中的数学文化与数学思想方法；学生只是“不知所以然”被灌输，因此，学生对矩阵的知识极易遗忘，高三复习时只是到高考之前解题程式才被强行唤醒，显然，上述“青睐”应试味道太浓，完全违背了这门课程的设置初衷及《普通高中数学课程标准》的基本精神，根本谈不上对矩阵问题的研究，值得引起我们的重视 .逆矩阵是《矩阵与变换》专题中一个重要的概念，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先 TA后 TB）的结果与恒等变换相同，即BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 . 苏教版高中数学教材选修4-2（2008年 5 月第 2 版）对于逆矩阵是这样定义的：对于二阶矩阵A，B，若有 AB=BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 [2].笔者认为根据逆变换的意义，只要有BA=E，就可以说矩阵 A 是可逆的， B 称为 A 的可逆矩阵，没有必要把条件强化为AB=BA=E.事实上，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后 TB）的结果与恒等变换相同，即经历“走过去（ A）”又“走回来（ B）”的两次变换，最终还是回到原地 A，那么，对于变换 B 的起点，当然可以先“走过去 B”再“走回来A”最终又是回到原地B，则AB=E，所以，B 是可逆的，A 成为 B 的逆矩阵 . 基于此，对教材中逆矩阵概念的建议是：其一，弱化条件 . 对于二阶矩阵 A，B，若有 BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 . 其二，把“ AB=BA=E”调整为“BA=AB=E”，两个概念一起给出 . 对于二阶矩阵 A，B，若有BA=AB=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵，同时矩阵B 也是可逆的， A 称为 B 的逆矩阵 .（三）概念的再创造这里所说的“概念的再创造”不是指数学概念的再创造教学法，而是在对于某数学概念有较深入的研究后，提出新的定义方法 . 如在解析几何中，斜率是核心概念，在充分理解与把握这一概念本质的基础上，可以利用这个概念，在坐标法思想指导下通过运算对圆、椭圆及双曲线概念进行再创造 . 如：在平面坐标系中，若动点与两定点 A（ -a ，0）和 B（a， 0）连线的斜率之积是一个常数 k（k≠0， a>0）. 当 k=-1 时，动点的轨迹是圆（除去 A，B 两点）；当 k=- （b≠a， b>0）时，动点的轨迹是椭圆（除去 A，B 两点）；当 k=（b≠a， b>0）时，动点的轨迹是双曲线（除去 A，B 两点） [3].综上所述，对于数学概念教学，如果我们能够注意引导学生追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造（当然并不是每一个数学概念的教学都要经历“三步骤”的完整过程，一般指核心概念），那么，行之有效、科学合理的数学概念的教学策略方法自然就会产生，在对数学概念的了解―理解―见解三步骤过程中，学生的数学素养、理性精神以及科学态度会在不知不觉中得到提高和培养.。

如何上好小学数学概念课小学作为学生的启蒙教育阶段，其教学质量对于学生今后的发展有非常大的影响，小学数学教育更是承担着，培养学生逻辑思维能力的重担，教学质量更是重中之重。

概念教学虽是数学教育的基础知识，但是其对学生今后的发展，有非常大的影响作用。

下面给大家分享一些小学数学概念教学的方法和策略，希望对大家有所帮助。

如何上好数学概念课小学数学概念教学的有效策略(一)突出不同呈现形式的小学数学概念的，使学生准确理解概念1、图画式小学数学概念的揭示策略通过对图画式概念教学特点的研究，可知，我们在教学的过程中，要多引导学生对图画的深层进行理解，让学生学习概念的本质，而不是表面。

在学生能够理解图画的基础上，鼓励学生用自己的语言表述概念的定义，并引导学生尽量使用数学语言中的名词、术语。

以圆的概念为例，教师在教学过程中，要适时引导学生揭示圆的本质特征，将圆的表象抽象成数学语言。

通过这样的方式，一方面学生能够认识到数学是一门严谨的学科，数学用语要规范、贴切;另一方面，学生通过用自己理解的语言来表达数学概念，还可以锻炼语言表达能力。

2、描述式小学数学概念的揭示策略描述式概念也就是我们平时所说的字形结合式概念，因此我们在教学时，“字”和“形”要同时教学，要注意引导学生理解“形”的深层含义，进一步的深挖概念的根本。

因此，对“形”的研究一定要透彻。

除此之外，图示仅仅给人以直观形象，教师要帮助学生将图示所表明的涵义用自己理解的语言描述出来，再结合概念中的“字”，如此，才能真正将“字”与“形”相结合，给概念下一个纯文字式的定义。

如直线的概念、小数的概念，就可以采用这种方法进行学习。

3、定义式小学数学概念的揭示策略定义式的概念由于用词简练而具有很强的概括性和抽象性，教师在教授概念时一定要让学生抓住关键词，深层剖析，将专业名词、术语通俗化，以便学生理解;必要时，还可通过直观教具、举例子、联想对比等手段，化抽象为形象;也可有效运用反例和变式，让学生明确区分概念的本质属性和非本质属性。

把握“概念核心” 在“生动”教学中培养学生的核心素养——以“周长的认识”教学为例摘要：数学概念是学生必学的基础知识，是进行逻辑思维的第一要素。

重视小学数学概念的教学对学生的后续学习及核心素养的培养都具有十分重要的意义。

但枯燥的概念教学，往往让学生提不起兴趣，掌握不牢，因此，设计“生动”的教学，让概念教学课变得灵动，尤为重要！关键词：概念核心生动教学核心素养小学阶段，对于概念的界定多用描述性的语言。

现实教学中，教师往往也是从一个特例揭示概念，要求学生熟记，而结果是学生记住了概念外在的表述形式，但没有深入理解概念的内在含义。

这样的学习，学生完全不了解知识之间的内在联系，很难形成数学方法上建构，更难以提升数学核心素养。

下面以人教版三年级《周长的认识》一课为例，探讨如何把握“概念核心”，设计“生动”的教学，促进学生对概念内容的理解，深化对概念的建构和巩固，促进核心素养的提升。

一、案例呈现（一）以标为纲，精研教材1、基于课程标准的学习，目标定位：通过情境理解周长的含义，能指出各种图形的周长，会测量图形的周长；通过围、量、算等具体的活动，探索不同图形驻场的测量策略，培养学生动手实践、合作探究的能力；使学生在参与学习的活动过程中，体会数学与生活的密切联系，发展数学思考，享受学习的快乐。

教学重点为：认识周长的含义，会测量、计算出周长。

教学难点为：理解周长是“封闭图形一周的长度”，体会“化曲为直”的数学思想。

2、义务教育数学课程的各版本教材中《周长》一课学习资料对比（1）教材纵向整体分析基于本单元教学内容梳理可以看出，小学阶段图形的测量路径是初步感知→一维线的测量→二维形的测量→三维体的测量，其学习的核心都是引导学生在度量的过程中，认识度量单位，理解度量的本质就是度量单位个数的累加，以此培养学生的度量意识，渗透度量思想，发展空间观念。

（2）教材横向梳理比较三个版本（苏教版、北师大版、人教版）的教材，认识周长的编排结构是相同的，都是先揭示周长概念，再学习度量周长。

数学概念教学实践(讲座稿)
导言
数学是一门重要的科学学科，也是现代社会不可或缺的知识领域。

但是，很多学生在研究数学时会遇到困难。

这是因为他们没有
充分理解数学概念的本质。

在本次讲座中，我将分享我的经验，介
绍一些数学概念教学的实践方法，帮助学生更好地理解数学概念。

数学概念的本质
数学概念是数学的基石。

它们是描述数学对象和现象的方式。

理解概念的本质是理解数学的关键。

一个数学概念应该有以下几个
特点：
- 准确性：一个数学概念应该精确清晰地描述数学对象或现象。

- 普适性：一个数学概念应该适用于所有相关的数学对象或现象。

- 抽象性：一个数学概念应该是一个抽象概念，与具体的数学
对象和现象无关。

实践方法
以下是一些数学概念教学的实践方法：
引入故事
教师可以通过引入故事的方式来介绍数学概念。

通过一个具体的故事，帮助学生更好地理解数学概念的应用场景和意义。

实际操作
教师可以通过实际操作的方式来加深学生对数学概念的理解。

例如，学生可以通过实际测量来研究几何图形的周长和面积。

定义和例子
教师可以通过定义和例子的方式来介绍数学概念。

首先，教师需要给出一个清晰准确的定义，然后提供一些具体的例子来帮助学生更好地理解概念。

结论
通过以上几种实践方法，我相信学生们可以更好地理解数学概念。

教师们可以根据自己的实际情况选择适合自己的教学方法，帮助学生更好地掌握数学知识。

谢谢大家！。

数学教案高中概念分析模板学科：数学年级：高中课题：概念分析教学目标：1. 能够理解和解释概念的定义和特性2. 能够运用概念进行问题的解决3. 能够辨别不同概念之间的关系和联系教学重点：1. 概念的定义和特性2. 概念之间的关系和联系教学难点：1. 运用概念解决实际问题2. 把握概念之间的细微差别教学准备：1. 教材：高中数学教科书2. 教具：黑板、彩色粉笔、学生作业本教学内容与流程：教师先向学生介绍概念分析的重要性和意义，激发学生对概念的兴趣。

第一步：引入概念（10分钟）教师通过一个生动的例子引入一个具体的数学概念，让学生感受到概念在解决问题中的重要性。

第二步：概念的定义和特性（20分钟）教师向学生介绍这个概念的定义和特性，让学生理解概念的含义和范围。

第三步：应用概念解决问题（30分钟）教师带领学生运用这个概念解决一些相关的问题，在解题过程中引导学生理解概念的实际意义和应用方法。

第四步：概念之间的关系和联系（20分钟）教师对比不同概念之间的关系和联系，让学生能够清楚地区分不同概念之间的差异和联系。

第五步：小结与作业（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调概念分析在数学学习中的重要性，布置相关作业。

教学方式与方法：1. 讲授法：教师通过讲解和举例子的方式向学生介绍概念的定义和特性。

2. 合作学习：教师组织学生进行小组合作，共同讨论解决问题。

3. 提问导向：教师提问引导学生思考，促进学生对概念的理解。

评价与反思：教师可以根据学生的课堂表现和作业情况进行评价，了解学生对概念的掌握情况。

同时，可以针对教学效果及时反思，调整教学方法，提高教学质量。

浅谈小学高年级数学概念教学李洁数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映。

按概念的抽象水平可以将概念分为描述性概念和定义性概念两类。

描述性概念是可以直接通过观察获得的概念，如“长方形”等；定义性概念的本质性特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示，如“偶数”就是通过定义“能被2整除的数叫做偶数”来揭示偶数的本质特征的。

不管是哪一类概念，都是小学生掌握数学基本知识和基本技能的基石，都将直接影响以后继续学习及思维能力的发展。

一、描述性概念数学要直观形象。

一般来说，学生学习概念是从感知学习对象开始的，经过对所感知材料的观察、分析或通过语言文字的形象描述所唤起的回忆，在头脑中建立学习对象的正确表象，才引入概念。

小学生对事物的认识是从具体到抽象,从感性到理性,从特殊到一般的逐步发展过程。

小学生的思维还处于具体形象思维阶段。

小学数学中的许多概念,都是从小学生比较熟悉的事物中抽象出来的。

描述性概念的讲授方法必须从学生现有的生活经验出发,坚持直观形象的原则。

如:在学习长方形之前,学生已初步的接触了直线、线段和角,给学习长方形打下了基础。

教学长方形的认识时可以利用桌面、书面、黑板面等让学生观察,启发学生抽象出几何图形。

从中总结出这些图形的共同特点:(1)都有四条边;(2)对边相等;(3)四个角都是直角。

这样使学生在头脑之中形成对边相等、四个角都是直角的四边形是长方形的概念。

二、定义性概念教学要准确推敲。

数学是一门严密而精确的科学，特别是有关概念具有更强的“压缩性”。

字里行间包含着深刻的内涵，丰富的思想内容和数学思想方法，因此在定义性概念教学中，要指导学生咬文嚼字、准确推敲关键词语的涵义。

例如在教学互质数时，教师在引导学生对几组数，如“4和7”、“10和9”、“25和18”的公约数的观察的基础上，引入互质数“公约数只有1的两个数叫做互质数”的概念。

然后，老师要引导学生认真推敲，对互质数的这个概念要弄清：（1）它是两数之间的一种关系。

小学数学中概念教学法的几点思考概念是客观事物的本质属性在人们头脑中的反映，概念教学的过程是认识从感性上升到理性的过程。

小学生年龄小，生活经验不足，知识面窄，构成了概念教学中的障碍。

而数学概念又是小学数学基础知识的一项重要内容，是学生理解、掌握数学知识的首要条件，也是进行计算和解题的前提。

因此，重视数学概念教学，对于提高教学质量有着举足轻重的作用。

如何搞好小学数学概念教学，我粗浅地谈谈自己的一些看法。

一、概念教学的实践意义进行小学数学概念教学策略的研究，一方面，会在一定程度上丰富我国小学数学的教育理论；另一方面，通过对小学数学教师概念、教学现状的研究及总结，也为今后探讨我国小学数学概念教学的理论提供了一些新的依据。

在丰富的理论支持下，深入小学进行调查实践活动，可以对小学数学教师进行概念教学提供有效的指导，并可给小学数学教师进行概念教学提供新的思路。

虽然在许多文章中研究者都有提到现阶段概念教学的现状，有的文章更是大篇幅的描述现阶段存在的问题，但是并没有明确指出是通过何种途径发现的这些问题，只是从理论上进行分析和阐释，并没有提供可以考察的数据以及调查方法，这种情况不免有些武断，对于后续的研究极为不利。

对概念教学引入阶段的研究非常多，出现了许多单独研究的文章，各种方法也层出不穷，形成了一些值得借鉴的教学策略；对于讲解阶段的研究虽然成果不算丰富，但是也有一些研究者详细地论述了这一阶段的教学方法；而对于巩固阶段的研究却寥寥无几，只有少数研究者在概念教学整体的研究中稍微提及，却无深入探讨，这种不均衡状态急需改变。

二、结合生活实际引入概念数学来自现实生活，学生的周围处处有数学，结合生活实际引入概念是一个有效的途径。

在小学教学中有很多数量关系都是从具体生活中表现出来的，因此，教师在教学中要充分结合学生的生活实际，把抽象的内容转变成具体的生活知识，在学生思维过程中强化抽象概念。

小学生从掰手指到简单地运用计算机，都是在生活中不断总结而学习获得的。