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正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族.正交多项式是数学研究领域热点之一.许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫(Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory，such as proof of the conjecture of Bieberbach，data fitting，mathematical physics，theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials。
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
jacobi正交多项式的一些性质Jacobi正交多项式是一类重要的正交多项式，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用。
Jacobi正交多项式的一些性质如下：1、Jacobi正交多项式是一类完全正交的多项式，它们满足Jacobi正交性质：$$\int_{-1}^{1}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)P_m^{(\alpha,\beta)}(x)w(x)dx=0,\quad n\neq m$$其中$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$是Jacobi正交多项式，$w(x)$是Jacobi权函数。
2、Jacobi正交多项式的系数可以用递推公式求得：$$a_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}a_{n-1}$$其中$a_n$是Jacobi正交多项式的系数，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
3、Jacobi正交多项式的零点可以用递推公式求得：$$x_n=\frac{-b_n+\sqrt{b_n^2-4a_nc_n}}{2a_n}$$其中$x_n$是Jacobi正交多项式的零点，$a_n$、$b_n$和$c_n$是Jacobi正交多项式的系数。
4、Jacobi正交多项式的最大值可以用递推公式求得：$$M_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}M_{n-1}$$其中$M_n$是Jacobi正交多项式的最大值，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
以上就是Jacobi正交多项式的一些性质，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用，为科学研究和工程应用提供了重要的理论支持。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用1.正交性：正交多项式之间的内积为0，即不同正交多项式之间有正交关系。
2.归一性：每个正交多项式的范数等于1，即所有正交多项式的平方和为13.递推关系：正交多项式之间具有简洁的递推关系，可以通过递推公式生成后续的正交多项式。
4.零点分布：正交多项式的零点在实数轴上严格交替分布，即相邻的正交多项式在零点处的值交替改变符号。
1.函数逼近与插值：正交多项式可以作为基函数用于函数逼近和插值，通过调整正交多项式的系数来逼近或插值给定的函数。
由于正交多项式的特殊性质，可以在相对较少的基函数数量下获得高精度的逼近效果。
2.数值积分：正交多项式在数值积分中起到关键作用。
以高斯积分为例，通过选择一组与被积函数正交的多项式作为基函数，可以将积分问题转化为求解线性方程组的问题，从而得到精确的数值积分结果。
3.求解微分方程：正交多项式可以用于求解各类微分方程，包括线性常微分方程、偏微分方程以及边值问题等。
通常，通过选择一组适当的正交多项式作为试探函数，可以将微分方程转化为求解线性代数方程组的形式，从而得到微分方程的解析解或数值解。
4.物理建模：正交多项式在物理建模中扮演重要角色。
例如，在量子力学中，氢原子的波函数可以用于描述电子在氢原子中的运动，而这些波函数正是利用正交多项式（如勒让德多项式和拉盖尔多项式）构造得到的。
总结起来，正交多项式不仅具有特殊的性质，还在科学计算中有广泛的应用。
它们适用于函数逼近、数值积分、求解微分方程以及物理建模等领域，通过选择适当的正交多项式作为基函数或试探函数，可以显著提高计算精度和效率。
因此，正交多项式在科学计算中是一种非常有用的工具。
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
正交多项式的性质（李锋，1080209030）摘要：本文主要阐述了由基},,,,,1{2nx x x 按G-S 正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。
正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram 矩阵的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。
同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。
因而，有必要分析正交多项式有用的性质。
在区间],[b a 上，给定权函数)(x ρ，可以由线性无关的一组基},,,,,1{2 nx x x ，利用施密特正交化方法构造出正交多项式族{∞0)}(x n ϕ，由)(x n ϕ生成的线性空间记为Φ。
对于],[)(b a C x f ∈，根据次数k 的具体要求，总可以在Φ在找到最佳平方逼近多项式)(*x k ϕ。
)(x n ϕ的具体形式为：2,1,)(),(),()(;1)(100=-==∑-=n x x x x x n k k k k k n nn ϕϕϕϕϕϕ这样构造的正交多项式)(x n ϕ具有以下一些有用的性质： 1.)(x n ϕ为最高次数项系数为1的n 次多项式；2. 任一不高于n 次的多项式都可以表示成∑=nk kkx 0)(ϕα；3. 当m n ≠时，0),(=m n ϕϕ；且)(x n ϕ与所有次数小于n 的多项式)(1x p n -正交，即0)()()(1=-⎰dx x p x x n nbaϕρ，其中)(x ρ为权函数；4. 存在递推关系： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，其中：,2,1,),(),(,)()(),(,,1,0,),(),(0)(,1)(11210=======---⎰n dx x x x x n x x x n n n n n b a n n n n n n n n ϕϕϕϕβρϕϕϕϕϕϕϕαϕϕ这里推论：（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根； （2）设0x 为正交多项式1+n ϕ的一个根，则)(02x n +ϕ和)(0x n ϕ异号；5.n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中；6. 假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。
下面来对以上的性质加以证明。
首先对于前3条性质，由)(x n ϕ的生成方式，线性空间与基的性质，函数正交的概念，显而易见它们是成立的。
性质（4），递推关系的证明： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，证明：由于)(x x n ϕ是1+n 次多项式，因此可以由110,,,+n ϕϕϕ 线性表出，即,)()()(01∑=++=nj j j n n x c x x x ϕϕϕ （1）其中j c 为常系数。
将上式两边同乘以2,,1,0),()(-=n s x x s ϕρ，并积分有：⎰⎰∑⎰=++=bab anj s j js n bas n dx x x x cdx x x x dx x x x x 01)()()()()()()()()(ϕϕρϕϕρϕϕρ上式左端当2,,1,0-=n s 时，)(x x s ϕ的次数小于n ，从而由正交性质得出积分值等于零。
同样右端第一个积分也为零。
于是，当2,,1,0-=n s 时，上式就变为∑⎰==nj bas j j dx x x x c 00)()()(ϕϕρ令0=s ，由正交性可知上式变为：⎰=ba o dx x x c 0)()(20ϕρ，从而00=c 。
同理，当s 依次为2,,2,1-n 时，可以推出0=s c ，于是（1）式就可以简化为：),()()()(111x c x c x x x n n n n n n ϕϕϕϕ++=--+ （2）下面来确定1,-n n c c 。
在（2）式两边同乘以)()(1x x n -ϕρ并积分，得：⎰⎰---=baban n n n dx x x c dx x x x x )()()()()(2111ϕρϕϕρ由（1）式，可以得到下面的关系：∑-=-+=11),()()(n j j j n n x b x x x ϕϕϕ 其中j b 为常系数.将上式代入（2）式中可以得到()),/(,)()(/)()(112121----=⎰=⎰n n n n ba n ba n n dx x x dx x x c ϕϕϕϕϕρϕρ；同理用)()(x x n ϕρ同乘以（2）式两端并积分，可得()),/(,)()(/)()(22n n n n ba n ba n n x dx x x dx x x x c ϕϕϕϕϕρϕρ=⎰=⎰；将1,-n n c c 代入（2）式并整理可以得到结论。
推论（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根；证明：反证法。
假设2+n ϕ和1+n ϕ有公共根，任取一个记*x 。
则由性质（4）可知也为*x n ϕ的一个根。
如此类推下去，必有所构造的所有正交多项式组均有一个公共的根*x 。
显然这是不对的，故假设不成立。
所以没有公共根。
推论（2）由性质（4）可以直接推出。
性质（5），n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中。
证明：令1≥n ，假定)(x n ϕ在),(b a 上不变号，则⎰⎰≠=baban n dx x x x dx x x 0)()()()()(0ϕϕρϕρ.这与正交性相矛盾。
故至少存在一点),(1b a x ∈使得0)(1=x n ϕ。
若1x 是重根，则21)/()(x x x n -ϕ为2-n 次的多项式。
由正交性可知：⎰=-ban n dx x x x x x ;0])/()()[()(21ϕϕρ但上式另一方面却有：⎰⎰>-=-baban n n dx x x x x dx x x x x x ;0)]/()()[(])/()()[()(2121ϕρϕϕρ从而可知1x 只能为单根。
假设)(x n ϕ在),(b a 内只有j 个单根)(,,,21n j x x x j < ，则有2222121)()())(()())()((j j n x x x x x x x q x x x x x x x ---=--- ϕ，对上式两端乘以)(x p 并积分，则左端由于)())((21j x x x x x x --- 的次数小于n ，因此积分值为零；但对于右端来说，由于)(x q 在),(b a 上不变号，所以积分值不为零。
从而由这个矛盾推出n j =。
性质（6）假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。
证明：采用归纳法。
设1=n ,)1(1x 表示多项式)(1x ϕ的根，很明显为唯一，由性质（5）可知b x a <<)1(1； 多项式)(0x ϕ为1（对于首项不为1的正交多项式组也必是正常数）。
由上述的推论（2）可知，)()1(12x ϕ为负数；另一方面，)(2a ϕ和)(2b ϕ都是正的，因为)(2x ϕ必可表示为b x x a x x x x <<<--)2(2)2(1)2(2)2(1),)((。
于是在闭区间],[],,[)1(1)1(1b x x a 上)(2x ϕ在端点上均异号，从而它的2个根分布必为b x x x x a <<<<)2(2)1(1)1(1)2(1,，从而1=n 时命题成立。
在归纳之前先考虑这样的关系成立：⎪⎩⎪⎨⎧<>>为奇数；为偶数；为任意值；n a n a n b nnn ,0)(,0)(,0)(ϕϕϕ假设1,≥=k k n 时命题成立，当1+=n k 时记点b x x x a k k k k ,,,,,)1(1)1(2)1(1++++ ；在a 点，)(2a k +ϕ和)(a k ϕ符号相同，在)1(1+k x 处异号，但)(x k ϕ在),()1(1+k x a 上没有根（由假设成立），即)(a k ϕ与)()1(1+k k x ϕ同号。
又由于)(a k ϕ与)(2a k +ϕ同号，)()1(1+k k x ϕ与)()1(12++k k x ϕ异号，所以有)(2a k +ϕ和)()1(12++k k x ϕ异号，故)(2x k +ϕ在),()1(1+k x a 上必有一个根。
在)1(2+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，而)(x k ϕ在)1(1+k x 和)1(2+n x 之间有一个根，记为)(1k x ，所以)(x k ϕ在)1(1+k x ，)1(2+n x 点变号。
在)1(1+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，从而有)(2x k +ϕ在点)1(1+k x ，)1(2+n x 变号，即)(2x k +ϕ在),()1(2)1(1++k k x x 上有一个根。
如此类推下去，可知在区间),(),,(,),,(),,()1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1b x x x x x x a k k k k k k k k k ++++++++ 上)(2x k +ϕ均有一个根，共k+2个。
而)(2x k +ϕ也只能有k+2个根，所以它的根的分布满足命题的规定。
从而命题得证。
参考资料：1. 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海 ：复旦大学出版社， 1996；2. 李庆扬，关治，白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版社，2000；3. 周国标，宋宝瑞，谢建立．数值计算．北京：高等教育出版社，2008；4.莫国端, 刘开第．函数逼近论方法．北京：科学出版社，2003。
