8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)电子教案

【课题】8.1两点间的距离与线段中点坐标【学习目标】1、掌握平面内两点间的距离公式和中点公式2、能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【学习重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【学习难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【课时安排】 2 课时【课堂过程】课前准备(预习46页一一48页，找出疑惑的地方)复习(如图)在数轴上有两点x i =巧公2=7，贝卩=新知1:两点间的距离公式平面直角坐标系中，已知两点P i(x i，yj , P2(X2,y2)，两点距离公式为P1P2I =1(X2 —X i)2 +M -y i)2说明(1)如果P1和P2两点在X轴上或在平行于X轴的直线上，两点距离是x2 -x1⑵如果P i和P2两点在y轴上或在平行于y轴的直线上，两点距离是目2一*试一试1:求平面上两点A(6,2) , B(5,3)间的距离|AB =试一试2:求下列两点间的距离:(1) A(—2,0), B(2,0) ⑵A(0,3), B (0,-7)(3) A(—2,3), B(2,4) ⑷ A( —5,9), B (8,6)试一试3:已知A(a ,3),点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB =12= 12,求a的值新知2：线段的中点公式点RXy)，P2(X2°2)之间所连线段的中点P坐标为% y2说明公式对于P i和P2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3:求下列两点的中点坐标(1)A(-2,3), B(2,13 ) ⑵ A(-15,9), B(18 ,6)(二)典型例题: 已知三角形的顶点是，A (1,0), B (-2,1), C (0,3)，求此三角形两条中线CE和AD的长度(解题过程在书4 8页)【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点，P1(X1,yJ , p2(X2,y2)两点距离公式为2、点P1(X1,y1), p2(X2,y2)之间所连线段的中点P坐标为巩固练习：1、已知下列两点，求AB及两点的中点坐标(1) A (8, 6), B (2, 1) (2) A (-2 , 4) B (-2 , -2 )3、已知A(-4 , 4) , B(8, 10)两点，求两点间的距离AB4、已知下列两点，求中点坐标：(1) A (5, 10), B (-3 , 0) (2) A (-3 , -1 ), B (5, 7)5、已知点A (-1 , -1 ), B (b, 5),且 | AB =10,求b 的值6、已知A在y轴上，B (4, -6 ),且两点间的距离|AB =5,求点A 的坐标7、已知A (a, -5 )，点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB=17 求a。

探究一：如图所示，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2) .如何求两点之间的距P1P2？
通过求向量的模得到向量两个端点间的距离，从而推导出平面上两点间的距离公式。
（一）平面上两点间的距离公式
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
就是平面上任意两点P1，P2间的距离公式这,简称为两点间距离公式.
解：设Ｍ点的坐标为（Ｘ，Ｙ）
则根据中点坐标公式有：
即Ｘ＝５，Ｙ＝６
所以Ｍ点的坐标为（５，６）
本节课主要学习了：
１）直角坐标系中两点间的距离公式．
２）直角坐标系中两点的中点公式．
1）书上６８页习题１、２、３、４、５写在作业本上。
2）预习８．２直线的倾斜角和斜率。
（例题精讲）
四、课堂小结：
五、作业布置：
复习提问：（１）向量 的模是多少？
（２）
引入：如图所示．大海中有两个小岛，一个在灯塔东60 n mile偏北80 n mile的P1点处，另一个在灯塔西10 n mile偏北55 n mile的P2点处．
那么如何确定这两岛之间的距离呢？
组织学习讨论，并给往向量长度（模）上引导。
教学重点
两点间距离公式及其应用；中点公式及其应用．
教学难点
两点间距离公式的灵活应用
更新、补充、删节内容
课外作业
教学反思
授课主要内容或板书设计
８．１两点间距离公式及其中点公式
一、平面上两点间距离公式
二、中点坐标公式
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
一、温故知新、情境导授新课）
授课章节
名称
８．１两点间距离公式及中点公式
授课课时
2
授课形式
数形结合

第____次课教案
章节
§8-1 两点间距离公式
___月___日第___周星期___ 课型
新授
教时
1
1. 知识目标：掌握两点间的距离公式； 2. 能力目标：能借助“数形结合”的方法，培养学生解决问题的能
教学目的
力并提高其计算能力； 3. 情感目标：通过学生自主的探索活动，获得新知识，让学生感受 到成功的喜悦，从中培养他们的创新意识。
教学重点
两点间距离公式
教学难点
两点间距离公式的实际运，了解学生预习情况
授课主要内容及板书设计
§8.1 两点间距离公式 1.两点间距离公式 | PP |= ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 1 2 例 练习
教学札记
1
教学过程与内容
教法、学法
一、导入 过两个已知点 A,B 能唯一确定一条直线， 我们可以画出这条 直线 l，但却不会用某种数学形式来刻划出直线 l 的特性； 平面解析几何能把平面几何图形数字化， 即能用数字来描述 几何图形和它的特性； 本章将对最基本的几何图形——直线和圆 作出探求 研究直线前我们要先做些准备工作， 本节课我们来探讨如何 求两点间的距离。 二、新授 探究 P64 实际问题转化为数学问题，利用已知向量知识推导出两点 间距离公式。 1. 两点间的距离公式 已知平面内两点 P1 (x1,y1), P2 (x2,y2)，则 | PP |= ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ． 1 2 典型例题 例 1 P64 解题思路：直接运用两点间距离公式。 例 2 P64 解题思路：直接运用两点间距离公式。 注：本题可以画图，开始就帮助学生养成数形结合的思考习惯。 问题解决 P65 学生思考、解答 练习：P65 三、小结 两点间的距离公式 四、布置作业 熟记公式，预习

【课题】8．1 两点间的距离公式及中点公式【教材说明】本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。

平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科,第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识.它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识.【学情分析】学生是一年级数控中专班,上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。

【教学目标】知识目标：1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2。

掌握两点间的距离公式与中点坐标公式．能力目标:用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．情感目标:通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生的思考能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用．【教学难点】两点间的距离公式的理解．【教学备品】三角板．【教学方法】讨论合作法【课时安排】2课时．（90分钟)【教学设计】针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣。

在例题和练习的安排上多画图,努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。

这也恰恰和学生本身的专业比较符合,学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解.同时在教学中经常用分组讨论法,探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。

两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．大海中有两个小岛，PP的模离能不能用12教师在学生探究的投影距离公式，(教学设计)开始时的复习引入学生反应不是很好，前面的向量知识学生掌握不熟练,后面的公式推导不是很顺畅.所以在前面向量部分讲到这个知识点一定要强调，注重前后章节的联系。

两点间距离公式与线段中点的坐标【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题8．1 两点间的距离与线段中点的坐标*创设情境 兴趣导入【知识回顾】平面直角坐标系中，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则122121(,)=--PP x x y y ．介绍质疑引导 分析了解思考启发 学生思考0 15*动脑思考 探索新知 【新知识】我们将向量12PP 的模，叫做点1P 、2P 之间的距离，记作12PP ，则 22121212122121||()()===-+-PP PP PP PP x x y y （8．1） 总结 归纳思考 记忆 带领 学生 分析25 *巩固知识 典型例题例1 求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离． 解 A 、B 两点间的距离为 []22||(32)1(5)61AB =--+--=说明 强调引领讲解 说明 观察思考主动求解通过例题进一步领会第1题图01⎨-=⎩y y +x过 程行为 行为 意图 间一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，则线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为121200,.22x x y y x y ++== （8．2） *巩固知识 典型例题例2 已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标．分析 如图8－2所示，首先求出线段ST 的中点Q 的坐标，然后再求SQ 的中点P 及QT 的中点R 的坐标．解 设线段ST 的中点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，则由点S （0，2）、点T （−6，−1）得0(6)32Q x +-==-，2(1)122Q y +-==．即线段ST 的中点为Q 13,2-（）． 同理，求出线段SQ 的中点P 35,24-（），线段QT 的中点91,24R --（）． 故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91,24R --（）． 例3 已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．解 设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、(0,3)C 得 (2)012D x -+==-，1322D y +==，故 22||(11)(20)22,AD =--+-= 即BC 边上的中线AD 的长度为22．说明 强调引领讲解 说明引领分析观察思考主动 求解观察通过例题进一步领会 注意观察学生是否理解 知识 点图8－2【教师教学后记】。

课 堂 教 学 安 排【教学过程】第一课时：两点间距离公式（一） 问题情境问题：设A ,B 为平面上两点，A ,B 两点间的距离？1、 若A ,B 都在x 轴(数轴)上，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为|AB |=|x 2-x 1|．同理，若A ,B 都在y 轴上坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离|AB |=|y 2-y 1|．2、若A ,B 至少有一点不在坐标轴上，设A , B 的坐标为A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)．法1：|AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1|，由勾股定理|AB |=22BC AC +=221221)()(y y x x -+-．法2：（二）新知探究平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则 |AB |=221221)()(y y x x -+-． (公式1)（三）例题评析分析： x 1=1, y 1=-2；x 2=3, y 2=5，应用公式1，|AB |=)()(21221y y x x -+-例2、已知△ABC 的顶点分别为 A （2,6）B （-4,3）C （1,0），求△ABC 三条边的长。

分析：根据两点间距离公式，课内练习1：P652121(,),(AB x x y y ABx =--=-则1(1,2)(3,5)AB .A B -例、已知点，，求线段的长度第二课时：中点坐标公式（一）问题情境问题：设P 1（x 1,y 1），P 2(x 2,y 2)为平面直角坐标系内的任意两点，P(x,y)为线段P 1P 2的 中点坐标，则点P(x,y)？分析：（二）新知探究中点坐标公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，P （x,y ）为线段AB 的中点 则2,22121y y y x x x +=+= （三）例题评析例3、例4、 已知线段MN ，它的中点坐标是（3，2），端点N 的坐标是（1，-2），求另一个端点M 的坐标。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容2. 数轴上的距离公式探究一如图，填空：（1）图中点A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，点D的坐标是；（2）点A与B之间的距离= ，点C与A 之间的距离= ，点B与C之间的距离= ；（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？一般的，设点（,）、（,）为直角坐标系平面上的任意两点，则=（,）, =（,）,以为始点，为终点，作向量，则由，得（）,那么、两点间的距离就是向量的模。

由向量内积的性质，有：=()()222121x x y y-+-这就是平面上任意两点、间的距离公式，简称两点间距离公式。

x0 1 2 3 4－1－2－3－4●●C A D●●B教学内容三例题讲解例1已知点M(8，10)，N(12，22)，求线段MN 的长度。

解：根据两点间距离公式，得：|MN|=()()221282210=410-+-例2 已知 ABC的顶点A（2，6）、B（-4，3）C（1，0），求 ABC三边长。

解：根据两点间距离公式，可得 ABC三条边的长度为：四练习巩固P65 练习T11.填空（1）原点O（0,0）到点P（2，-2）的距离是_______。

（2）已知两点A（1,3）和B（2,0），则线段AB的长度是______。

（3）已知两点（-6，-2）、（-4,5），则、间的距离是_______。

（4）已知点M（0,8）和N（2.-1），则线段MN的长度是_______。

问题解决：P65。

*巩固知识 典型例题
例 1 求 A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．
解 A、B 两点间的距离为
| AB | (3 2)2 1 (5)2 61
*运用知识 强化练习 1．请根据图形，写出 M、N、P、Q、R 各点的坐标．
2．在平面直角坐标系内，描出下列各点：
B(3, 4) 、 C(5, 7) ．并计算每两点之间的距离．
．
3 第 8 章 直线和圆的方程（教案） 侯 瑞 民
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

例2求下列两点的线段的中点坐标
（1）
解：（1）根据中点坐标公式得：
，
（2）
解：（2）根据中点坐标公式得
，
8.跟踪练习 练一练
9.点评
10.例3已知 ，求三角形 中 边上的中线长.
解：设 是 边上的中点，根据中点坐标公式
即点 的坐标是
再由两点间距离公式，得
师:分析给出公式
生:思考回答
师:讲解例题
生:听解并掌握公式
生:上黑板做练习
师：点评
师：介绍公式
师：分析例子
生：边听边记公式
生：上黑板做练习
师：讲评并教学生记忆公式
理解公式为求距离准备
巩固所学知识，学以致用
掌握公式为求线段中点坐标准备
巩固所学知识，学以致用
小
结
两点间距离公式和中点坐标公式
师生合作．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
练习
巩固拓展．
广西机电工程学校教案
本课题共3页
课题
8.1两点间距离公式及中点坐标公式
授课顺序
第1周
授课班级
数媒101班
目的及要求
1、掌握两点间距离公式及中点坐标公式
2、培养学生的数形结合思想、分类讨论的思想及公式应用能力。
3、通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
师：复习提问
生:自由回答
复习旧知识为学习新知识准备
新
课
新
课
1、一般地，如果 轴上的两点 与 的坐标分别 ，那么 与 的距离为
2.平面直角坐标系内任意两点 间的距离公式：
想一想：

两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标：1. 让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式计算两点间的距离。

2. 让学生理解线段中点的概念，并能够运用中点公式计算线段的中点坐标。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 两点间的距离公式：设两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则两点间的距离d为：d = √((x2 x1)²+ (y2 y1)²)2. 线段中点公式：设线段的两个端点为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则线段的中点M的坐标为：M( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )三、教学重点与难点：1. 教学重点：两点间的距离公式和线段中点公式的掌握。

2. 教学难点：两点间的距离公式的推导和线段中点公式的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索，发现两点间的距离公式和线段中点公式。

2. 利用多媒体课件和几何画板软件，直观地展示两点间的距离和线段中点的计算过程。

3. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾坐标系的基础知识，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：讲解两点间的距离公式和线段中点公式的推导过程。

3. 例题讲解：讲解几个典型的例题，让学生理解并掌握两点间的距离和线段中点的计算方法。

4. 练习题：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调两点间的距离公式和线段中点公式的应用。

6. 作业布置：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对两点间距离公式和线段中点公式的理解和掌握程度。

2. 通过提问，了解学生对公式推导过程的理解。

3. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对知识的掌握和应用能力。

七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，以便更好地帮助学生理解和掌握知识点。

两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标1. 让学生理解两点间的距离公式，并能够运用该公式计算两点间的距离。

2. 让学生掌握线段中点的坐标公式，并能够运用该公式求解线段的中点坐标。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 两点间的距离公式：设两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则两点间的距离d可以表示为：d = √((x2 x1)²+ (y2 y1)²)。

2. 线段中点的坐标公式：设线段的两个端点为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则线段的中点M的坐标为：M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。

三、教学重点与难点1. 教学重点：两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的理解和运用。

2. 教学难点：两点间的距离公式的推导和线段中点坐标公式的推导。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来发现和理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式。

2. 利用几何图形和实际例子，帮助学生直观地理解和记忆公式。

3. 通过练习题和小组合作活动，巩固学生的理解和运用能力。

五、教学步骤1. 引入：通过提问方式引导学生回顾坐标系和点的坐标的基础知识。

2. 讲解两点间的距离公式：解释公式中各个变量的含义，并通过几何图形和实际例子来说明公式的推导过程。

3. 讲解线段中点的坐标公式：解释公式中各个变量的含义，并通过几何图形和实际例子来说明公式的推导过程。

4. 练习题：给出一些题目，让学生独立完成，巩固对公式的理解和运用能力。

5. 小组合作活动：让学生分组讨论和解决一些实际问题，如计算线段的长度和求线段的中点坐标等。

六、教学评估1. 课堂练习：通过实时解答学生提出的练习题，评估学生对两点间距离公式和线段中点坐标公式的理解和运用能力。

2. 小组讨论：观察学生在小组合作活动中的参与程度、思考过程和解决方案，评估学生的合作能力和问题解决能力。

第____次课教案
章节
§8-1 中点公式
___月___日第___周星期___ 课型
新授
教时
1
1. 知识目标：掌握中点公式； 2. 能力目标：能借助“数形结合”的方法，培养学生解决问题的能
教学目的
力并提高其计算能力； 3. 情感目标：通过学生自主的探索活动，获得新知识，让学生感受 到成功的喜悦，从中培养67 三、小结 中点公式 小结 四、布置作业 1. P68 习题 1.2.6. 2. 复习与预习
2
x1 x2 x 2 y y 1 y2 2
教法、学法
回答
提出问题 思考
讲解推导 理解记忆
典型例题 例 3 P66 解题思路：直接运用中点公式。 例 4 P66 解题思路： 本题可以画图， 帮助学生从数形结合方面理解题意。 提问提示 例 5 P66 解题思路：本题可以画图，帮助学生从数形结合方面理解题 意。 思考交流 P67 求中线的长的问题，有一定的综合性，注意在数形结合中启 发学生。
教学重点
中点公式
教学难点
中点公式和距离公式的综合运用
教具及准备工作
收集教学资料，了解学生预习情况
授课主要内容及板书设计
§8.1 中点公式 1.中点公式
x1 x2 x 2 y y 1 y2 2
例
练习
教学札记
1
教学过程与内容
一、复习 两点间距离公式 提问 二、新授 探究 P65 通过对上一章知识的回顾，引导学生思考中点坐标公式。 1. 中点公式 已知平面内两点 P1 (x1,y1), P2 (x2,y2)，P(x,y)为线段 P1 P2 的 中点，则

【课题】8. 1两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与小点处标公式；能力目标:用“数形结合”的方法，介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.【教学重点】两点I'可的距离公式为线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和屮点坐标公式是解析几何的基木公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式.讲授时可结合刚学过的向量的他标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上.例1是巩固性练习题.题目中，两个点的坐标既有正数，乂有负数.讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是朋标为负数的情况.例2是中点公式的知识巩固题目.通过连续使用公式(8.2),强化学生对公式的理解与运用.例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用.要突出“解析法”，进行数学思维培养.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】【知识回顾】平面直角坐标系中,设片(州，必)，P2(x29y2),则*动脑思考探索新知【新知识】我们将向量片£的模，叫做点心马之间的距离,记作P}P2，则I斥£ |=厢=J厢耶二血2—州)2 + (力一)、)2(8. 1) 质疑引导分析总结归纳*巩固知识典型例题例1求4 (-3, 1)、B (2, -5)两点间的距离.解A、B两点间的距离为| AB | = J(-3-2尸+[1_(—5)F =応k4-JUT3-TV------------ N1Q「4 - 1 -2 -1(? 1 2 3 4 Xb X-2•-3—4K第1题图※运用知识强化练习1•诘根据图形，写III M. N、P、Q、R各点的坐标.2.在平面直角坐标系内，描出下列各点:4(1,1) 5(3,4) > C(5,7)・并计算每两点之间的距离.*创设情境兴趣导入【观察】说明强调引领讲解说明提问巡视指导行为思不思考记忆观察思考主动求解思考口答启发学生思考带领学生分析通过例题进一步领会反复强调15253038练习8. 1. 1第2题的计算结果显示,冃 B C|=||AC|.这说明点3是线段A3的中点，而它们三个点的朋标之间恰好存在关系※动脑思考探索新知【新知识】设线段的两个端点分別为』）和Bg」），线段的中点为M(x()，y())(如图8—1),则AM =(x0-x{,y0-y\),MB = (x2-x(),y2- y Q), ill 于M为线段AB的中点,AM = MB.即(x0一,>o 一〉i) =(x2 ~x o，>2 一>o》勺一兀1=勺一勺，丁0一必=乃一旳，解得兀o 2引导分析总结归纳仔细分析讲解关键词语行为W参与分析思考归纳理解记忆启发学生思考带领学生总结43•般地，设AO[j）、P2（x2,y2）为平面内任意两点,则线段百骂中点ACWo）的坐标为(8. 2)52 *巩固知识典型例题例2已知点S (0, 2)、点T (-6, -1),现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标.分析如图8—2所示,首先求出线段ST的中点0的坐标, 然后再求SQ的中点P及or的中点R的坐标.解设线段ST的中点Q的坐标为(切,)0),则由点S (0, 2)、点T (-6, -1)得说明强调引领讲解说明行为观察思考主动求解3 5中点P线段QT29 1的中点R(—,—) •2 43 5 I o |故所求的分点分别为心丽"(-3迈)、2〒盲)例3 已知AABC的三个顶点为4(1,0) > 3(-2,1)、C(0,3), 试求BC边上的中线AD的长度.解设BC的中点D的坐标为(x D,y D)，则由B(-2,1)、C(0,3)得什字7沪字・| AD |= 7(-1-1)2+(2-0)2 = 2迥,即BC边上的中线AD的长度为2血.*运用知识强化练习1.已知点A(2,3)和点3(&-3),求线段AB屮点的坐标.2.已知AABC 的三个顶点为A(2,2)、3(-4,6)、C(-3,-2), 求AB边上的中线CD的长度.引领分析说明启发引导提问观察思考求解思考了解动手通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点65教学过程教师行为学生行为教学意图时间3.已知点0（4,«）是点P（m,2）和点R（3,8）连线的中点,求m与n的值. 巡视指导求解识点75*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？结论：设平面直角坐标系内任意两点片（西,）0、£ （尢2，）‘2 ），则/?（西,牙）、P2（x29y2）的距离为（证明略）质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况80胡角|=Jg—兀］)2+(乃一”)2 •设片（31）、鬥（兀2*2）为平面内任意两点,则线段片£ 中点人（兀（）,儿）的坐标为v _兀1+七.._)i+)‘2 勺- 2宀0 - 2 -*归纳小结强化思想木次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导冋忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知点M（0,-2）,点N（-2,2）,求线段MN的长度，并写出线段MN的屮点P的坐标. 提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果86*继续探索活动探究（1）读书部分：教材（2）书而作业：教材习题8. 1 A组（必做）；教材习题8. 1 B组（选做）（3）实践调查：编写一道关于求屮点坐标的问题并求说明记录分层次要求90【教师教学后记】。

两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标：1. 理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式。

2. 能够运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 两点间的距离公式：两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离d可以表示为：d = √[(x2 x1)²+ (y2 y1)²]2. 线段中点的坐标公式：线段AB的两个端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的中点M的坐标可以表示为：M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)三、教学步骤：1. 导入：通过一个实际问题引入两点间的距离和线段中点的概念，例如：“在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(6, 7)，求点A和点B之间的距离以及线段AB的中点坐标。

”2. 讲解：讲解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的推导过程，让学生理解其含义和应用。

3. 示例：给出一个示例，让学生根据公式计算两点间的距离和线段的中点坐标。

4. 练习：让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。

四、作业布置：1. 请运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，解决一些实际问题。

2. 预习下一节课的内容。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生是否能够理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，以及能否运用到实际问题中，是教学效果的重要评价标准。

教师应通过作业批改和课堂提问等方式，了解学生的掌握情况，及时进行教学调整。

六、教学活动：1. 小组合作：学生分组讨论，尝试运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决复杂问题，如：给定三个点A、B、C，证明三角形ABC是等腰三角形。

2. 游戏环节：设计一个坐标系寻宝游戏，让学生在游戏中运用所学知识，寻找隐藏的宝藏。

3. 课堂展示：邀请学生上台展示他们运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题的过程和结果。

两点间距离公式与线段中点的坐标教案教案：两点间距离公式与线段中点的坐标一、引入两点间的距离是数学中一个重要的概念。

它用来描述两个点之间的空间距离或距离的度量大小。

在数学中，我们可以通过使用两点间的坐标来计算它们之间的距离。

本节课将介绍两点间的距离公式以及如何计算线段的中点坐标。

二、知识点1.两点间的距离公式两点之间的距离可以通过计算其坐标差值的平方和的平方根来获得。

设A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则它们之间的距离为d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

2.线段的中点在坐标平面中，线段的中点是指连接线段的两个端点的线段上点的坐标。

要计算线段的中点坐标，只需对线段的两个端点的x坐标和y坐标分别取平均值即可。

设线段的两个端点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段的中点C的坐标为C((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

三、教学过程1.导入引导学生回顾直线的斜率计算，并提问：在坐标平面中，如何计算两点之间的距离呢？引导学生思考，然后介绍两点间的距离公式。

2.讲解a)介绍两点间的距离公式，以一道题目为例进行讲解。

例题：已知点A(1,2)和点B(4,6)，求它们之间的距离。

b)利用两点间的距离公式进行计算，解题步骤如下：步骤1：根据题目条件，得到A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标值。

步骤2：代入两点间的距离公式d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)进行计算。

步骤3：计算得到d的值，并给出结论。

c)引导学生反思解题过程和实际意义。

3.训练指导学生进行相关练习，巩固两点间的距离公式的使用。

4.讨论a)引导学生讨论如何计算线段的中点坐标。

b)引导学生由线段的端点坐标出发，讨论如何计算线段的中点坐标，并举例说明。

c)帮助学生理解线段中点概念的几何直观意义，并加深对平均值的掌握。

5.讲解a)整理学生的讨论结果，给出计算线段中点坐标的公式。

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程师 行为生 行为 学 意图 间*揭示课题8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】平面直角坐标系中，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则122121(,)=--PP x x y y ．介绍 质疑 引导分析了解 思考启发 学生思考0 15*动脑思考 探索新知 【新知识】总思带过 程师 行为生 行为 学 意图 间我们将向量12PP 的模，叫做点1P 、2P 之间的距离，记作12PP ，则22121212122121||()()===-+-PP PP PP PP x x y y （8．1）结 归纳 考 记忆领 学生 分析25*巩固知识 典型例题 例1 求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离．说明 强观察通过过程师行为生行为学意图间解A、B两点间的距离为[]22||(32)1(5)61 AB=--+--=调引领讲解说明思考主动求解例题进一步领会3*运用知识强化练习1．请根据图形，写出M、N、P、Q、R各点的坐标．提问思考反复38第1题图。

． 【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：应用两点间距离公式与中点坐标公式，完成相关计算。

从而提升学生解决问题的能力与计算技能．情感目标：（1）经历借助于坐标法，利用代数的手段研究几何问题的认知过程，领悟“解析法” （2）体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例 1 是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例 2 是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例 3 是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．(90 分钟)【教学过程】教学过程教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间*揭示课题8．1两点间的距离与线段中点的坐标0*创设情境兴趣导入【知识回顾】平面直角坐标系中，设P(x,y)，P(x,y)，则111222介绍质疑了解PP=(x-x,y-y)．122121思考启发学生思考引导分析15*动脑思考探索新知【新知识】我们将向量PP的模，叫做点P、P之间的距离，记作1212总结归纳思考带领学生分析PP，则12|PP|=PP=PP PP=(x-x)2+(y-y)2 121212122121记忆25*巩固知识典型例题例1求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．解A、B两点间的距离为说明强调引领观察思考通过例题进一步领|AB|=(-3-2)2+[1-(-5)]2=61讲解说明主动求解会30*运用知识强化练习提问练习 8．1．1 第 2 题的计算结果显示， 质疑， 4 = 中点为 M ( x , y ) （如图 8－1），则 AM = ( x - x , y - y ),MB = ( x - x , y - y ), 由 于 M 为 线 段 AB 的 中 点 ， 则⎧ x 0 - x 1 = x 2 - x 0 , x + x解得 x 0 = ⎩ y 0 - y 1 = y 2 - y 0 ,2 21．请根据图形，写出 M 、N 、P 、Q 、R 各点的坐标．巡视思考口答 反复强调指导第 1 题图2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： A(1,1)、B(3,4) 、 C(5,7) ．并计算每两点之间的距离．*创设情境 兴趣导入38【观察】| AB |=| BC |= 1| AC | ．2思考引导 启发学生这说明点 B 是线段 AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存在关系引导分析 参与分析思考3 =1 + 5 1 + 72 243*动脑思考 探索新知【新知识】设线段的两个端点分别为 A( x , y ) 和 B( x , y ) ，线段的1 1220 0 0 1 0 1总结归纳思考归纳20 2 0AM = MB,即 ( x - x , y - y ) = ( x - x , y - y )， 即1 0 12 0 2 0y + y⎨ 12 , y = 1 2 ．0 带领学生总结2 2x = = -3 ，2y = = ． 2 2Q （ - 3, ）． 中点 P （- , ），线段 QT的中点 R （- , - ）． 故所求的分点分别为 P （- , ）、Q （ - 3, ）、R （- , - ）．yB(x 2, y 2)M (x 0, y 0)仔细 分析讲解 理解记忆A(x 1, y 1)Ox图 8－1一般地，设 P ( x , y ) 、 P ( x , y ) 为平面内任意两点，则111222关键词语线段 P P 中点 P ( x , y ) 的坐标为1252x = 0 x + x y + y1 2 , y = 1 02 .*巩固知识 典型例题例 2 已知点 S （0，2）、点 T （−6，−1），现将线段 ST 四等分，试求出各分点的坐标．分析 如图 8－2 所示，首先求出线段 ST 的中点 Q 的坐标， 然后再求 SQ 的中点 P 及 QT 的中点 R 的坐标．解 设线段 ST 的中点 Q 的坐标为 ( x , y ) ，QQ说明则由点 S （0，2）、点 T （−6，−1）得强调观察Q0 + (-6)引领通过例题 Q 2 + (-1) 1思考进一步领即线段 ST 的中点为讲解 会12说明主动求解同理，求出线段 SQ 的3 52 49 1 2 4图 8－23 5 1 9 1 24 2 2 4注意C(0,3) 得x = (-2) + 0 = -1 ， y = = 2 ， 2 21 )21 )2x = x + x 2 , y = 2 2例 3 已知 ∆ABC 的三个顶点为 A(1,0) 、B(-2,1) 、C(0,3) ，观察观察试求 BC 边上的中线 AD 的长度．解 设 BC 的中点 D 的坐标为 ( x , y ) ，则由 B(-2,1) 、 DD1 + 3D D 引领分析学生是否 理解 知识点故| AD |= (-1 - 1)2 + (2 - 0)2 = 2 2,说明思考求解65即 BC 边上的中线 AD 的长度为 2 2 ．*运用知识 强化练习1．已知点 A(2,3) 和点 B(8,-3) ，求线段 AB 中点的坐标．2．已知 ∆ABC 的三个顶点为 A(2,2) 、B(-4,6) 、C (-3, -2) ，求 AB 边上的中线 CD 的长度．启发引导提问 思考了解动手进一步领会知 3．已知点 Q (4, n ) 是点 P(m ,2) 和点 R(3,8) 连线的中点，求巡视 求解识点m 与 n 的值．*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？结论：指导75设平面直角坐标系内任意两点 P ( x , y ) 、 P ( x , y ) ，1 11222则 P ( x , y ) 、 P ( x , y ) 的距离为（证明略）111222质疑 回答 及时了解学生 知识| PP |= ( x - x1 22+ ( y - y 2．归纳强调掌握情况设 P ( x , y ) 、P ( x , y ) 为平面内任意两点，则线段 P P1 1122212中点 P ( x , y ) 的坐标为0 00 01 1 y + y 2.80*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆1 1*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？提问 反思检验学生 已知点 M (0, -2) ，点 N (-2,2) ，求线段 MN 的长度，并写 巡视 动手 学习出线段 MN 的中点 P 的坐标．指导求解效果86*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题 8． A 组（必做）；教材习题 8． 说明 记录 分层次要求B 组（选做）(3)实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解．【教师教学后记】90项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况 学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。