高中数学人教版必修两点间的距离教案(系列一)

人教高一数学教学设计之《3.3.2两点间的距离》一. 教材分析《高中数学新课程标准》是人教版高中数学教材的理论指导，该标准对高中数学的教学内容、教学方法、教学评价等方面都做了详细的规定。

其中，3.3.2《两点间的距离》是必修2中的一节内容。

本节内容主要介绍了两点间的距离公式，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。

学生通过本节内容的学习，能够理解两点间距离的概念，掌握两点间距离的计算方法，为后续的立体几何和解析几何的学习打下基础。

二. 学情分析高一学生已经学习了初中数学的大部分内容，对函数、几何等数学概念有了一定的理解。

但是，对于一些抽象的数学概念，如两点间的距离，学生可能还比较陌生。

另外，由于疫情的影响，学生的学习方式和学习习惯可能发生了变化，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习状态，引导学生逐渐适应高中数学的学习。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：两点间的距离公式的推导和应用。

2.教学难点：两点间的距离公式的灵活运用，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解两点间的距离概念。

2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思考，引导学生自主探索。

3.小组合作教学法：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括文字、图片、动画等，帮助学生直观地理解两点间的距离概念。

2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。

3.教学设备：准备投影仪、计算机等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如地图上的两个城市之间的距离，引导学生思考如何计算两点间的距离。

诚西郊市崇武区沿街学校解析几何初步两点间的间隔三维目的：知识与技能：使学生理解并掌握平面上任意两点间的间隔公式与推导过程，通过实例来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性。

过程和方法：通过两点间间隔公式的推导，使学生初步理解解析法证明，教学中浸透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想，使学生掌握如何建立适当的坐标系来解决相应问题培养学生探究发现问题的才能，充分体会数形结合的优越性。

情感、态度和价值观：通过节课的教学，使学生一步体会“数形结合〞，“转化与化归〞的数学思想方法；在探究的过程中，培养学生缜密思维和探究创新精神，树立联络的观点。

教学重点：两点间的间隔公式.教学难点：理解公式证明分成两种情况.教学过程：一、复习准备：1.提问：我们学习了有向线段，如今有问题是：假设A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们坐标分别是xA 、xB 、yC 、yD ，那么|AB|、|CD|又怎样求？(|AB|=|xB-xA|，|CD|=|yC-yD|)2.讨论：假设A 、B 是坐标系上任意的两点，那么A 、B 的间隔应该怎样求呢？二、讲授新课：1.教学两点间的间隔公式：①讨论：求B(3，4)到原点的间隔是多少？根据是什么(通过观察图形，发现一个Rt△，应用勾股定理可得到)②讨论：那么B 22(,)x y 到11(,)A x y 的间隔又是怎样求呢？根据是什么？根据①的方法猜想，②也构造成Rt△给出两点间的间隔公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，那么||AB =③例1：点(1,2),A B -(1)求||AB 的值(2)在x 轴上求一点P ，使||||PA PB =，并求||PA 的值〔讨论：点P 应该怎么设？怎样利用两点间的间隔公式？〕④练习：两点(2,5),(3,7)A B ,求||AB 的值,并在y 轴上求一点p ，使|||PA PB =⑤例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

两点之间距离公式教案一、教学目标1. 让学生理解两点之间的距离的概念。

2. 让学生掌握两点之间距离的计算公式。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 两点之间距离的定义。

2. 两点之间距离公式的推导。

3. 两点之间距离公式的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间距离的计算公式及应用。

2. 教学难点：两点之间距离公式的推导及理解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究两点之间距离的计算方法。

2. 利用几何画板软件，动态展示两点之间距离公式的推导过程。

3. 结合实际例子，让学生运用两点之间距离公式解决问题。

五、教学准备1. 几何画板软件。

2. 教学PPT。

3. 实际例子资料。

【教学环节】1. 导入：利用几何画板软件，展示两点之间距离的动态过程，引导学生思考两点之间距离的计算方法。

2. 新课讲解：讲解两点之间距离的定义，引导学生理解并掌握两点之间距离的概念。

3. 公式推导：利用几何画板软件，展示两点之间距离公式的推导过程，让学生直观地感受公式的得出。

4. 公式讲解：详细讲解两点之间距离公式，让学生明白公式的含义和应用。

5. 例题讲解：分析实际例子，运用两点之间距离公式解决问题，让学生学会运用公式解决实际问题。

6. 练习环节：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调两点之间距离公式的重要性。

8. 作业布置：布置课后作业，巩固两点之间距离公式的应用。

两点之间距离公式教案（续）六、教学环节1. 导入：回顾上节课的内容，通过几何画板软件展示两点之间距离的动态过程，引导学生复习两点之间距离的概念和公式。

2. 新课讲解：讲解两点之间距离公式的应用，引导学生学会如何将实际问题转化为数学问题，并运用公式解决。

3. 例题讲解：分析实际例子，运用两点之间距离公式解决问题，让学生学会运用公式解决实际问题。

4. 练习环节：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。

新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。

摘要：两点间的距离同步学案，主要有学习目标、重难点，学法指导，新知预习，学习探究，要点导学，活学巧用，巩固练习，整体感知关键词：新课标人教A 版、必修二、两点间的距离 学案新课标人教A 版高一必修二3、3、2两点间的距离同步学案【学习目标】1、理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；2、通过由特殊到一般的归纳，培养探索问题的能力【重点与难点】重点：两点间的距离公式和它的简单应用难点：用坐标法解决平面几何问题【学法指导】本节是利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。

在推导过程中，要注意数形结合的数学思想的运用。

【新知预习】1.设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP = 。

特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP = ；当所在直线与x 轴平行时，12PP = ；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ；当12,P P 在直线y kx b =+上时，12PP = .2. 设111222(,),(,)P x y P x y ,则线段12P P 的中点坐标__________3. 用坐标法解（证）题的步骤：（1） 。

（2）（3）（4）【学习探究】1、已知数轴上两点 A, B ，怎么求 A, B 的距离？2、用坐标法解（证）题的步骤？221M M =解得1x =，所以(1,0)p ,则PA =22)20()11(22=-++。

归纳总结:两点间的距离公式：所以设111222(,),(,)P x y P x y ，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212PP y y =-；当12,P P 不与坐标轴平行时，121212()()PP x x y y =-+-。

变式探究：1、 在直线40x y -+=上求一点p ，使p 点到点(2,4),(4,6)M N --的距离相等。

高中数学距离公式教案
教学重点：掌握点到点、点到直线、点到平面的距离的计算方法。

教学难点：运用距离公式解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备黑板、彩色粉笔、教辅资料。

2. 学生准备铅笔、橡皮、直尺等。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过简单的问题引入距离公式的概念，让学生了解距离在数学中的重要性。

二、点到点的距离（10分钟）
1. 教师讲解点到点的距离公式的推导和计算方法。

2. 带领学生通过例题进行练习和巩固。

三、点到直线的距离（15分钟）
1. 教师讲解点到直线的距离公式的推导和计算方法。

2. 带领学生通过例题进行练习和巩固。

四、点到平面的距离（15分钟）
1. 教师讲解点到平面的距离公式的推导和计算方法。

2. 带领学生通过例题进行练习和巩固。

五、应用实例（10分钟）
1. 教师结合实际问题，让学生运用所学的距离公式解决实际问题。

2. 学生在小组讨论中解决问题，并向全班展示解决思路。

六、总结与拓展（5分钟）
教师对本节课所学的内容进行总结，并对数学距离公式的拓展提出建议，引导学生主动学习和思考。

七、作业布置（5分钟）
布置作业：完成课堂练习题和思考题，加深对距离公式的理解和掌握。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握数学距离公式的计算方法，并能够灵活应用到实际问题中。

同时，学生通过小组讨论和展示，培养了团队合作能力和表达能力。

在未来的教学中，可以引导学生进行更多的实践操作，提高他们的数学解决问题能力。

两点间的距离今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.2两点间的距离”，主要内容是建立直角坐标系中两点间的距离公式和用坐标法证明简单的平面几何问题。

我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计。

一一、、教教材材与与学学情情分分析析1．地位与作用点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。

本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何要素之一。

对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。

2．学情分析（1）知识与能力：在上一节，学生已经在平面直角坐标系中建立了各种形式的直线方程，对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

（2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

二二、、目目标标分分析析1．教学目标根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：【知识与技能】（直接性目标）（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

【过程与方法】（发展性目标）（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。

通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；（2）在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。

【情感态度价值观】（可持续性目标）培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。

2．教学重点、难点根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。

特确定如下重点与难点：【重点】 两点间的距离公式和它的简单应用【难点】 用坐标法解决平面几何问题【难点的确定】根据学生的认知水平，学生对于用坐标法研究几何问题只是停留在初步认识，对于坐标法的一基本步骤还不清楚，这需要一个过程。

2.3.2两点间的距离公式教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学（2019）选修一第二章第二节课2.3.2-两点间的距离公式.本节课是在学习了直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的交点坐标之后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后续学习点到直线的距离、圆与圆的位置关系等知识的基础.本节课通过构造直角三角形，使用勾股定理推导两点间距离公式，并应用公式解决简单的平面几何问题，是对学生应用“坐标法”解决几何问题的一次很好的训练.二、学情分析学生对勾股定理十分熟悉，可引导学生构造直角三角形，利用勾股定理推导两点间的距离公式，体会数形结合思想的运用.学生已经初步了解“坐标法”，可引导学生建立平面直角坐标系，用代数的方法解决简单的平面几何问题.三、教学目标1、知识与技能（1）能推导两点间的距离公式并会简单应用.（2）会用代数的方法证明简单的平面几何问题.2、过程与方法（1）通过由特殊到一般的方法引导学生推导两点间的距离公式，使学生体会数形结合的思想方法.（2）引导学生建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解，体验转化与化归的数学思想.3、情感态度价值观（1）通过实际问题引入，激发学生学习兴趣.（2）在知识生成过程中，培养学生发散思维，多角度思考问题的能力.（3）培养学生主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度.四、教学重难点1、教学重点：两点间距离公式的推导过程及运用.2、教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点间距离公式，使学生明白从特殊到一般的思想，以及两点间距离公式的灵活运用.五、教学过程（一）创设情景，引入课题师：我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式，大家回忆一下怎样求数轴上两点间的距离.问题一：如图，设数轴x上的两点分别为A、B，怎样求|AB|?生：|AB|=|a-b|.师：那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢？这节课我们就来探讨一下直角坐标系中两点间的距离的求法.（在黑板上书写课题）（二）探究新知师：首先我们在直角坐标系中给定两点，看看怎样求它们之间的距离.(师生研讨) 请同学们解决以下问题:问题2：如图，在直角坐标系中，点C （4,3），D （4,0）， E （0,3），如何求C 、D 间的距离|CD|，C 、E 间的距离|CE|及原点0与C 的距离|0C|? (让学生思考一分钟，请学生回答) 生: |CD|=|3-0|=3. |CE|=|4-0|=4在直角三角形CDO 中，用勾股定理解得: |OC|=54322=+ 师:那么，同学们能否用以前所学知识解，决以下问题:问题3:对于直角坐标系中的任意两点P(x1,y1)、P(x2,y2)，如何求P 、P1的距离|P1P2|？ 从p1、p 2这两点的位置来看，我们用以前所学的知识很难解决这个问题师:根据问题2中求原点0到C的距离|OC|，构造直角三角形，再用勾股定理计算的方法，我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形.如右图，过点P1分别向轴x和y轴作垂线P1M1和P1N1，垂足分别为M (x，0)和N(0， y1)，过点P2分别向轴x和y轴作垂线时PM和PN，垂足为M2(x2, 0)和N2 (0，y2)，延长直线P1N1与P2M2相交于点Q，则三角形P1QP2是直角三角形.在直角三角形P1QP2中，由勾股定理可以得到，|P1P|^2 =|P1Q|^2+| QP2|^2.要求|P1P2|，必须知道|P1Q|和|QP2|的值.为了计算|P1Q|和|QP2|，就要求Q的坐标，而点Q的横坐标与P2的横坐标相同，纵坐标与P1的纵坐标相同，则Q的坐标为(x2,y1).于是有：|P1Q|=|x2-x2|， |QP2| =|y2-y1|，所以|P1P2|^2=|x2-x1|^2+|y2-y1|^2，则|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2，这就是我们今天所要学习的两点间的距离公式.(三)讲授新课两点P (x, y)、R (x2, y2) 间的距离公式：|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2两点间的距离公式在以后的学习中运用很广泛，其中有一种很常见的情况大家一定要注意，那就是原点O（0，0）与任一点p(x,y)距离：|OP|=√x2+y2(四)基础练习练习：求下列两点间的距离：（1）A（6，0），B(-2,0)（2）C(0,-4)，D(0,-2)由学生回答：(1)|AB|=√(−2−6)2+(0−0)2=8(2)|CD|=√(0−0)2+(−2−(−4))2=2(五)巩固练习通过对这个例题的求解，同学们对两件距，离公式的应用有了初步的了解，下面请同学们独立完成一个练习，看大家能不能做，得又快又准.练习：已知A (1,2)，B(5,2) ,若|P4|=√10，|PB|=√2,求点P的坐标.(请一个学生到黑板.上完成，其余学生独立完成，完成后教师讲解)分析：先设P点的坐标为(x，y) .然后用两点间的距离公式表示出|P4|=√10，|PB|=√2，可以得到两个关于x，y的方程，联立方程求解出x，y的值，P点的坐标就求出来了.解:设点p的坐标为(x，y) ，则有：(x-1)^2+(y-2)^2=10；(x-5)^2+(y-2)^2=2解之得： x=4，y=1或3所以，点p的坐标为(4,1)或(4,3)(六)课时小结这节课的内容就是这些，最后我们来回顾一下这节课的内容.同学们总结一一下，这节课学习了什么?(师生一起总结)首先我们用勾股定理推导了直角坐标系中.任意两点间的距离公式，即两点P (x1，y1)、P (x2，y2)间的距离公式: |P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2其次同学们要注意一种特殊的情况:原点o(0，0)与任一点P (x，y)的距离: |OP|=√x2+y2同学们要学会用两点间的距离公式求直角坐标系中两点间的距离，并要掌握它的一些应用. （七）课后作业学案练习 1、2题。

人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点1. 空间两点间的距离公式的推导。

2. 空间两点间的距离公式的应用。

三、教学难点1. 空间两点间的距离公式的理解与记忆。

2. 在实际问题中灵活运用空间两点间的距离公式。

四、教学准备1. 教师准备PPT，包括空间两点间的距离公式及相关例题。

2. 学生准备笔记本，用于记录公式和解答过程。

五、教学过程1. 引入新课通过提问方式引导学生回顾平面两点间的距离公式，激发学生对空间两点间距离公式的兴趣。

2. 推导公式教师引导学生思考空间两点间的距离应该如何表示，通过画图和几何分析，引导学生推导出空间两点间的距离公式。

3. 讲解公式教师详细讲解空间两点间的距离公式的含义，强调公式中各符号的意义和公式的适用范围。

4. 例题讲解教师选取典型例题，讲解如何运用空间两点间的距离公式进行计算，引导学生跟着解答过程，加深对公式的理解。

5. 练习巩固学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

6. 总结与拓展教师总结本节课的主要内容，提醒学生注意空间两点间距离公式的应用。

给出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

7. 布置作业教师布置作业，要求学生熟记空间两点间的距离公式，并运用公式解决实际问题。

8. 教学反思教师在课后反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

9. 学生反馈学生通过课后反馈，向教师反映对本节课教学内容的掌握情况，以及在学习过程中遇到的问题。

10. 家校沟通教师与家长保持沟通，了解学生在家庭环境下的学习状况，鼓励家长关注学生的数学学习。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其空间想象能力和解决问题的能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。

必修二 3.3.2两点间的距离教案一、教学目标1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。

2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定点的直线系方程；（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。

3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系，能用代数方法解决几何问题。

二、教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。

三、教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

四、教学过程：（一）两条直线的交点坐标1、设置情境，导入新课问题1：已知两条直线l1：3x + 4y– 12 = 0，l2：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的交点坐标。

问题2：已知两条直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2 x + B2y + C2 = 0相交，如何求这两条直线的交点的坐标？2、讲授新课几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。

结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。

练习：课本P104，练习1。

3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y– 2 + λ(2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特点？演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。

2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式一、内容解析内容解析第 3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.二、目标和目标解析1.目标与学科素养目标：（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；（3）掌握平面上两点间的距离公式；（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.素养：（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．（3）能够运用公式求出两点间的距离.（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.三、教学问题诊断分析学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.四、教学过程设计（一）概念的引入在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.问题1：点与直线的关系是什么？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.问题2：如果两直线11110l:A x+B y+C=，22220l:A x+B y+C=相交于一点A,若点A的坐标为()m,n则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系?师生活动：学生独立思考、讨论交流． 设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..（二）概念的理解（1）两条直线的交点坐标问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.问题2：直线1111:0,l A x B y C ++=2222:0,l A x B y C ++=它们的方程组成的二元一次方程组为1112220;0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩当方程组有唯一解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线1l 与直线2l 的位置关系？师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法． 问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.（2）两点间的距离公式我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点111222()()P x ,y ,P x ,y ，如何求1P ，2P 间的距离12PP ？ 问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？师生活动：学生思考、讨论交流. 设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解. 问题2：当直线12P P 平行于x 轴时，12PP 怎么表示？当直线12P P 平行于y 轴时，12PP 怎么表示？师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.问题3：你能利用111222()()P x ,y ,P x ,y 构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.（三）概念的巩固应用例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：12:3420,:220.+-=++=l x y l x y师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：（1）12:0:3100;l x y l x y -=+3-=，，（2）12:340:6210;l x y l x y -+=--=，（3）12:3450:68100.l x y l x y +-=+-=，师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法. 练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.(1)12:27:3270l x y l x y -=+-=和;(2)12:2640:41280l x y l x y -+=-+=和;(3)12:4240:23l x y l y x ++==-+和.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.例3.已知点2()1,A -，(2),7B ，在x 轴上求一点P ,使PA PB =，并求PA 的值. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..练习3.已知点(3),6A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标． 师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：问题1：证明过程的第一步是什么？问题2：建系后的步骤是什么？问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？ 问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.△的形状．练习4.已知点(3),(3,3),--，判断ABC,1(1,7)A B C师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：（1）求两条直线的交点坐标；（2）判断两直线的位置关系；（3）两点间的距离公式；（4）用坐标法解决平面几何问题.设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.布置作业：教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.。

高一数学教案 两点间的距离
科目科目：：数学
课题 两点间的距离 课型 新课
教学目标 （1．）．掌握直角坐标系两点间的距离掌握直角坐标系两点间的距离掌握直角坐标系两点间的距离，，用坐标证明简单的几何问题用坐标证明简单的几何问题。

（2．）．通过两通过两点间距离公式的推导点间距离公式的推导，，能更充分体会数形结合的优越性能更充分体会数形结合的优越性。

； （3．）．体会事物之间的内在联系体会事物之间的内在联系体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题能用代数方法解决几何问题。

教学过程
教学内容
备
注
一、 自主学习
二、 质疑提问
三、 问题探究
四、课堂检测
五、小结评价主要讲述了两点间距离公式的推导
主要讲述了两点间距离公式的推导，，以及应用
以及应用，，要懂得用代数的方法解决几何问题
何问题，，建立直角坐标系的重要性
建立直角坐标系的重要性。

§3.3.2兩點間的距離【教學目標】1．掌握直角坐標系兩點間距離，用座標法證明簡單的幾何問題.2．通過兩點間距離公式的推導，能更充分體會數形結合的優越性.3．體會事物之間的內在聯繫，能用代數方法解決幾何問題.【重點難點】教學重點：①平面內兩點間的距離公式.②如何建立適當的直角坐標系.教學難點：如何根據具體情況建立適當的直角坐標系來解決問題.【教學過程】一、導入新課、展示目標問題已知平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離|P1P2|?二、檢查預習、交流展示核對課前預習中的答案。

1、（1，0）；2、1並說出自己的疑惑處。

三、合作探究、精講精練探究一平面內兩點間的距離公式問題(1)如果A、B是x軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們的座標分別是xA、xB、yC、yD，那麼|AB|、|CD|怎樣求?(2)求B(3，4)到原點的距離.(3)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教師 ①如果A 、B 是x 軸上兩點，C 、D 是y 軸上兩點，它們座標分別是x A 、x B 、y C 、y D ，那麼|AB|、|CD|怎樣求?②求點B(3，4)到原點的距離.③已知平面上的兩點P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距離|P 1P 2|.④同學們已知道兩點的距離公式，請大家回憶一下我們怎樣知道的(回憶過程).學生 回答 ①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |.②通過畫簡圖，發現一個Rt△BMO ，應用畢氏定理得到點B 到原點的距離是5.③圖1在直角坐標系中，已知兩點P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如圖1,從P 1、P 2分別向x 軸和y 軸作垂線P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分別為M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直線P 1N 1和P 2M 2相交於點Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因為|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到兩點P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距離公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教師 ④(a)我們先計算在x 軸和y 軸兩點間的距離.(b)又問了B(3,4)到原點的距離，發現了直角三角形.(c)猜想了任意兩點間距離公式.(d)最後求平面上任意兩點間的距離公式.這種由特殊到一般，由特殊猜測任意的思維方式是數學發現公式或定理到推導公式、證明定理經常應用的方法.同學們在做數學題時可以採用!應用示例例1 如圖2，有一線段的長度是13，它的一個端點是A(-4，8)，另一個端點B 的縱坐標是3，求這個端點的橫坐標.圖2解:設B(x ，3)，根據|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.點評：學生先找點，有可能找不全，丟掉點，而用代數解比較全面.也可以引至到A(-4，8)點距離等於13的點的軌跡(或集合)是以A 點為圓心、13為半徑的圓上與y=3的交點，應交出兩個點.變式訓練1課本106頁練習第一題例2 已知點A(-1，2)，B(2，7)，在x 軸上求一點，使|PA|=|PB|,並求|PA|的值. 解:設所求點P(x ，0)，於是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求點為P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22. 點評：引導學生熟練設點及應用距離公式。

第二章直线和圆的方程 2.3.2两点间的距离公式教学设计一、教学目标1.掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程.2.通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 二、教学重难点 1、教学重点 两点间的距离公式. 2、教学难点 坐标法求解几何问题. 三、教学过程 1、新课导入我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的，所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 2、探索新知探究，已知平面内两点()111,P x y ，()222,P x y ，如何求P 1，P 2间的距离12P P ？我们用平面向量的知识来解决，如图，由点()111,P x y ，()222,P x y ，得()122121,PP x x y y =--.于是()()22122121PPx x y y =-+-. 由此得到()111,P x y ，()222,P x y 两点间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-.特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 间的距离22OP x y =+. 学习以下例题，加深对所学知识的理解.例3：已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使PA PB =，并求PA 的值.解：设所求点为(,0)P x ，则222(1)(02)25PA x x x =++-=++，222(2)(07)411PB x x x =-+-=-+.由PA PB =，得2225411x x x x ++=-+.解得1x =. 所以，所求点为(1,0)P ，且22(11)(02)22PA =++-=.例4：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.证明：如图，四边形ABCD 是平行四边形.以顶点A 为原点，边AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.在ABCD 中，点A 的坐标是(0，0)，设点B 的坐标为(a ，0)，点D 的坐标为(b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a +b ，c ).由两点间的距离公式，得222()AC a b c =++，222()BD b a c =-+，22AB a =，222AD b c =+.所以()222222AC BD a b c +=++，22222AB AD a b c +=++.所以()22222AC BD AB AD +=+，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 3、课堂练习1.已知平面上两点(2)A x x -，，202B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则AB 的最小值为() A.3 B.13C.2D.12答案：D 解析：22223211(20)22442AB x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当324x =时等号成立，min 12AB ∴=.2.已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是()3,4，则AB 的长为()A.10B.5C.8D.6答案：A解析：设(,0)A a ，(0,)B b ，则6a =，8b =，即(6,0)A ，(0,8)B ，所以||10AB .3.已知(),3A a ，()3,33B a +两点间的距离为5，则a 的值为__________. 答案：1-或855=解得1a =-或85a =. 4、小结作业小结：本节课学习了两点间的距离公式以及应用坐标法解决平面几何问题. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计2.3.2两点间的距离公式1.两点间的距离公式：由点()111,P x y ，()222,P x y ，得()122121,PP x x y y =--.于是(12PP x =由此得到()111,P x y ，()222,P x y 两点间的距离公式12PP特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 间的距离OP 2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤为：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.。

2.3.2两点间的距离公式（一）教学内容与分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两点间的距离公式。

本课内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离是解析法巨大作用的初步体现。

培养学生数形结合思想和方程思想。

（二）教学目标重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题（四）教学过程设计引导语：我们知道，在各种几何量中，线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.自主探究两点间的距离如图2.3-2，已知平面内两点111222()()P x ,y ,P x ,y ，如何求1P ，2P 间的距离12PP问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.问题2：当直线12P P 平行于x 轴时，12PP 怎么表示？当直线12P P 平行于y 轴时，12PP 怎么表示？ 师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.问题3：你能利用111222()()P x ,y ,P x ,y 构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.例题解析例3.已知点2()1,A -，(2),7B ，在x 轴上求一点P ,使PA PB =，并求PA 的值.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..课堂练习3.已知点(3),6A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈． 设计意图：利用与例3完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：1：证明过程的第一步是什么？2：建系后的步骤是什么？3：写出点的坐标后，应继续做什么？4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？5：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；逐步引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.问题4：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？其实，在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中，我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题，即建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面儿何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系。

第二章 直线和圆的方程2.3.2 两点间的距离公式（1课时）【教学内容】两点间距离公式的推导与运用．【教学目标】1．探索、掌握并熟练运用两点间的距离公式，培养逻辑推理、数学运算素养;2．能用坐标法解决平面几何中的距离问题,体会数形结合思想的应用，培养直观想象、数学建模素养.【教学重难点】重点：两点间距离公式的推导与运用；难点：应用两点间的距离公式证明几何问题．【教学过程】（一）问题引入在上一节的学习中,我们通过引入平面直角坐标系掌握了求两直线的交点坐标.而在各种几何量中,直线段的长度是最基本的.问题：在平面直角坐标系中，我们能否用平面内的两个点的坐标表示这两点间的距离公式？（二）探究新知1．如图，已知平面内两点 P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), 如何求 P 1、P 2 间的距离 |P 1P 2|？ （向量法）22(0,0)(,).O P x y x y +特别的，原点与任一点 间的距离为 1112221221212212212122221221211212()()=(-,-)||(-)(-)||(-)(-)(-)(-).P x y P x y PP x x y y PP x x y y PP x x y y x x y y =+=+=+解：由点,，,，得到 ，因此（构造直角三角形）2112121221222222121221212121()|||-|||=| -|.|||||||-||-|(-)(-).P x y PPP PP x x P P y y PP PP P P x x y y x x y y ∆==+=+=+解：取点 ,，则为直角三角形.则有，因此2. 思考1：11122212121212211221(,)(,)||12.1|||-|;2||| -|.P x y P x y PP PP x PP y PP x x PP y y ==求下列两种情况下两点，间的距离：（）平行于轴；（）平行于轴解：（）（）3. 思考2：利用构造直角三角形推导两点间的距离公式与向量法相比较,有什么体会？ 向量法简洁方便.（三）典型例题例1. 已知点 A(−1,2), B(2,√7), 在 x 轴上求一点 P , 使 |PA |=|PB |, 并求 |PA |的值. 2222222222(,0)||(1)(02)25||(2)(07)411.||||25=411.1(1,0)||(11)(02)2 2.P x PA x x x PB x x x PA PB x x x x x P PA ++-=++-+-=-+=++-+=++-=解：设所求点 ，则有=，=由，得 解得 ，故所求点，且=思考：有其他方法求点P 吗？7272213||||,17 2.172(,)22721-(72)()220 1.(1,0).AB l AB AB k PA PB P AB l l k k AB M l y x y x P --==+=-==--++=---==解：直线的斜率，由，点在线段的垂直平分线上的斜率的中点，的点斜式方程为 令，解得故所求点例2. 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 222222222222222222,(0,0).(,0)(,)(,).||()||(-)||||.||||2()||||ABCD A AB x A B a D b c AB DC C a b c AC a b c BD b a c AB a AD b c AC BD a b c AB AD a =+=++=+==++=+++=证明：如图，四边形是平行四边形以点为原点，所在直线为 轴，如图建立坐标系，则设、，由 可得由两点间的距离公式，得，，，所以，，2222222.||||2(||||)..b c AC BD AB AD +++=+因此，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍[小结]用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：1.建立坐标系(坐标原点, x 轴和 y 轴)，用坐标表示有关的量；（形→数）2.进行有关代数运算；3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（数→形）（四）巩固练习1.求下列两点间的距离：(1) A(6,0), B(−2,0);(2) C(0,−4), D(0,−1);(3) P(6,0), Q(0,−2);(4) M(2,1), N(5,−1). 22222222(1)||(62)(00)8;(2)||(00)(41)3;(3)||(60)(02)210;(4)||(52)(11)13.AB CD PQ AB =++-==-+-+==-++==-+--=解：由两点间的距离公式，得2.已知 A(a ,−5)与 B(0,10)两点间的距离是17, 求 a 的值.222||(0)(510)13648-8.AB a a a =-+--==解：由两点间的距离公式，得，解得 ，所以 的值为 或3.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.222290..(,0)(0,)().22||||()().221||||||||.2.ABC C C CA CB x y a b A a B b AB D D a b AB a b CD CD AB AD BD ∆∠=︒=+=+===证明：设为直角三角形，其中则如图以为原点，、所在直线分别为 轴和 轴建系设，，斜边中点为，坐标为，则有，所以，因此直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等 （五）课堂总结1.用构造直角三角形和向量法的探索两点间的距离公式22122121||(-)(-);PP x x y y =+2.用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：(1)建立坐标系(坐标原点, x 轴和 y 轴),用坐标表示有关的量（形→数）;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论（数→形）.。

《两点间的距离》距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念，到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等。

其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离。

在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式。

到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础。

解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法。

在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性。

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。

根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法。

【知识与能力目标】掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

【过程与方法目标】通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

【情感态度价值观目标】体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

【教学重点】① 平面内两点间的距离公式。

② 如何建立适当的直角坐标系。

【教学难点】如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。

多媒体课件。

（一）导入新课已知平面上的两点1M 2M 211，0、N 10，1、M 22，0、N 2021，其中直线2M 21M 2|=|2-1|，|QP 2|=|N 1N 2|=|2-1|，所以|P 1P 2|2=|2-1|2|2-1|2。