数学建模案例分析--概率统计方法建模9习题四

概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。

【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。

为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。

三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。

（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。

〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。

样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。

数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。

现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。

进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。

● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。

一、填空题1．(2011年四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占________．解析：由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故 所求的概率为2266＝13.答案：132．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图的高为h ，则|a －b|等于________． 解析：在频率分布直方图中横轴是组距，高为频率组距，所以|a －b|＝mh .答案：mn3．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 ________．①甲批次的总体平均数与标准值更接近 ②乙批次的总体平均数与标准值更接近 ③两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 ④两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析：x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，∴x甲与0.618更接近，故填①.答案：①4．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法 正确的是________．①甲的平均成绩比乙的平均成绩高 ②甲的平均成绩比乙的平均成绩低 ③甲成绩的方差比乙成绩的方差大 ④甲成绩的方差比乙成绩的方差小 解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107. s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8， s 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44. 答案：③5．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679解析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差s 2＝(6－7)2＋02＋02＋(8－7)2＋025＝25. 答案：0.46．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________． 解析：27n ＝2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1，∴n ＝60.答案：607．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．解析：甲同学的成绩为68,69,70,71,72， x 甲＝68＋69＋70＋71＋725＝70；乙同学的成绩为63,68,69,69,71， x 乙＝63＋68＋69＋69＋715＝68.∴x甲＞x 乙，甲平均分数高．从茎叶图看甲同学的成绩集中于平均值附近，而乙同学的成绩与平均值差距较大，故甲成绩较为稳定． 答案：甲 甲8．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在 [2,10)内的概率约为______． 解析：200×0.08×4＝64； (0.02＋0.08)×4＝0.4. 答案：64 0.49．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.甲 乙 8 2 9 9 1 3 4 5 2 5 4 8 2 6 7 8 5 5 3 56 6 7解析：中位数是指将统计数据从小到大(或从大到小)排列，中间位置的数(或平均数)．由题中茎叶图显然可知甲的中位数是45，乙的中位数是46.答案：4546二、解答题10．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.6)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5)，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计数据小于30.5的频率．解析：(1)样本的频率分布表如下：分组频数频率[12.5,15.5) 6 0.06[15.5,18.5) 16 0.16[18.5,21.5) 18 0.18[21.5,24.5) 22 0.22[24.5,27.5) 20 0.20[27.5,30.5) 10 0.10[30.5,33.5) 8 0.08合计100 1.00(2)频率分布直方图如图：(3)小于30.5的频率为0．06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92.11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m /s )数据的平均数、中位数、极差、标准 差，并判断选谁参加比赛比较合适？解析：(1)画茎叶图、中间数为数据的十位数．甲 乙7 2 9 8 1 5 7 0 8 3 3 8 4 6从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些，乙的中位数是 33.5，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好． (2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67， s 甲≈3.96.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67. s 乙≈3.56.甲的中位数是33，极差为11. 乙的中位数是33.5，极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．12．(2011年广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n(n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解析：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)， (76,72)(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种， 所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.。

(2020·广东六校第一次联考)某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等级)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．图1(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；图2(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．【解】 (1)因为获数学二等奖的考生有12人， 所以该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50.故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －2，s 22.x －1＝81＋84＋92＋90＋935＝88，x －2＝79＋89＋84＋86＋875＝85，s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22， s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，因为88>85，11.6<22，所以获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人，把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个， 所以P (M )＝315＝15，故这2人两科均获一等奖的概率为15.统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求这100位市民认可分数的中位数(精确到0.1)，平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率．解：(1)由于[40，50)，[50，60)，[60，70)的频率分别有0.1，0.2，0.3.故中位数位于[60，70)中，其值为60＋10×23≈66.7.平均数为10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)＝67.(2)认可分数位于[80，90)的人数为10，认可分数位于[90，100]的人数为5，从认可分数位于[90，100]的5人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋4＝10，从认可分数位于[80，90)和[90，100]的15人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋…＋14＝105.故这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率为10105＝2 21.图表与独立性检验相交汇(师生共研)某种常见疾病可分为Ⅰ，Ⅱ两种类型．为了了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位：岁)(以下简称初次患病年龄)的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据．初次患病年龄甲地Ⅰ型疾病患者/人甲地Ⅱ型疾病患者/人乙地Ⅰ型疾病患者/人乙地Ⅱ型疾病患者/人[10，20)815 1[20，30)433 1[30，40)352 4[40，50)384 4[50，60)392 6[60，70]21117(2)记“初次患病年龄在[10，40)内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[40，70]内的患者”为“高龄患者”．根据表中数据，解决以下问题．①将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大．(直接写出结论，不必说明理由)表一疾病类型患者所在地域Ⅰ型Ⅱ型总计甲地乙地总计100.问：是否有99.9%的把握认为所患疾病的类型与X有关？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.【解】(1)依题意，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者共40人，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15，10，则从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为15＋1040＝58.(2)①填空结果如下．表一低龄 25 15 40 高龄 15 45 60 总计4060100“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大．②由①可知X 为初次患病年龄，根据表二中的数据可得a ＝25，b ＝15，c ＝15，d ＝45，n ＝100，则K 2＝100×（25×45－15×15）240×60×40×60≈14.063，因为14.063>10.828，故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关．本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者的总数为100，错误列式15＋10100＝0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出错．(2021·福州市适应性考试)世界互联网大会是由中华人民共和国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢.2020年11月23日至24日，第七届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄(单位：岁)，得到了他们年龄的中位数为34，年龄在[40，45)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图．(1)求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名参加．这100名志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：K2＝2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：(1)因为志愿者年龄在[40，45)内的人数为15，所以志愿者年龄在[40，45)内的频率为15100＝0.15.由频率分布直方图得，(0.020＋2m＋4n＋0.010)×5＋0.15＝1，即m＋2n＝0.07，①由中位数为34可得，0.020×5＋2m×5＋2n×(34－30)＝0.5，即5m＋4n＝0.2，②由①②解得m＝0.020，n＝0.025.所以志愿者的平均年龄为(22.5×0.020＋27.5×0.040＋32.5×0.050＋37.5×0.050＋42.5×0.030＋47.5×0.010)×5＝34(岁)．(2)根据题意得到列联表，男性女性总计现场报名193150网络报名311950总计5050100所以K2＝100×（19×19－31×31）250×50×50×50＝2×[（19＋31）×（19－31）]250×50×50＝5.76<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”．图表与线性回归分析相交汇(师生共研)如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位m)．v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5好有1起属于超速驾驶的概率(用频率代替概率)；(2)已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100 km/h 时，制动距离为65 m.①由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110 km/h 时的停车距离；②我国《道路交通安全法》规定：车速超过100 km/h 时，应该与同车道前车保持100 m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑10i ＝1v i ＝1 004，∑10i ＝1(d 1)i ＝210，∑10i ＝1v i (d 1)i ＝22 187.3，∑10i ＝1v 2i ＝106 054，11 03352 524≈0.21. 参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ＝y－－b x －.【解】 (1)由题意可知，从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故，则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2，设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A ，则P (A )＝3×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－152＝48125.(2)由题意，设d 2＝k ·v 2，当行车速度为100 km/h 时，制动距离为65 m. 所以k ＝0.006 5，即d 2＝0.006 5v 2， ①设d 1＝b v ＋a ，因为b ＝∑i ＝1n (x i －x ) (y i －y ) ∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，所以b＝∑i ＝110v i（d1）i－10v－d－1∑i＝110v2i－10v－2＝22 187.3－10×100.4×21106 054－10×100.42＝1 103.35 252.4≈0.21，故d1＝0.21v＋a*，把(100.4，21)代入*式，解得a＝－0.084，所以d1与v i之间的回归方程为d1＝0.21v－0.084.设停车距离为d，则d＝d1＋d2，则d＝0.006 5v2＋0.21 v－0.084，当v＝110 km/h时，d＝101.666，即车速为110 km/h时的停车距离为101.666 m.②易知当车速为100 km/h时，停车距离为85.916 m，该距离小于100 m，又因为当车速为110 km/h时的停车距离为101.666 m，该距离大于100 m，由以上两个数据可知，当车速超过100 km/h时，必须与同车道前车保持100 m以上的距离才能保证行驶安全．破解此类分层抽样、概率、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化；三是熟练掌握求线性回归方程的步骤，求出a^，b^，即可写出线性回归方程．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据，x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26加以说明；(2)①建立月总成本y 与月产量x 之间的线性回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)附注：①参考数据：∑10i ＝1x i ＝14.45，∑10i ＝1y i ＝27.31，∑10i ＝1x 2i －10x －2≈0.850, ∑10i ＝1y 2i －10y －2≈1.042，b^≈1.223.②参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y－（∑ni ＝1x 2i －n x －2）（∑ni ＝1y 2i －n y －2），回归直线y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x .解：(1)由已知条件得，r ＝b^·∑10i ＝1x 2i －10x－2∑10i ＝1y 2i －10y－2，所以r ＝1.223×0.8501.042≈0.998， 这说明y 与x 正相关，且相关性很强． (2)①由已知求得x －＝1.445，y －＝2.731， a ^＝y －－b ^x －＝2.731－1.223×1.445≈0.964， 所以所求回归直线方程为y ^＝1.223x ＋0.964.②当x ＝1.98时，y ＝1.223×1.98＋0.964≈3.386(万元)， 此时产品的总成本约为3.386万元．[A 级 基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下，甲分厂产品等级的频数分布表(1)(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40＝0.4；100＝0.28.乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为65×40＋25×20－5×20－75×20＝15.100由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务． 2．(2021·福州市质量检测)垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如下频数分布表，中的数据用该组区间的中点值作代表，其中标准差的计算结果要求精确到0.01)；(2)若要从单次游戏得分在[30，40)，[60，70)，[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：185≈13.60，370≈19.24.解：(1)参与该活动的网友单次游戏得分的平均值x －＝1200×(35×10＋45×40＋55×60＋65×40＋75×30＋85×20)＝60. 标准差s ＝252×10＋152×40＋52×60＋52×40＋152×30＋252×20200＝185≈13.60.(2)用分层抽样抽取7人，其中得分在[30，40)的有1人，得分在[60，70)的有4人，得分在[80，90]的有2人．分别记为a ，b 1，b 2，b 3，b 4，c 1，c 2，7人中任选2人，有21种结果，分别是(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，b 3)，(a ，b 4)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，b 4)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(b 4，c 1)，(b 4，c 2)，(c 1，c 2)．其中2人得分在同一组的有7种，分别是{b 1，b 2}，{b 1，b 3}，{b 1，b 4}，{b 2，b 3}，{b 2，b 4}，{b 3，b 4}，{c 1，c 2}，故2人得分不在同一组内的概率P ＝1－721＝23.3．最近青少年的视力健康问题引起家长们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表，并根据方程预测六年级学生的近视率．附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55.解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a 1，a 2，b 1，b 2，c ，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，c )，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，(b 1，b 2，c )，共10种，设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 包含的基本事件为(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，共4种，故P (A )＝410＝25.(2)由题中表格数据得x －＝3，y －＝0.15，5x － y －＝2.25，5x －2＝45，且由参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55，得b ^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a^＝0.15－0.051×3＝－0.003， 得线性回归方程为y ^＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ^＝0.051×6－0.003＝0.303， 所以六年级学生的近视率在0.303左右．[B 级 综合练]4．某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数、客户性别等进行统计，整理得到下表：组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”，请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋a），其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依题意，在这100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值x－＝160×(7.5×18＋12.5×12＋17.5×9＋22.5×9＋27.5×6＋32.5×4＋37.5×2)≈16.92.所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92.(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15”为事件A，依题意按照分层抽样的方式分别从学时数为[5，10)，[10，15)，[15，20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(分别设为b1，b2)，4人(分别设为c1，c2，c3，c4)．则从这7人中随机抽取2人所包含的基本事件为ab1，ab2，ac1，ac2，ac3，ac4，b1b2，b1c1，b1c2，b1c3，b1c4，b2c1，b2c2，b2c3，b2c4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21个，其中事件A所包含的基本事件为c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个．所以事件A发生的概率P(A)＝621＝2 7.(3)依题意得2×2列联表如下，女性 16 24 40 总计6436100K 2＝100×（48×24－16×12）264×36×60×40≈16.667>10.828.故有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关．5．某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)结合柱状图，写出集合M ；(2)根据以上信息，求一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯(其中b ∈M ，a ＋b ＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？解：(1)由题意可知，当一级滤芯更换9，10，11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M＝{3，4}．(2)由题意可知，二级滤芯更换3个，需1 200元，二级滤芯更换4个，需1 600元，在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元”为事件A，则P(A)＝30＝0.3.100(3)a＋b＝14，b∈M，①若a＝10，b＝4，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为100×10×30＋（100×10＋200）×40＋（100×10＋400）×30＋200×4×100100＝2 000.②若a＝11，b＝3，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为100×11×70＋（100×11＋200）×30＋200×3×70＋（200×3＋400）×30100＝1 880.所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．6．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表，(1)业的经营状况；(2)据统计表明，y 与x 之间具有线性关系．①请用相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断(若|r |>0.75，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系(r 值精确到0.001))；②经计算求得y 与x 之间的回归方程为y ^＝1.382x －2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x 值精确到0.01)．相关公式：r ＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2.参考数据：∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝66，∑5i ＝1（x i －x －）2∑5i ＝1（y i －y －）2≈77.解：(1)由题可知x －＝5＋2＋9＋8＋115＝7(百单)，y －＝2＋3＋10＋5＋155＝7(百单)．外卖甲的日接单量的方差s 2甲＝10，外卖乙的日接单量的方差s 2乙＝23.6， 因为x －＝y －，s 2甲<s 2乙，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．(2)①计算可得，相关系数r ≈6677≈0.857>0.75， 所以可认为y 与x 之间有较强的线性相关关系． ②令y ≥25，得1.382x －2.674≥25，解得x ≥20.02， 又20.02×100×3＝6 006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元．。

数学建模思想在“概率统计”教学中应用的实例分析引言随着社会的发展，科学技术的进步，在教学中，传统的教学方法已经不能适应当前的人才培养需求，概率统计在日常工作和生活中，应用的范围较广，也越来越重要，为了更好的实现概率统计教学，提高学生的学习兴趣和学习能力，需要创新教学方法。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，是教学方法的创新，在教学中引入新的教学元素，可以提高学生的学习兴趣，提高学生的动手能力，加深学生对概率统计知识的理解和掌握，所以本次从数学建模思想在概率统计教学中的应用实例进行分析研究。

一、数学建模思想在概率统计教学中的应用意义概率统计是一门理论性、实践性等较强的学科，在统计学、经济学等方面的应用，越来越广泛和深入，随着科学技术的发展，在概率统计教学中，传统的教学方法和教学模式已经无法使用时代的发展和社会对人才培养的需求，为此需要对概率统计教学的方法进行创新改革。

数学建模思想在概率统计教学中的应用，可以帮助学生运用数学思想，将概率统计教学相关的内容与实际问题结合，有助于培养学生的概率统计应用能力。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以加深学生对知识的理解[1]。

例如在指数分布教学中，以飞机的等待时间为例进行分析，在某个机场的飞机跑道上来了一架飞机之后，跑道就在等待下一辆飞机的到来，设在（0，t）时间内，该跑道上飞机道路的架数，为，求第二架飞机到来的等待时间h的分布函数？在概率统计教学中，数学建模思想的应用，可以提高学生的学习兴趣，同时又将学生的知识面扩展，实现了理论与实践的结合，实现概率统计教学的目的。

在教学中还有很多例子可以应用，可以让学生学会举一反三，对学生的创新能力、思维能力进行培养和锻炼。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以引用先进的教学技术、开展教学实验课，增强学生的动手能力，例如运用计算机技术、统计软件等，让学生参与其中，动手运用，在增强学生概率统计的理论知识的同时，也增强了学生的应用实践能力。

§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。

在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。

已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。

实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。

另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。

下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。

二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。

球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。

影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。

对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。

也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。

某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。

事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。

稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。

球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。

将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。

然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。

这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。

数学建模例题及解析例1差分方程一一资金的时间价值问题1:抵押贷款买房一一从一那么广告谈起每家人家都希望有一套〔甚至一栋〕属于自己的住房,但又没有足够的资金一次买下,这就产生了贷款买房的问题.先看一下下面的广告〔这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一那么广告〕,任何人看了这那么广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢？银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付1200元呢？是怎样算出来的？由于人们都知道,假设知道了房价〔一次付款买房的价格〕,如果自己只能支付一局部款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息, 就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比拟简单无需太多的抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱,用记；月利率〔贷款通常按复利计〕用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b.建立变量之间的明确的数学关系.假设用**■记第k个月时尚欠的款数,那么一个月后〔加上利息后〕欠款月, 不过我们又还了x元所以总的欠款为—=〔1+犬〕4或k=0 ,1, 2, 3,而一开始的借款为所以我们的数学模型可表述如下上1 1 —〔.1+2?〕 A1-x尢=O1 11 2 > 3 , 离〔不妨假设儿为〕c. 〔1〕的求解.由= 〔1』及]达口-工4二〔1十E〕』「工二〔1十五〕[〔1+五〕=C1 + R〕9厂封〔1+衣〕+1]易知& = C1+R〕%厂工]〔1+田〕I- 〔1+A〕"*+…+ 〔1+Q +1]=〔1+R〕乂$ Cl+R〕U]故4= 〔A c-卷〕口 + 氏〕*+%这就是月"月口心£之间的显式关系.d.针对广告中的情形我们来看〔1〕和〔2〕中哪些量是的.N=5年=60个月, ；每月还款x= 1200元,A.即一次性付款购置价减去70000元后剩下的要另外去借的款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由〔2〕可知60个月后还清,即人.=口,从而得o = 4〔I+K严- ^叱1]« _ 1200[〔l+J?/°- 1]小二一无工祈一〔3〕〔O〕⑶ 表示N= 60, x=1200给定时人和x之间的关系式,如果我们已经知道银行的贷款利息R,就可以算出A0.例如,假设R =0. 01,那么由〔3〕可算得为三53946元.如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946= 123946元的话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica 这样的数学软件可把(3)的图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款〞的意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你的不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0. 01,贷款期25年=300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢？解：现在的问题就是要求使月土加三口的x,由(2)式知兀(1+―)1现为= 60000, R= 0. 01, k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有水平买房.例题2恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一那么广告：“假设借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款,即316X6=1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18%元,当然使人不快乐,但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟,是1896元的十几倍哪！这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢？这对夫妇请教你给他们一个满意的答复.具体解法略.问题2:养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一局部作为个人的养老基金,所在单位〔假设经济效益好的话〕每月再投入一定数量的钱,再存入某种利息较高而又平安的“银行〞〔也可称为货币市场〕到60岁退休时可以动用.也就是说,假设退休金缺乏以维持一定的生活水平时,就可以动用自己的养老基金,每月取出一定的款项来补贴缺乏局部.假设月利率及= 0. 01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱A 〔不管多少〕,每月存入y元〔个人和单位投入的总和〕；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化的假设,但作为估算仍可作为一种考虑的出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为U a+l = 4〔1+K〕4A 用=U, 1, 2, 3 s...以卜4*1 = 4 - X ? =3 1 j ...|p30己知其中x为每月要从养老基金中提出的款项.习题1某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金,他把已有的积蓄1万元也一次性地存入,月利率为0. 01 〔以复利计〕,每月存入300 元,试问当小李60岁退休时,他的退休基金有多少？又假设,他退休后每月要从银行提取1000元,试问多少年后他的退休基金将用完？你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件〕.习题2渔业〔林业〕治理问题设某养鱼池〔或某海域〕一开始有某种鱼条,鱼的平均年净繁殖率为R, 每年捕捞x条,记第N 年有鱼©a条,那么池内鱼数按年的变化规律为三£理［1+R J * X!工也注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的.假设对某海域的渔业作业中工100000吨,R= 0. 02, x= 1000吨,试问/西三？会不会使得假设干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)？例2比例分析法一一席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,(1)试确定学生会席位分配方案.(2)假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何？(3)假设丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化？(4)由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,假设在第(3)问中将学生会席位增加一席呢？(5)试确定一数量指标衡量席位分配的公平性,并以此检查( 1) — (4). 公平而又简单的席位分配方法是按人数的比例分配,假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10, 6, 4个席位.第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数 (见表中第四列).在将取得整数的19席分配完毕后,剩下的1席根据惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,于是他们根据上述惯例重新分配席位,计算的结果令人吃1席,见下表.惊：总席位增加1席,丙系反而减少方法.下面就介绍这样一个席位分配模型.设A、B两方人数分别是p1和p2,分别占有n1和n2个席位,那么两方每个席位所代表的人数分别是p1 /n12和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位的分配才是公平的.但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平的程度可以用数值值1e1少2病2|来表示,它衡量的是“绝对不公平〞.从下表所举的例子来看,A B之间的“绝对不公平〞与C、D之间是一样的.但是从常识的角度看,A B之间显然比G D之间存在着更加严重的不公平.所以“绝对不公平〞不是一个好的衡量标准.为了改良绝对标准,我们自然想到用相对标准.由于p/n越大,每个席位代表的人数越多,或者说,总人数一定时分配的席位越少.所以,如果p1/n13 >p2/n2,那么A方是吃亏的,或者说,对A是不公平的,由此,我们这样定义“相对不公平〞：假设p1/n1 >p2/n2,那么称例1 _pl例1 pl福2为对A的相对不公平值,记做7〔包,吟〞假设p1/n1<p2/n2,那么称pl物122/黑2 _ pln2尸2饱2 p2盟1为对B的相对不公平值,记做■藤〔包,吟.假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平的城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方？不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义.当再分配1个席位时,关于p/n的不等式有以下三种可能：1〕p1/〔n1十1〕 >p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2〕p1/〔n1十1〕<p2/n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B的相对不公平值3〕说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A的相对不公平值是5+1,盟2〕〔k 1.盟2 + 1〕〔注意：在p1/n11p2/n2的假设下,不可能出现p1/n1<p2/〔n2+1〕的情况因为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小,所以如果rj +1 s M2〕,对2+1〕那么这1席应给A方；反之应给B方.根据〔3〕、〔4〕两式,〔5〕式等价于并且不难证实1从上述第1〕种情况的p1/〔n1十1〕＞p2/p2也可推出. 于是我们的结论是：当〔6〕式成立时,增加的1席应分配A方；反之,应分配给B方.假设记3山〔小十1〕,那么增加的1席位应分配给Q值较大的一方.将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出的,三个系分配21个席位的问题.首先每系分配1席,然后计算: 甲系n1 = 1,_ 3〕3_ io9C1 = =乙系,n2=1 ,5 一忌〔点+A _VQ丙系,n3=1,_ 〔＞3〕3_ 3 甲Q=q〔京+1〕一=必由于°】最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算: 甲系n1 = 2,00 3103a2=门不叮二不二=1768 2将以与上面的.如心相比,%最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止〔详见列表〕可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失的1席.你觉得这个方法公平吗？习题：学校共1000名学生,235人住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人的委员会,试用以下方法分配各宿舍的委员数.1)惯例的方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者.2) Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化？,例3状态转移问题一一常染色体遗传模型随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥秘,越来越注重遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,引起人们的注意.无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代,这主要是由于后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定后代所表现的特征.下面,我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和x一链遗传.根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑的遗传特征是有两个基因A和控制的,那么就有三种基因对,记为AA, A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花的颜色,基因型是AA的金鱼草开红花,型的开粉红色花,而型的开白花.又如人类的眼睛的颜色也是提升通过常染色体遗传限制的.基因型是的人,眼睛是棕色,基因型是的人,眼睛是兰色.这里由于都表示了同一外部特征,我种基因型植物相结合的方案培育植物后代.那么经过假设干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布如何?第一步：假设：令n0,1,2,(1)设小,6和C n分别表示第n代植物中,基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分率.令x⑺为第n代植物的基因型分布：ax(n)bC n当n=0时a.x(0)b.C o表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),显然有a 0b 0 C 0 1〔2〕第n 代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的.第二步：建模 根据假设〔2〕,先考虑第n 代中的AA 型.由于第n-1代的AA 型与AA 型结 合,后代全部是AA 型；第n-1代的Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型的可能性 为1/2 ,第n-1代的aa 型与AA 型结合,后彳弋不可能是 AA 型.因此,当 n 0,1,2,时b n 1/2类似可推出C n 0 将式相加,得a nb nc na n 1b n 1c n 1根据假设〔1〕,其中1 1/2 0 1/2 0 0式递推,得a nb n C n a .b 0 C 0 1对于式、式和式, 我们采用矩阵形式简记为 (n) XMx (n〞,n1,2,a n 1? a n 1b n 1/2 0?C n 1 a n C n 1b n1/2a(n)x bC n(n) (n 1) 2 (n 2)x Mx M x式给出第代基因型的分布与初始分布的关系.1M PDP 1因而有PD n P其中0 1/2 0所以 通过计算0 (2)n 0a.b 0Co(n)XC nM n x (0)为了计算出M n我们将M 对角化,即求出可逆矩阵 P 和对角阵D,使1,2,D nn 10 0n 20 0n 3这里1, 2,3是矩阵 M 的三个特征值. 对于式中的易求得它的特征值和特征11, 1/2, 3因此因此有(n)Xn (0)X n 1 (0)PD P x(1/2)n (1/2)n 0(1/2)n(1/2)n 1a.b g Ca ob oc o (1/2)n b o (1/2)n1C o(1/2)n b o (1/2)n1C oo所以有a n 1 (1/2)nb o (1/2)n1C o b n (1/2)n b o (1/2)n1C oC n o当门 时(1/以 °,所以从式得到a n 1,b n o 和 C n =o即在极限的情况下,培育的植物都是 AA 型 第三步：模型讨论假设在上述问题中,不选用基因 AA 型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基 因型植物相结合,那么后代具有三代基因型的概率如下表:M并且x (n) M n x (o),其中M 的特征值为1 1,2 1,3通过计算,可以解出与1,2相对应的两个线性无关的特征向量3相对应的特征向量1 1/4 o o 1/2 o o 1/4 1 1/21和2,及与1 0 1P 1 2 3 0 0 2因此 1 1 11 1/2 0P 1 1 1 10 1/2 0(n) n (0) n 1 (0)x M x PD P x1 0 1 1 0 0 1 1/2 0 a00 0 2 0 1n0 1 1 1 b01110 0 (1/2)n0 1/2 0 c0所以有a n a. (1/2)b0 (1/2)n 1b0b n (1/2)n b0_ — n 1C n C0 (1/2)b0 (1/2) b0当n 时(1/2)n0,所以从式得到a n a0 (1/2)b0,b n 0和C n C0 (1/2)b0AA 因此,如果用基因型相同的植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因和aa.例4合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体〔个人、公司、党派、国家〕相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多的经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究的问题.请看下面的例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,假设单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲内合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元的收入.甲的收入应根据甲对各种形式的合作的奉献来确定.对于某一合作的奉献定义为：有甲参加时这个合作的收入与无甲参加时这个合作的收入之差.例如甲对甲乙二人合作的奉献是7—1 = 6(由于甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1 元).甲可以参加的,合作有四个：甲自己(单干视为合作的特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙. 甲对这些合作的奉献分别是甲：1 — 0=1元；甲乙：7—1=6元；甲内：5—1=4元；甲乙丙：10—4= 6元,甲应分得的收入是这四个贡献的加权平均值,加权因子将由下面的一般模型给出.这个问题叫做3人合作对策,是对策论的一局部,这里介绍它的一种解法.一般的n人合作对策模型可以表达如下：记n人集合为I=U,2J…遣),如果对于।中的任一子集都对应一个实值函数v (s),满足v 101=0v Csm(门)十廿(g)C % c 6 =疗)那么称为定义在I上的特征函数.所谓合作对策是指定义了特征函数的I中n个人的合作结果,用向量值函数= C pl (V)t优(■)〕来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合的合作获得的利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作的获利定义为特征函数v, v是满足(1)、(2)的.为了确定步2 , Shapley在1953年首先制定了一组$,,, 应该满足的公理,然后证实了满足这组公理的由(曾)的唯一解是低〔Q = Cd Q5P C S〕-v i = 1 5 2, 3,.其中国是I中包含｛i｝的所有子集,Is I是集合s中的人数,是加权因子,由()_ l|g|- O ■!n \确定.〔3〕式中[y 9 -V U- a〕〕]可看作成员｛i｝对合作s的奉献；表示对所有包含｛i｝的集合求和.?2〕称为由v定义的合作的Shapley值.我们用〔3〕、〔4〕计算三人经商问题中各个人应得到的收入.甲、乙、丙分别记作｛1｝ , ｛2｝ , ｛3｝,包含｛1｝的集合有｛1｝、｛1 , 2｝、｛1 , 3｝、｛1 , 2, 3｝,计算结果列入下表.韵(K)=1/3+1+2/3+2 = 4元同样可以算出乙、丙应得收入为嚣=3. 5元,劭=2.5元.问题二：三城镇的污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4; 6所示.污水需处理后才能排入河中.三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理〔污水应于河流的上游城镇向下游城镇输送〕.以Q表示污水量〔吨/秒〕,工表示管道长度〔公里〕.0.712根据经验公式,建立处理厂的费用为P 73Q,铺设管道的费用为0.51 ・/ L ———LP20.66Q L .今三城镇的污水量分别为Q l 5,Q2 3,Q3 5. L的数值L12 20,L23 38 . 试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等.三城镇或单干或不同形式的联合,共有五种方案.下面一一计算所需的投资.方案一三城镇都单干.投资分别为0(1) = 730 X 50 712= 2300C(2) = 730X 3071i= U00C(3) = 2300总投资:必-⑶+0⑶=6200方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资的角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2的投资为：「八八./联合：730 (.5+3；.外工46.6乂即'22U = M5口.］C5 2 = 联叫单干.C⑴+C⑵=3900=3500C (3) =2300总投资：M = C (b 2)+0 ⑶=550.方案三城2、3合作p30 C3+5J iJB+t,6x^,J1x33 =(2)-G(3)= 39DCC (1) =2300总投资：M = C3)+0 ⑴=595Q方案四城1、3合作门 C —圻以小.°,口+仁心5七〞46MC (2) =1600总投资:& = C (b 3)+0 ⑵=£20.=5560总投资：M = C 〔J ,2, 3〕= 556.比拟五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂的方案. 下面的问题是如何分担总额为 5560的费用.城3的负责人提出,联合建厂的费用按三城的污水量之比5: 3: 5分担,铺设管道费应由城1、2担负.城2的负责人同意,并提出从城2到城3的管道费由 城1、2按污水量之比5: 3分担；从城1到城2的管道费理应由城1自己担 负.城1的负责人觉得他们的提议似乎是合理的,但因事关重大,他没有马上0.712表示同意；而是先算了一笔账.联合建厂的费用是73〔5 3 5〕4530城2到城3的管道费是730,城1到城2的管道费是300,按上述方法分配时, 城3负担的费用为1740,城2的费用为1320,域1的费用为2500.结果出乎 意料之外,城3和城2的费用都比单独建厂时少,而城1的费用却比单独建厂 时的C 〔1〕还要多.城1的负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理的解决方法.为了促成联合的实现,你能为他们提供一个满意的分担方案五三城镇合作MI 阳1 CCC2 ^ + + +C+ 6 6x5v J1x20 + 6 x8U3J x38 = 5 5 60 (3) = 5800 CQ = 59oo Q) = Q20O + C (3) = 62003)费用的方案吗？首先,应当指出,城3和城2负责人提出的方法是不合理的：从前面的计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640的效益应该分配给三城,使三城分配的费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定的一条原那么.至于如何分配,那么是下面要进一步研究的问题.把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担的费用反比单独建厂费用高的情况.将三城镇记为I={1,2,3),联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数.于是有v( )=0,v({1})=v({2})=v({3})=0M{1,2})=c⑴+c⑵-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.即1(v)同理得2(v) 321, 3(v) 122那么,城1分担的费用为2300-197=2103,城2分担的费用为1600-321=1279,城3分担的费用为2300-122=2178,合计5560.习题：某甲(农民)有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人的所得才能达成协议？例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程的最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产方案和存储等问题.动态规划是一种将复杂问题转化为一种比拟简单问题的最优化方法,它的根本特征是包含多个阶段的决策.1951年,美国数学家贝尔曼(R. Bellman)等人, 提出了解决多阶段决策问题的“最优化原理〞,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划•动态规划方法的根本思想是：将一个复杂问题分解成假设干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程的决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态〞的含义,然而,一些与时间无关的静态规划中的最优化问题,也可人为地把问题分成假设干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机.求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态的最优化决策；②再顺序地求出整个题的最优策略和最优路线.下面,结合一个求最短路径的例子,来说明动态规划的一些根本概念.最短路径问题如下图的交通网络,节点连接线路上的数字表示两地距离,计算从A到E的最短路径及长度.1 .阶段.把所要处理的问题,合理地划分成假设干个相互联系的阶段,通常用k表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4.2 .状态和状态变量.每一个阶段的起点,称为该阶段的状态,描述过程状态的变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用X k来表示第k阶段的某一状态.如果状态为非数量表示,那么可以给各个阶段的可能状态编号,(1) . (i)X k i(X k表示第k个阶段的第i状态).第k阶段状态的集合为X J/) (2)(i) (T)lX k {X k ,X k , , X k , ,X k }如例6中,第3阶段集合可记为X3 {X31),X32),X33)} {01,02.03) (1,2.3)3.决策和决策变量.决策就是在某一阶段给定初始状态的情况下,从该状态演变到下一阶段某状态的选择.即确定系统过程开展的方案.用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设U k(X k)表示第k个阶段初始状态为 "的决策变量.D k(X k)表示初始状态为X k的允许决策集合,有U k(X k) D k ( X k ) ={ u k )如例6中D1(A)出任艮},假设先取B2,那么U(A) B2O4,策略和子策略.由每段的决策U k(X k)组成的整个过程的决策变量序列称为策略,记为P,n,即F1,n=(U1(X1),U2(X2), ,U n(X n ))从阶段k到阶段n依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k子策略,记为P k,n即P k,n(X i) ={U k(X k),U k l(X k i), ,U n(X n)}显然,k=1时的k子策略就是策略.如例6,选取路径A B i C2 D2 E就是一个子策略.从允许策略集中选出的具有最正确效果的策略称为最优策略.5 .状态转移方程.系统在阶段k处于状态Xk,执行决策U k(X k)的结果是系统状态的转移,即由阶段K的状态X k转移到阶段K十1的状态X k 1适用于动态规划方法求解的是一类具有无后效性的多阶段决策过程.无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后的开展,完全由本阶段所处的状态以及其往后的决策决定,与系统以前的状态及决策无关,对于具有无后效性的多阶段过程,系统由阶段k向阶段k+1的状态转移方程为X k i T k(X k,U k(X k))意即X k1只与X k, U k(X k)有关,而与前面状态无关.T k(Xk,U k(X k))称为变换函数或算子.分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划.6 .指标函数和最优指标函数.在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策的效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段的决策变量的函数,设Vk,n (X k,U k,X k 1, ,X n)k 1,2,指标的含义在不同的问题中各不相同,可以是距离、本钱、产品产量、资源消耗等.为V k,n即％例6中,指标的含义就是距离,指标函数为A到E的距离,为各阶段路程的和.最常见的指标函数取各阶段效果之和的形式,即nV k,n V j(X j,U j)j k指标函数V k,n的最优值,称为相应的最优指标函数,记为f k(X k)f k(X k) OptV k,n式中opt是最优化之意,根据问题要求取max或min.7 .动态规划最优化原理.贝尔曼指出“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略〞基于这个原理,可有如下定理：定理假设策略P,n是最优策略,那么对于任意的k(1<k<n),它的子策略P k,n对于以 * —• * * 、X k T k1(X k1,U k1)为起点的k到n子过程来说,必是最优策略.实质上,动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径的一种方法.8 .动态规划的数学模型.利用最优化原理,可以得到动态规划的数学模型f k(X k) opt{V k(X k,U k) f k 1(X k 1)}(k n,n 1, ,1U k D k(xJf n 1(X n1) 0这是一个由后向前的递推方程.卜面以例6的最短路径问题说明这种递序解法.指标函数为两点之间的距离, 记为d 〔X k ,uJ,例中共分4个阶段. 〔倒推〕 第4阶段f 5(E) 第3阶段* l"2,4{ B i ,C 2, D 2 , E}d(B 2,C i ) f 2(B 2) min 2d(B 2,C 2)* 一 一一F 2,4 { B 2 ,C 2 , D 2 , E}f 4(D i ) d(D i ,E) f 5(E) f 4(D 2) d(D 2,E) f 5(E) f 4(D a )d(D 3,E)f 5(E)f 3(C i ) min d(C i 'D i ) dGB)f ,(D i ) f 4(D 2)*鸟,4 {C i , D i , E}f 3(C 2) min d(C 2,D) d(C 2,D 2)f 4(D i )f 4(D 2)* R,4{C 2, D 2, E}f 3(C 3) min d(C 3,D 3) d(C 3R )f/D z ) f 4(D 3)12 6*鸟,4 {C 3, D 3, E} 第2阶段f 2 (B 1) mind(B i ,C i ) dBOf 3(C i ) f 3(C 2) 13 7f 3(C i ) f 3©2)。