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一次函数与坐标系一次函数，也称为线性函数，是数学中的基本函数之一。
它的定义域是实数集，其函数表达式可以写成 y = kx + b 的形式，其中 k 和 b 是实数常数，k 称为斜率，b 称为截距。
一次函数在坐标系中的图像为一条直线，通过研究一次函数与坐标系的关系，我们可以深入理解直线与坐标系的相互作用，进而应用于实际的问题中。
一次函数与坐标系有着密切的联系。
在一个二维直角坐标系中，x轴和 y 轴上的数值表示数轴上的点的位置。
x 轴上的数值称为横坐标，y 轴上的数值称为纵坐标。
一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的倾斜程度，正值表示向右上倾斜，负值表示向左下倾斜；截距 b 决定了直线与 y 轴相交的位置，当 b 为正值时与 y 轴正向相交，当 b 为负值时与 y 轴负向相交。
在研究一次函数与坐标系的关系时，我们可以通过绘制函数图像来直观地理解其特点。
首先，我们需要确定直线的斜率和截距。
斜率 k的值越大，直线越陡峭，斜率 k 的值越小，直线越平缓。
而截距 b 的值则决定了直线与 y 轴的相对位置。
在绘制图像时，我们选取适当的坐标轴范围，根据一次函数的定义域和值域来确定横纵坐标轴的刻度，以便更清晰地展示直线的特征。
对于一次函数的图像，我们还可以通过斜率和截距来判断其方程和性质。
斜率 k 的正负值决定了直线的走向，当 k 为正值时，直线是向右上倾斜的，当 k 为负值时，直线是向左下倾斜的。
同时，斜率的绝对值大小表示直线的陡峭程度，绝对值越大，直线越陡峭。
截距 b 的正负值决定了直线与 y 轴的相对位置，当 b 为正值时，直线与 y 轴正向相交，当 b 为负值时，直线与 y 轴负向相交。
一次函数与坐标系的研究不仅可以帮助我们理解直线的特性，还可以应用于实际问题中。
例如，在物理学中，速度和时间之间的关系可以用一次函数来描述；在经济学中，成本和产量之间的关系也可以用一次函数来表示。
通过建立数学模型，我们可以利用一次函数的特性，预测未知变量的值，辅助决策和解决问题。
opencv 坐标系转换函数
OpenCV坐标系转换函数是用来将不同坐标系下的点进行转换的函数。
在计算机视觉中，不同的坐标系有不同的应用场景，例如摄像头坐标系、图像坐标系、世界坐标系等。
因此，坐标系转换函数是非常常用的功能。
常见的坐标系转换函数包括：
1. cv
2.projectPoints：将三维点投影到二维平面上。
2. cv2.undistortPoints：去畸变，将图像上的点转换到归一化平面上。
3. cv2.fisheye.undistortPoints：去鱼眼畸变。
4. cv2.perspectiveTransform：透视变换，将三维点在透视空间中的坐标转换为二维平面上的坐标。
5. cv2.warpAffine：仿射变换，将图像进行平移、旋转和缩放等操作。
6. cv2.warpPerspective：透视变换，将图像进行透视变换。
7. cv2.remap：根据映射表对图像进行重映射。
以上是常见的坐标系转换函数，使用时需要根据具体的需求选择合适的函数，并且了解不同坐标系的定义和转换关系。
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cgcs2000坐标wgs84坐标系转换函数实现CGCS2000（中国大地坐标系2000）和WGS84是两个常用的全球坐标系。
在地理信息系统中，经常需要将这两种坐标系进行转换。
下面是一个简单的转换函数实现，但请注意，实际转换可能需要更复杂的算法和精确参数。
首先，我们要明白，直接进行坐标转换需要大地测量学中的复杂公式和参数，如椭球模型、扁率、地球自转效应等。
通常，我们会使用已有的库或服务来完成这种转换，如GDAL/OGR、proj.4等。
下面是一个简化的伪代码示例，用于描述坐标转换的基本思路：pythondef convert_cgcs2000_to_wgs84(cgcs2000_x, cgcs2000_y, cgcs2000_z):# 这里假设我们已经有了一个转换模型或参数# 在实际中，这些参数是通过大地测量学方法获得的# 转换公式可能涉及到复杂的三角函数和大地测量学参数# 例如，大地纬度B、大地经度L和大地高H之间的转换# 简化处理，这里我们仅使用伪代码表示转换过程wgs84_x = cgcs2000_x + ... # 添加转换项和参数wgs84_y = cgcs2000_y + ... # 添加转换项和参数wgs84_z = cgcs2000_z + ... # 添加转换项和参数return wgs84_x, wgs84_y, wgs84_z# 使用示例cgcs2000_coords = (x_value, y_value, z_value)wgs84_coords = convert_cgcs2000_to_wgs84(*cgcs2000_coords)print(wgs84_coords)请注意，上面的代码只是一个非常简化的示例，实际的坐标转换涉及到更复杂的数学模型和参数。
在实际应用中，建议使用成熟的库或服务来完成这种转换，以确保准确性和可靠性。
matlab坐标系变换在MATLAB中，可以使用一些函数和操作实现坐标系的变换。
常见的一些方法有以下几种：1. 平移变换（Translation）：通过对坐标系所有点的位置进行加减偏移来实现平移变换。
可以使用矩阵加法或点运算函数来实现。
例如，将坐标系中的点(x, y)平移一定偏移量(dx, dy)，可以使用如下代码：```matlabx = x + dx;y = y + dy;```2. 旋转变换（Rotation）：通过旋转坐标系中的点来实现旋转变换。
可以使用旋转矩阵或旋转函数来实现。
例如，将坐标系中的点(x, y)按逆时针方向旋转一个角度theta，可以使用如下代码：```matlabtheta_rad = deg2rad(theta); % 将角度转换为弧度x_rot = x*cos(theta_rad) - y*sin(theta_rad);y_rot = x*sin(theta_rad) + y*cos(theta_rad);```3. 缩放变换（Scale）：通过缩放坐标系中的点的坐标值来实现缩放变换。
可以使用缩放矩阵或缩放函数来实现。
例如，将坐标系中的点(x, y)在x轴和y轴上分别缩放为原来的两倍，可以使用如下代码：```matlabscale_x = 2; % x轴缩放倍数scale_y = 2; % y轴缩放倍数x_scaled = x * scale_x;y_scaled = y * scale_y;```以上仅是坐标系变换的一些基本操作，实际应用中可能还会涉及更复杂的变换，如剪切、投影等。
MATLAB还提供了一些专门用于处理坐标系变换的函数和工具箱，例如`affine2d`类和`imwarp`函数，可以更方便地进行坐标系变换操作。
python 地理坐标转换函数摘要：1.引言2.Python 中地理坐标转换的方法2.1 调用第三方API2.2 使用pyproj 库3.地理坐标与投影坐标的转换3.1 坐标转换函数3.2 坐标系的转换4.国家坐标系5.结论正文：1.引言在地理信息系统（GIS）和地图制图中，地理坐标转换是一个非常重要的环节。
地理坐标，通常表示为一个点的经度和纬度，需要转换为投影坐标，以便在平面上表示和计算。
Python 作为一门广泛应用于GIS 和地图制图的编程语言，提供了多种地理坐标转换的方法。
本文将介绍Python 中地理坐标转换的方法和相关知识。
2.Python 中地理坐标转换的方法2.1 调用第三方API最常见的方法是调用第三方API，如高德地图、百度地图等。
这些API提供了经纬度坐标到投影坐标的转换功能。
使用这些API 需要先注册账号，获取API 密钥，然后在Python 中通过HTTP 请求调用API 接口。
具体使用方法可参考各API 的官方文档。
2.2 使用pyproj 库另一种方法是使用Python 中的pyproj 库。
pyproj 是一个制图投影和坐标转换库，提供了丰富的坐标转换函数。
使用pyproj 库需要先安装，然后在Python 中导入相关模块。
具体使用方法如下：```pythonimport pyproj# 初始化坐标系proj = pyproj.Proj(proj_path="path/to/your/proj4.txt")# 经纬度坐标转换为投影坐标x, y = t_lon_to_x_y(lat, lon)# 投影坐标转换为经纬度坐标lat, lon = proj.x_y_to_lat_lon(x, y)```3.地理坐标与投影坐标的转换地理坐标与投影坐标的转换涉及到坐标转换函数和坐标系的转换。
3.1 坐标转换函数坐标转换函数是将地理坐标（经度和纬度）转换为投影坐标（x 和y），或者将投影坐标转换为地理坐标。
二次函数与坐标系关系回顾在数学中，二次函数是一种常见的函数类型，具有形如y = ax^2 +bx + c的标准形式。
其中a、b和c是实数常数，且a不等于0。
在本文中，我们将回顾二次函数与坐标系之间的关系。
一、函数图像与坐标系二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负值。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
通过观察函数的系数，我们可以预测函数图像在坐标系中的形状。
在笛卡尔坐标系中，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
二次函数的图像与坐标系之间存在以下关系：1. 函数对称轴：二次函数图像的对称轴是垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过求解x = -b / 2a得到。
2. 函数顶点：二次函数图像的顶点是抛物线的最高或最低点。
顶点的横坐标由对称轴的x值确定，纵坐标可通过代入对称轴的x值计算得出。
3. 函数与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点可以用方程y = 0和x = 0求解。
当y = 0时，我们可以得到函数与x轴的交点；当x = 0时，我们可以得到函数与y轴的交点。
二、函数的变化和坐标系改变二次函数的系数a、b和c的值，将会对函数的图像产生不同的影响。
以下是几个常见的变化情况：1. 纵向伸缩：改变a的绝对值将会使抛物线图像在纵向上发生伸缩。
当|a|大于1时，图像纵向压缩；当0 < |a| < 1时，图像纵向拉伸。
2. 横向平移：改变b的值将会使抛物线图像在横向上发生平移。
当b大于0时，图像左移；当b小于0时，图像右移。
3. 纵向平移：改变c的值将会使抛物线图像在纵向上发生平移。
当c大于0时，图像上移；当c小于0时，图像下移。
三、实例分析以下是几个实例，通过对二次函数与坐标系之间的关系进行分析，我们可以更好地理解二次函数的图像特征：1. y = x^2当a = 1，b = 0，c = 0时，二次函数为y = x^2。
由于a大于0，函数图像开口向上。
对称轴为x = 0，顶点为原点，函数与x轴交于原点，不与y轴相交。
r语言coords函数R语言是一种流行的数据分析和统计软件，在数据可视化方面有很多有用的函数。
其中一个函数是coords，可以用来提取和修改图形坐标系的信息。
coords函数可以用于获取和修改坐标系的各种属性。
例如，可以提取坐标系的范围和比例尺，以便在图形中添加注释或自定义轴标签。
此外，还可以使用coords函数来修改坐标系，例如更改轴范围或方向，以便更好地展示数据。
在R语言中，使用coords函数需要首先创建一个图形对象，例如ggplot2包中的ggplot函数。
然后，可以使用coord函数来提取或修改坐标系的属性。
例如，以下代码演示了如何使用coords函数来提取一个ggplot2图形的坐标系范围：```library(ggplot2)data(mtcars)p <- ggplot(mtcars, aes(x = mpg, y = wt)) + geom_point()p + coord_cartesian(xlim = c(10, 30), ylim = c(2, 5))```在这个例子中，我们首先使用ggplot函数创建一个散点图，并将x 轴设置为汽车油耗，y轴设置为汽车重量。
然后，我们使用coord_cartesian函数来限制x轴和y轴的范围，只显示油耗在10到30之间，重量在2到5之间的汽车。
除了coord_cartesian，还有其他的coord函数可以用来修改坐标系，例如coord_flip可以用来交换x轴和y轴，coord_polar可以用来创建极坐标图形，等等。
coords函数还可以用来创建自定义坐标系。
例如，以下代码演示了如何使用coords函数来创建一个以对数为底的坐标系：```library(ggplot2)data(mtcars)p <- ggplot(mtcars, aes(x = hp, y = mpg)) + geom_point()p + coord_trans(x = "log10", y = "log10")```在这个例子中，我们首先使用ggplot函数创建一个散点图，并将x 轴设置为汽车马力，y轴设置为汽车油耗。
Matlab直角坐标系转换极坐标在数学和物理学中，直角坐标系和极坐标系是常见的两种坐标系。
直角坐标系使用(x,y)的形式表示点的位置，而极坐标系使用$(r,\\theta)$的形式表示。
在Matlab中，我们可以很方便地进行直角坐标系和极坐标系之间的转换，以满足不同问题的需求。
直角坐标系转换极坐标在Matlab中，使用cart2pol函数将直角坐标系转换为极坐标系。
该函数接受两个输入参数，(x,y)表示点的直角坐标，返回对应的极坐标$(r,\\theta)$。
以下是一个简单的示例，展示如何使用cart2pol函数进行直角坐标和极坐标之间的转换：x = 3;y = 4;[r, theta] = cart2pol(x, y);fprintf('直角坐标 (%.2f, %.2f) 转换为极坐标 (%.2f, %.2f)\', x, y, r, theta);运行上述代码，将得到输出结果：直角坐标 (3.00, 4.00) 转换为极坐标 (5.00, 0.93)上述代码中，我们定义了一个直角坐标(x,y)，分别为3和4。
然后使用cart2pol函数将直角坐标转换为极坐标。
最后，使用fprintf函数输出结果。
极坐标转换直角坐标系与直角坐标系转换为极坐标相反，我们可以使用pol2cart函数将极坐标转换为直角坐标系。
该函数接受两个输入参数，$(r,\\theta)$表示点的极坐标，返回对应的直角坐标(x,y)。
以下是一个示例，展示如何使用pol2cart函数进行极坐标和直角坐标之间的转换：r = 5;theta = pi/4;[x, y] = pol2cart(theta, r);fprintf('极坐标 (%.2f, %.2f) 转换为直角坐标 (%.2f, %.2f)\', r, theta, x, y);运行上述代码，将得到输出结果：极坐标 (5.00, 0.80) 转换为直角坐标 (2.50, 2.50)上述代码中，我们定义了一个极坐标$(r,\\theta)$，其中r为5，$\\theta$为$\\pi/4$。
1、点坐标的特征：x 轴上点坐标的特征：（m,0）y 轴上点坐标的特征：（0，m ）平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行y 轴的直线上的点的横坐标相同。
2、点坐标的几何意义：（1）点（a ，b ）表示到x轴的距离是b ，到y 轴的距离是a （2）根据点到坐标轴的距离可以写出点坐标，但是需要考虑符号，需要分类讨论。
例：点A 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，求点A 的坐标。
答：（3,2）或（-3,2）或（-3，-2）或（3，-2）3、确认函数自变量取值范围的方法：【方法技巧】第一节 函数-平面直角坐标系与函【知识梳理】4、函数图象问题的解题技巧：①解题关键步骤：第一步：识别变量（审题）：第二步：判断趋势第三步：找特殊值第四步：列解析式小贴士：以上四步没有绝对的向后顺序，若可以利用排除法求，则优先利用排除法，若实在判断不了函数图象，则可求出函数的关系式；注意出现动点时，要标出动点走过的路程和剩下的路程再去找关系，常用勾股定理和相似来求动点解析式②判别图象是曲还是直：要看变量的个数，若一个变量，则为直线；若变量是两个，则为曲线。
两个变量的增加性一样，则开口向上。
若不一样，开口向下。
③识别图象特点：若动点在直线、射线、线段、圆、圆弧上动，则函数图像为连续圆滑的图像，若在有尖点的折线上运动，则函数图像为出现明显的拐点为分段函数。
【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是（）A．B．C． D．变式1、已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞C．﹣＜a＜1 D．﹣1＜a＜例2、已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1、在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例3、已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．变式1、画出平面直角坐标系，标出下列各点；（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；（4）点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度（5）点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．依次连接这些点，你能得到什么图形？例4、已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3）①在直角坐标系中，画出△ABC；②求△ABC的面积．变式1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1），B（1，1）C（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）（1）在坐标系中描出各点，画出△AEC，△BCD．（2）求出△AEC的面积（简要写明简答过程）．变式2、已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．例5、已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）CD= ，|DB﹣AC|= ；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB两点之间的距离．变式1、先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．考点二：函数及其图象例1、在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≤C．x＞D．x≥变式1、函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x≥2C．x≥2且x≠﹣4D．x≠﹣4变式2、函数y=的自变量x的取值范围为（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≠2例2、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．例3、如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y=2x+1B．y=x﹣2x2C．y=2x﹣x2D．y=2x变式1、如图，A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点，点B与点O在直线AC两侧，∠BAC=∠OAC，BC⊥AC，点B的坐标为（x，y），y与x的函数关系式为（）A．y=8x B．y=C．y=D．y=例4、在五边形ABCDE中，∠B=90°，AB=BC=CD=1，AB∥CD，M是CD边的中点，点P由点A出发，按A→B→C→M的顺序运动．设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P 从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．例5、如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．变式1、如图，BC是⊙O直径，A是圆周上一点，把△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，连结BD，当BD∥AC时，记旋转角为x度，若∠ABC=y度，则y与x之间满足的函数关系式为（）A．y=180﹣2x B．y=x+90C．y=2x D．y=x例6、如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O变式1、一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（）A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B例7、如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE变式1、如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H 是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH例8、小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N变式1、如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A．点B B．点C C．点D D．点E例9、如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④变式1、如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A 运动结束．设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么如图乙图象中可能表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．①B ．④C ．①或③D ．②或④<A 组>1．已知点P （0，m ）在y 轴的负半轴上，则点M （﹣m ，﹣m+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞4B ．x≥2C ．x≥2且x≠﹣4D ．x≠﹣43．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min 后回家，图中的折线段OA ﹣AB ﹣BC 是她出发后所在位置离家的距离s （km ）与行走时间t （min ）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）A ．B ．C ．D ．4．小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟【分层训练】返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是（）A．B．C．D．5．小颍今天发烧了．早晨她烧得很厉害，吃药后她感觉好多了，中午时小颖的体温基本正常，但是下午她的体温又开始上升，直到夜里小颖才感觉没那么发烫．下面四幅图能较好地刻画出小颖今天体温的变化情况的是（）A．B．C．D．6．已知点A（m，﹣2），点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣3D．37．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）8．如图，直线m∥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O49．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为1个单位）．若用（0，﹣2）表示苏果超市的位置，用（4，1）表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为．10．如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1）上，“相”位于点（4，﹣1）上，则“炮”所在的点的坐标是．<B组>1、如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A．（0，21008）B．（21008，21008）C．（21009，0）D．（21009，﹣21009）2、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=10，写出满足条件的所有点C的坐标．5、如图∥，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt∥ABC或Rt∥DEF的斜边长．下面：以求DE为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF=|5﹣（﹣3）|=8，EF=|4﹣（﹣7）|=11，所以由勾股定理可得：DE==．下面请你参与：（1）在图∥中：AC=，BC=，AB=．（2）在图∥中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC=，BC=，AB=．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得∥ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，∥APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7、如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），∥OEF 的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．参考答案【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、解：∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即﹣2m+3＜0，解得m＞．故选B．变式1、解：∵点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，∴，解得：a，故选：B．例2、解：由点P（0，m）在y轴的负半轴上，得m＜0．由不等式的性质，得﹣m＞0，﹣m+1＞1，则点M（﹣m，﹣m+1）在第一象限，故选：A．变式1、解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，∴a＞0，﹣b＞0，∴b＜0，∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．故选D．例3、解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．变式1、解：（1）∵点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度，∴点B的坐标为（1，0）；（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度，∴点C的坐标为（2，2）；（4）∵点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度，∴点D的坐标为（3，0）；（5）∵点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的坐标为（4，2）．将A、B、C、D、E标在同一坐标系中，依次连接这些点，如图所示，得到的图形为W形．例4、解：（1）△ABC如图所示；（2）△ABC的面积=6×5﹣×2×4﹣×1×6﹣×5×4，=30﹣4﹣3﹣10，=30﹣17，=13．变式1、解：（1）如图所示：（2）△AEC取EC为底，则EC为6，EC边上高AC=4所以S△AEC=×6×4=12．变式2、解：（1）S△ABC=3×4﹣×2×3﹣×2×4﹣×1×2=4；（2）如图所示：P1（﹣6，0）、P2（10，0）、P3（0，5）、P4（0，﹣3）．例5、解：（1）CD=|c﹣a|，|DB﹣AC|=|b﹣d|；（2）AB=；（3）AB==3．故答案为|c﹣a|，|b﹣d|；．变式1、解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|==13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|=|﹣1﹣5|=6，即A、B两点间的距离是6；（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB=5，BC=6，AC=5，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考点二、函数及其图象例1、解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，故选：B．变式1、解：由题意得，解得x≥2，x≠﹣4，∥自变量x的取值范围是x≥2，故选B．变式2、解：∥函数表达式y=的分母中含有自变量x，∥自变量x的取值范围为：x﹣2≠0，即x≠2．故选D．例2、快速解法：由题意可得P经过两个线段，BA,AC,当P在BA上运动时，BD是变化的（增大），PD也是变化的（增大），所以面积是曲线，不是直线，排除A、D当P在AC上运动时，BD是变化的（增大）,PD也是变化的（减少），所以面积是曲线，且是下降的。
第13课坐标系与函数
坐标系是数学中用来表示点的位置的一种工具。
它由两条互相垂直的
线组成，分别称为x轴和y轴。
每个点都可以用一对数字(x,y)来表示，
其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在坐标系中，原点是两条轴的交点，坐标轴上的单位长度称为单位长度。
坐标系可以用来表示平面上的几何图形、函数关系等。
函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在数学中，通常把函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数关系。
函数可以通过一个算式、图表或者一组数据来表示。
在坐标系中，函数可以用曲线来表示。
曲线上的每个点的坐标都满足
y=f(x)的关系。
通过观察曲线的形状和特点，我们可以了解函数的性质和
行为。
函数可以有各种形式，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指
数函数、对数函数等。
线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一
个抛物线，指数函数和对数函数的图像则具有特殊的形状。
函数还有一些特点和性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极
值等。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函
数的奇偶性表示函数关系在对称轴上是否具有对称性，单调性表示函数在
整个定义域上的变化趋势，极值表示函数在一些点上的最大值或最小值。
第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。
函数之平面直角坐标系技巧及练习题附答案解析一、选择题1．如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4【答案】A【解析】 试题分析：因为A 点坐标为（－4，2），所以，原点在点A 的右边，也在点A 的下边2个单位处，从点B 来看，B （2，－4），所以，原点在点B 的左边，且在点B 的上边4个单位处．如下图，O 1符合．考点：平面直角坐标系．2．如果点P (),3m 在第二象限，那么点Q ()3,m -在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】根据第二象限的横坐标小于零可得m 的取值范围，进而判定Q 点象限.【详解】解：由点P (),3m 在第二象限可得m ＜0，再由-3＜0和m ＜0可知Q 点在第三象限，故选择C.【点睛】本题考查了各象限内坐标的符号特征.3．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．4．在平面直角坐标系内，若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，那么m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＞3 C．m＜1 D．1＜m＜3【答案】B【解析】【分析】由第二象限点的横坐标为负数、纵坐标为正数得出关于m的不等式组，解之可得答案．【详解】∵点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，∴3-010mm⎧⎨-⎩＜①＞②，解不等式①，得：m＞3，解不等式②，得：m＞1，则m＞3，故选：B．【点睛】本题主要考查象限内点的坐标符号特点及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．如图，动点P 从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( )A ．()1,4B ．()5,0C ．()7,4D ．()8,3【答案】C【解析】【分析】 理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P 第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P 的坐标为（7，4）．故选C ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.6．如图，在菱形ABCD 中，点,B C 在x 轴上，点A 的坐标为(0,23,分别以点,A B 为圆心、大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点,E F ．直线EF 恰好经过点,D 则点B 的坐标为（ ）1,0B．)3,0C．()2,0D．()3,0 A．()【答案】C【解析】【分析】连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出OB＝2，从而得到B点坐标．【详解】解：连接DB，如图，由作法得EF垂直平分AB，∴DA＝DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB，∴AD＝AB＝DB，∴△ADB为等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠ABO＝60°，∵A（0，23∴OA＝23∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝30°，∴在Rt△AOB中，AB＝2OB，∵OB2＋OA2＝AB2，∴OB2＋(232＝（2OB）2，∴OB＝2（舍负），∴B（2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质以及30°的直角三角形的特殊性质．7．平面直角坐标系中，P(－2a－6，a－5)在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a＜－3 C．－3≤a≤5D．－3＜a＜5【答案】D【解析】【分析】根据第三象限的点的坐标特点：x<0，y<0，列不等式组，求出a的取值范围即可.【详解】∵点P在第三象限，∴26050aa--<⎧⎨-<⎩，解得：-3<a<5，故选D.【点睛】本题考查了象限点的坐标的符号特征以及解不等式，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求a的取值范围．8．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=-x上B．直线y=x上C．双曲线y=1xD．抛物线y=x2上【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=-x上，故本选项错误；B、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=x上，故本选项错误；C、因为双曲线y=1x上的点必须符合xy=1，故x、y同号与已知矛盾，故本选项正确；D、若此点坐标是（0，0）时，在抛物线y=x2上，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．9．如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，∴，解得﹣1＜a＜3．在数轴上表示为：．故选A．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．10．如图，甲处表示2街6巷的十字路口，乙处表示6街1巷的十字路口．如果用（2，6）表示甲处的位置，那么“（2，6）→（3，6）→（4，6）→（5，6）→（6，6）→（6，5）→（6，4）→（6，3）→（6，2）→（6，1）”表示从甲处到乙处的一种路线（规定：只能沿线向下和向右运动），则从甲处到乙处的路线中经过丙处的走法共有（）A．38种B．39种C．40种D．41种【答案】C【解析】【分析】先确定从甲到丙的路线，再确定从丙到乙的路线，两种路线的乘积即为所求.【详解】解：从甲到丙有4条路线，从丙到乙有10条路线，∴从甲处到乙处经过丙处的走法共有4×10＝40种，故选：C．【点睛】本题考查坐标确定位置；能够用列举法求出甲到丙，丙到乙的路线方案是解题的关键．Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 11．如图，若OABC的坐标为（）A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，OA∥BC，∴点B的纵坐标为3，∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，∴点B的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.12．在平面直角坐标系中，点(－1, 3)在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点(－1, 3)在第二象限故选B.【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把点()1,1P y x '-++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点123,,,,,n A A A A L L ．若点1A 的坐标为()3,1，则点2019A 的坐标为（ ） A ．()0,2-B ．()0,4C ．()3,1D ．()3,1-【答案】D【解析】【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A 2019的坐标即可．【详解】解：A 1的坐标为（3，1），则A 2（-1+1，3+1）=（0，4），A 3（-4+1，0+1）=（-3，1），A 4（0，-2），A 5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点A 2019的坐标与A 3的坐标相同，为（-3，1），故选D.【点睛】本题考查点的坐标规律，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．14．如图，在菱形OABC 中，30AOC ∠=︒，4OA =，以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图.按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，以大于2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN 交BC 于点P .则点P 的坐标为( )A ．(4,2)B ．438,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．234,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()33,2 【答案】C【解析】【分析】 延长BC 交y 轴于点D 可求OD ，CD 的长，进一步求出BD 的长，再解直角三角形BPE ，求得BP 的长，从而可确定点P 的坐标.【详解】延长BC 交y 轴于点D ，MN 与AB 将于点E ，如图，∵四边形OABC 是菱形，∠AOC=30°,∴OA=OC=AB=BC=4，BC ∥OA ，∠ABC=30°,∴∠OCD=∠AOC=30°，∴OD=12OC=2，即点P 的纵坐标是2. ∴3∴3∵MN 是AB 的垂直平分线，∴BE=12AB=2，∴BP=cos30BE ==︒ ∴. ∴点P的坐标为423⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭故选C.【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，也考查了菱形的性质和解直角三角形．15．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 在第四象限，且点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，则点的坐标为( )A ．(3,-1)B ．(-3,1)C ．(1,-3)D ．(-1,3)【答案】A【解析】【分析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，结合第四象限点（+，-），可得答案．【详解】解：若点P 在第四象限，且点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，则点的坐标为（3，-1），故选：A ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．16．如图所示，长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别由点A(2， 0)同时出发，沿长方形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度秒匀速运动，则两个物体运动后的第2020次相遇点的坐标是( )A ．(2，0)B ．(-1，-1)C ．( -2，1)D ．(-1， 1)【答案】D【解析】【分析】 利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答；【详解】∵A （2，0），四边形BCDE 是长方形，∴B （2，1），C （-2，1），D （-2，-1），E （2，-1），∴BC=4，CD=2，∴长方形BCDE 的周长为()2422612⨯+=⨯=，∵甲的速度为1，乙的速度为2，∴第一次相遇需要的时间为12÷（1+2）=4（秒），此时甲的路程为1×4=4，甲乙在（-1，1）相遇，以此类推，第二次甲乙相遇时的地点为（-1，-1），第三次为（2，0），第四次为（-1，1），第五次为（-1，-1），第六次为（2，0），L L ，∴甲乙相遇时的地点是每三个点为一个循环，∵202036733÷=L ，∴第2020次相遇地点的坐标为（-1，1）；故选D.【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，掌握甲乙运动相遇时点坐标的规律是解题的关键.17．已知点P 位于y 轴右侧，距y 轴3个单位长度，位于x 轴上方，距离x 轴4个单位长度，则点P 坐标是( )A ．(3,4)B ．(-3,4)C ．(-4,3)D ．(4，3)【答案】A【解析】【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．【详解】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，∴P点在第一象限，又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）．故选A．【点睛】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．18．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣2），“象”位于点（5，0），则炮位于点（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，2）【答案】C【解析】【分析】根据“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y轴，向上平移2个单位所得直线是x轴，根据“炮”的位置，可得答案．【详解】解：根据题意可建立如图所示坐标系，由坐标系知炮位于点（﹣2，1），故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y轴，向上平移2个单位所得直线是x轴是解题关键．19．在平面直角坐标系中．对于平面内任一点（m ，n ），规定以下两种变换： ①f （m ，n ）=（m ，﹣n ），如f （2，1）=（2，﹣1）；②g （m ，n ）=（﹣m ，﹣n ），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）．按照以上变换有：f[g （3，4）]=f （﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f （3，2）]等于（ ）A ．（3，2）B ．（3．﹣2）C ．（﹣3，2）D ．（﹣3，﹣2）【答案】C【解析】【分析】根据f 、g 的规定进行计算即可得解．【详解】g [f （3，2）]=g （3，﹣2）=（﹣3，2）．故选C ．【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解f 、g 的运算方法是解题的关键．20．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是α，且35,cos 5OP α==，则P 点的坐标为（）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()3,5-【答案】B【解析】【分析】 过点P 作PA ⊥x 轴于A ，利用35,cos 5OP α==求出OA ，再根据勾股定理求出PA 即可得到点P 的坐标.【详解】过点P 作PA ⊥x 轴于A ， ∵35,cos 5OP α==， ∴3cos 535OA OP α=⋅=⨯=，∴22=-=4，PA OP OA∵点P在第二象限，∴点P的坐标是（-3,4）故选：B.【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.。
直角坐标系的函数公式引言在数学中，直角坐标系是最基本、最常用的坐标系之一。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，分别称为 x 轴和 y 轴。
直角坐标系可用于描述平面上的点和图形，并且它的函数公式在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
坐标系的表示直角坐标系将平面划分为四个象限，可以用一个有序对 (x, y) 表示平面上的任意点。
其中，x 表示点在 x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。
x 轴和 y 轴的交点称为坐标原点，它的坐标表示为 (0, 0)。
直线的函数公式在直角坐标系中，直线的函数公式可用一元线性方程表示。
一元线性方程的一般形式为：y = mx + b其中，m 为斜率，表示直线的倾斜程度；b 为截距，表示直线与 y 轴的交点。
直线的函数公式可以帮助我们确定直线在坐标系中的位置、斜率和截距等重要特征。
曲线的函数公式除了直线，直角坐标系中还有各种曲线，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
每种曲线都有特定的函数公式，用于描述曲线上的点的位置。
以圆为例，圆的函数公式为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b) 表示圆心的坐标，r 表示圆的半径。
这个函数公式可以帮助我们确定圆心的位置、圆的半径以及圆上每个点的位置。
函数图像函数图像是函数公式在直角坐标系中的几何表示。
通过画出函数图像，我们可以直观地了解函数的性质和规律。
对于一元线性方程y = mx + b，它代表一条直线。
斜率 m 的正负决定了直线的倾斜方向，斜率越大，直线越陡峭。
截距 b 决定了直线与 y 轴的交点位置，当 b = 0 时，直线经过原点。
对于圆的函数公式(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，它代表一个圆。
圆心在 (a, b) 处，半径为r。
圆形的特点是从圆心出发的任意两个点之间的距离都等于半径r。
根据圆心、半径和距离的关系，我们可以绘制出圆的函数图像。
总结直角坐标系的函数公式是数学中非常重要的概念之一。
新初中数学函数之平面直角坐标系解析含答案一、选择题1．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D ¢处，则点C 的对应点C '的坐标为（ ）A ．()23,2B ．()4,2C ．(4,23D ．(2,23 【答案】C【解析】【分析】 由已知条件得到AD′=AD=4，AO=12AB=2，根据勾股定理得到2223AD OA '-=于是得到结论．【详解】∵AD ′=AD=4， AO=12AB=2， ∴OD ′2223AD OA '-=∵C ′D ′=4，C′D′∥AB ，∴C ′（4，3），故选C ．【点睛】考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，长方形ABCD 的三个顶点()(32),(12),1,1,A B C ---，，则第四个顶点D 的坐标是（ ）．A ．()2,1-B ．(3,1)-C ．()2,3-D ．(3,1)-【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质（对边相等且每个角都是直角），由矩形ABCD 点的顺序得到CD ⊥AD ，可以把D 点坐标求解出来.【详解】解：根据矩形ABCD 点的顺序可得到CD ⊥AD ，又∵()(32),(12),1,1,A B C ---，， ∴A 、B 纵坐标相等，B 、C 横坐标相等，∴A 、D 横坐标相等，即3；D 、C 纵坐标相等，即-1，因此(31)D -，【点睛】本题主要考查了矩形的性质和直角坐标系的基本概念，利用矩形四个角都是直角、对边相等是解题的关键.3．如果点在第四象限，那么m 的取值范围是（ ）． A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．【详解】解：∵点p （m ，1-2m ）在第四象限，∴m ＞0，1-2m ＜0，解得：m ＞，故选D ．【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m 的取值范围．4．点P （a ，b ）在y 轴右侧，若P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣3，2）B ．（﹣2，3）C ．（3，2）或（3，﹣2）D ．（2，3）或（2，﹣3）【答案】C【解析】【分析】根据点P 在y 轴右侧可知点P 在第一象限或第四象限，结合点P 到x 轴的距离是2可知点P 的纵坐标是2或2-，而再根据其到y 轴的距离是3得出点P 的横坐标是3，由此即可得出答案．【详解】∵点P 在y 轴右侧，∴点P 在第一象限或第四象限，又∵点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，∴点P 的纵坐标是2或2-，横坐标是3，∴点P 的坐标是(3，2)或(3，2-)，故选：C ．【点睛】本题主要考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，熟练掌握相关概念是解题关键.5．如果点P (),3m 在第二象限，那么点Q ()3,m -在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】根据第二象限的横坐标小于零可得m 的取值范围，进而判定Q 点象限.【详解】解：由点P (),3m 在第二象限可得m ＜0，再由-3＜0和m ＜0可知Q 点在第三象限， 故选择C.【点睛】本题考查了各象限内坐标的符号特征.6．如图，动点P 从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( )A ．()1,4B ．()5,0C ．()7,4D ．()8,3【答案】C【解析】【分析】 理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P 第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P 的坐标为（7，4）．故选C ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.7．如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（ ）A ．()2,23B ．()2,2-C ．()2,23-D ．()1,3- 【答案】C【解析】【分析】 连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．【详解】解：连接OF ，在Rt △OFG 中，∠GOF=13603026⨯=o o ，OF=4． ∴GF=2，OG=23．∴F （-2，23）．故选C ．【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的对称性是解答本题的关键．8．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60︒的扇形组成一条连续的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为2个单位长度/秒，点在弧线上的速度为23π个单位长度/秒，则2019秒时，点P 的坐标是（ ）A ．()2019,0B ．()2019,3C ．()2019,3-D ．()2018,0【答案】C【解析】【分析】 如图，过半径OA 的端点A 作AB x ⊥轴于点B ，设第n 秒运动到点n P （n 为自然数），根据锐角三角函数和扇形的弧长公式求得414+34+442(41,3),(42,0),(43,3),(44,0)n n n n P n P n P n P n +++++-+，根据201945043=⨯+即可求解点P 的坐标．【详解】如图，过半径OA 的端点A 作AB x ⊥轴于点B ，设第n 秒运动到点n P （n 为自然数）2,60OA AOB ︒=∠=Qsin 3cos 1AB OA AOB OB OA AOB ∴=⋅∠==⋅∠=，圆心角为60°的扇形的弧长为60221803ππ⨯= 12345(13),(2,0),(3,3)(4,0),3),,P P P P P ∴-L1244(41,3),n n P n P ++∴+4+34+4(42,0),(43,3),(44,0)n n n P n P n ++-+201945043=⨯+Q∴2019秒时，点P 的坐标为()2019,3-故答案为：C ．【点睛】本题考查了坐标类的规律题，掌握各点坐标的规律是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系上有个点(1,0)P ，点P 第1次向上跳动1个单位至点1(1,1)P ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点2(1,1)P -，第3次向上跳动1个单位到达3(1,2)P -，第4次向右跳动3个单位到达4(2,2)P ，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点2019P 的坐标为（ ）．A ．(505,1010)B ．(505,505)-C ．(505,1010)-D ．(505,505)-【答案】C【解析】【分析】 设第n 次跳动至点Pn ，根据部分点An 坐标的变化找出变化规律“P 4n （n ＋1，2n ），P 4n ＋1（n ＋1，2n ＋1），P 4n ＋2（−n−1，2n ＋1），P 4n ＋3（−n−1，2n ＋2）”，依此规律结合2019＝504×4＋3即可得出点P 2019的坐标．【详解】设第n 次跳动至点Pn ，观察发现：P （1，0），P 1（1，1），P 2（−1，1），P 3（−1，2），P 4（2，2），P 5（2，3），P 6（−2，3），P 7（−2，4），P 8（3，4），P 9（3，5），…，∴P 4n （n ＋1，2n ），P 4n ＋1（n ＋1，2n ＋1），P 4n ＋2（−n−1，2n ＋1），P 4n ＋3（−n−1，2n ＋2）（n 为自然数）．∵2019＝504×4＋3，∴P 2019（-504-1，504×2＋2），即(505,1010)-．故选：C ．【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点An 坐标的变化找出变化规律“P 4n （n ＋1，2n ），P 4n ＋1（n ＋1，2n ＋1），P 4n ＋2（−n−1，2n ＋1），P 4n ＋3（−n−1，2n ＋2）（n 为自然数）”是解题的关键．10．如图，若A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），则点C坐标为（）A．（﹣2，6）B．（﹣1，6）C．（﹣2，7）D．（﹣1，7）【答案】D【解析】【分析】根据A、B的坐标判断出y轴在AB的垂直平分线上，结合图形可得点C的纵坐标比A、B 的纵坐标大2，然后解答即可．【详解】如图所示，∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），∴则点C坐标为（﹣1，7），故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，准确识图，判断出y轴的位置以及点C的纵坐标与点A、B的纵坐标的关系是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C12．课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用(0,0)表示，小军的位置用(2,1)表示，那么小刚的位置可以表示为()A．(5,4) B．(4,5) C．(3,4) D．(4,3)【答案】D【解析】【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标即可解答．【详解】如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．【点睛】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置．13．如果点P在第三象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，那么点P的坐标是（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（﹣5，4）D．（﹣5，﹣4）【答案】D【解析】【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.【详解】解：∵第三象限的点P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，∴点P 的横坐标是﹣5，纵坐标是﹣4，∴点P 的坐标为（﹣5，﹣4）.故选：D.【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．14．如图，在菱形OABC 中，30AOC ∠=︒，4OA =，以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图.按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，以大于2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN 交BC 于点P .则点P 的坐标为( )A ．(4,2)B ．438,23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．234,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()33,2 【答案】C【解析】【分析】 延长BC 交y 轴于点D 可求OD ，CD 的长，进一步求出BD 的长，再解直角三角形BPE ，求得BP 的长，从而可确定点P 的坐标.【详解】延长BC 交y 轴于点D ，MN 与AB 将于点E ，如图，∵四边形OABC 是菱形，∠AOC=30°,∴OA=OC=AB=BC=4，BC ∥OA ，∠ABC=30°,∴∠OCD=∠AOC=30°，∴OD=12OC=2，即点P 的纵坐标是2. ∴3∴BD=BC+CD=4+23,∵MN是AB的垂直平分线，∴BE=12AB=2，∴BP=43cos303BE==︒∴DP=BD-BP=4+23-43=4+23.∴点P的坐标为234,23⎛⎫+⎪⎪⎝⎭故选C.【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，也考查了菱形的性质和解直角三角形．15．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形，其中()()2,03,1,A B、将ABCDY在x轴上顺时针翻滚．如：第一次翻滚得到111,AB C OY第二次翻滚得到1122B AO CY，···则第五次翻滚后，C点的对应点坐标为（）A．(622,2+B．2,622+C．2,622-D．(622,2-【答案】A【解析】【分析】ABCDY在x轴上顺时针翻滚，四次一个循环，推出第五次翻滚后，点A的坐标，再利用平移的性质求出C的对应点坐标即可．【详解】连接AC，过点C作CH⊥OA于点H，∵四边形OABC是平行四边形，A(2，0)、B(3，1)，∴C(1，1)，∴∠COA=45°，OC=AB=2， ∴OH= OC÷2=1，∴AH=2-1=1，∴OA=AH ，∴OC=AC ，∴∆OAC 是等腰直角三角形，∴AC ⊥OC ， ∵ABCD Y 在x 轴上顺时针翻滚，四次一个循环，∴第五次翻滚后点，A 的坐标为(6+22，0)，把点A 向上平移2个单位得到点C ， ∴第五次翻滚后，C 点的对应点坐标为()622,2+．故选：A ．【点睛】本题主要考查图形与坐标，涉及平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及平移的性质，找到点的坐标的变化规律，是解的关键．16．如图所示，长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别由点A(2， 0)同时出发，沿长方形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度秒匀速运动，则两个物体运动后的第2020次相遇点的坐标是( )A ．(2，0)B ．(-1，-1)C ．( -2，1)D ．(-1， 1)【答案】D【解析】【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答；【详解】∵A （2，0），四边形BCDE 是长方形，∴B （2，1），C （-2，1），D （-2，-1），E （2，-1），∴BC=4，CD=2，∴长方形BCDE 的周长为()2422612⨯+=⨯=，∵甲的速度为1，乙的速度为2，∴第一次相遇需要的时间为12÷（1+2）=4（秒），此时甲的路程为1×4=4，甲乙在（-1，1）相遇，以此类推，第二次甲乙相遇时的地点为（-1，-1），第三次为（2，0），第四次为（-1，1），第五次为（-1，-1），第六次为（2，0），L L ，∴甲乙相遇时的地点是每三个点为一个循环，∵202036733÷=L ，∴第2020次相遇地点的坐标为（-1，1）；故选D.【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，掌握甲乙运动相遇时点坐标的规律是解题的关键.17．已知点P 位于y 轴右侧，距y 轴3个单位长度，位于x 轴上方，距离x 轴4个单位长度，则点P 坐标是( )A ．(3,4)B ．(-3,4)C ．(-4,3)D ．(4，3)【答案】A【解析】【分析】根据题意，P 点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P 点到坐标轴的距离确定点的坐标．【详解】解：∵P 点位于y 轴右侧，x 轴上方，∴P 点在第一象限，又∵P 点距y 轴3个单位长度，距x 轴4个单位长度，∴P 点横坐标为3，纵坐标为4，即点P 的坐标为（3，4）．故选A ．【点睛】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．18．如图，在平面直角坐标系中，三角形AOB 的三个顶点的坐标分别是(1,3)A ，(0,0)O ，(2,0)B ，第一次将三角形AOB 变换成三角形11AOB ，1(2,3)A ，1(4,0)B ；第二次将三角形11AOB 变换成三角形22A OB ，2(4,3)A ，2(8,0)B ；第三次将三角形22A OB 变换成三角形33A OB …，则2020B 的横坐标是（ ）A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222【答案】C【解析】【分析】 对于A 1，A 2，A n 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3，B n 的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可得到2020B 的横坐标．【详解】解：因为B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）…纵坐标不变，为0， 同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B 的坐标为2020B （20212，0）；故选：C ．【点睛】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，解题的关键是找到点B 横坐标都与2有关的规律．19．若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，0）B ．（3，0）或（–3，0）C ．（0，3）D ．（0，3）或（0，–3）【答案】B【解析】【分析】根据x 轴上点的纵坐标为0，可得P 点的纵坐标，根据点P 到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【详解】由x 轴上的点P ，得P 点的纵坐标为0，由点P 到y 轴的距离为3，得P 点的横坐标为3或-3，∴点P 的坐标为（3，0）或（-3，0），故选B ．【点睛】本题考查了点的坐标，利用y 轴上点的横坐标为得出P 点的横坐标是解题关键，注意点到x 轴的距离是点的纵坐标的绝对值．20．下列结论：①坐标为3-的点在经过点(3,0)-且平行于y 轴的直线上；②0m ≠时，点()2,P m m -在第四象限；③点()3,4-关于y 轴对称的点的坐标是(3,4)--；④在第一象限的点N 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是2，则点N 的坐标为(2,1)． 其中正确的是（ ）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 【答案】C【解析】【分析】依据点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．【详解】①横坐标为3-的点在经过点(3,0)-且平等于y 轴的直线上，故正确；②当0m ≠时，点()2,P m m -在第四象限或第一象限，故错误；③与点()3,4-关于y 对称点的坐标是(3,4)，故错误；④在第一象限的点N 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是2，则点N 的坐标为(2,1)，故正确．故选：C ．【点睛】本题考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征．。
函数与坐标系的理解与运用函数与坐标系是数学中非常重要的概念和工具。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
而坐标系则是一个二维或多维空间中的点的表示方式。
一、函数的基本概念和性质函数的定义：函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示，例如f(x)，其中x代表输入值，f(x)代表输出值。
函数的可变性：函数的输出值随着输入值的改变而改变。
函数可以是线性的、非线性的、周期性的等等。
函数的可变性可以通过函数图像来表示，函数图像是函数在坐标系中的表示。
函数的性质：函数具有定义域、值域和图像等性质。
定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合，而图像是函数在坐标系中的表示。
函数的运算法则：函数之间可以进行加减乘除等运算。
例如，两个函数可以进行加法运算得到一个新的函数。
函数的应用：函数在数学中有广泛的应用，例如在解方程、建模等方面起到重要作用。
二、坐标系的基本概念和性质直角坐标系：直角坐标系是一个由两条相互垂直的线组成的平面，其中一条线称为x轴，另一条线称为y轴。
通过坐标系，可以表示平面上的任意点。
极坐标系：极坐标系是一个由极轴和极径组成的平面。
极轴是一个固定的线，极径是从原点到点的距离。
通过极坐标系，可以表示点的位置和方向。
坐标系的转换：直角坐标系和极坐标系之间可以进行相互转换。
通过坐标系的转换，可以方便地描述复杂的图形和计算相关的量。
三、函数与坐标系的关系函数的图像在坐标系中可以表示为曲线或者直线。
通过函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
坐标系可以帮助我们理解函数的定义域、值域和图像。
通过函数在坐标系中的表示，可以更好地理解函数的变化趋势和特点。
函数图像可以通过坐标系的变换来表示。
例如，对于一条直线的方程，可以通过直角坐标系或者极坐标系来表示。
总结：函数与坐标系是数学中重要的概念和工具。
函数是一种关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
课题：函数的定义、平面直角坐标系
主备：朱贝课型：复习审核：九年级数学组
班级姓名学号
【学习目标】
1. 函数的相关概念及表示方法
2. 平面直角坐标系中，点坐标的表示和相关应用
【重点难点】
重点：函数的相关概念及表示方法，平面直角坐标系的应用难点：函数和坐标系的应用【知识梳理】
一、函数的概念及表示方法
1．在某一过程中可以取不同数值的量叫做___ _____ ，保持同一数值的量叫做。
2．如果那么， y叫做x的函数，x叫做。
3．函数的三种表示方法是：、、。
二、平面直角坐标系
1．点P（a，b），关于x轴对称点的坐标为 ________，关于y轴对称点的坐标为_________，关于原点的坐标为___ __；点P（a，b），到x轴的距离为；到y轴的距离为，到原点的距离为。
x轴上的点A坐标为（a, ）,y轴上的点B坐标为（，b）。
2.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，A（a,b）,B (c,d),则AB= ,b d；线段CD‖y轴，C（e,f）B (g,h),则CD= ,e g。
【课前练习】
1．已知点P（-2m,m-6）
（1）当m=-1时，点P在第象限；
（2）当点P在x轴上时，m= ；
（3）当点P在第三象限时，m的取值范围是。
2．点M(4,0)到点(-1,0)距离是；点P（-5，12）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是。
3.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，点A（2,3），AB=5，则点B的坐标为。
4．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，
5．边长为a的等边三角形，其面积S= ，其中常量是，变量是，
是 的函数，自变量是 。
6．某游客为爬上3千米高的山顶看日出。
先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。
游客爬山所用时间 与山高 间的函数关系用图形表示是( )
【例题教学】
例1、已知点A （2a-3，-4）与点B （6，b-1）关于x 轴对称．
（1）求a 、b 的值；
（2）点C （a-1，b-3）在第几象限？
（3）试求线段AB 的长；
（4）若把线段AB 绕点A 沿逆时针方向旋转60°得线段AB′，试求B′的坐标
例2、已知点A(2，0)，B(－1，6)，以AB 为一边作矩形ABCD ，使得其中一个顶点落在y 轴上，求另两个顶点的坐标。
【课堂检测】 1、将平面直角坐标系中的点P （a-2，2a+1）向左平移1个单位后位于第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．0＜a ＜2
B ．1-
2＜a ＜1 C ．1-2＜a ＜2 D ．1-
2＜a ＜3 2、在平面直角坐标系中，已知点A （a,b ）.
(1) 若a 、b 同号，则点A 可能在 象限。
（2）若a 、b 异号，则点A 可能在 象限。
（3）若ab=0，则点A 可能的位置是 。
3、已知：点A （-1，0）和点B （1，2），将线段AB 平移至A ，B ，，点A ，与点A 对应，若点A ，的坐标为（1，-3），则点B ，的坐标为（ ）。
A ．（3，0）
B ．（3，-1）
C ．（3，0）
D ．（-1，3）
4、
函数y =x 的取值范围是 。
5、芳芳用水管以均匀的速度向一个容器中注水，在注水过程中，水面的高度h 与注水时间t 之间的函数图象如图所示，最后芳芳将容器注满水，则这个容器的形状大致为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
6、甲乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息回答下列问题：
（1）乙队开挖到30m 时，用了______h.开挖6h 时，甲队比乙队多
挖了_______m ；
（2）请你求出:①甲队在0≤x ≤6的时间段内,y 与x 之间的函数关
系式；
②乙队在2≤x ≤6的时间段内，y 与x 之间的函数关系式；
（3）当x 为何值时，甲乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等，
什么时间段乙所挖河渠的长度比甲长？
【课后巩固】 1、若点M(x,y)在第二象限，且04,022=-=-y x ，则点M 的坐标是 ；若点M(x,y)满足01)2(2=-++y x ，
则点M 的坐标是 ，它关于y 轴的对称点坐标为 。
2.在直角坐标系中，点A(3,-2)、B((3,1)、C(3,4)是否共线？ ；线段AB BC(填<、=、>)
3.在直角坐标系中，已知三点A(0,0)、B((6,0)、D(4,3)，增加一点E 使四点构成平行四边形，则E 坐标为 。
4、一根2米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第5次后剩下的小棒有 米，第n 次，截去后剩下的小棒长为h 米，那么h= 。
5、李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈了一会儿，返回途中，在读
报栏前看了一会儿报，如图所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问
题。
（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多少时间？
（2）读报栏大约离家多远？
（3）李奶奶在哪段时间走得最快？你是怎么计算的。
6. 如图，已知正方形ABCD 的面积为4，M 是CD 的中点，点P 为一动点，并从点A 出发沿AM 方向向点M 运动，设点P 到AB 的距离PH 为x ，四边形BPMC 的面积为y ，写出y 与x 之间的关系式，画出它的图像。
7、如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，求点O ′的坐标。
