平面直角坐标系与函数

专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。

2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。

3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。

说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。

⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。

5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。

6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。

7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。

(3)常量：在某变化过程中的量。

变量：在某变化过程中的量。

(4) 函数的表示方法:①；②；③。

能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。

二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。

教师 许长征、田淑梅 年级九年 学科数学 第1课时 2012年 3月 14日课题平面直角坐标系及函数基本概念课型复习学 习 目 标1、平面直角坐标系2、点坐标对称性3、函数的概念4、自变量取值范围5函数表达方式及图像做法重点 点坐标对称性，函数的概念，自变量取值范围 难点 自变量取值范围环节导 学 设 计易错点及变式一、平面直角坐标系1、平面内有 且 的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系内的点和 之间建立了—一对应的关系。

2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＜0。

（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。

点P （x ，y ）在 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。

3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到 的距离是22y x +（4）在平面直角坐标系内任意两点的距离可表示为： 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是 ；【典型考题】 1、点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）2、点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2） D 、（2，－1）3、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。

第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。

八年级上册数12章知识点在八年级上册数学中，第12章是“平面直角坐标系与函数”的内容。

该章节涉及的知识点包括：平面直角坐标系的建立、坐标系中点的坐标、平面直角坐标系的应用、函数的基本概念、函数的图象、函数的性质、函数的表示方法等。

下面我们将逐一介绍这些知识点。

1. 平面直角坐标系的建立平面直角坐标系是通过相互垂直的两条数轴来建立的。

其中，x轴称为横坐标轴，y轴称为纵坐标轴。

两条轴的交点称为坐标原点，用O表示。

每个点在坐标系中都有唯一确定的坐标表示。

例如，点A在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，则A的坐标表示为（3，4）。

2. 坐标系中点的坐标当点在坐标系中的x坐标和y坐标都相同时，该点位于坐标系中心，我们称其为中心点。

例如，在以原点为中心的坐标系中，中心点的坐标为(0,0)。

当中心点不在原点时，其坐标为相应轴中点的坐标。

3. 平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学中有广泛的应用。

它可以被用于描述物体在空间中的位置和运动状态，并可以通过坐标系中函数的图象来描述各种关联关系。

4. 函数的基本概念函数是指若干个变量之间的一种关系。

在数学中，我们通常用字母表示函数，并用一个括号内表示自变量的值。

例如，函数f(x)表示自变量为x时的函数值。

函数可以用表格、图形或公式等方式表示。

在函数中，自变量和函数值之间的关系可以用函数图象很好地表示出来。

5. 函数的图象函数图象可以帮助我们理解函数的性质。

例如，对于一元二次函数，其图象为一条抛物线。

通过观察函数图象，我们可以知道该函数的零点、顶点、开口方向等特征。

6. 函数的性质函数的性质描述了函数的特性，其中比较重要的有：奇偶性、单调性、周期性等。

奇偶性表示函数的图象是否呈现对称的现象。

单调性表示函数的变化方向。

周期性表示函数的特定区间内是否重复。

7. 函数的表示方法函数可以用不同的方式表示。

比如，可以使用解析式、图形和表格等方式来表示函数。

在解析式中，函数通常使用通用公式表示。