垂径定理说课PPT课件

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《垂径定理推论》课件

04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公式，我们知道点P到圆心的距离等于点P的横坐标与圆心横坐标之差的平方和加上点P的纵坐标与圆心纵坐标之差的平方和的平方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推论解决实际问题，提高数学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱，增强数学学习的自信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理，它描述了从圆心到圆上任一点的连线（即半径）与通过该点的圆的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。

垂径定理说课课件

几何作图
垂径定理是几何作图中的重要工具，可以用来确定圆的中心和半径，从而画出精确的圆。
圆的性质
垂径定理是研究圆的性质的重要工具，可以用来推导和证明许多圆的性质和定理。
解析几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在解析几何中，垂径定理可以用来解决一些涉及到圆的问题，例如求圆的方程和圆心坐标等。
定理在其他学科中的应用
天文学
CHAPTER 02
定理内容
定理的文字表述
定理名称：垂径定理
总结词：该定理描述了直线与圆的位置关系以及相关的性质。
详细描述：垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它指出如果一条直线垂直于圆的一条直径，那么这条直线将平分这个圆，并且通过圆心。
定理的图形表述
总结词
通过图形直观地展示垂径定理。
详细描述
THANKS
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垂径定理说课课件
• 定理内容 • 应用举例 • 练习与巩固 • 总结与回顾
CHAPTER 01
引入
什么是垂径定理
01
垂径定理是圆的基本定理之一，它描述了通过圆心并与圆相交的任何直径将平分该圆。
02
该定理可以表述为：如果一条直径同时垂直于圆上的一条弦和一条直径，则它也将平分该弦。
垂径定理的重要性
垂径定理是几何学中非常重要的基本定理之一，它在证明其他定理和解决几何问题时经常被使用。
它对于理解圆的性质和解决与圆相关的问题至关重要，是进一步学习几何学的基础。
为什么学习垂径定理
学习垂径定理有助于培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们解决问题的能力。
通过学习垂径定理，学生可以更好地理解圆的性质和特点，为进一步学习更复杂的几何知识打下基础。此外，垂径定理在日常生活和实际应用中也具有重要意义，例如在建筑设计、机械制造和自然科学等领域中都有广泛的应用。

垂径定理PPT演示课件

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长；（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则 AB2+CD2＝（）

《圆的垂径定理》课件

第四步
综合第二步和第三步的结论，得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的圆心角，利用垂径定理可以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的圆心角，利用垂径定理可以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利用垂径定理可以计算出圆心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于解决一些实际应用问题，例如计算桥梁的承重能力、设计圆形工件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常广泛，例如在建筑设计、机械制造、航空航天等领域中，垂径定理都发挥着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如在研究光的反射和折射、地球的重力场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与其他数学知识结合使用，例如与三角函数、坐标系等结合，解决更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作两条切线，则该点到两切点的线段长度相等。这个定理在解决与圆的切线和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用

垂径定理PPT课件(人教版)

37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径弦心距
A
• 一个Rt△：半径半弦弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A

《垂径定理》课件

答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦，然后画一条垂直于该弦的直径，用以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的性质和判定方法，适合数学基础较好的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆的中心，只需在圆上任取两点，然后通过这两点作垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆的切线。在圆上任取一点，然后通过这一点作圆的切线，切线与过圆心的垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且平分该弦所对的弧。

《垂径定理》优秀ppt课件2024新版

判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定理证明两组对角相等或邻边相等，进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边平行且另一组对边不平行，从而判断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不等式组的解集范围
结合图像直观展示解集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。

演示文档垂径定理课件PPT.ppt

可推得
平分弦
平分弦所对的劣（优）弧
..........
7
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D..........
D D
O
AE
B
C
8
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
..........
9
判断下列图形，能否使用垂径定理？
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
..........
14
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
..........
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2

《垂径定理》PPT教学课件

D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两类辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD

《垂径定理》课件1

通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，进而判断函数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的二次方程，由根与系数的关系可得垂线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度

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可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
线弧段：：Ａ⌒AＣE=＝BＢE⌒Ｃ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
▪ 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景，激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯。
教学重难点
▪ 重点：探究，发现，理解和掌握垂径定理。
▪ 难点：定理的证明及它的几个推论之间实质性的联系和应用。
教学方法和手段
▪ 以参与式探究教学法为主 ▪ 以学生手中的圆形纸片为工具 ▪ 以多媒体演示为辅助
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。
板书设计
探索一：圆的对称性探索二：垂径定理推论
垂直于弦的直径
定理问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
讨论
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧
⌒
AB
⌒
如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ
的中点，CD 就是拱高．
C
18.7 D A
B
7.2 R
O
现有一宽16米，船舱顶部为长方形，且高出水面5.9米的船能否通过这座弓桥？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
C
M
N
H
A
E
DF
B
O
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。
O AE B
▪ 本节课在教材中起承上启下的作用，是今后进一步研究圆，圆与其它知识综合的重要的预备知识。
教学目标
▪ 知识与技能：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并能运用其解决相关的计算和证明，养成勇于探索，敢于创新的习惯。
▪ 过程与方法：在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法及用数学语言表达数学问题的能力.
C
A E└
B
●O
D
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。
O
AE
B
4：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
A
E C
DB
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
解决求赵州桥拱半径的问题
我从以下三个方面对本课的设计进行说明：
▪ 一教材分析 ▪ 二教学方法和手段 ▪ 三教学程序
教材的地位和作用
▪ 本节课垂直于弦的直径是圆的轴对称性的具体化，它将几何中的垂直等问题在圆中进一步延续和深化。
▪ 在本节课的学习中，能使学生经历“观察，体验，猜想，证明”等数学学习过程，培养学生数学建模能力。