导数 方程的根

导数中两种零点问题解决方法导数中的零点问题是指函数在其中一点的导数为零。

解决导数零点问题的方法有两种：一种是解析法，一种是数值法。

一、解析法解析法是指使用数学知识和方法，通过分析函数的性质来求解导数的零点。

解析法包括以下几种常见的方法：1.1.方程法方程法是根据导数的定义，将函数的导数表达式设置为零，得到一个方程，从而求解出导数的零点。

具体步骤如下：1.将函数的导数表达式设置为零，得到一个方程。

2.解方程，求出方程的根。

3.将根带入原函数，计算出在根处的函数值。

1.2.倒数法倒数法是指使用导数的倒数来求解导数的零点。

具体步骤如下：1.对函数进行求导，并求出导数的表达式。

2.求导数的倒数，得到一个新的函数。

3.使用方程法求解导数的倒数的零点。

4.将零点带入原函数，计算出在零点处的函数值。

1.3.函数性质法函数性质法是指通过分析函数的图像和性质来求解导数的零点。

具体步骤如下：1.根据函数的图像和性质，确定导数的零点的位置。

2.使用方程法求解导数的零点，得到具体的数值。

3.将零点带入原函数，计算出在零点处的函数值。

二、数值法数值法是指使用数值计算的方法来求解导数的零点。

数值法包括以下几种常见的方法：2.1.二分法二分法是一种迭代求根的方法，通过函数在区间内取值的正负性来确定区间，并通过不断缩小区间的范围来求解导数的零点。

具体步骤如下：1.根据函数的图像和性质，选择一个初值区间，并确定函数在区间内的正负性。

2.通过计算区间的中点，并确定中点的函数值的正负性，来缩小区间。

3.不断迭代上述步骤，直到区间的宽度满足要求，得到导数的零点的近似值。

2.2.切线法切线法是使用切线近似原曲线的方法，通过迭代求解切线与横轴交点的坐标，来求解导数的零点。

1.根据函数的图像和性质，选取一个初始点，并求出该点处的导数值。

2.过初始点作函数图像的切线，并求出切线方程。

3.求出切线与横轴的交点的坐标，并将该点作为新的初始点。

4.重复上述步骤，直到满足迭代终止条件，得到导数的零点的近似值。

高考导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

导数与函数的零点或方程的根、不等式x －1 0 2 3 4f (x ) 1 2 0 2 0A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 根据导函数图象，知2是函数f (x )的极小值点，0和3是函数f (x )的极大值点，则函数f (x )的大致图象如图所示．因为1<a <2，所以数形结合可知y ＝f (x )－a 的零点个数为4.◇2．〖2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测〗定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解为( )A ．(14，＋∞)B ．(12，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞) 【答案】C【解析】 设g (x )＝f (x )e x ，g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex >0，知g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，由e x －1f (x )<f (2x －1)得：f (x )e x <f (2x －1)e2x －1，即g (x )<g (2x －1)，所以x <2x －1，解得x >1，故选C ． ◇3．〖2020·广西柳州毕业班摸底〗已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝e －2处取得极小值．(1)求实数a 的值；(2)当x >1时，求证：f (x )>3(x －1)．【答案】【解析】 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，因为函数f (x )在x ＝e －2处取得极小值，所以f ′(e －2)＝0，即a ＋lne －2＋1＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝ln x ＋2，当f ′(x )>0时，x >e －2，当f ′(x )<0时，0<x <e －2，所以f (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在x ＝e －2处取得极小值，符合题意．所以a ＝1.(2)由(1)知a ＝1，所以f (x )＝x ＋x ln x .令g (x )＝f (x )－3(x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x >0)．g ′(x )＝ln x －1，由g ′(x )＝0得x ＝e.由g ′(x )>0得x >e ，由g ′(x )<0得0<x <e ，所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值为g (e)＝3－e>0.于是在(1，＋∞)上，都有g (x )>g (e)>0，所以f (x )>3(x －1)．◇4．〖2020·重庆一中月考〗已知函数f (x )＝x ln x＋2x ，x >1. (1)求函数f (x )的极小值；(2)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．【答案】【解析】 (1)f (x )＝x ln x＋2x ，x >1， f ′(x )＝ln x －1＋2(ln x )2(ln x )2＝(2ln x －1)(ln x ＋1)(ln x )2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＝0，x >1，得x ＝ e.由(2x －m )ln x ＋x ＝0，得2x －m ＋x ln x ＝0，即m ＝x ln x＋2x ， ∴方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在(1，e]上有两个不等实根，即函数f (x )与函数y ＝m 在(1，e]上的图象有两个不同的交点．由(1)可知，f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，e]上单调递增且f (e)＝4e ，f (e)＝3e ，当x 从右侧趋近于1时，f (x )趋近于＋∞，∴4e<m ≤3e ，故实数m 的取值范围是(4e ，3e]． ◇。

导数四：导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+- 求方程()()f x g x =的根的个数.解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =- 当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞ 当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点； 当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[,]33-上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得02x x =±=作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为,02x x =±=当383[(0,){}229x ∈-时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文导数在初等数学中的应用Application of Derivative inThe Elementary Mathematics姓名：胡磊学号：200907010052学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：陈冬香（教授）完成时间：2013年4月25号导数在初等数学中的应用胡磊【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和、解析几何中都有广泛的应用。

在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。

【关键词】导数初等数学解题方法应用Application of Derivative in the Elementary MathematicsHu Lei【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.【Key words】Derivative Mathematic Problem solving method Application目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。

方程的根和导数的关系方程的根和导数的关系，嘿，这可是个有趣的话题哦！想象一下，你在数学的海洋里遨游，突然碰到一个漂浮的浮标，那个浮标就是方程的根。

我们都知道，方程的根就像是解决问题的小钥匙，让我们打开各种未知的大门。

而导数呢，嘿，它就像是那个侦探，能帮我们分析事情的发展，了解变化的快慢。

两者的关系，就像是好朋友，时不时一起出门，搞点小事情。

我们先来说说方程的根。

大家都知道，方程的根就是使方程成立的那些神秘数字。

比如，想象你有个方程 (x^2 4 = 0)，咱们求个根，结果是 (x = 2) 和 (x = 2)。

这两个小家伙就像是数学世界的明星，闪闪发光，让你能找到方程的答案。

哎，心里是不是有种“啊哈”的感觉？找到根的那一瞬间，仿佛人生开了挂，幸福感满满。

我们聊聊导数。

导数，简单来说，就是某个东西变化的速度。

想象你在一条坡道上骑自行车，导数就是告诉你坡道的陡峭程度。

有些时候，导数还会告诉你，某个地方是上坡还是下坡。

这就像你在吃火锅的时候，突然发现锅底烧焦了，那可是变化的信号，得赶紧调整火候呀。

导数的存在让我们能更好地理解变化，仿佛是数学的指路明灯。

嘿，你可能会问，根和导数有什么关系呢？别着急，接下来就要揭开谜底了。

根和导数之间的关系就像是两兄弟，互相依赖。

想想看，根的存在是因为方程的变化，而导数则可以告诉我们在根附近的情况。

比如说，你找到根后，想知道那个地方的变化快不快，导数就派上用场了。

有一个非常经典的定理，叫做“罗尔定理”，听起来有点拗口，但别担心，意思简单明了。

它告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，并且在端点处的值相等，那一定有一个点，导数为零。

这就意味着在那个点上，函数有可能是个根，或者说它在那儿“停顿”了。

这就像你在路上走，突然发现前面有个拐弯，路旁有个大石头挡住了去路，哎，得停下来想想下一步怎么走。

这里还有个“第一导数测试”的概念。

这个东西可以帮我们找到极值点，简单来说，就是找出函数的最高点和最低点。

专题21 导数及其应用（解答题）1．已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞． 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围．【解析】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅==='， 令()'0f x =得2ln 2x =，当20ln 2x <<时，()0f x '>，当2ln 2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=，设函数()ln x g x x =， 则()21ln xg x x -'=，令()0g x '=，得x e =， 在()0,e 内()0g x '>，()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<，()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==， 又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点， 即曲线()y g x =与直线ln a y a =有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<，这即是()()0g a g e <<， 所以a 的取值范围是()()1,,e e +∞．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：33()8f x ≤； （3）设*n ∈N ，证明：2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求B ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.1．从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 4．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 5．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． 6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．7．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．1．已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；（2）已知函数()f x 的图象经过点()1,3，且[2,2]x ∈-，求()f x 的最大值．2．已知函数()()ln 1xf x e ax =+-．（1）若函数()y f x =在点()()0,0f 处切线的斜率为0，求a 的值； （2）在第（1）问的前提下，讨论函数()y f x =的单调性及最值．3．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数()()g x f x ax =-在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．4．已知函数()ln f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个相异零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>．5．已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围． 6．定义在()0,∞+上的关于x 的函数2()(1)2x ax f x x e =--． （1）若a e =，讨论()f x 的单调性；（2）()3f x ≤在(]0,2上恒成立，求a 的取值范围．7．已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 8．设函数()()22ln f x x a x a x =---（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求正整数a 的最小值． 9．已知函数()ln ()f x ax x a a R =--∈． （1）求函数()f x 的极值；（2）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦|时，函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数2()cos f x x a x =+，且曲线()y f x =在6x π=处的切线方程为6y x b π=-+．（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，都有2()0f x m -恒成立，求m 的取值范围．11．已知函数()xe f x x=，()ln g x x =．（1）当0a >时，讨论函数1()()()=--F x af x g x x的单调性；（2）当1a >时，求证：()()(1)1->-+axf x g ax e x ． 12．已知函数2()e x f x mx =-．（1）若x 轴是曲线()y f x =的一条切线，求m 的值； （2）若当0x ≥时，()2sin 1f x x x ≥-+，求m 的取值范围．13．已知函数()2xf x xe ax a =-+()a R ∈．（1）当0a =时，求()f x 在[]22-,上的最值； （2）设()22x g x e ax =-，若()()()h x f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围．14．已知函数()2ln f x ax x x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性：（2）若()f x 在定义城上有两个极值点12x x ，，求证：()()1232ln 2f x f x +>-．15．已知函数()31ln 2f x x x x a =-+，()13212x a g x xe x x --=+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，求a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知函数()()23312x f x x e ax =--，其中实数()0,a ∈+∞．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a >时，证明：关于x 的方程()233322f x ax x +=-有唯一实数解． 17．已知函数()ln f x a x x a =-+，()lng x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1a =，任意[1,e]x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[1,]b e ∈时，求b c +的取值范围．18．已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 唯一极值点，求证：12034x x x +>．19．已知函数()ln f x a x x =-．（1）若0a ≥，讨论函数()f x 的零点个数；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122eln 0x x a +->．20．已知函数()2ln f x x ax a x =+-．（1）若函数()f x 在[2,5]上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当2a =时，若方程()22f x x m =+有两个不等实数根12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明121x x <．21．已知函数()ln (0)f x a x x a =+≠，2()e ()x g x bx b =+∈R ． （1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性；（2）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线都过点（0，1）．求证：当0x >时，()1()e 1g x f x x-+≥-． 22．已知函数()ln 1f x a x x =++（其中0a ≠， 2.71828e =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意的21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭均满足()f x x≤，试确定a 的取值范围．。

专题15 利用导数研究方程的根一、单选题1．已知函数()2e 1xf x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】对原函数求导得，()2e xf x x a '=+，因为函数()()2e 1xf x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根， 亦即2e x xa -=有两个不等实根.令()2e x x g x =，则()()21e xx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 21eg x g ==，又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >， 所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<，即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．若方程322640x x m -++=有三个不同的实数根，则m 的取值范围（） A ．()6,0-B ．()6,2-C ．()4,4-D ．()0,4【解析】设32()266f x x x =-+，x ∈R ，令2 ()6120f x x x '=-=，解得0x =或2， 则()f x '，()f x 随x 的变化如下表则当0x =时，函数有极大值()04f =；当2x =时，函数有极小值()24f =-， 又当x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞，()f x →+∞，所以当44m -<-<时，32266x x m -+=-有三个不同的实数根，此时44m -<<，故选：C . 3．若关于x 的方程ln 0kx x -=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．(,)e -∞B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e【解析】由题意得ln x k x =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数,且()0f x >. 所以()f x 有最大值1()f e e=，简图如下，由图可知，1k e<<0时符合题意.故选：C. 4．设函数()ln ,01,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若方程()f x x b =+有3个不同的实根，则b 的取值范围为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞【解析】令()()ln ,01,0x x x g x f x x x x->⎧⎪=-=⎨<⎪⎩；方程()f x x b =+有3个不同的实根等价于()g x 与y b =有3个不同的交点； 当0x >时，()111xg x x x-'=-=， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11g x g ∴==-； 则可得()g x 图象如下图所示，由图象可知：当1b <-时，()g x 与y b =有3个不同的交点； 综上所述：实数b 的取值范围为(),1-∞-.故选：A.5．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（）A ．(]12ln2e 3--,B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【解析】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x -=-+=，所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,.故选：D 6．已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是() A ．()2e,1e -- B ．()1e,0-C ．(),1e -∞-D ．()1e,2e -【解析】因为()ln xf x x=，所以()()2ln 1ln x f x x -'=，当()()0,11,e x ∈⋃，()0f x '<；当()e,x ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,1和()1,e 单调递减，在()e,+∞单调递增，且当0x →时，()0f x →，()e e f =，故()f x 的大致图象如图所示： 关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦等价于()()110f x f x a ++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()1f x =-或()1f x a =-，由图知，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解， 所以1e a ->，解得1a e <-，故选:C.7．已知曲线()ln 2f x x x =+与曲线()()2g x a x x =+有且只有两个公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．(]0,1C ．()0,+∞D ．()0,1【解析】根据题意，可得函数()f x 的定义域为：(0,)x ∈+∞ 方程2ln 2()x x a x x +=+有两个实数解，0x ，即得20x x +>，∴方程2ln 2x xa x x+=+有两个实数解， 此时令2ln 2()(0)x xh x x x x+=>+，则直线y a =与函数()y h x =的图象有两个交点， 令()0h x '=，则有12x =-，或1x =，()001h x x '∴>⇒<<；()01h x x '<⇒>,()h x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减,()max h x h ∴=（1）1=,当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x >∴若使直线y a =与()y h x =有两个交点，则需使01a <<.故选：D ．8．若方程22ln 0x ax e x e +-+=在区间()0,∞+内有2个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(21,12e e ⎤---⎦B ．()21,12e e ---C ．(],12e -∞-D ．(),12e -∞-【解析】由220x ax elnx e +-+=，得2ln e e xx a x x++=，因为当0x >时，函数()2e f x x a x =++，()()()2'221x e x e e f x x x +-=-=，所以()f x 在区间()0,e 内()'0f x <，()f x 单调递减﹐在区间(),e +∞内()()'0,f x f x >单调递增﹐而函数()ln e x g x x=，()'21ln x g x e x -=⋅ ()g x 在区间()0,e 内()()'0,g x g x >单调递增，在区间(),e +∞内()()'0,g x g x <单调递减.所以，若方程有两个不等实根，则只需()()f e g e <即可， 即21elnee a e+<=，解得12a e <-.故选：D 9．已知关于x 的方程22ln (2)x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，则实数k 的取值范围为（）A ．ln 2(1,1]5+B ．9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ C ．(]1,2 D ．(]1,e【解析】由x 的方程22(2)x xlnx k x +=++，则222x xln k x x -+=+，1[,)2x ∈+∞，设22()2x xlnx g x x -+=+，1[,)2x ∈+∞，则22324()(2)x x lnx g x x +--'=+，令2()324h x x x lnx =+--，1[,)2x ∈+∞，则(21)(2)()0x x h x x -+'=， 即()y h x =在1[,)2+∞上为增函数，(1)0h =，(1)0g ∴'=，当112x <时，()0h x <，()0g x ∴'<，当1x >时，()0h x >，()0g x ∴'>， 关于x 的方程22(2)x xlnx k x +=++在1[2，)+∞上有两解，1(1)()2g k g ∴<， 又1922()210ln g +=，即922110ln k +<，故选：B 10．已知函数()()32,0,111,0,32x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩若方程()148f x ax =-恰有3个不同的实根，则实数a 的取值范围为（） A ．(),2-∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题，当0x <时，令()()()111g 1484848x f x ax x ax a x =-+=-+=-+， 根据一次函数性质可得101a a ->⇒<，此时有一个根，101a a -<⇒>，此时无根；当0x ≥时，令()()()323211g 48481111113232x a x ax x a a x x x =+-+=-+++-，求导()()()211x a g x x x x a =-+=-+'⎡⎤⎣⎦，令()12001g x x x a '=⇒==+或，当10a +≤时，()g x 在()0+∞，上单调递增，故无零点，不满足题意； 当10a +>时，()g x 在()0,1a +单调递减，在()1,a ∞++单调递增， 由题，函数()f x 恰有3个零点，则说明在当0x <时，有1个零点， 在0x ≥时有两个零点，故可知1a <且()g 10a +<， 所以()()()()()332111110111g 114864832a a a a a ++=+=--++++<，解得12a >-；综上可得112a -<<，故选：B二、多选题11．若关于x 的方程()()2213e 12e 0x xx x t t +-++=有两个实数根，则t 的取值可以是（）A ．2e-B ．1e-C ．1eD ．2e【解析】()()()2222213e 12e 0(1)31e 2e 0x x x xx x t t x t x t +-++=⇔+-++=2211320e e x x x x t t ++⎛⎫⎛⎫⇔-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1120e e x x x x t t ++⎛⎫⎛⎫⇔--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 相当于用y t =和2y t =这两条水平的直线去截函数()1e xx f x +=的图像一共要有两个交点. ()e xxf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>； 所以函数的增区间为(,0),-∞减区间为(0,)+∞.且当x 取-∞时，()0f x <，当x 取+∞时，()0f x >，max ()(0)1f x f ==. 所以函数()1e xx f x +=图象如图所示， 当2e t =-时，42e t =-，2e y =-和4e y =-和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；当1e t =-时，22e t =-，1ey =-和2e y =-和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；当1t e =时，22e t =，1ey =和2e y =和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意；当2et =时，42e t =，2e y =和4e y =和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意.故选：ABD12．已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()x g x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x ､2x ，且12x x <，则21x x -的可能取值是（）A ．1(1ln 2)2-B ．1ln2-C ．1ln 22+D ．1(1ln 2)2+【解析】方程(())0g f x m -=等价于：0xx e m >⎧⎨=⎩和20x e x e m ≤⎧⎪⎨=⎪⎩共有两个不同的实数根1x ､2x ，且12x x <， 故1m 且2x 为方程0x x e m >⎧⎨=⎩的根，1x 为20x e x e m ≤⎧⎪⎨=⎪⎩的根.故122ln ,ln xx m e m ==，故()11ln ln 2x m =，因为10x <，故ln 1m <即m e <，故1m e <<，故()211ln ln ln 2x x m m -=-，设()ln 0,1s m =∈，()1ln 2g s s s =-，则()121122s g s s s-'=-=，当102s <<时，()0g s '<；当112s <<时，()0g s '>；故()g s 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故()g s 在()0,1的值域为11ln 2,22⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，因为111313ln 21ln 2ln 2ln 2022222----=-=<，111(1ln 2)ln 2222-<+， 111ln 2ln 2222+>+.故选：CD. 13．已知()'f x 为函数()f x 的导函数，且211()(0)(1)2x f x x f x f e -'=-+，若21()()2g x f x x x =-+，方程()0g x ax -=有且只有一个根，则a 的取值可能是（） A ．e B ．1 C ．1-D ．12-【解析】由()()()211012x f x x f x f e -=-+'，得()()101f f e -='， ()()()101x f x x f f e -'=-+'，∴()()()11111f f e f -'=-'+'，∴()1f e '=，则()101f e e -=⋅=，则()212x f x x x e =-+，∴()()212x g x f x x x e -+==， 方程()0g x ax -=，即x e ax =，0x =时方程显然无解；0x <时，对于任意0a <，函数x y e =与y ax =有一个交点，满足题意；0x >时，则x e a x =，令()x e h x x =，则()()221xx x e x xe e h x x x--'==． 当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又当0x +→时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞．∴()h x 在()0,∞+时的图象如图：由图可知，a e =时，方程xea x=有一根，综上，a 的取值范围为(){}0e -∞，，故选：ACD ．14．已知函数()()21,02ln 1,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()220f x f x t -+=有3个不同的实数根，则t 的取值可以为（）． A．-B ．4-C ．3-D ．3【解析】当],(0x ∈-∞时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()212x f x x =+，()32211x f x x x x-'=-=，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以在1x =时，()f x 取得最小值，()312f =，画出()f x 的图象，令()f x m =，则方程为220m m t -+=，要想方程()()220f x f x t -+=有3个不同的实数根，结合()f x 的图象可知需要满足：220m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ， 满足：132m =且2302m ≤<或满足：132m >且20m <.令()22g m m m t =-+，则23323022t t ⎛⎫⨯-+=+= ⎪⎝⎭，即3t =-，当2230m m --=时，另外一个根为1-，不符合132m =且201m ≤<； 当132m >且20m <时，必须()003302g t g t ⎧=<⎪⎨⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎩，所以3t <-.综上，3t <-．故选：AB ． 三、填空题15．若方程x －m ＝e x 在区间[0，1]有且只有一解，则实数m 的取值范围是_______. 【解析】已知方程化为e x m x =-，设()e x f x x =-，[0,1]x ∈，则()1e 0x f x '=-≤，()f x 在[0,1]上单调递减，(0)1f =-，(1)1e f =-，所以1e 1m -≤≤-．16．若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【解析】由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x =+, ()0x >，原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-=， 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正,所以()()max 112g x g ==,又因为y k =与()y g x =只有一个交点,所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭. 17．若函数()22e x f x mx =-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个极值点，则实数m 的取值范围是________.【解析】()e 2xf x mx =-'+，由()22e x f x mx =-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个极值点知，()e 20xf x mx '=-+=在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的根，即e 2xm x=在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的根.令e ()=x g x x ，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则22e e (1)()x x x g x x x -'==，当112x ≤<时，()0g x '<，当12x <≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，故当1x =时min()(1)e g x g ==，又1221e ()2e (2)22g g ===，所以e 2m <≤e 2m <≤e 2xm x=在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的根，即函数2()2x f x e mx =-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有两个极值点.故答案为：e 2m <18．已知关于x 的方程233()ln 3ln x t x t t +=有三个实数根，则t 的取值范围是______ 【解析】方程233()ln 3ln x t x t t +=即方程233ln ln 3ln 0x x t x t t +-=，令()()233ln ln 3ln 0f x x x t x t t x =+->，则()3322ln 2ln 1t t f x x x x x x x x ⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭，令()322ln 1t g x x x =++，则()()2332x t g x x -'=，当320x t <<时，()0g x '<，当32x t >时，()0g x '>，所以函数()g x 在320,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在32,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()32min3ln 2g x g t t ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为关于x 的方程233()ln 3ln x t x t t +=有三个实数根， 即函数()()233ln ln 3ln 0f x x x t x t t x =+->有3个零点，则3ln 20t +<，所以230,e t -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x ∞→+，所以函数()g x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，则32120x t x <<<， 当10x x <<或2x x >时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减， 又因0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，3333233ln ln 3ln 022f t t t t t t t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，32120x t x <<<，所以函数()()233ln ln 3ln 0f x x x t x t t x =+->有3个零点，即关于x 的方程233()ln 3ln x t x t t +=有三个实数根，所以t 的取值范围是230,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 四、解答题19．已知函数()21ln 22f x x ax x =--(1)若3a =，求()f x 的增区间；(2)若0a <，且函数()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围；(3)若12a =-且关于x 的方程()12f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【解析】(1)()f x 的定义域是()0,+∞，3a =时，()()()311132x x f x x x x--+=-='-， 令()0f x '>，得103x <<，∴函数()f x 的增区间是10,3⎛⎤⎥⎝⎦.(2)()12f x ax x '=--，由函数()f x 存在单调递减区间，知()0f x '≤在()0,+∞上有解区间，∴120ax x--≤，即212a x x ≥-，而22121111x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时取等号，∴1a >-，（当1a =-时，不等式只有唯一的解1x =，不符题意舍去），又0a <，∴a 的取值范围是()10-，． (3)12a =-时，()21ln 24f x x x x =+-，则()12f x xb =-+即为213ln 42b x x x =+-，令()()213ln 1442g x x x x x =+-≤≤，则()()()12113222x x g x x x x--'=+-=，当12x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当24x <<时，()0g x '>，()g x 递增.∴()()min 2ln22g x g ==-，又()514g =-，()4ln42g =-，()()14g g <，∴5ln224b -<≤-，即实数b 的取值范围是5ln224⎛⎤-- ⎥⎝⎦，． 20．已知函数()()1xf x x e =+.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()f x a =有两个不同的解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()f x 的定义域是R ，()()2xf x x e '=+，()0f x '=可得2x =-，所以()f x 的单增区间是()2,-+∞，单减区间是(),2-∞-当2x =-时，()f x 取得极小值()22f e --=-，无极大值.（2）由（1）以及当x →+∞，()f x →+∞，x →-∞，()0f x →，()2min f x e -=-，因为方程()f x a =有两个不同的解，所以a 的取值范围为()2e ,0--.21．已知函数()()xxf x a a R e =-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【解析】（1）∵()()x x f x a a R e=-∈，所以21()()x x x x e xe x f x e e --'== ∴当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<；即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由()0x x f x a e=-=得x x a e =， 将此方程的根看作函数x x y e =与y a =的图象交点的横坐标， 由（1）知函数x x y e =在1x =时有极大值1e，作出其大致图象， ∴实数a 的取值范围是10a e <<. 22．已知函数()2ln f x a x bx =+图象上点()()1,1P f 处的切线方程为230x y --=. （1）求函数()y f x =的解析式;（2）函数()()ln 4g x f x m =+-，若方程()0g x =在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两解,求实数m 的取值范围 【解析】（1）由题意可知()2a f x bx x+'=（0x >） ∵函数()2ln f x a x bx =+图象上点()()1,1P f 处的切线方程为230x y --= ∴()()12,11f f '==-，∴221a b b +=⎧⎨=-⎩，∴4,1a b ==-，∴()24ln f x x x =-； （2）函数()()2ln 44ln ln 4g x f x m x x m -=+-=+-（0x >），则()42g x x x '=-（0x >），∴当1e x ⎡∈⎢⎣时，()0g x '>；当x ⎤∈⎦时，()0g x '<； ∴函数在1e ⎡⎢⎣，上单调增，在⎤⎦上单调减，∵方程()0g x =在12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两解，∴()10e 020g g g ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩，∴214ln 40e 204ln 24ln 40m m m ⎧--+-≤⎪⎪-+>⎨⎪-+-≤⎪⎩，解得242ln 2m <≤-.23．已知函数()ln 1f x x ax =-+，其中R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()2f x x =有且仅有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，()f x 在区间()()10,,0,f x f x a ⎛⎫'> ⎪⎝⎭递增；在区间()()1,,0,f x f x a ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭递减. (2)依题意()2f x x =有且仅有两个不相等实根，即()ln 120x ax x x -+=>有两个不相等的实根，ln 12x a x+=-，构造函数()()ln 120x h x x x +=->， ()2ln x h x x -'=，所以()h x 在区间()()()0,1,0,h x h x '>递增；在区间()()()1,,0,h x h x '+∞<递减. 所以()()max 11h x h ==-.12e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，ln 0x >，()ln 122x h x x +=->-， (),2x h x →+∞→-，所以a 的取值范围是()2,1--.24．已知函数()()ln 0f x ax x a =≠，函数()1g x kx =-．(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，若()f x 与()g x 的图象在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求k 的取值范围． 【解析】(1)由题意可得()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln f x a x a '+=．①当0a >时，由()0f x '>，得1e x >；由()0f x '<，得10ex <<． 故函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②当0a <时，由()0f x '<，得1e x >；由()0f x '>，得10ex <<． 故函数()f x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，()f x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (2)当1a =时，令()()f x g x =，得ln 1x x kx =-，即1ln k x x=+， 则()f x 与()g x 的图象在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，等价于1ln k x x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根． 设()11ln e e ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭h x x x x ，则()22111x h x x x x -'=-=．由()0h x '>，得1e x <≤；由()0h x '<，得11ex ≤<． 函数()h x 在(]1,e 上单调递增，在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()()11h x h ≥=． 因为1e 1e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭h ，()1e 1e =+h ，且()11e e 20e e ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭h h ， 所以要使1ln k x x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根，则111e <≤+k ， 即k 的取值范围为11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦． 25．已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()e x f x a '=-，0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；0a >时，ln x a <，()0f x '>，()f x 单调递增， ln x a >，()0f x '<，()f x 单调递减；综上，0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； a ＞0时，f (x )在(),ln a ∞-单调递增，在()ln ,a ∞+单调递减.(2)()ln 1e ln 1e ln x xx x f x x x ax x x a x ++=⇒--=⇒=，令()ln 1e ,1e xx x g x x x ++=<<， 则()()()()22ln 1e ln 1e 11e 0x x xx x x x x g x x x ++----+==>'， ∴g (x )在(1，e)上单调递增，∴()()()()()e 111,e 1e,1e e g x g g --∈=+++，∴()e 111e,1e e a --∈+++. 26．已知函数()lnf x x ax =-在2x =处的切线与直线230x y +-=平行.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）函数()ln f x x ax =-的导数为()1f x a x'=-， 即有在2x =处的切线l 的斜率为12a -，由切线l 与直线230x y +-=平行， 即有1122a -=-，解得1a =；（2）关于x 的方程()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根， 即有2ln 3m x x x -=-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根.令()2ln 3g x x x x =-+， ()()()2211113232x x x x g x x x x x---+'=-+==， 当112x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当12x <<时，()0g x '>，()g x 递增. 即有1x =处()g x 取得最小值，且为2-，又15ln 224g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2ln 22g =-， ()132ln 4024g g ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，∴52ln 24m -<-≤--，解得5ln 224m +≤<. 27．已知函数()ln f x x x =(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若方程()10f x ax -+=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个相异实根，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为函数()ln f x x x =，所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. (2)函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，由（1）可知，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=解得1ex =. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (3)方程()10f x ax -+=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个相异实根,即方程ln 10x x ax -+=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个相异实根，即1ln a x x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个相异实根，令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=， 当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，当[]1,e x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在[]1,e 上单调递增， 又(1)1g =，1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1()1g e e =+，所以11(e)e 20e e g g ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭， 要使1ln a x x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个相异实根，须111e a <≤+， 所以实数a 的取值范围为11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 28．已知函数()ln 1f x x x =--．(1)求()f x 的最小值；(2)设()2()ln x x F x x x f =-+，若()0F x =有且仅有两个实根1212,()x x x x <，证明：121=x x ．【解析】(1)()f x 的定义域为()0+∞，．11()1x f x x x '-=-=， 令()0f x '=，即10x x-=，解得1x =， 当()0,1∈x 时，0f x ；当()1，+x ∈∞时，0f x ，所以()f x 在0,1单调递减，在1+，单调递增，故1x =是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点． 所以min ()(1)1ln110f x f ==--=．(2)()()ln 2(1)ln 1F x x x x f x x x x =-+=---，()F x 定义域为()0+∞，， 因为1()ln F x x x'=-．所以()F x '在()0+∞，单调递增， 又()110F '=-<，()ln 41202F -'=>，故存在()01,2x ∈，使得0()0F x '=． 所以当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上单调递增．因为()0F x =有且仅有两个实根12,x x ，所以()100,x x ∈，()20,x x ∈+∞又0()(2)ln 230F x F <=-<，22()30F =->e e ，且2()0F x =所以222x <<e ，故221112x <<e ．又222222()1111()(1)ln 10F x F x x x x x =---==又()F x 在()0,x +∞单调递减，故21x 是()0F x =在()00,x 的唯一根， 故121x x =．所以121=x x ．29．已知函数()ln f x x x =，()()21f x g x x x x=-+． (1)求函数()g x 的单调区间； (2)若方程()f x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．【解析】(1)因为()ln f x x x =，()()21f x g x x x x=-+， 所以()12ln g x x x x=-+定义域为()0,∞+， ()()222221212110x x x g x x x x x ---+-'=--==≤， 所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()g x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；(2)证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+， 当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x '> 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-， 设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-， 下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--， 设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x =-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--， 当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>， 所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数， 又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <， 故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-， 所以21431e x x x x m ->-=+，得证．30．已知函数()()2e x f x x ax a =++∈R ，其中e 是自然对数的底数．(1)当0a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；(2)若存在1x ，()212x x x ≠，使得()()12f x f x =，且122x x +=，求a 的取值范围．【解析】(1)当0a =时，()2e x f x x =+，()e 2x f x x '=+，()()01,01f f '==，所以()f x 在0x =处的切线方程为：1y x -=，所以10x y -+=.(2)不妨设11x t =-，()210x t t =+>，所以关于t 的方程()()11f t f t -=+有正实数解， 所以()()()()2211e 11e 11t t t a t t a t -++-+-=++++，即()11ee 240t t a t +--++=有正实数解， 设()()()11e e 240t t F t a t t +-=-++>，则()11e e 24t t F t a +-=+'++，()11e e 0t t F t +-''=->，所以()F t '单调递增，所以()()02e 24F t F a ''>=++，①当e 2a ≥--时，()0F t '>，所以()F t 单调递增，所以()()00F t F >=，不合题意； ②当e 2a <--时，存在10t >，使得()10F t '=，当()10,t t ∈时，()0F t '<，当()1,t t ∈+∞时，()0F t '>，所以()F t 在()10,t 上单调递减，在()1,t +∞上单调递增，所以()()100F t F <=， 所以()()()()22421e 24240t a e F t t a t t t a >-->>+-++>++>时，即存在()212,0t t F t >=，符合题意． 综上，a 的取值范围为(),e 2-∞--．。