向量及向量的基本运算

向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。

o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。

这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。

需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。

具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。

向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。

例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。

向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。

二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。

例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。

2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。

例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。

三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。

例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。

2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。

例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。

四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。

标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。

2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。

向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。

五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。

2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。

向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。

本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。

一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。

一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。

例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。

例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。

2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。

设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。

例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。

3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。

设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。

例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。

4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。

设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。

例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。

向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和许多重要的性质。

接下来，我将结合向量的定义、基本运算、向量积、应用与公式等方面，进行一篇总结文章。

一、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对或列矩阵表示。

通常记作：A = (a1, a2, ..., an) 或 A = [a1, a2, ..., an]向量的大小和方向分别由模和方向角表示，其中模表示向量的长度，方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，结果仍为一个向量。

表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，结果仍为一个向量。

表示为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，结果仍为一个向量。

表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k为实数。

4. 内积向量的内积也叫点乘，表示为A·B，定义为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作 ||A||，定义为：||A|| = √(a1² + a2² + ... + an²)三、向量积向量积又叫叉乘，是在三维空间中定义的二元运算。

向量积的结果是一个新的向量，其大小为原向量所构成的平行四边形的面积，并且垂直于原向量所在的平面。

表示为A × B，定义为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)四、向量的应用1. 物理学中的力和速度在物理学中，力和速度常常用向量表示。

力是有大小和方向的，所以可以看作是一个向量。

向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。

一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。

向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。

二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。

行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。

2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。

3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。

一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。

4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。

即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。

2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。

即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。

3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。

即：k * v = (ka, kb, kc)。

4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。

即：v · w = a * x + b * y + c * z。

5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。

即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。

四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。

向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。

本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。

一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。

通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。

向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。

大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。

二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。

在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。

2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。

在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。

在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。

三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。

2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。

向量公式汇总一、向量的基本运算1.向量的加法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的和可以表示为a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)。

2.向量的减法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的差可以表示为a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃)。

3.向量的数量积（点积）：若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则向量a和b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

4.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(k·a)·b=k·(a·b)，其中k为常数-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c5.向量的向量积（叉积）：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的向量积可以表示为a×b=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。

6.向量的向量积的性质：-反交换律：a×b=-b×a-结合律：(k·a)×b=k·(a×b)，其中k为常数-分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、向量的模和方向7.向量的模：向量a=(a₁,a₂,a₃)的模可以表示为，a，=√(a₁²+a₂²+a₃²)。

8.单位向量：向量的模为1的向量称为单位向量。

对于向量a，若其模为1，则该向量为单位向量。

9.方向余弦：若有向量a=(a₁, a₂, a₃)，则它的方向余弦可以表示为cosα=a₁/，a，, cosβ=a₂/，a，, cosγ=a₃/，a。

三、向量的坐标表示10.点P的坐标表示：若P(x,y)为平面直角坐标系中的一点，则点P的坐标向量可以表示为P=(x,y)。

向量的基本运算公式大全向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的计算和分析中。

下面是向量的基本运算公式的大全，供您参考：1. 向量的加法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的差为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数乘：若向量A = (a1, a2, ..., an)，k为一个常数，则k乘以向量A 的结果为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4. 向量的数量积（内积）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的数量积为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的向量积（叉积）：若向量A = (a1, a2, a3)，向量B = (b1, b2, b3)，则它们的向量积为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)6. 向量的模长（长度）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，则它的模长为：||A|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)7. 两个向量的夹角：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：cos(θ) = (A·B) / (||A|| ||B||)8. 向量的投影：若向量A的投影向量B在向量C上，且向量B在向量C上的长度为h，则有：h = ||A|| cos(θ)，其中θ为向量A和向量C之间的夹角9. 向量的单位向量：若向量A的模长为||A||，则向量A的单位向量为：Ȧ = A / ||A||10. 向量的平行和垂直：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：- 若cos(θ) = 1，则向量A和向量B平行；- 若cos(θ) = 0，则向量A和向量B垂直。

向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。

本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。

一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。

向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。

例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。

几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。

比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。

4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。

5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。

三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。

3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。

4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。

5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。

向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。

在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。

本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。

一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。

向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。

二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。

2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。

A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。

A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。

数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。

kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。

计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。

零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。

3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。

向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。

在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。

本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。

一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。

2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。

3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。

4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。

5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。

6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。

7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。

二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。

10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。

向量运算及其应用向量是数学中重要的概念之一，也是物理、工程等领域中广泛应用的数学工具。

本文将介绍向量的基本概念、向量的表示方法、常见的向量运算，以及向量在几何、物理等领域的应用。

一、向量的基本概念向量是有方向和大小的量，用于表示力、速度、位移等物理量。

向量通常用粗体字母或带箭头的小写字母表示，例如$\overrightarrow{a}$。

二、向量的表示方法向量可以用坐标、向量的模和方向角、单位向量等不同方式表示。

1. 坐标表示法：在二维笛卡尔坐标系中，一个向量可以通过它在坐标系中的起点和终点的坐标表示。

例如，向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$为起点坐标，$(x_2,y_2)$为终点坐标。

2. 模和方向角表示法：一个向量可以通过它的模和方向角来表示。

模表示向量的大小，方向角表示向量与某个坐标轴之间的夹角。

例如，向量$\overrightarrow{AB}$的模可以表示为$|\overrightarrow{AB}|$，方向角可以表示为$\theta$。

3. 单位向量表示法：单位向量是模为1的向量，可以用于表示方向。

一个向量可以表示为它的模乘以一个单位向量。

例如，向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$|\overrightarrow{AB}|\cdot\hat{u}$，其中$\hat{u}$为单位向量。

三、向量的运算向量运算包括向量的加法、减法、数量乘法、数量除法等。

1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，从第一个向量的终点到第二个向量的终点，所得的向量即为两个向量的和。

加法可以用坐标表示法、三角函数表示法等方式进行计算。

2. 向量的减法：向量的减法可以视为向量的加法的逆运算。

即将减法转化为加法，例如$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$可以表示为$\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{CD})$，其中$-\overrightarrow{CD}$表示向量$\overrightarrow{CD}$的反向。

数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。

向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n 维向量。

α=（a1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c …等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。

这就是向量a的坐标表示。

其中（x，y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。

向量a的模记作|a|。

注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。

对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。

特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

空间向量的基本运算与性质空间向量是三维空间中的有向线段，具有方向和大小。

在空间几何中，空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘等，同时它们还具有一些特性和性质。

本文将详细讨论空间向量的基本运算和性质。

一、空间向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的和向量c为c(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的差向量c为c(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。

3. 数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x, y, z)和实数k，则它们的数乘结果为 b(kx, ky, kz)。

二、空间向量的性质1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们平行的条件为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。

2. 共线向量如果两个向量共线，则它们在同一直线上。

具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们共线的条件为存在一个实数k，使得：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k。

3. 零向量零向量是指起点和终点重合的向量，它的大小为0，没有方向，表示为0或者O。

4. 模长向量的模长是指向量的大小，可以用勾股定理计算得到。

设有向量a(x, y, z)，则它的模长为：|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。

5. 单位向量单位向量是指模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

6. 向量的共线性判断设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，要判断它们是否共线，可以通过计算它们的方向比例：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。