2020-2021学年高考数学文科一模测试题及答案解析

最新高三五月高考仿真模联考数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜lgx ≤0}，B ＝{x ｜2x 32，则A ∩B ＝ A ．（－∞，1] B ．（0，13] C ．[13，1 ] D ．∅ 2．若复数2a ii＋的实部与虚部相等，则实数a ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线ˆy ＝bx ＋a 近似的刻画其相关关系，根 据图形，以下结论最有可能成立的是A ．线性相关关系较强，b 的值为1．25B ．线性相关关系较强，b 的值为0．83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0．87D ．线性相关关系太弱，无研究价值4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 5．下列说法错误的是A ．命题“若2x －5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2x －5x ＋6≠0” B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥2()2x y ＋”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．若命题p ：0x ∃∈R ，20x ＋0x ＋1＜0，则p ⌝：x ∀∈R ，2x ＋x ＋1≥0 6．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为A ．12 B ．18 C ．316 D ．1167．点A （1，2）在抛物线2y ＝2px 上，抛物线的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则｜AB ｜＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．68．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤－≥，设OA uu r 与OB uu u r 的夹角为θ，则tan θ的最大值为 A ．12 B ．47 C ．34 D ．949．己知角ϕ的终边经过点P （5，－12），函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），满足对任意的x ，存在x 1，x 2使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，且｜x 1－x 2｜的最小值为4π，则f （4π）的值为 A ．513 B ．－513 C ．1213 D ．－121310．设点P 是双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）与圆22x y ＋＝22a b ＋在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝3｜PF 2｜，则双曲线的离心率为AB．2 CD．211．如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意1x ≠2x ，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f （x 1）则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－3x ＋x ＋1；②y ＝3x －2（sinx －cosx ）；③y ＝xe ＋1：④f （x ）＝ln ,00,x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≠＝0．其中函数是“H 函数”的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 12．已知函数f （x ）＝xe －ax 有两个零点x 1＜x 2，则下列说法错误的是A ．a ＞eB ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．有极小值点0x ，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。

浙江省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A 不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1= 1 ，数列{a n}通项公式a n= ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）= 2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为 5 ；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a ＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B （5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002 ．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a===5，∵S△ABC∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣7，又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．。

2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。

2020年河北省邯郸市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}，则A ∩B =( )A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2. 若复数z =2i+4i−1，则z =( ) A. −1+3i B. −1−3i C. 1+3i D. 1−3i3. 若3m =b ，则log 32b =( )A. 2mB. m 2C. m 2D. √m4. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. CA ⃗⃗⃗⃗⃗C. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 数学考试中，甲、乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐，若甲、乙两校的成绩方差分别为s 12和s 22，则( )A. s 12>s 22B. s 12<s 22C. s 12=s 22D. s 1>s26. 在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+√2ac ，√2cosA +cosC 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 7. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4，离心率为√3，则其虚轴长为( ) A. 8√2 B. 4√2 C. 2√2 D. 4√638. 已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，则四棱锥的四个面中，互相垂直的面共有( )A. 5组．B. 4组．C. 3组．D. 6组．9. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，若z =x +λy 的最小值为6，则λ的值为( )A. 2B. 4C. 2和4D. [2,4]中的任意值10. 设抛物线y 2=16x 的焦点为F ，经过点P(1,0)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|+4|BF|=( )A. 18B. 20C. 24D. 2611. 设函数f(x)={3−x ,x ≤0f(x −1),x >0，则方程f(x)=x +2实根的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4个以上12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 某班级的学生中，是否有外省市旅游经历的人数情况如右表所示．从这个班级中随机抽取1人，则抽到的人是男生的概率为____；若已知抽到的人有外省市旅游经历，则该学生是男生的概率为_________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3=4，a 7−2a 5−32=0，则a 7=______ ．15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)−cosωx(ω>0).若函数f(x)的图象关于直线x =2π对称，且在区间[−π4,π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ．16. 已知三棱锥S −ABC 中，SA =BC =√41,SB =AC =√29,SC =AB =√30，则该三棱锥的外接球表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，且满足a n+1=S n +2n+1(n ∈N ∗)．(1)证明：数列{S n 2n}为等差数列 (2)求S 1+S 2+S 3+⋅⋅⋅+S n ．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=√2，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F为棱AC的中点，E在棱BC上，且BE=2EC．(Ⅰ)求证：A1B//平面EFC1；(Ⅱ)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．19.甲、乙两公司在A、B两地同时生产某种大型产品(这两个公司每天都只能固定生产10件产品)，在产品发货给客户使用之前需要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品．只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特别修改才可以投入使用，报废品直接报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产情况及每件产品盈利亏损情况如下表所示：检测结果特等品一等品二等品报废品甲公司产品件数210542016乙公司产品件数240182814每件特等品每件一等品每件二等品报废品甲公司盈2万元盈1万元亏1万元亏2万元乙公司盈1.5万元盈0.8万元亏1万元亏1.2万元(1)分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率(用百分数表示)．(2)试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．(3)若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X，求X的分布列及期望．20.已知函数f(x)=xe x，g(x)=x2−x−a，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．21.已知椭圆x2+y2=1及定点E(−1,0)，直线l：y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，且以3CD为直径的圆过点E，求直线l的方程．22.在直角坐标系xOy中，直线l的斜率为1，在y轴截距为a−3，圆C的标准方程为(x−3)2+(y−43)2=4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(ρ>0)与直线l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB (Ⅱ)若射线θ=π3的中点，求a的值．23.已知函数f(x)=|x+3|−|m−x|(m∈R)．(1)当m=2时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若不等式f(x)≤6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：B解析：解：∵3m=b，∴m=log3b∴log32b=12log3b=m2．故选：B．先求出m=log3b，由此能求出log32b的值．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．4.答案：A解析：解：由平面向量加法的平行四边形法则，可知在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．直接利用平面向量的加法的法则写出结果即可．本题考查向量的平行四边形法则的应用，是基础题．5.答案：B解析：∵甲乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐， ∴甲校的方差比乙校的成绩方差小即s 12<s 22，故选B .6.答案：A解析：本题考查运用余弦定理、两角和与差的三角函数公式求三角函数式的最大值，属于考查运用知识解决问题的能力及计算能力的题．解：在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+√2ac ，可得a 2+c 2−b 2=√2ac ，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=√22， 由0<B <π，可得B =π4，A +C =3π4，C =3π4−A ，则√2cosA +cosC =√2cosA +cos(3π4−A)=√2cosA −√22cosA +√22sinA =√22cosA +√22sinA =cos(A −π4)，由0<A <3π4，可得−π4<A −π4<π2， 则A =π4时，cos(A −π4)取得最大值1．故选A ．7.答案：B解析：根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．解：根据题意，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=√3，则有e=ca=√3，则c=√3a=2√3，则b=√c2−a2=2√2，则该双曲线的虚轴长2b=4√2；故选：B．8.答案：A解析：本题考查了面面垂直的判定定理，属于基础题.根据线面之间的关系对四个选项进行判断即可，解：PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，由底面ABCD为正方形，得AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；又因为AD//BC，所以AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由底面ABCD 为正方形，得CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，所以互相垂直的面共有5组，故选A ．9.答案：B解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0的可行域如图：z =x +λy 的最小值为6，可知目标函数恒过(6,0)点，由可行域可知目标函数经过A 时，目标函数取得最小值．由{x +y −6=0x −2y =0解得A(2,1)， 可得：2+，λ=6，解得λ=4．故选：B ．画出约束条件的可行域，利用的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.答案：C解析：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A ，B 的横坐标．属于中档题．根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A ，B 的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+4|BF|．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵P(1,0)∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 2,−y 2)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1) ∵2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2(1−x 2,−y 2)=(x 1−1,y 1)∴x 1+2x 2=3，−2y 2=y 1，将A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入抛物线y 2=16x ，可得y 12=16x 1，y 22=16x 2，又∵−2y 2=y 1，∴4x 2=x 1，又∵x 1+2x 2=3，解得x 2=12，x 1=2，∵|AF|+4|BF|=x 1+4+4(x 2+4)=2+4+4×(12+4)=24．故选：C ． 11.答案：A解析：解：由f(x)=x +2，设函数y =f(x)和y =x +2，当x ≤0，此时，f(x)=3−x ，当x >0时，f(x)=f(x −1)，函数f(x)的周期为1，作出函数f(x)的图象如图：∵f(−1)=31=3，∴f(0)=1，画出函数y =f(x)与y =x +2的图象如图：两个函数的图象只有2个交点．方程f(x)=x +2实根的个数是：2个．故选：A ．作出函数y=f(x)和y=x+a的图象，利用两个函数的图象确定a的取值范围即可．本题主要考查函数图象的应用，将方程根的个数转化为函数交点个数是解决本题的关键，利用数形结合是解决此问题的突破点．12.答案：D解析：解：定义在R上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R上恒成立，可知函数f(x)是减函数，函数y=f(|x|)是偶函数，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得x<−1，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：D．利用函数的导数判断函数的单调性，结合不等式转化求解即可．本题考查函数的导数判断函数的单调性，不等式的解法，考查计算能力．13.答案：1532;2 5 .解析：本题考查古典概型概率计算公式的运用，属于基础题．利用古典概型概率计算公式直接求解即可．解：因为6+9+9+8=32(人)这个班级的32人中随机抽取1人，则抽到的人是男生的情况有6+9=15种，故抽到男生的概率为1532；从外省市旅游经历的6+9=15人中抽取一人，其中是男生的共有6种情况，故是男生的概率为615=25．故答案为1532;2 5 .14.答案：64解析：本题考查等比数列的通项公式和等比数列的性质，是基础题．利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，再利用等比数列的性质求出a7．解：在等比数列{a n}中，∵a3=4，a7−2a5−32=0，∴a1q2=4，a1q6−2a1q4−32=0，∴4q4−8q2−32=0，解得q2=4或q2=−2(舍)，∴a7=a3q4=4q4=4×16=64．故答案为64．15.答案：{13,56,34}解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式，和正弦型函数的图像和性质，首先要熟悉公式，然后在本题中由单调性列出不等式是关键．解：函数f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx(ω>0)化简可得，f(x)=sinωxcos π6+cosωxsinπ6−cosωx=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6 )∵f(x)的图像关于直线x=2π对称，∴2πω−π6=π2+kπ,k∈z∴ωk+232=3k+26......①∵f(x)在区间[−π4,π4]上是单调函数，当f(x)在区间[−π4,π4]上是单调递增时，可以得到，{2kπ−π2≤−π4ω−π62kπ+π2≥π4ω−π6,解得{ω≤8k+83ω≤−8k+43，∵ω>0,∴0<ω≤43......②由①得：当k=0时,ω=13,满足②式,当k=1时,ω=56,满足②式,当k=2时,ω=43,满足②式,所以ω的取值集合为{13,56,34}，故答案为{13,56,34}16.答案：50π解析：解：将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，由题意可得a2+b2=41，b2+c2=29，c2+a2=30，设三棱锥的外接球的半径为R，则4R2=a2+b2+c2=50，所以该外接球表面积为50π．故答案：50π．构造长方体，使得面上的对角线长分别为√41，√29，√30，则长方体的对角线长等于三棱锥S−ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥S−ABC外接球的表面积．本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．17.答案：(1)证明：由S n+1−S n=a n+1得S n+1−S n=S n+2n+1，即S n+1−2S n=2n+1，整理得S n+12n+1−S n 2=1，因为n=1时，S12=a12=1，所以数列{S n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列；(2)解：由(1)可知，S n2n=n，即S n=n·2n，令T n=S1+S2+⋯+S n，Tn=1·2+2·22+⋯+(n−1)·2n−1+n·2n①2Tn=1·22+2·23…+(n−1)·2n+n·2n+1②，①−②，得−T n=2+22+⋯+2n−n·2n+1，整理得T n=2+(n−1)·2n+1．解析：本题考查了“构造法”、等差数列的通项公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由条件可知，S n+1−S n=S n+2n+1，整理得S n+12n+1−S n2n=1，即可证明；(2)由(1)可知，S n2=n，即S n=n·2n，利用“错位相减法”即可求和．18.答案：证明：(Ⅰ)法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，因为A1DDC =A1C1FC=BEEC=21，所以A1B//DE，又A1B⊄平面EFC1，DE⊂平面EFC1，所以A1B//平面EFC1．法二：如图所示，取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，因为B1D1//BD，且B1D1=BD，所以四边形B1D1DB为平行四边形，所以DD1//BB1，又因为AA1//BB1，所以AA1//1，又AA1=BB1=DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1//AD，又EF为△CAD的中位线，所以EF//AD，所以A1D1//EF，因为C1D1=BE，C1D1//BE，所以四边形C1D1BE为平行四边形，所以D1B//C1E，又因为A1D1⊂平面A1D1B，BD1⊂平面A1D1B，EF⊂平面EFC1，C1E⊂平面EFC1，A1D1∩D1B=D1，EF∩C1E=E，所以平面A1D1B//平面EFC1，又A1B⊂平面A1D1B，所以A1B//平面EFC1，解：(Ⅱ)连接A1F，BF，由AB=AA1=√2，AF=1，∠BAC=∠A1AC=45°，由余弦定理可得：A1F=BF=1，又∠BAA1=60°，所以A1B=√2，所以由勾股定理可得A1F⊥AC，A1F⊥BF，又BF∩AC=F，且BF⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1F⊥平面ABC，所以A1F是三棱柱ABC−A1B1C1的高．又S△ABC=12×√2×2×√22=1，所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC×A1F=1×1=1．解析：(Ⅰ)法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，推导出A1B//DE，由此能证明A1B//平面EFC1．法二：取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，推导出四边形B1D1DB为平行四边形，四边形AA1D1D为平行四边形，从而EF//AD，A1D1//EF，四边形C1D1BE 为平行四边形，从而D1B//C1E，进而平面A1D1B//平面EFC1，由此能证明A1B//平面EFC1，(Ⅱ)连接A1F，BF，推导出A1F是三棱柱ABC−A1B1C1的高．由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)甲公司这30天生产的产品的合格率为：210+5430×10=88%，乙公司这30天生产的产品的合格率为：240+1830×10=86%． (2)甲公司这30天生产的产品的总利润更大，理由如下：甲公司这30天生产的产品的总利润为210×2+54×1−20×1−16×2=422(万元)， 乙公司这30天生产的产品的总利润为240×1.5+18×0.8−28×1−14×1.2=329.6(万元)， 因为422万>329.6万，所以甲公司这30天生产的产品的总利润更大， (3)由题意知X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 142C 422=13123，P(X =1)=C 281C 141C 422=56123，P(X =2)=C 282C 422=1841， 则X 的分布列为：故 E (X)=0×13123+1×56123+2×1841=43．解析：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查计算能力，属于中档题． (1)计算合格品数量与产品总数的比值即可； (2)分别计算利润，比较即可；(3)由题意可知X 的可能取值为0，1，2，分别求出其概率，列出分布列，求出数学期望．20.答案：(Ⅰ)f′(x)=e x (x +1)，令f′(x)=0得x =−1，当x <−1时，f′(x)<0；当x >−1时，f′(x)>0，所以函数f(x)的递减区间为(−∞,−1]，递增区间为(−1,+∞)； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ， 令F(x)=xe x +x 2−x ，则F′(x)=xe x +e x +2x −1， F′(x)为增函数且满足F′(0)=0，显然当x >0时，F′(x)>0；当x <0时F′(x)<0；当x =0时F′(x)=0， 所以F(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增， ∴F(x)≥F(0)=0，∴a ≤F(0)=0，故a 的取值范围是(−∞,0]． 解析：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，通过求导得到函数F(x)的单调性，从而判断出a 的范围．21.答案：解：由{y =kx +2x 2+3y 2−3=0得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0①，设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②， 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4． 要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时， 则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0． ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0③，将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立． 综上可知，直线l 的方程为y =76x +2．解析：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．22.答案：解：(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为x −y +a −34=0，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，所以，直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθa −34=0． 同理，圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． (Ⅱ)在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3),A(ρ2,π3),B(ρ3,π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0可得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，所以ρ2+ρ3=3+3√3．因为点M恰好为AB的中点，所以ρ1=3+3√32，即M(3+3√32,π3 )．把(3+3√32,π3)代入ρcosθ−ρsinθa−34=0，得3(1+√3)2×1−√32+a−34=0．所以a=94．解析：(Ⅰ)利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用二次方程组和中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二次方程的应用．23.答案：解：(1)当m=2时，f(x)≥3，即|x+3|−|2−x|≥3，①当x<−3时，得−5≥3，所以x∈⌀；②当−3≤x≤2时，得x+3+x−2≥3，即x≥1，所以1≤x≤2；③当x>2时，得5≥3，成立，所以x>2．故不等式f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)因为|x+3|−|m−x|≤|x+3+m−x|=|m+3|，由题意得|m+3|≤6，则−6≤m+3≤6，解得−9≤m≤3．故m的取值范围是[−9,3]．解析：(1)当m=2时，不等式变为|x+3|−|2−x|≥3，去掉绝对值符号，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，得到|m+3|≤6，即可求解m的范围．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2023年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，则( )A. B. C. D.2. 设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若是纯虚数，则实数( )A. B. 2 C. D. 34. 已知中，D为BC边上一点，且，则( )A. B. C. D.5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为( )A. 4B. 2C.D.7. 已知，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足的x 的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知数列的前n项和，若，则( )A. 7B. 8C. 9D. 1010. 已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则( )A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为( )①平面ABCD；②平面平面；③直线MN与所成的角为；④直线与平面所成的角为A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知点，，，则______ .14. 已知函数，则______ .15. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部最细处的直径为______16.在数列中，，记是数列的前n项和，则______ .17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240、160、单位：件，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测.求抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；设抽取的7件商品分别用A、B、C、D、E、F、G表示，现从中再随机抽取2件做进一步检测.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2件商品来自不同地区”，求事件M发生的概率.18.在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，求的值；若，求19. 如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，证明：平面ABC；求三棱锥的体积.20. 已知函数，若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；当时，求在上的最小值.21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.求椭圆的方程；以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记的面积为S，若，求直线l的斜率.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，为曲线C 上一点的坐标.将曲线C的参数方程化为普通方程；过点O任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A，B，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程.23. 已知函数当时，求的最小值；若，时，对任意，使得不等式恒成立，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：先求得，再运算可得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：，为全称量词命题，则为：，故选：根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：为纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，所以所以故选：利用向量的线性运算即可求得．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设圆锥母线长为l，高为h，底面半径为，则由得，所以，所以故选：由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由可得，，即甲同学成绩的方差为故选：由平均数相等求出m，再求方差．本题主要考查了茎叶图的应用，考查了方差的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，z有最大值，由，解得，平移直线经过点A时，z有最大值，故选：作出可行域，根据简单线性规划求解即可．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为是定义域为R的偶函数，所以，又在上单调递减，所以在上单调递增，若，则，解得故选：利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案．主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①，当时，，当时，②，由①-②得，当时，符合上式，，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，，，，解得，故选：根据数列的与的关系，可得数列是等差数列，根据等差数列的性质和前n项和公式，即可得出答案．本题考生数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：，，，即，，，点M在C上，，设，，即，则，，令，当时，有最大值，且最大值为4，即时，最大值为4，当时，有最小值，且最小值为，即，时，最小值为1，综上所述，最小值为1，最大值为4，故选：由题意得，，，再由椭圆的定义可得，设，则，令，利用二次函数的性质，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：在正方体中，点M，N分别是，的中点，以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则，，，，，，，由正方体的性质可知：平面ABCD，则平面ABCD的法向量为，，，，平面ABCD，平面ABCD，故①正确；设平面的法向量为，，，，取，得，同理可求出平面的法向量，，，平面平面，故②正确；，，，异面直线所成的角范围为直线MN与所成的角为，故③正确；设直线与平面所成的角为，，平面的法向量为，，直线与平面所成的角不是，故④错误．故选：以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，利用向量法求解．本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、异面直线所成角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：依题意得若函数为不动点函数，则满足，即，即，设，，令，解得，当时，，所以在上为增函数，当时，，所以在上为减函数，所以，当时，，当时，，所以的图象为：要想成立，则与有交点，所以，对应区间为故选：根据题意列出关于和a的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点．本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：，，，则，，故故答案为：根据已知条件，求出，，再结合平面向量的数量积公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，故答案为：利用三角函数的恒等变换化简得，进而可求得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由已知，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，由已知可得，，且，所以，所以双曲线方程为，底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：，解得：，，所以喉部最细处的直径为故答案为：由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出a，b之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部最细处的直径．本题主要考查了双曲线的性质在实际问题中的应用，属于中档题．16.【答案】110【解析】解：由题意可得，当n为奇数时，，，数列的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，则可令，，故，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故答案为：由题干递推公式分n为奇数和偶数两种情况进行分析，当n为奇数时可得数列的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，进一步计算出当n为奇数时数列的通项公式，当n为偶数时可得，在求前20项和的值运用分组求和法、等差数列求和公式即可计算出结果．本题主要考查由数列递推公式推导出前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．17.【答案】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、件；从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：AB、AC、AD、AE、AF、AG、BC、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DE、DF、DG、EF、EG、FG；不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A、B、C，来自乙地区的是D、E，来自丙地区的是F、G，则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：AD、AE、AF、AG、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DF、DG、EF、EG，共16种，所有的基本事件共21种，故【解析】利用分层抽样可计算得出所抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；利用列举法可列举出所有的基本事件；列举出事件M所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值．本题主要考查了分层抽样的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．18.【答案】解：，，，则，由正弦定理得，又，则，又A，B均为三角形内角，，即，又，即，即，又，则；若，则，由得，由余弦定理可得，即，解得或，当时，，则，即为等腰直角三角形，又，此时不满足题意，故【解析】先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，即可得出答案；由得的值，根据余弦定理公式展开列方程求解c，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：取CF的中点D，连接DM，DN，，N分别是AF，CE的中点，，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC，又，，同理可得，平面ABC，平面MND，平面MND，，平面平面ABC，平面MND，平面ABC；解：取AB的中点O，连接OC，OE，由已知得且，是平行四边形，且，是正三角形，，平面平面ABEF，平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，，设，在中，由，解得，即，由题意，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离，又平面ABC，【解析】取CF的中点D，连接DM，DN，证明平面平面ABC，原题即得证；取AB的中点O，连接OC，OE，设，由勾股定理即可求出a，进而可求解三棱锥的体积．本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．20.【答案】解：由已知可得：恒成立，即恒成立，又的最小值为，所以，则有；当时，，，所以，令在上单调递减，又因为，所以存在使得，即，从而，则有x正负递增递减则有最大值为：，所以，则在上单调递减，所以最小值为【解析】由已知可得：即可求解；结合导数和隐零点替换即可求解最值．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：由，，，，椭圆的长半轴，短半轴，椭圆的方程为；设直线l的斜率为k，方程为，联立方程，消去y得，，设，，，，又直线l与圆相切，，，，，，，解得或，或，即直线l的斜率为或【解析】由题意可得，，所以椭圆的长半轴，短半轴，从而得到椭圆的标准方程；设直线l的斜率为k，方程为，与椭圆的标准方程联立，利用韦达定理结合弦长公式可得，由直线l与圆相切，可得，所以，又因为，所以，所以，从而求出k的值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为参数，消去参数t可得：，将点代入可得，所以曲线C的普通方程为；由已知得OA，OB的斜率存在且不为0，设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为，联立方程，可得，同理可得，设，所以为参数，所以，所以，即为点M轨迹的普通方程．【解析】根据曲线C的参数方程为为参数，消去参数t求解；设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当，，；当，，；当，，；当时，的最小值为证明：，，当时，恒成立可化为恒成立，令，，，，，当且仅当时取得等号；又当时，，故【解析】分段求解的最小值和范围，即可求得结果；将问题转化为，结合二次函数在区间上的最值和基本不等式，即可证明．本题考查了分段函数的最值问题以及不等式的证明问题，属于中档题．。

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣12．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣211．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.912．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为_______．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2016=_______．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．参考答案与试题解析一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：∵复数3﹣i，∴复数3﹣i的虚部是：﹣1．故选：D．2．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞），B={y|y=sinx，x∈R}=[﹣1，1]，则A∪B=（﹣2，+∞），故选：A．3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，∴该空间几何体不可能是圆锥．故选：B．4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断．【解答】解：向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，即cos（α+β）=0，∴α+β=kπ+，k∈Z，对于A：α+β=0，不符合，对于B，α+β=π，不符合，对于C：α+β=﹣，符合，对于D，α+β=，不符合，故选：C．5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．故选：C．6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）【考点】函数的值．【分析】由f（x+1）=﹣f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x），得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=﹣1，f（f（2.5））=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=﹣1f（f（1.5））=f（f（2﹣0.5））=f（f（﹣0.5））=f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：D．7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．【解答】解：因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设动点P（x，y），由已知得|x+1|=﹣1，由此能求出点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），∵动点P到直线x=﹣1的距离等于它到圆：（x﹣2）2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=﹣1，化简得：6x﹣2+2|x+1|=y2，当x≥﹣1时，y2=8x，当x＜﹣1时，y2=4x﹣4＜﹣8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，最大为z max=2﹣0=2当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣2=﹣2．故选：D．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．12．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2016= 2016 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵S3=2a3，S5=15，∴d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1．则a2016=1+×1=2016．故答案为：2016．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于 1 ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．【解答】解：（1）∵S=S△OPC+S△OQC=OP•0Csin∠POC+OQ•OCsin∠QOC=2sinθ+2sin（﹣θ）（θ∈（0，））（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵θ∈（0，），∴θ+∈（，）∴当θ+=，即θ=时，S最大，为2．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的．【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30×=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，A）（A，α）（b，c）（b，d）（b，A）（b，α）（c，d）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，A）（A，α）（b，A）（b，α）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P==19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB ⊥平面FBCG，即AB为棱锥A﹣FCG的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．【解答】解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB⊂平面BDEF，∴FB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥FB，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BCGF，∴V A﹣FGC===．（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（﹣2，0，0），E（﹣2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），平面EFG的法向量为=（a，b，c），则，，即，，令z=1得=（﹣1，﹣1，1），令c=1得=（，，1）．∴=﹣=0．∴，∴平面AEF⊥平面EFG．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=64t2﹣20（4t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜，且t≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2﹣=，以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，即有•=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=±，满足﹣＜t＜，且t≠0，则直线l的方程为y=x±．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f′（x）=2x﹣=，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，由2x3在（0，+∞）上递增，可得2x3的值域为（0，+∞），则a≤0，即有a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，由f′（x1）=f′（x2），可得2x1﹣=2x2﹣，即有2（x1﹣x2）=a•，显然x1+x2≠0，x1﹣x2≠0，即有a=﹣，而﹣f′（x1）=﹣2x1+=x1+x2﹣﹣2x1+=x2﹣x1+﹣=﹣≠0，即f′（x1）=f′（x2）≠，故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE•AC．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∵=，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DAC=∠BAC，∴直线AC平分∠DAB；（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠DAB=90°，∵AB为直径，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DCA，∴∠ADE=∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴AD2=AE•AC，∵AD=DC，∴CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．分别代入C1的极坐标方程即可得出．【解答】解：（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得：x2+y2﹣4x+3=0，配方为：（x﹣2）2+y2=1．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．将代入C1可得：ρ2﹣2ρ+3=0，解得ρ=．将代入C1可得：ρ2+2ρ+3=0，解得ρ=﹣，舍去．故C1与C2的公共点的极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．【解答】证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cos α|+|sinβ|；|sin（α+β）|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，∵α+β+γ=0，∴|cos[α+β+γ]=1∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2016年9月12日。

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2021年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（）A．1B．C．D．26．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d 的最小值等于（）A．4B．2+C．2D．3+8．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（）A．B．C．D．9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）的最大值为+1D．g（x）在（）上为单调减函数10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（）A．36πB．9πC．D．12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣2）B．（0，e﹣2）C．（﹣∞，e﹣1）D．（0，e﹣1）二、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝x2e x在点（1，f（1））处的切线方程为．14．已知实数x，y 满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为．15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于．16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于．三、解答题（共70分）17．已知数列{a n}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：感染病毒总计未感染病毒未注射疫a60m苗注射疫苗b30n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．附：K2＝．P（K2≥k）0.050.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．（1）求证：PA⊥面CDE；（2）求点E到面PCD的距离．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线PA的斜率为k PA，直线QB的斜率为k QB，若2k PA+k QB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．21．已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤e x﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}解：因为A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：C．2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：，故复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限．故选：D．3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当p≤0时，f(x)在(2,+∞)为增函数，当p＞0时，f(x)在[,+∞)为增函数，若f(x)在(2,+∞)上为增函数，则≤2，得0＜p≤4，综上f(x)在(2,+∞)上为增函数的充要条件为p≤4，∵0≤p≤4是p≤4的真子集，为充分不必要条件，故选：A．4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，故选：C．5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（）A．1B．C．D．2解：根据题意，＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），则+2＝（3m﹣7，9﹣2m），若（+2）⊥，则（+2）•＝2×（3m﹣7）+（9﹣2m）＝4m﹣5＝0，解可得：m＝，故选：B．6．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：由3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，可得3cosθ＝sinθ，可得tanθ＝3，而θ∈（﹣π，0），可得sinθ＝﹣＝﹣．故选：A．7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d 的最小值等于（）A．4B．2+C．2D．3+【解答】解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，d＝|PE|+2＝|PF|+2,|PF|+|PA|≥|PA|＝,从而|PA|+d＝|PA|+|PF|+2+2．所以|PA|+d的最小值等于2+，故选：B．8．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列{a n}满足a1＝1，a10＝10，∴d＝＝1,∴a n＝1+(n﹣1)×1＝n,∴＝＝＝,∵n+≥2+9＝4,由于n∈N*,,,∴{}的最大项为第3项，是．故选：C．9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）的最大值为+1D．g（x）在（）上为单调减函数解：∵将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x﹣）的图象，∴g（x）的最小正周期为＝π，故A错误；令x＝，求得g（x）＝0，不是最值，故B错误；g（x）的最大值为2，故C错误；当x（），2x﹣∈（，π），g（x）单调递减，故D正确，故选：D．10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．解：双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0，条件知圆心(﹣2,0)到渐近线的距离等于＝，从而，，，所以．故选：A．11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（）A．36πB．9πC．D．解：根据题意，构造一个直三棱柱如图所示，O1，O2分别为上下底面外接圆的圆心，根据球的性质，球心O必为O1O2的中点，则球的半径为OB，设为R，设△BCD的外接圆半径为r，在△BCD中，由余弦定理可得，BD＝，由正弦定理可得r＝，∴，球的表面积S＝，故选：D．12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣2）B．（0，e﹣2）C．（﹣∞，e﹣1）D．（0，e﹣1）解：f′(x)＝lnx﹣ax﹣1，根据题意可得f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点，即lnx﹣ax﹣1＝0有两个不同的正根，从而转化为a＝有两个不同的正根，即为y＝a与y＝有两个不同的交点，函数y＝在(0,e2)为增函数，在(e2,+∞)为减函数，所以a∈(0,)，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后的横线上）13．函数f（x）＝x2e x在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3ex﹣2e．解：f（x）＝x2e x在的导数为f′(x)＝2xe x+x2e x＝(x2+2x)e x,可得切线的斜率为f′(1)＝3e,且f(1)＝e,则f(x)在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝3e(x﹣1),化为y＝3ex﹣2e．故答案为：y＝3ex﹣2e．14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为3．解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，联立，解得A（1，2），由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+1过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故答案为：3．15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于．解：由x2+y2﹣2x+2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝1，可得圆C的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r＝1，由•＝（+）•（+）＝+•（）+•＝，即为d2﹣r2，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，因此当d取最小值时，•的取值最小，可知d的最小值为，故•的最小值为．故答案为：．16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于2．解：在△ABC中，∠C＝120°，且△ABC的面积为4，所以，解得ab＝16．在△ADC中，利用余弦定理：＝，当且仅当b＝时，即a＝4，b＝2时，此时，解得AB＝2．故答案为：2．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．解：（1）由+…+＝n可得：+…+＝n﹣1(n≥2)，两式相减得：＝1，即a n＝3n，n≥2，又当n＝1时，有＝1，解得a1＝3也适合，∴a n＝3n；（2）由（1）可得：b n＝＝＝(﹣)，∴T n＝(﹣+﹣+•••+﹣)＝(﹣)＝．18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：未感染病感染病毒总计毒a60m未注射疫苗注射疫苗b30n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．附：K2＝．P（K2≥k）0.050.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）根据条件＝，解得m＝100，从而a＝40,b＝70,n＝100,由K2＝≈18.182,因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a、b、c、d；从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，记A＝{至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，从而P（A ）＝＝，所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．19．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．（1）求证：PA⊥面CDE；（2）求点E到面PCD的距离．解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，因为EF∥AB，而AB∥CD，所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，又AD＝DP,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，故PA⊥面CDE．（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．过F点作FH⊥PD，因为CD⊥面PAD，所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，从而FH＝＝,故E点到面PCD的距离为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线PA的斜率为k PA，直线QB的斜率为k QB，若2k PA+k QB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．解：（1）∵直线l：x﹣4过左焦点F，F（，0），c＝，又由，得，从而椭圆经过点（），由椭圆定义知2a＝，得a＝2．∴b2＝a2﹣c2＝1．故椭圆的方程为C：；（2）直线PQ过定点（0，3）．理由如下：设直线PA的方程为y＝kx+1，则QB的方程为y＝﹣2kx﹣1，由，得(4k2+1)x2+8kx＝0，从而点P坐标为（，）；由，得(16k2+1)x2+16kx＝0．从而点Q坐标为（，），由条件知k≠0，从而直线PQ的斜率存在，，∴直线PQ的方程为y﹣，即y＝，过定点（0，3）．故直线PQ过定点（0，3）．21．已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤e x﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）的定义域为(0,+∞)，，由f'(x)＞0，即1﹣a﹣lnx＞0，解得0＜x＜e1﹣a，由f'(x)＜0，即1﹣a﹣lnx＜0，解得x＞e1﹣a，故f（x）的单调递增区间为(0,e1﹣a)，单调递减区间为(e1﹣a,+∞)；（2）因为f（x）≤e x﹣1+﹣1恒成立，即对(0,+∞)恒成立，所以a≤xe x﹣1﹣x﹣lnx+1对(0,+∞)恒成立，令μ（x）＝xe x﹣1﹣x﹣lnx+1，则，当x∈(0,1)时，μ'(x)＜0，所以μ(x)在（0,1）上单调递减，当x∈(1,+∞)时，μ'(x)＞0，所以μ(x)在（1,+∞）上单调递增，故当x＝1时，μ(x)取最小值μ(1)＝1，所以a≤1，即a的取值范围是(﹣∞,1]．请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+（y﹣1）2＝4．直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．整理得，根据转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．（2）把直线l的参数方程转换为：，代入（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，得到（t1和t2为M和N对应的参数），故，t1t2＝9，故|PA|2+|PB|2＝32．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|，即，当x≥1时，f（x）＜1即x﹣3＜1，从而有1≤x＜4；当﹣1＜x＜1时，f（x）＜1即1﹣3x＜1，从而有0＜x＜1；当x＜﹣1时，f（x）＜1即3﹣x＜1，此时为∅；综上所述：x∈（0，4）；（2）若a＞0，，由函数性质可知，所以f（x）min＝f（）＝﹣1﹣，由题意可得f（x）min＞﹣2，即，从而得a＜2，又a＞0，故a∈（0，2）．。

最新高考模拟得分训练试题（六）文科数学本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共2页。

考试时间120分钟，满分150分。

第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|0lg 1}B x x =≤<，则()R C A B I 是（ ）A ．{|210}x x ≤< B ．{|2}x x ≥ C ．{|1x 2}x ≤< D ．{|010}x x << 2．设复数2()1a i z i+=+，其中a 为正实数，若2z =，则z 的虚部为（ ）A ．4-B ．4C ．-1D ．1 3．已知{}na 为等比数列，1105610,25a a a a +=⋅=则29a a +=（ ）A ．10B ．5C ．﹣5D ．﹣10 4．已知命题p ：,2lg x R x x ∃∈->，命题q ：,1x x R e ∀∈>,则（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧（￢q ）是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题 5．已知(1,2),b (0,1),c (k,2)a===-r r r，若(a 2b)//c +r r r ，则k =（ ）A ．8-B ．2C ．12-D ．18-6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8B.24C.1823+D.1242+7.我校为了了解高三学生在大庆市第一次模拟考试中对数学的掌握情况，从高三年级中随机抽查了100名学生的数学成绩，并制成了频率直方图，从下图中可以知道这100名学生的平均分数和中位数分别为（ ） A.103.2 113.2 B.108.2 108 C.103.2 108 D.108.2 113.2 8．已知函数()()421008ln e 120161x f x x x =+-+,()2f a =,则()f a -的值为( )A. 1B. 0C.1-D. 2- 9．函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232016f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2-10．变量x 、y 满足条件420203240x y x y x y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则22(x 1)(y 2)-+-22(x 2)(y 1)++++的最小值为（ ） A ．252+ B ．175+ C ．131+ D ．3211．如图，已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e的取值范围为（）A ．]32,3[+ B．]13,2[+ C．]32,2[+ D．]13,3[+12．已知函数211,[0,),22()13,,1,2x xf xx x⎧+∈⎪⎪=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩若存在12x x<，使得12()()f x f x=，则()12x f x⋅的取值范围为（）A．3[,1)4B．13[,)86C．31[,)162D．3[,3)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置.13.执行如图所示的程序框图，若输入8=x，则输出y的值为 .14.在△ABC中，cos cos cos cos2b Cc B a C c A+=+=，且cos3sina C a Cb c+=+，则△ABC的面积为．15．直线21ax by+=与圆221x y+=相交于A B，两点（其中a b，是实数），且AOB∆是直角三角形（O是坐标原点），则点()P a b，与点()00O，之间距离的最大值为．16．已知2()(1)()xf x x mg x xe=--+=，，若12x x R∃∈，,使得12()()f xg x≥成立，则实数m的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{}n a中，12125,2,23(n3)n n na a a a a--===+≥．（1）求证：数列{}1n na a-+为等比数列（2）求数列{}nn a⋅的前2n项和2nT．18．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平，为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了200位30到40岁的公务员，得到情况如下表：（1）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）采用分层抽样的方式从男公务员中调查6人，并对其中的3人进行回访，则这三人都要生二胎的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++19．如图,三棱柱111ABC A B C-中,侧面11AAC C⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB ==,1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ； (Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20．如图，曲线T 由两个椭圆1T ：22221(a b 0)x y a b +=>>和椭圆22222:1(b c 0)y x T b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点(0,2)M -，且,,a b c 的公比为22.（1）求猫眼曲线Γ的方程； （2）任作斜率为(K 0)K ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：OM ONK K 为与K 无关的定值； （3）若斜率为2的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.21．已知函数ln ()a xf x x-=在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （1）求实数a 的值及()f x 的极值；（2）若对任意1x ，2x 2[,)e ∈+∞，有121212()()||>f x f x k x x x x --⋅，求实数k 的取值范围； 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22．（本题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若6AB =,2ED =. （1）求证：CE AD ⊥;（2）求BC 的长.23. （本题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程.24. （本题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》 设函数()22,f x x x x R =++-∈，不等式()6f x ≤的解集为M ．（1） 求M ；（2）当,a b M ∈时，求证：33a b ab +≤+．文科数学得分训练试题（六）答案1——5 CDACC 6-----10CBBAD 11---12 BC13.121m m e ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.121121211221111121232122233(a a )03(n 3)373(1)131[37(1)13]4T 123(2n 1)27T a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a n a ---------------=++=++≠+=≥++=⨯-=-⨯=⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯=17.(1)由a 得因为所以即证。

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（）A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4} 2．设iz＝4+3i，则z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．已知命题p：∃x∈R，sin x＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和B．3π和2C．6π和D．6π和25．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．46．cos2﹣cos2＝（）A．B．C．D．7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D．8．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1 10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．B．C．D．11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．B．C．D．212．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分。

最新三校联考高考数学模拟试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．17．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．210．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．1611．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义先求出∁U A，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，∴∁U A={2，4，6}，∴（∁U A）∩B={2，4}．故选：A．【点评】本题考查了集合的简单运算问题，是基础题目．2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+i代入后直接运用复数的除法运算．【解答】解：因为z=1+i，所以．故选B．【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题；图表型．【分析】设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额．【解答】解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，故选C．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题．在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率．5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得．【解答】解：∵，且，∴•（﹣）=﹣=1﹣1×2×cos＜，＞=0，解得cos＜，＞=，∴向量和的夹角＜，＞=，故选：B．【点评】本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．7．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，最小在y轴上的截距最大，z有最小值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．9．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．【解答】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4，AC=AB==，AD==6，S△ABC=×4×4=8．S△ADC==4，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC中，作CE ⊥E，连结DE，则CE==，DE==，S△ABD==12．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．12．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= e ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．【解答】解：∵1＜ln3＜2，∴2＜ln3+1＜3，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可得，由三角函数恒等变换的应用化简可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：在△ABC中，由题意得：，由余弦定理得：，所以，即，所以当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由，当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）由（1）可得，．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴当n=1时，a1=S1=3．（*），显然，当n=1时也满足（*）式，综上所述，．（2）由（1）可得，．其前n项和①则②①﹣②得，==﹣2n•3n+1，∴．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（1）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为=0.06，在有频率分布直方图会全图形即可．（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【解答】解：（1）第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000．由题可知，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．频率直方图如下：（2）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为P=．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD，∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．又∵CF∩EF=F，CF⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面EFC．（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD⊂平面ABD，EF⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD，∵CB=CD=BD=1，∴，∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴，∴．【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，即S=2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ），所以…由题设知f'（1）=2﹣b=0，∴b=2…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故只需证，设，…F′（x）=2x﹣1﹣+==令F′（x）=0，得…当时，F′（x）＜0，当时，F'（x）＞0，所以，…所以，g（x）＞f（x）﹣2ln2…【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系，以及构造函数利用函数单调性最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题．【分析】（1）把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程是x2+y2=2，把曲线C2的参数方程化为普通方程是．（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，由此求得t的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=2，表示以原点（0，0）为圆心，半径等于的圆．曲线C2的普通方程是，表示一条垂直于x轴的线段，包括端点．…（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，解得，即t的取值范围为（0，）∪（，+∞）．…【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。

2020年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．若sinx=，则cos2x=（）A．﹣ B．C．﹣D．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．D．4．命题：“∃x0∈R，x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤sinx B．∀x∈R，x＞sinxC．∃x0∈R，x0＜sinx0D．∃x0∈R，x0≤sinx05．设函数f（x）=|lnx|，满足f（a）=f（b）（a≠b），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）A．ab=e x B．ab=e C．ab=D．ab=16．设抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设△=b2﹣4ac，∠ACB=θ，则cosθ=（）A．B． C．D．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．88．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B=∁U（A∩B），若X，Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z=（）A．（X∪Y）∩∁U Z B．（X∩Y）∪∁U Z C．（∁u X∪∁U Y）∩Z D．（∁U X∩∁U Y）∪Z二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=．（其中e为自然对数的底数）10．若函数f（x）=，则f（﹣1）=；不等式f（x）＜4的解集是．11．设直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），则直线l1恒过定点；若直线l1为圆x2+y2+2y﹣3=0的一条对称轴，则实数m=．12．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且，将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．14．设x，y∈R，x2+2y2+xy=1，则2x+y的最小值等于．15．若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是．三、解答题（共5小题，满分74分）16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．17．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，PA=PD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（1）求证：PA∥平面BEF；（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．18．设数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．（1）证明：≥3；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1，若．（1）求点C的轨迹Γ；（2）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点D（2，2）作直线m交轨迹Γ于不同的两点E，F，交直线l于点K．问+的值是否为定值，请说明理由．20．设函数f（x）=（x﹣1）•|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2且x≥0时，关于x的方程f（x）=kx﹣有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若t=max|x1，x2，x3|，求实数t的取值范围（2）当a∈（﹣1，）时，若关于x的方程f（x）=2x﹣a有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3求x1+x2+x3的取值范围．2020年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，再由B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即A={x|x≤0或x≥2}，∵B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}，故选：D．2．若sinx=，则cos2x=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2x的值．【解答】解：∵sinx=，则cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2•=，故选：B．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．∴该几何体的侧面PAB的面积==．故选：D．4．命题：“∃x0∈R，x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤sinx B．∀x∈R，x＞sinxC．∃x0∈R，x0＜sinx0D．∃x0∈R，x0≤sinx0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤sinx，故选：A5．设函数f（x）=|lnx|，满足f（a）=f（b）（a≠b），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）A．ab=e x B．ab=e C．ab=D．ab=1【考点】对数函数的图象与性质．【分析】作出函数f（x）的图象，设a＜b，得到0＜a＜1，b＞1，结合对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的通项如图，在若f（a）=f（b）（a≠b），则设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，即|lna|=|lnb|，则﹣lna=lnb，则lna+lnb=lnab=0，即ab=1，故选：D．6．设抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设△=b2﹣4ac，∠ACB=θ，则cosθ=（）A．B． C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质结合余弦定理求出cosθ的值即可．【解答】解：如图示：，∵|AB|===，∴|AD|=，而|CD|=||=，∴AC2=|AD|2+|CD|2=+=∴cosθ==1﹣=1﹣，=，故选：A．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案．【解答】解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1．连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴=+．则点P在线段MN上时， +=1，故x+y=2．同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．故选：B．8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B=∁U（A∩B），若X，Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z=（）A．（X∪Y）∩∁U Z B．（X∩Y）∪∁U Z C．（∁u X∪∁U Y）∩Z D．（∁U X∩∁U Y）∪Z【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用X*Y=∁U（X∩Y），得到对于任意集合X、Y、Z，（X*Y ）*Z=∁U（X∩Y）*Z=∁U{[∁U（X∩Y）]∩Z}，整理即可得到答案．【解答】解：∵X*Y=∁U（X∩Y），∴对于任意集合X，Y，Z，（X*Y ）*Z=∁U（X∩Y）*Z=∁U[∁U（X∩Y）∩Z]=（X∩Y）∪∁U Z故选：B．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=5．（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：ln2=a，ln3=b，则e a+e b=e ln2+e ln3=2+3=5．故答案为：5．10．若函数f（x）=，则f（﹣1）=1；不等式f（x）＜4的解集是（﹣4，）．【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用．【分析】代值计算即可，根据分段函数得到则或，解得即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=﹣（﹣1）=1，不等式f（x）＜4，则或，解得0＜x＜或﹣4＜x≤0，故不等式的解集为（﹣4，），故答案为：1，（﹣4，）．11．设直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），则直线l1恒过定点（1，1）；若直线l1为圆x2+y2+2y﹣3=0的一条对称轴，则实数m=2．【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【分析】直线l1转化为（x﹣y）m+y﹣1=0，令m的系数为0，能求出直线l1恒过定点（1，1）．由已知得直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R）经过圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），由此能求出m．【解答】解：∵直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），∴（x﹣y）m+y﹣1=0，由，解得x=1，y=1，∴直线l1恒过定点（1，1）．∵直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R）为圆x2+y2+2y﹣3=0的一条对称轴，∴直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1=0（m∈R）经过圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），∴m×0﹣（m﹣1）×（﹣1）﹣1=0，解得m=2．故答案为：（1，1），2．12．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故答案为：2，0．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且，将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角；轨迹方程．【分析】点A的射影M的轨迹为CD的中位线，可得其长度；当点M位于线段BD上时，取BC中点为N，AC中点为P，可得∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由已知数据和余弦定理可得．【解答】解：由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD=；当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN=CD=，PC=AB=，又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP=AC=，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP==，故答案为：；．14．设x，y∈R，x2+2y2+xy=1，则2x+y的最小值等于﹣2．【考点】基本不等式．【分析】令2x+y=t，代入整理可得7x2﹣7tx+2t2﹣1=0，由△≥0可解得t的范围，可得答案．【解答】解：令2x+y=t，则y=t﹣2x，∵x2+2y2+xy=1，∴x2+2（t﹣2x）2+x（t﹣2x）=1，整理可得7x2﹣7tx+2t2﹣1=0，由△=49t2﹣4×7×（2t2﹣1）≥0可解得﹣2≤t≤2，故2x+y的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．15．若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是10．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把|PQ|﹣|PR|的最大值转化为求|PQ|max﹣|PR|min，即可求得结论．【解答】解：曲线C1：的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），|PF1|﹣|PF2|=8则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|﹣1，∴|PQ|﹣|PR|的最大值=（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）=8+2=10，故答案为：10三、解答题（共5小题，满分74分）16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C．（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c．【解答】解：（1）由得则有=得cotC=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得．17．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，PA=PD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（1）求证：PA∥平面BEF；（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线PA∥平面BEF．（2）由=（﹣1，1，t），=（﹣1，1，0），直线PC与AB所成的角为45°，利用向量法能求出PE．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，PA=PD，E，F分别为线段AD，PC的中点，∴PE⊥平面ABCD，BE⊥AE，以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），E（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），设P（0，0，t），则F（﹣，，），=（1，0，﹣t），=（﹣），=（0，1，0），设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，取x=t，得=（t，0，1），∵•=t﹣t=0，且PA⊄平面BEF，∴直线PA∥平面BEF．解：=（﹣1，1，t），=（﹣1，1，0），∵直线PC与AB所成的角为45°，∴cos45°==，解得t=，或t=﹣（舍），∴PE=t=．18．设数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．（1）证明：≥3；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．可得a n＞0，变形=a n++1，利用基本不等式的性质即可证明；（2）由（1）可得a n a n+1．可得．可得当n≥2时，≤≤…≤=2．即可证明．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．∴a n＞0，∴=a n++1≥+1=3，当且仅当a n=1时取等号，∴≥3．（2）由（1）可得a n a n+1．∴．∴当n≥2时，≤≤…≤=2．∴S n≤2=2×=3．∵a n≠1，∴S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1，若．（1）求点C的轨迹Γ；（2）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点D（2，2）作直线m交轨迹Γ于不同的两点E，F，交直线l于点K．问+的值是否为定值，请说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由题意可设出A（m，0），B（0，n），可得m2+n2=1，再设C（x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代入m2+n2=1可得点C的轨迹Г；（2）分别设出E，F，K的横坐标分别为：x E，x F，x K，设直线m的方程：y﹣2=k（x﹣2），与直线l：x+4y﹣2=0联立可得x K，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到x E+x F，x E x F，求得+的值为定值2得答案．【解答】解：（1）设A（m，0），B（0，n），则m2+n2=1，设C（x，y），由，得（m，﹣n）=（x﹣m，y），∴，得m=，y=﹣n，代入m2+n2=1，得=1；（2）设E，F，K的横坐标分别为：x E，x F，x K，设直线m的方程：y﹣2=k（x﹣2），与直线l：x+4y﹣2=0联立可得x K=，将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8k（﹣2k+2）x+16k2﹣32k+12=0，∴x E+x F=，x E x F=，∴+=+==2为定值．20．设函数f（x）=（x﹣1）•|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2且x≥0时，关于x的方程f（x）=kx﹣有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若t=max|x1，x2，x3|，求实数t的取值范围（2）当a∈（﹣1，）时，若关于x的方程f（x）=2x﹣a有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3求x1+x2+x3的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）当a=2时，作函数f（x）=（x﹣1）•|x﹣a|的图象，从而确定临界状态时的值，从而解得；（2）分类讨论，当x≤a时，f（x）=（x﹣1）（a﹣x）=2x﹣a，从而可得x1=，当x＞a时，f（x）=（x﹣1）（x﹣a）=2x﹣a，从而可得x2+x3=a+3，从而可得x1+x2+x3=+a+3=，再令g（x）=3x+5﹣，求导g′（x）=3﹣＞0，从而可得1﹣＜＜，从而解得．【解答】解：（1）当a=2时，作函数f（x）=（x﹣1）•|x﹣a|的图象如下，相切时取到一个临界状态，f（x）=（x﹣1）（2﹣x），f′（x）=3﹣2x，故3﹣2x=，解得，x=﹣（舍去）或x=，故k=3﹣=，由解得，x=或x=，∵t=max{x1，x2，x3}，∴结合图象可得，2＜t＜；（2）当x≤a时，f（x）=（x﹣1）（a﹣x）=2x﹣a，化简可得，x2﹣（a﹣1）x+a=0，△=（a﹣1）2﹣2a=a2﹣4a+1=（a﹣2）2﹣3，∵a∈（﹣1，），∴△＞0；∴x1=或x2=（舍去），当x＞a时，f（x）=（x﹣1）（x﹣a）=2x﹣a，化简可得，x2﹣（a+3）x+a=0，故△=（a+3）2﹣6a=a2+9＞0，故x2+x3=a+3，故x1+x2+x3=+a+3=，令g（x）=3x+5﹣，g′（x）=3﹣＞0，故g（x）在（﹣1，）上单调递增；故＜＜，即1﹣＜＜，故x1+x2+x3的取值范围为（1﹣，）．2020年8月1日。

2020年广西玉林市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1≤x ≤2,x ∈N}，集合B ={2,3}，则A ∪B 等于( )A. {−1,0，1，2，3}B. {0,1，2，3}C. {1,2，3}D. {2}2. 若复数z =(−8+i )i 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知sin (α−π4)=35,α∈(0,π2)，则cosα=( )A. √210B. 3√210C. √22D. 7√2104. AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地12月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示12月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是( )A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是12月9日C. 这12天的AQI 指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好5. 已知实数x ，y 满足{x −2y +3≤0x +4y −9≤0x +y ≤0，则2x −y 的最大值为( )A. −9B. −3C. −1D. 06. 与圆x 2+y 2−4x +6y +3=0同圆心，且与直线x −2y −3=0相切的圆的方程( )A. x 2+y 2−4x +6y −8=0B. x 2+y 2−4x +6y +8=0C. x 2+y 2+4x −6y −8=0D. x 2+y 2+4x −6y +8=07. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠PF 1F 2=45，则C 的离心率为( )A. 5B. 4C. 257D. 578. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与BC 1所成角的余弦值为( )A. √105B. √155C. √1010D. √5109. 函数f(x)=x 3+3x 2−1在x =( )处取得极小值．A. 3B. 2C. 0D. −210. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 3B. 6C. 9D. 1211. 已知函数f(x)=3cos(ωx +φ)(ω>0)，若，，则ω的最小值为( )A. 12B. 34C. 2D. 312. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，其导函数为f′(x)，当x ≠0时，f′(x)+f(x)x>0，若a =sin π6⋅f (sin π6)，b =−√2⋅f(−√2)，c =ln 2·f(ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A. b >c >aB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(3,t)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______． 14. ΔABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2−(b−c )2bc=1，则角A =______．15. 一个棱长为1的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．16. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(x,y)；再统计两数的平方和小于1的数对(x,y)的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．已知某同学一次试验统计出m=156，则其试验估计π为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有73人更爱看综艺类节目，另外27人更爱看体育类节目；男同学中有42人更爱看综艺类节目，另外58人更爱看体育类节目．(1)根据以上数据填好如下2×2列联表：(2)试判断是否有99.9%的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：18.已知数列{a n}满足：a1=1，a n=a n−1+n，(n≥2,n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n19.四棱柱ABCD−A′B′C′D′的底面是菱形，AA′⊥平面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，点P是侧棱CC′上的点A′P⊥PB(1)证明：A′P⊥平面PBD；(2)若P是CC′的中点，求四棱锥P−ADD′A′的体积．20.已知函数f(x)=x2+2alnx。

2021年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕集合A={x|x＞1}，函数y=lg〔2﹣x〕的定义域为B，那么A∩B=〔〕A．R B．〔1，+∞〕C．〔﹣∞，2〕D．〔1，2〕2．〔5分〕复数=〔〕A．﹣i B．i C．﹣1D．13．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的y=2，那么输入的x=〔〕A．1B．2C．4D．1或44．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么z=2x+3y的最大值为〔〕A．2B．6C．7D．95．〔5分〕为理解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了局部学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，以下结论中不正确的选项是〔〕A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．〔5分〕假设将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴方程为〔〕A．B．C．D．7．〔5分〕ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，那么的值为〔〕A．3B．2C．1D．8．〔5分〕两个平面垂直，以下命题：①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是〔〕A．①②B．①③C．②③D．①②③9．〔5分〕在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，那么直线y=k〔x﹣2〕与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕定义在R上函数f〔x〕满足f〔x〕+f〔﹣x〕=0，且当x＜0时，f〔x〕=2x2﹣2，那么f〔f〔﹣1〕〕+f〔2〕=〔〕A．﹣8B．﹣6C．4D．611．〔5分〕椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，假设，那么E椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕函数〔a＞0且a≠1〕，假设函数f〔x〕的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，那么a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔1，3〕C．〔0，1〕∪〔3，+∞〕D．〔0，1〕∪〔1，3〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕，那么=．14．〔5分〕假设直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，那么l的方程是．15．〔5分〕如图，A，B是函数f〔x〕=log2〔16x〕图象上的两点，C是函数g〔x〕=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，假设△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，那么点A的横坐标为．16．〔5分〕如图表示正方体外表的一种展开图，那么其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕设数列{a n}满足．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列的前n项和为T n，求T n．18．〔12分〕全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面进步国民体质和安康程度．某部门在该市2021﹣2021年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与〞的评分值进展了统计，制成如下图的散点图：〔1〕根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；〔2〕根据〔1〕中的回归方程，预测该市2021年和2021年“运动参与〞评分值．附：对于一组数据〔t1，y1〕，〔t2，y2〕，…，〔t n，y n〕，其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．19．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求a；〔2〕求sinB+sinC的值．20．〔12分〕如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC〔λ＞0〕．〔1〕当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；〔2〕是否存在λ，使得BD⊥FQ？假设存在，恳求出λ的值；假设不存在，请说明理由．21．〔12分〕函数〔其中a＞0〕．〔1〕求函数f〔x〕的极值；〔2〕假设函数f〔x〕有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明〔其中f'〔x〕是f〔x〕的导函数〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．〔1〕写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔2〕曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．〔1〕求M；〔2〕假设m，n∈M，求证：．2021年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕集合A={x|x＞1}，函数y=lg〔2﹣x〕的定义域为B，那么A∩B=〔〕A．R B．〔1，+∞〕C．〔﹣∞，2〕D．〔1，2〕【解答】解：要使y=lg〔2﹣x〕有意义，那么2﹣x＞0得x＜2，即B=〔﹣∞，2〕，∵A={x|x＞1}=〔1，+∞〕，∴A∩B=〔1，2〕，应选：D2．〔5分〕复数=〔〕A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：=．应选：A．3．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的y=2，那么输入的x=〔〕A．1B．2C．4D．1或4【解答】解：由中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，假设y=2，那么x=4，或x=1，应选：D4．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么z=2x+3y的最大值为〔〕A．2B．6C．7D．9【解答】解：作出约束条件对应的平面区域〔阴影局部〕，由z=2x+3y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A〔2，1〕．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，应选：C．5．〔5分〕为理解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了局部学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，以下结论中不正确的选项是〔〕A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．应选：D．6．〔5分〕假设将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴方程为〔〕A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象对应的函数解析式为y=sin〔2x+〕，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，应选：D．7．〔5分〕ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，那么的值为〔〕A．3B．2C．1D．【解答】解：由题意可得•=0，那么•=〔+〕•〔+〕=〔+〕•〔+〕=〔+〕•〔+〕=•+2+2=0++=1．应选：C．8．〔5分〕两个平面垂直，以下命题：①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是〔〕A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与直线垂直，故②正确；在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误．应选：B．9．〔5分〕在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，那么直线y=k〔x﹣2〕与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为〔0，0〕，圆心到直线y=k〔x﹣2〕的间隔为；要使直线y=k〔x﹣2〕与圆x2+y2=1有两个不同公共点，那么＜1，解得﹣≤k≤；∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k〔x﹣2〕与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==．应选：D．10．〔5分〕定义在R上函数f〔x〕满足f〔x〕+f〔﹣x〕=0，且当x＜0时，f〔x〕=2x2﹣2，那么f〔f〔﹣1〕〕+f〔2〕=〔〕A．﹣8B．﹣6C．4D．6【解答】解：由f〔x〕+f〔﹣x〕=0得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，得函数f〔x〕是奇函数，∵当x＜0时，f〔x〕=2x2﹣2，∴f〔﹣1〕=2﹣2=0，f〔f〔﹣1〕〕=f〔0〕=0，f〔﹣2〕=2〔﹣2〕2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f〔2〕，那么f〔2〕=﹣6，那么f〔f〔﹣1〕〕+f〔2〕=0﹣6=﹣6，应选：B11．〔5分〕椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，假设，那么E椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：如下图|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，那么|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M〔﹣，〕，∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1〔舍去〕，a2=，∴a2===〔〕2，∴a==，∴e===﹣1，应选：C．12．〔5分〕函数〔a＞0且a≠1〕，假设函数f〔x〕的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，那么a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔1，3〕C．〔0，1〕∪〔3，+∞〕D．〔0，1〕∪〔1，3〕【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f〔x〕=log a x关于y轴的对称函数为f〔x〕=log a〔﹣x〕，那么log a3＞1，∴1＜a＜3，综上所述，a的取值范围是〔0，1〕∪〔1，3〕，应选：D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕，那么=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．〔5分〕假设直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，那么l的方程是x﹣2y+2=0．【解答】解：由，得，即直线的交点坐标为〔2，2〕，在直线2x﹣y﹣2=0上取一点A〔1，0〕，设A关于直线x+y﹣4=0的对称点的坐标为〔a，b〕，那么满足得得，即对称点〔4，3〕那么l的方程为，整理得x﹣2y+2=0，故答案为：x﹣2y+2=015．〔5分〕如图，A，B是函数f〔x〕=log2〔16x〕图象上的两点，C是函数g〔x〕=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，假设△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，那么点A的横坐标为．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，那么y1=log2〔16x1〕，y2=log2〔16x2〕，y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，可得y2﹣y3=2〔x2﹣x1〕，y2+y3=2y1，即有log2〔16x2〕﹣log2x3=2〔x2﹣x1〕，log2〔16x2〕+log2x3=2log2〔16x1〕，化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．〔5分〕如图表示正方体外表的一种展开图，那么其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图复原成正方体，如以下图：那么四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕设数列{a n}满足．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列的前n项和为T n，求T n．【解答】解：〔1〕由，﹣a n=n+1，又a1=1，有a n+1所以n≥2时，a n=〔a n﹣a n﹣1〕+〔a n﹣1﹣a n﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1=．当n=1时，也满足，那么：．所以数列{a n}的通项公式为．〔2〕由〔1〕知，所以．18．〔12分〕全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面进步国民体质和安康程度．某部门在该市2021﹣2021年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与〞的评分值进展了统计，制成如下图的散点图：〔1〕根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；〔2〕根据〔1〕中的回归方程，预测该市2021年和2021年“运动参与〞评分值．附：对于一组数据〔t1，y1〕，〔t2，y2〕，…，〔t n，y n〕，其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：〔1〕由题，==3.5，==75，那么〔t i﹣〕〔y i﹣〕=〔1﹣3.5〕〔65﹣75〕+〔2﹣3.5〕〔71﹣75〕+〔3﹣3.5〕〔73﹣74〕+〔4﹣3.5〕〔77﹣75〕+〔5﹣3.5〕〔80﹣75〕+〔6﹣3.5〕〔84﹣75〕=63．〔t i﹣〕2=〔1﹣3.5〕2+〔2﹣3.5〕2+〔3﹣3.5〕2+〔4﹣3.5〕2+〔5﹣3.5〕2+〔6﹣3.5〕2=17.5，==3.6，×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是+62.4．〔2〕当t=7时，×7+62.4=87.6，当t=8时，×8+62.4=91.2，所以2021年、2021年该市“运动参与〞评分值分别87.6，91.2．19．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求a；〔2〕求sinB+sinC的值．【解答】解：〔1〕由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．〔2〕法一：由〔1〕中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由〔1〕有〔b+c〕2=〔b﹣c〕2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．20．〔12分〕如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC〔λ＞0〕．〔1〕当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；〔2〕是否存在λ，使得BD⊥FQ？假设存在，恳求出λ的值；假设不存在，请说明理由．【解答】解：〔1〕λ=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，所以ED=BQ，ED∥BQ，那么四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD．又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ．又F是A1A中点，所以EF∥A1D，因为BF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ．因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．〔2〕连接AQ，BD与FQ，因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD．假设BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，所以BD⊥平面A1AQ．因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以，AB2=AD•BQ．又AB=1，AD=2，所以，，那么，即．21．〔12分〕函数〔其中a＞0〕．〔1〕求函数f〔x〕的极值；〔2〕假设函数f〔x〕有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明〔其中f'〔x〕是f〔x〕的导函数〕．【解答】解：〔1〕由得，当a＞0时，ax+1＞0，假设0＜x＜1，f'〔x〕＞0；假设x＞1，f'〔x〕＜0，故当a＞0时，f〔x〕在x=1处获得的极大值；函数f〔x〕无极小值．〔2〕当a＞0时，由〔1〕知f〔x〕在x=1处获得极大值，且当x趋向于0时，f〔x〕趋向于负无穷大，又f〔2〕=ln2﹣2＜0，f〔x〕有两个零点，那么，解得a＞2．又由〔1〕知f〔x〕两零点分别在区间〔0，1〕和〔1，+∞〕内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．那么，又，两式相减得，那么，所以=，令，那么单调递减，那么h〔t〕＞h〔1〕=0，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．〔1〕写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔2〕曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：〔1〕线C1的参数方程为〔t为参数〕，所以：C1的普通方程：y=〔x﹣2〕tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：〔x﹣3〕2+y2=5．〔2〕由题知直线恒过定点P〔2，1〕，又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2〔3，0〕为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]23．不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．〔1〕求M；〔2〕假设m，n∈M，求证：．【解答】解：〔1〕当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．〔2〕m，n∈〔﹣1，1〕，欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证〔m﹣n〕2＜〔mn﹣1〕2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证〔m2﹣1〕〔n2﹣1〕＞0，因为m，n∈〔﹣1，1〕，所以〔m2﹣1〕〔n2﹣1〕＞0显然成立．所以成立．。

2021年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}，N＝{y||y﹣1|≤1}，则M∩N＝（）A．[0，2）B．（﹣，0）C．[1，2]D．∅2．已知复数z＝+1，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．已知a＝，b＝log，c＝（）4，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b4．已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2a m＝a6a n，a m2＝a6a10，则m+n＝（）A．4B．8C．12D．165．函数y＝sin x•ln|x|的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1到2000编号．已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（）A．997B．1007C．1047D．10877．已知向量＝（1，x），＝（0，2），则的最大值为（）A．2B．2C．D．18．已知x，y满足约束条件，则z＝ax+y（a为常数，且1＜a＜3）的最大值为（）A．﹣a B．2a C．﹣2a+3D．29．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右顶点A（a，0）的直线与右支交于不同于点A的另一点P，若3＝+2，则该双曲线的离心率是（）A．2B．2C．3D．410．已知曲线y＝与直线kx﹣y+k﹣1＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调，且在（0，）上存在极值点，则ω的取值范围是（）A．（，2]B．（，2]C．（，]D．（0，]12．在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为△ABC所在平面内一动点，且满足||+||＝，则PD的最大值为（）A．3B．C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝（x2+ax+2）e x，若f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线4x﹣y+3＝0平行，则a＝．14．一个球的表面积为100π，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，分别以点A，B为圆心，以BC的长度为半径在该矩形内作四分之一圆．若在矩形ABCD中随机取一点M，则点M与A，B的距离均小于BC长度的概率为．16．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6＝0，a7＝7，若为数列{a n}中的项，则m＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C+a sin A＝b sin B+c sin C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a．18．某城市实行生活垃圾分类，将垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，其中可回收垃圾和厨余垃圾都有利用价值．某垃圾中转站一天处理了200吨垃圾，经统计，各类垃圾的重量如表所示：类别可回收垃圾厨余垃圾有害垃圾其他垃圾重量（吨）54110432（Ⅰ）分别估计该城市的生活垃圾中有害垃圾、有利用价值的垃圾的比例；（Ⅱ）根据核算，各类垃圾的处理费用和经济效益的数据如表所示：类别处理费用经济效益可回收垃160元/吨150元/吨圾厨余垃圾300元/吨340元/吨有害垃圾1000元/吨0其他垃圾50元/吨0已知该城市一天产生的生活垃圾约2000吨，在实行生活垃圾分类以前，所有的垃圾都按照“其他垃圾”的方式进行处理，请你估计该城市实行生活垃圾分类以后，每天垃圾处理的综合成本（处理费用﹣经济效益）能节省多少．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，△PBC 是边长为的等边三角形，BD＝PD．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PBD；（Ⅱ）设E是BP的中点，求点B到平面DAE的距离．20．已知函数f（x）＝alnx+x，g（x）＝xe x﹣a．（Ⅰ）若x＝1是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，证明：f（x）≤g（x）．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB（点O为坐标原点）的面积为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若过点E（0，a）（a＞0）的两直线l1，l2的倾斜角互补，直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线l2与抛物线C交于P，Q两点，△FMN与△FPQ的面积相等，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上，求α；（Ⅱ）若tanα＝，求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}，N＝{y||y﹣1|≤1}，则M∩N＝（）A．[0，2）B．（﹣，0）C．[1，2]D．∅解：因为集合M＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}＝{x|（x﹣2）（3x+2）＜0}＝，又N＝{y||y﹣1|≤1}＝{y|0≤y≤2}，由集合交集的定义可知，M∩N＝[0，2）．故选：A．2．已知复数z＝+1，则|z|＝（）A．B．C．2D．解：z＝+1＝＝2+2i，则|z|＝2．故选：C．3．已知a＝，b＝log，c＝（）4，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：∵，，∴a＞c＞b．故选：B．4．已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2a m＝a6a n，a m2＝a6a10，则m+n＝（）A．4B．8C．12D．16解：∵a2a m＝a6a n，a m2＝a6a10，公比q＞1，∴由等比数列的性质可得：m＝8，n＝4，∴m+n＝12，故选：C．5．函数y＝sin x•ln|x|的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝sin x•ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln|﹣x|＝﹣sin x•ln|x|＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，排除CD，在区间（0，1）上，sin x＞0，ln|x|＜0，则f（x）＜0，函数图像在x轴的下方，排除B，故选：A．6．学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1到2000编号．已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（）A．997B．1007C．1047D．1087解：由题意知，系统抽样间隔为2000÷50＝40，由样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为7+（26﹣1）×40＝1007．故选：B．7．已知向量＝（1，x），＝（0，2），则的最大值为（）A．2B．2C．D．1解：向量＝（1，x），＝（0，2），则＝＝，当x≤0时，≤0，当x＞0时，≤＝1，当且仅当x＝1时，取等号，所以的最大值为：1．故选：D．8．已知x，y满足约束条件，则z＝ax+y（a为常数，且1＜a＜3）的最大值为（）A．﹣a B．2a C．﹣2a+3D．2解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，2），由z＝ax+y，得y＝﹣ax+z，由图可知，当直线y＝﹣ax+z过A（0，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故选：D．9．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右顶点A（a，0）的直线与右支交于不同于点A的另一点P，若3＝+2，则该双曲线的离心率是（）A．2B．2C．3D．4解：若3＝+2，即为﹣＝2（﹣），可得＝2，由A（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得a+c＝2（c﹣a），即c＝3a，可得e＝＝3，故选：C．10．已知曲线y＝与直线kx﹣y+k﹣1＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．解：由曲线y＝，得（x﹣2）2+y2＝1（y≥0），是以（2，0）为圆心半径为1的上半个圆，直线kx﹣y+k﹣1＝0过点D（﹣1，﹣1），如图，过D（﹣1，﹣1）与A（1，0）两点的直线的斜率k＝＝；设过（﹣1，﹣1）且与圆（x﹣2）2+y2＝1相切的直线方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．由＝1，解得k＝0或k＝．∴要使曲线y＝与直线kx﹣y+k﹣1＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是：．故选：A．11．若函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调，且在（0，）上存在极值点，则ω的取值范围是（）A．（，2]B．（，2]C．（，]D．（0，]解：∵函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调，∴•≥π﹣，∴0＜ω≤2．且在（0，）上存在极值点，当x∈（0，）时，ωx+∈（，），∴＞，∴ω＞．则ω的取值范围为（，2]，故选：B．12．在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为△ABC所在平面内一动点，且满足||+||＝，则PD的最大值为（）A．3B．C．D．2解：以AB的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（），，因为||+||＝＞AB＝2，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以，2c＝2，解得，所以点P的轨迹方程为，设，则＝＝，令t＝cosθ，则t∈[﹣1，1]，所以f（t）＝，则，令f'（t）＝0，解得，当时，f'（t）＞0，则f（t）单调递增，当时，f'（t）＜0，则f（t）单调递减，所以当时，f（t）取得最大值，故PD的最大值为．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝（x2+ax+2）e x，若f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线4x﹣y+3＝0平行，则a＝2．解：f（x）＝（x2+ax+2）e x的导数为f′（x）＝（x2+ax+2x+a+2）e x，可得f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为k＝a+2，由切线与直线4x﹣y+3＝0平行，可得a+2＝4，解得a＝2，故答案为：2．14．一个球的表面积为100π，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为4．解：球的表面积为100π，可得球的半径为R，4πR2＝100π，解得R＝5，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则截面圆的半径为3，所以球心到这个平面的距离为：＝4．故答案为：4．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，分别以点A，B为圆心，以BC的长度为半径在该矩形内作四分之一圆．若在矩形ABCD中随机取一点M，则点M与A，B的距离均小于BC长度的概率为．解：当点M与A，B的距离均小于BC长度时，点M在如图所示的阴影区域内部，设圆弧交点为E，过E作EF⊥AB，连接AE，令AB＝，BC＝2，在△AEF中，可求得，则有＝．∴所求概率为P＝．故答案为：．16．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6＝0，a7＝7，若为数列{a n}中的项，则m＝2．解：等差数列{a n}中，S6＝6a1+15d＝0，a7＝a1+6d＝7，解得d＝2，a1＝﹣5，故a n＝2n﹣7，设t＝2m﹣3，（t≥﹣1且t为奇数），＝＝＝t+﹣6为数列中的项，则t能被8整除，则t＝1时，m＝2，t+﹣6＝3，符合题意；当t＝﹣1时，m＝1，t+﹣6＝﹣15不符合题意，故m＝2．故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C+a sin A＝b sin B+c sin C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a．解：（I）因为b sin C+a sin A＝b sin B+c sin C，由正弦定理得bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得cos A＝＝，由A为三角形内角得A＝；（II）因为D为BC的中点，所以＝（），则＝（++2），因为c＝2，AD＝，所以13＝（4+b2），整理得b2+2b﹣48＝0，解得b＝6，b＝﹣8（舍），由余弦定理得a2＝36+4﹣2×6×2×＝28，故a＝2．18．某城市实行生活垃圾分类，将垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，其中可回收垃圾和厨余垃圾都有利用价值．某垃圾中转站一天处理了200吨垃圾，经统计，各类垃圾的重量如表所示：类别可回收垃厨余垃圾有害垃圾其他垃圾圾重量（吨）54110432（Ⅰ）分别估计该城市的生活垃圾中有害垃圾、有利用价值的垃圾的比例；（Ⅱ）根据核算，各类垃圾的处理费用和经济效益的数据如表所示：类别处理费用经济效益160元/吨150元/吨可回收垃圾厨余垃圾300元/吨340元/吨有害垃圾1000元/吨0其他垃圾50元/吨0已知该城市一天产生的生活垃圾约2000吨，在实行生活垃圾分类以前，所有的垃圾都按照“其他垃圾”的方式进行处理，请你估计该城市实行生活垃圾分类以后，每天垃圾处理的综合成本（处理费用﹣经济效益）能节省多少．解：（Ⅰ）由题意可得：有害垃圾的比例为%，有利用价值的垃圾的比例为%，（Ⅱ）实行生活垃圾分类以前，每天垃圾处理的综合成本为50×2000＝100000元，实行生活垃圾分类以后，2000吨垃圾中包含可回收垃圾540吨，厨余垃圾1100吨，有害垃圾40吨，其他垃圾320吨，综合成本为540×10+1100×（﹣40）+40×1000+320×50＝17400元，每天垃圾处理的综合成本能节省100000﹣17400＝82600元．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，△PBC 是边长为的等边三角形，BD＝PD．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PBD；（Ⅱ）设E是BP的中点，求点B到平面DAE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，BD、CD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，PD⊥CD，在Rt△PBD中，PB＝，∴BD＝PD＝1，在Rt△PCD中，可得CD＝1，于是BD2+DC2＝BC2，可得BD⊥DC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，从而AB⊥BD，由于PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，又PD∩BD＝D，∴AB⊥平面PBD；（Ⅱ）解：由于E是BP的中点，∴，由（Ⅰ）可知AB⊥平面BDE，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V＝＝，由于AD＝BC＝，DE＝，AE＝，∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥DE，故＝，设点B到平面DAE的距离为h，由V A﹣BDE＝V B﹣DAE，得，即h＝．故点B到平面DAE的距离为．20．已知函数f（x）＝alnx+x，g（x）＝xe x﹣a．（Ⅰ）若x＝1是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，证明：f（x）≤g（x）．解：（Ⅰ）f′（x）＝+1，x＞0，由题意得f′（1）＝a+1＝0，解得：a＝﹣1，故f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）证明：若a＝1，则f（x）＝lnx+x，g（x）＝xe x﹣1，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+x﹣xe x+1，则F′（x）＝+1﹣e x﹣xe x＝﹣（x+1）e x＝（x+1）（﹣e x），令G（x）＝﹣e x，可知G（x）在（0，+∞）上单调递减，且G（）＝2﹣＞0，G（1）＝1﹣e＜0，故存在x0∈（，1），使得G（x0）＝0，即﹣＝0，当x∈（0，x0）时，G（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）递增，当x∈（x0，+∞）时，G（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）递减，故F（x）≤F（x0）＝lnx0+x0﹣x0+1，又﹣＝0，故＝，即lnx0＝﹣x0，故F（x0）＝0，即F（x）≤0，即f（x）≤g（x）．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB（点O为坐标原点）的面积为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若过点E（0，a）（a＞0）的两直线l1，l2的倾斜角互补，直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线l2与抛物线C交于P，Q两点，△FMN与△FPQ的面积相等，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）因为焦点F（，0），所以A，B的坐标分别为（，p），（，﹣p），所以S△AOB＝•2P•＝2，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可知直线l1，l2的斜率存在，且不为0，设直线l1：x＝t（y﹣a），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得y2﹣4ty+4at＝0，所以△1＝16t2﹣16at＞0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝4at，所以|MN|＝|y1﹣y2|＝＝4，焦点F到直线l1的距离d＝＝2|1+ta|，所以S△FMN＝×4×＝2|1+ta|，设直线l2的方程为x＝﹣t（y﹣a），联立抛物线的方程，可得△2＝16t2+16at＞0，将t用﹣t代换，可得S△FPQ＝2|ta﹣1|，由S△FMN＝S△FPQ，可得2|1+ta|＝2|ta﹣1|，化简可得＝||，两边平方得，t2＝，所以2﹣a2＞0，解得0＜a＜，又由△1＞0且△2＞0，得t＜﹣a或t＞a，可知t2＞a2，所以＞a2，即（a2﹣1）2＞0，所以a≠1，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上，求α；（Ⅱ）若tanα＝，求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为．曲线C与y轴的负半轴交于点（0，﹣1），由于直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），所以直线l恒过点（1，0）．所以直线的斜率k＝1，即tanα＝1，整理得．（Ⅱ）若tanα＝，所以直线的l的普通方程为，即，曲线C上的点到直线l的距离d＝＝，当（k∈Z），所以，即，，故P（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，当﹣1≤x≤时，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，当x＞时，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，综上f（x）＝，则对应的图象如图：（Ⅱ）当a＝0时，不等式不成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移﹣a个单位得到y＝f（x+a）的图象，此时对任意x＜1时，y＝f（x+a）总在y＝f（x）的上方，不满足条件．当a＞0时，y＝f（x+a）的图象最多平移到与y＝f（x）的图象交于点（1，﹣2）的位置，此时a＝2，此时a的取值范围是（0，2].。

江西省鹰潭市2021届高考数学一模试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=1+√3i，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设全集U=R，A={x|3x(x−3)<1}，B={x|y=√log2(x−1)}，则A∩B=()A. {x|1<x<9}B. {x|1<x<3}C. {x|2≤x<3}D. {x|2≤x<9}3.向量，命题“若，则”的逆命题是A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则4.下列命题错误的是()A. “x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件B. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x=1，则x2−3x+2≠0”C. 对命题：“对∀k>0，方程x2+x−k=0有实根”的否定是：“∃k>0，方程x2+x−k=0无实根”D. 若命题P：x∈A∪B，则￢P是x∉A且x∉B5.已知数列{a n}中，a3=2，a7=1.若{1a n}为等差数列，则a5=()A. 23B. 32C. 43D. 346.4名学生排一排，甲乙站在一起的概率是()A. 14B. 127C. 118D. 127.下列命题正确的是()A. 若两条直线和同一平面平行，则这两条直线平行B. 若一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行C. 若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面平行D. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行8.直线x−y−1=0上的点到圆(x+2)2+(y−1)2=1的最大距离是()A. 2√2+1B. 2√3+1C. 2√2−1D. 2√3−19.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的横坐标为( )A. 23B. 12C. 13D. 1410. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A. 1112 B. 6 C. 112 D. 22311. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P −ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，PA =1，且PA ⊥平面ABCD ，则球体毛坯体积的最小值应为( ) A. √2π3B. 4π3C. 8√2π3D. √3π212. 已知P(m,n)(m >0,n >0)是f(x)=13x 3−52x 2−x +1856在点x =5处的切线上一点，则1m +4n 的最小值是( )A. 910B. 1921C. 1011D. 1110二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=sin4x2sin(π2−2x)，(x ∈[0,π6])的最大值是______14. 在各项均为正项的等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31，1a1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=3116，则a 3= ______ ．15. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(3a ⃗ +b ⃗ )的值为______． 16. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1作斜率为√2的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于A,B 两点，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知α、λ是实常数，f(x)=∣∣∣λcosxsin(x −α)sin(x +α)cosx ∣∣∣．(1)当λ=1，α=π3时，求函数y =f(x)的最小正周期、单调增区间与最大值；(2)是否存在λ，使得f(x)是与α有关的常数函数(即f(x)的值与x的取值无关)？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由．18.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点(1)求证：PA//平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)(理)若二面角EBDC为30°，求四棱锥PABCD的体积．(文)若∠COE=30°，求四棱锥PABCD的体积．19.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如下：表一：男生测评结果统计表二：女生测评结果统计(1)计算的值；(2)由表一表二中统计数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据：(参考公式：，其中).20. 已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点P(0,2)分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

2023年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）1. 设全集，集合N满足，则( )A. B. C. ，0， D.2. 设，其中a，b是实数，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知向量满足，则( )A. B. C. 3 D. 44. 设一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为( )A. 1B. 3C. 4D. 55. 中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是( )A. 224里B. 214里C. 112里D. 107里6. 已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )A. 8B. 9C. 16D. 187. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. B. C. D.8. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为( )A. 2B.C. 4D.9. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 有两个零点B. 点是曲线的对称中心C. 有两个极值点D. 直线是曲线的切线10.如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中错误的是( )A.平面平面B.C.D. 平面11. 已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点若直线l交C于M，N两点，且，则( )A. B. C. D.12. 已知正六棱锥的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为，则该正六棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D.13. 已知直线与圆交于A，B两点，则弦AB的长为______ .14. 从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为______ .15. 设是定义域为R的奇函数，且若，则______ .16. 记函数的最小正周期为若为的极小值点，则的最小值为______ .17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求A；若，，试求边BC上的高18. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”.30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求精确到附：，19. 如图，已知矩形ABCD是圆柱的轴截面，P是CD的中点，直线BP与下底面所成角的正切值为，矩形ABCD的面积为12，MN为圆柱的一条母线不与AB，CD重合证明：；当三棱锥的体积最大时，求M到平面PBN的距离.20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；证明：当时，没有零点.21. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为求C的方程；若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q 为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为说明是什么曲线，并将的方程化为极坐标方程；直线的极坐标方程为，是否存在实数b，使与的公共点都在上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.23. 设a，b，，a，b，均不为零，且证明：；求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，故选：根据补集的运算即可求出集合本题考查了全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，所以，则，即，故选：利用复数相等即可求出结果．本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为，所以，所以故选：根据平面向量的坐标运算求解．本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：数据，，⋅⋅⋅，的方差为，故选：数据，，⋅⋅⋅，的方差是数据，，⋅⋅⋅，的方差的倍．本题主要考查了方差的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题设，每天行程是公比为的等比数列，所以，可得，则第一天走的路程224里．故选：由题意每天行程是公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，即得到结果．本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由椭圆的定义可得，所以由基本不等式可得，当且仅当时取得等号，故选：利用椭圆的定义和基本不等式求解．本题主要考查椭圆的性质，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：当输入的时，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，输出，故选：根据框图结构利用循环语句求解．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．8.【答案】B【解析】解：设公差为d，则有整理得，又由可得，所以，解得，故选：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：，令，解得，令，解得或，所以在单调递减，单调递增，单调递减，又，，且，，所以在，，各有一个零点，共3个零点，A错误；为奇函数，所以图象关于对称，所以的图象关于点对称，B错误；由单调性可知有两个极值点为，，C正确；对于D，令，解得，则，但是当时，对于直线，有，即直线不经过切点，D错误，故选：利用导函数讨论单调性和极值、最值即可求解A，C，再根据奇函数的对称关系可判断B，根据导数的几何意义可判断本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的几何意义以及函数的对称性，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于A，由E，F分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面ABCD，平面ABCD，所以，，，AC，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正确；对于B，P为下底面的中心，故P为，的中点，因为M为所在棱的中点，所以，故B正确；对于C，若，由B选项知，则有，令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，所以，不满足，故C错误；对于D，由A选项知，由正方体的性质易知，所以，平面，平面，所以平面，故D正确．故选：根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案．本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：因为点在双曲线上，所以解得，所以双曲线设l：，，，联立整理得，所以，所以，，因为，所以，即，所以，整理得解得或，当时，直线过点，不满足题意，所以，故选：根据点在双曲线求出双曲线方程，根据可得，利用韦达定理代入即可求解．本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：如图，过P作平面ABCDEF，则球心O在PM上，设，，，外接球的半径为R，因为球O的体积为，所以解得，在中，，所以，正六棱锥的体积为，设，令解得，令解得或，所以在单调递减，单调递增，单调递减，因为球心O在该正六棱锥的内部，所以，所以在单调递增，单调递减，所以，故选：根据题设条件确定底面正六边形的边长与正六棱锥的高之间的等量关系，从而可将正六棱锥的体积表示为关于高h的函数，利用导函数讨论单调性和最值求解．本题主要考查了棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．13.【答案】【解析】解：圆化为标准方程为，其圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以弦故答案为：利用点到直线的距离公式以及勾股定理求解．本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为，故答案为：利用古典概率模型，结合组合数的运算求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：因为是定义域为R的奇函数，则，所以，所以是周期为4的函数，则故答案为：由题意可得是周期为4的函数，即可求解．本题主要考查了函数奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．16.【答案】14【解析】解：因为，所以最小正周期，，又所以，即，又为的极小值点，所以，解得，，因为，所以当时故答案为：首先表示出T，根据求出，再根据为函数的极小值点，即可求出的取值，从而得解．本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：在中，有，由正弦定理得，再由余弦定理得，化简得，所以，又，所以结合，将，，代入中，得，解得，或舍去由，得【解析】在中，根据正弦定理，余弦定理转角为边得到，再根据余弦定理得到的值，进而即可得到A；由已知条件结合余弦定理可求解c，再根据三角形的面积公式即可得到边BC上的高本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于分的频率为，因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，于是列联表为：男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060因为，所以有的把握认为“防疫标兵”与性别有关；由频率分布直方图知，，由频数分布表知，，由频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此则，解得，由频数分布表知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此则，解得，故，，，【解析】利用频率分布直方图及频数分布表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答．利用频率分布直方图、频数分布表求出平均数、中位数作答．本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接NC，因为BC是底面圆的直径，所以，即，又，且，MN，平面MNC，所以平面MNC，又平面MNC，所以根据题意可知，设，则，，又，，，，设，则，由可知平面MNP，又P到MN的距离为NC，当，即时，取等号．当时，三棱锥的体积最大．设M到平面PBN的距离为h，则，，又，，，到平面PBN的距离为【解析】证明平面MNC即可证明结论；设，进而结合题意得，进而得，再结合基本不等式得时，三棱锥的体积最大，最后根据等体积法求解即可．本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求点面距，化归转化思想，属中档题．20.【答案】解：当时，，则，因为，，故曲线在点处的切线方程为，即，因为该切线在x，y轴上的截距分别为和，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；证明：当时，因为，所以，，令，，则，，因为，，所以，所以在上单调递增，又，，故在上有唯一的零点，即，因此有当时，，即；当时，，即即所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．由，得，所以在时，，因为，所以，又因为当时，，所以所以因此当时，没有零点．【解析】求出导函数后计算斜率，再计算，然后写出切线方程，求出其在坐标轴上的截距后可得三角形面积；求出导函数，引入新函数，，由导数确定的零点的存在，从而得出的正负，得的最小值，然后证明这个最小值大于0即可证．本题主要考查了导数的几何意义及函数零点的判断，证明函数无零点问题，可利用导数求出函数的最小值或最大值，然后证明最小值大于或最大值小于即可，难点在于函数的最值点不能具体地求出，21.【答案】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，则直线AB的方程为，联立方程组，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得，所以C的方程为由，得，所以，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则相应的切线方程为，即，设点，由切线经过点E，得，即，设，，则，是的两实数根，可得，设M是PQ的中点，则相应，则，即，又，直线PQ的方程为，即，所以直线PQ恒过定点【解析】设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线AB的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于含参的一元二次方程，从而得到，，再根据，代入即可求解p的值，进而得到C的方程；结合中抛物线，得，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则可得到过点E的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，则得到，，进而得到PQ的中点M的坐标，，从而得到直线PQ的方程，进而得到直线PQ恒过的定点．本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，，消去参数t得到的普通方程为，因此曲线是以为圆心，b为半径的圆，将代入的普通方程中，得的极坐标方程为，所以曲线是以为圆心，b为半径的圆，其极坐标方程为；曲线，的公共点的极坐标满足方程组，消去整理得，把代入的方程中，得，把代入，得，而，解得，所以存在实数，使与的公共点都在上．【解析】将的参数方程化为普通方程即可得曲线形状，再利用极坐标与直角坐标互化关系求出极坐标方程作答；联立曲线与的极坐标方程消去，联立曲线与直线的极坐标方程消去，求出b值作答．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．23.【答案】证明：依题意，，且a，b，均不为零，则，所以解：因为，当且仅当，即，，时取等号，因此，所以的最小值为【解析】根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答．利用柯西不等式求解最小值作答．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．。

普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð=（A ）{2,6}（B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6} （2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140（4）若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）12+π33（B）123（C）123（D）2（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，b内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面b相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A=（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6 (9)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x)= —f(x)；当x ＞12时，f(x+12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1（C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。