高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念课堂导学案新人教A版必修4

2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量． 2．理解向量的概念，掌握向量的表示法，了解生活中的向量． 3．掌握并能判断相等向量和平行向量．1．概念(1)向量：既有____，又有____的量叫做向量，如力，位移等．(2)数量：只有大小，没有____的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有____的线段叫做有向线段．其方向是由____指向____，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作__(如图所示)，线段__的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：____、____、____.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的____就唯一确定．【做一做1】 下列量中是向量的是( )A ．长度B ．身高C ．速度D ．面积 2．向量的表示法(1)几何表示：用________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的____(或称模)，如向量AB →的长度记作__．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →，b →，c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →.【做一做2】 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是MD ．终点是M3．有关概念①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．【做一做3－1】 单位向量的长度等于( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【做一做3－2】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量有__________．答案：1．(1)大小 方向 (2)方向 (3)方向 起点 终点 AB →AB (4)起点 方向 长度 终点【做一做1】 C2．(1)有向线段 长度 |AB →|【做一做2】 D3．0 1 长度 a ＝b 有向线段 相同 相反 a ∥b 平行 直线 共线 【做一做3－1】 B【做一做3－2】 BA →，DC →，CD →1．向量和有向线段的区别与联系剖析：向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向．它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的．而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．2．数学中的向量是自由向量剖析：根据相等向量的定义来分析．两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等．任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量．例如：五个人站成一排，同时向前走一步(假设每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的．因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上．题型一 向量的有关概念【例1】 下列说法正确的是( ) A. AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量反思：(1)对向量有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系．(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．题型二 在图形中找出相等或共线向量【例2】 如图，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)写出与向量AB →共线的向量；(2)写出与向量AB →相等的向量．分析：寻找相等向量时，需要考虑线段的长度和方向；寻找共线向量时，只需要考虑线段的方向，不需要考虑线段的长度．反思：在图形中找出与AB →共线的向量时，首先是BA →，再就是判断其他向量m 是否与AB →共线，若m 所在直线与直线AB 平行或重合，则m ∥AB →，否则它们不共线．在所有与AB →共线的向量中，与AB →方向相同且长度相等的向量与AB →相等．题型三 画出实际问题中的向量 【例3】 一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.分析：根据行驶方向和距离作出向量，进而求解．反思：在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型四 易错辨析易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 判断下列各命题的真假：(1)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (2)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (3)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； (5)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 错解：A 或B 或D错因分析：本题易发生的错误是忽略零向量而判断(1)为正确；不理解共线向量而判断(3)为正确；混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断(4)正确；混淆向量与有向线段概念而判断(5)正确．反思：对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．因此“大于”“小于”对向量来说没有意义，而向量的模可以比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．答案：【例1】 C AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 项错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 项错；按定义，零向量的长度等于0，故C 项正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 项错．【例2】 解：(1)与向量AB →共线的向量是BA →，DE →，ED →，DC →，CD →，CE →，EC →； (2)与向量AB →相等的向量是CE →和DC →. 【例3】 解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200千米．【例4】 C 正解：(1)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(2)真命题．(3)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．(4)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(5)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．1．已知非零向量a，b满足a∥b，则下列说法错误的是( )A．a＝b B．它们方向相同或相反C．所在直线平行或重合D．都与零向量共线2．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．33．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与OA相等的向量是( )A.OCB.ODC.OBD.CO4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)写出与AE共线的向量；(2)写出与AE相等的向量．5．一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C.(1)画出AB，BC，CA.(2)求|CA|.答案：1．A2．A ①错误．只有速度、位移是向量；②错误．零向量有方向，它的方向是任意的；③错误．|0|＝0；④错误．非零向量a的单位向量有两个：一个与a同向，一个与a反向．3．D OA与CO方向相同且长度相等，则OA＝CO.4．解：(1)与AE共线的向量有EA、BD和DB.(2)与AE 相等的向量是BD . 5．解：(1)如图所示．(2)||AB ＝100 m ，||BC ＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， ∴△ABC 为正三角形．∴||CA ＝100 m.。

平面向量的实际背景及基本概念教学设计一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4（必修）》（人教A版）第二章第一节的第一课时《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有及其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题因此，它在整个高中数学的地位是非常重要的本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量的两个属性：大小和方向，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．二．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1 通过位移的实例分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念及向量相等的含义，理解向量的几何表示2 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．三．教学重难点1 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示2难点：向量的概念和共线向量的概念四．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】同学们被外国人誉为中国的“新四大发明”是什么？设计意图：教师提出一个生活中的热点问题，激发学生学习兴趣，为下一步引出物理现象作铺垫【问题2】运用物理学的哪个量，可以解释路径不同，但是最终都能从南宁到达福州这一现象？追问1：这个物理量有什么特点？师生活动：教师通过图片演示两条不同从南宁到福州的路径，学生认真观察现象并进行思考，教师组织学生交流设计意图：进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知，为向量概念的引出作准备；（二）概念形成【问题3】大家能否举出一些既有大小，又有方向的量请举例说明。

第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量ABCD（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. A(起点) B （终点）a6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无．．.．．．关）说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）,）变式三：与向量共线的向量有哪些？（,课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题。

2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案【学习目标】1、 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 【重点难点】教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

【学法指导】通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； '学握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 【知识链接】（一） 、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？ 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠•逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、冇长 短的量. 引言：请同学指出哪些量既冇人小乂冇方向？哪些量只冇人小没冇方向？ （二） 、新课预习：I 、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2、请同学阅读课木后回答：（可制作成幻灯片） 1） 数量与向量有何区别？ 2） 如何表示向量？ 3） 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4） 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5） 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6） 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7） 如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各 向量的'终点之间有什么关系？ 三、提出疑惑凝惑点 疑惑内容【学习过程】1、数量与向量的区别?（画图） B④向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作____________ o3.有向线一段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个耍素：__________________向量与有向线段的区别：（1） ________________________________________________________________________ . 。

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修2、1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一向量的表示1、准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点、2、注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头、【典型例题1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45方向；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；(3)，使||＝6，点C在点B 北偏东30方向、解：如图中的，和、探究二相等向量与共线向量1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线、2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量、注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量、【典型例题2】给出下列说法：①||＝||；②若a与b方向相反，则a∥b；③若，是共线向量，则A，B，C，D四点共线；④有向线段是向量，向量就是有向线段、其中所有正确的序号是________、思路分析：利用共线(平行)向量的概念判断、解析：①中与的起点终点相反，但长度相等，故①正确；②正确；③与共线时，有AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故③错误；④向量是一个量，有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段、答案：①②【典型例题3】如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与，相等的向量、(2)与共线的向量、解：(1)＝，＝、(2)与共线的向量为：，，、规律小结对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况、探究三易错辨析易错点：混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】已知下列命题：①若|a|＝0，则a为零向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同、其中正确的有()A、2个B、3个C、4个D、5个错解：C错因分析：①正确；②正确；③错误；没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确；⑤正确、正解：①正确；②由|a|＝|b|得a与b的模相等，但不确定方向，故②错误；③错误；④所有单位向量的模都相等，都为1，但方向不确定，故④不正确；⑤正确、答案：A方法技巧明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关、(2)明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关、(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的、零向量的方向是任意的、(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量、。

第二章平面向量本章教材分析1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2.教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3.本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.整体设计教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.三维目标1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.推进新课新知探究提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设A 为起点、B 为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB .起点要写在终点的前面.已知AB ,线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度,记作|AB |.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B 的有向线段,对应的向量记作:AB .这里要提醒学生注意的方向是由点A 指向点B,点A 是向量的起点.2°用字母a ,b ,c ,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a ,书写用)3°向量(或a )的大小,就是向量(或a )的长度(或称模),记作||(或|a |).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a ＞b 就没有意义,而|a |>|b |有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为正三角形.∴|CA|=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b 共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B知能训练课本本节练习.解答:1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.||=2,|CD|=2.5,||=3,|GH|=22.点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.作业课本习题2.1 1、2.设计感想本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.。

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2。

1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示，学会用字母表示向量;2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.【新知自学】新知梳理1.向量的概念：我们把既有又有的量叫向量。

2、叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作。

有向线段包括三个要素: 、、 .3、向量的表示方法有两种,即或4、向量AB的大小，也就是向量AB的（或模),记作。

长度为0的向量叫做；长度为1的向量叫做。

5、的向量叫做平行向量.向量a与向量b平行，通常记作 .规定零向量与向量平行.6、的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作7、共线向量与相等向量的关系是思考感悟1、数量与向量有何区别？2、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？3、共线向量用有向线段表示时必须在同一直线上吗？对点练习：:（1）不相等的向量一定不平行。

（2）平行向量一定方向相同。

（3）共线向量一定在同一直线上.2.填空：(1)与零向量相等的向量必定是________向量（2)与任意向量都平行的向量是_________向量（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是_______向量3．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功;⑥位移. 正确的是 （ )A. ①②③是数量,④⑤⑥是向量B 。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂导学三点剖析1.向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确.①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④向量0=0；⑤向量AB大于向量CD.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：①真命题.因为向量AB和向量BA是方向相反，模长相等的两个向量.②假命题.因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.③假命题.向量是用有向线段来表示的，但不能把两者等同起来.④假命题.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|=0.⑤假命题.因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小. 故应选B.答案：B温馨提示只有真正理解向量的概念、向量模的意义，才能解决类似的概念辨析题.【例2】某人从A点出发向西走了10 m到达B点；然后改变方按西偏北60°走了15 m到达C点；最后又向东走了10 m到达D点.（1）作出向量、、（用1 m长的线段代表100 m长）；（2）求||.解：（1）向量AB、BC、CD如右上图所示.（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=15 m.温馨提示（1）要画出向量，首先要确定向量的起点和终点，或先确定向量的起点，再确定向量的方向，再根据向量的模确定向量的终点.（2）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日后的学习中不断积累经验.2.平行向量的概念【例3】判断下列命题是否正确：（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；（2）四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC,反之也成立.（3）|a|=|b|,a，b不一定平行；a∥b，|a|不一定等于|b|;（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.（2）正确.AB=DC⇔AB∥DC且|AB|=|DC|⇔四边形ABCD是平行四边形. （3）正确.模相等不一定平行，平行不一定模相等.（4）错.如下图，AC与BC共线，虽起点不同，但终点却相同.温馨提示（1）共线向量也叫平行向量，指向量的基线互相平行或重合.（2）零向量与任何向量共线.（3）共线向量不一定相等，但相等向量一定共线.3.对向量有关概念再理解【例4】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|，则a=b;③若=,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=；⑤若m=n,n=k，则m=k;⑥若a∥b,b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：①两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同.②|a|=|b|,只能说a与b模相等，方向不一定相同.∴a与b不一定相等，故②不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上.④显然：AB与DC方向相同，模也相等.∴④正确.⑤显然正确，说明向量相等具有传递性.⑥零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确.故应选C答案：C各个击破类题演练1指出下列概念是不是向量:（1）作用在物体上的大小为5牛顿；方向为东北的力.（2）物体B沿东南方向产生了10 m的位移.（3）温度计上表示零上、零下的温度.解：（1）是向量，因为力是既有大小又有方向的量，但不是自由向量，因为确定力的要素除大小、方向外，还有作用点.（2）是向量，因为位移由大小、方向决定.（3）不是，因为温度可以用带正、负号的实数表示.变式提升1下列命题：①向量可以比较大小；②向量的模可以比较大小；③若a =b ，则一定有|a |=|b |，且a 与b 方向相同；④对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解析：②③④正确答案：C类题演练2一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D 点.（1）作出向量AB ，BC ,CD ; （2）求|AD |.解：（1）如右图所示.（2）由题意，易知AB =-CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形.∴|AD |=|BC |=200 （千米）.变式提升2如右图，已知'AA ='BB ='CC ,求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：（1）∵'='BB ，∴四边形AA′B′B 是平行四边形，∴|AB |=|''B A |.同理由BB =CC ，CC =AA ，得||=|'C B |,||=|''C A |,即两个三角形的三边分别对应相等，∴△ABC≌△A′B′C′.类题演练3给出下列命题：①若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；②a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③把平面内所有单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点的集合是单位圆.其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：只有命题③正确.因为把平面内所有单位向量的起点移到同一个点后，所有向量的终点到这个点的距离等于1，即这些向量的终点都在单位圆上，其次以这个单位圆上任一点为终点，这个单位圆圆心为起点的向量的长度都是1，这些向量都是单位向量.答案：B变式提升3把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P，则各向量的终点组成的图形是________________.答案：直线l类题演练4下列说法中错误的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案：A变式提升4下面有四个命题：①向量的模是一个正实数；②两个向量相等，则两个向量一定平行；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量.其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：只有②正确，①错在|0|=0，③错在两单位向量方向可相反，④错在温度的零上与零下只表示数量，而不表示方向.答案：B。