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4 斜抛运动(选学)[学习目标] 1.知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析斜抛运动.2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟初速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产和生活中．一、斜抛运动1．定义：当不考虑空气的阻力时，一个物体沿斜向抛出后的运动，叫做斜抛运动．2．轨迹：斜抛运动的轨迹也是一条抛物线．3．射程：斜抛运动的射程跟抛射体的初速度和抛射角有关．(1)抛射角一定时，初速度越大，射程越大．(2)初速度一定时，当抛射角为45°时，射程最大．二、空气阻力对斜抛运动的影响当斜抛物体的速度较小时，空气阻力对物体运动的影响可以忽略，此时物体的运动轨迹近似为抛物线；当斜抛物体的速度很大时，空气阻力对运动会产生很大影响，物体的轨迹形状不对称，这种轨迹叫做弹道．1．判断下列说法的正误．(1)斜抛运动是匀变速运动．(√)(2)斜抛运动的速度一直在减小．(×)(3)做斜抛运动的物体在最高点速度为0.(×)(4)做斜抛运动的物体在水平方向上不是匀速直线运动．(×)(5)斜抛运动是曲线运动．(√)2．有一小球，从地面以角度(与水平面夹角)θ＝45°，初速度v0＝10m/s抛出，则小球达到的最大高度为________m，小球落到地面所用的时间为________s．(取g＝10 m/s2，忽略空气阻力)答案 2.5 2一、斜抛运动体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪(如图1所示)等都可以视为斜抛运动．我们以运动员投掷铅球为例，分析并回答以下问题：图1(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？(2)将铅球的运动进行分解，铅球在水平方向和竖直方向分别做什么运动？(3)铅球在最高点的速度是零吗？答案(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方．(2)铅球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动．(3)不是．由于铅球在水平方向做匀速直线运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度．1．斜抛运动的性质：由于斜抛运动的加速度是重力加速度，且与速度方向有夹角，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动．2．斜抛运动的研究方法：运动的合成与分解．若物体的初速度为v0，方向斜向上，与水平方向夹角为θ，将初速度v0进行分解，则v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ(1)水平方向：物体不受外力，始终以v0x做匀速直线运动．(2)竖直方向：受重力作用，物体有向上的初速度v0y，则物体做竖直上抛运动．例1关于斜抛运动，下列说法中正确的是( )A．物体抛出后，速度增大，加速度减小B．物体抛出后，速度先减小，再增大C．物体抛出后，沿着轨迹的切线方向，先做减速运动，再做加速运动，加速度始终沿着切线方向D．斜抛物体的运动是匀变速曲线运动答案 D解析斜抛物体的运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛或竖直下抛运动，抛出后只受重力作用，故加速度恒定．若是斜上抛则竖直分速度先减小后增大，若是斜下抛则竖直分速度一直增大，故A、B、C项错误．由于斜抛运动的物体只受重力的作用且与初速度方向不共线，故做匀变速曲线运动，D项正确．针对训练(多选)斜抛运动和平抛运动的共同特点是( )A．加速度都是gB．运动轨迹都是抛物线C．运动时间都与抛出时的初速度大小有关D．相同时间内速度变化都相等答案 ABD解析 斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度都是相同的，都为重力加速度，因此选项A 、D 正确．它们的轨迹均为抛物线，选项B 正确．斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与竖直方向上的位移有关，与初速度无关，故选项C 错误． 二、斜抛运动的射程如图2所示，一炮弹以初速度v 0斜向上方飞出炮筒，初速度与水平方向夹角为θ，空气阻力不计．图2(1)求解炮弹在空中的飞行时间、射高和射程； (2)由射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？ 答案 (1)先建立直角坐标系，将初速度v 0分解为：v 0x ＝v 0cos θ，v 0y ＝v 0sin θ飞行时间：t ＝2v 0y g ＝2v 0sin θg射高：Y ＝v 0y 22g ＝v 02sin 2θ2g射程：X ＝v 0cos θ·t ＝2v 02sin θcos θg ＝v 02sin2θg可见，给定v 0，当θ＝45°时，射程达到最大值X max ＝v 02g.(2)射程X ＝v 02sin2θg，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关．1．斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 2．斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例，如图3)图3(1)水平方向：v x ＝v 0x ＝v 0cos θ，x ＝v x t ＝v 0t cos θ.(2)竖直方向：v y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gty ＝v 0y t －12gt 2＝v 0sin θ·t －12gt 2.(3)飞行时间t ＝t 上＋t 下＝2v 0sin θg(4)射高：Y ＝v 0y 22g ＝v 02sin 2θ2g射程：X ＝v 0x ·t ＝v 0cos θ·2v 0sin θg＝v 02sin2θg(5)射高、射程与抛射角的关系(初速度大小一定)当0<θ<45°时，随着抛射角的增大，射程增大，射高也增大；当θ＝45°时，射程最大；当45°<θ<90°时，随着抛射角的增大，射程减小，射高增大；当θ＝90°时，射程为零，射高最大．例2 在水平地面上沿与水平方向成α＝37°角的方向，以初速度v 0＝20m/s 斜向上抛出一物体，求物体从抛出到落地的时间以及它运动的最大高度和射程．在初速度大小v 0＝20 m/s 不变的情况下，若要使物体的水平射程最大，抛射角应多大？最大射程是多少？(g 取10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8) 答案 2.4s 7.2m 38.4m 45° 40m解析 根据竖直方向的竖直上抛运动的规律可求得物体从抛出到落地的时间t ＝2v 0sin αg＝2×20×0.610s ＝2.4s物体上升的最大高度H ＝v 02sin 2α2g ＝202×0.622×10m ＝7.2m斜抛运动的射程X ′＝v 0cos α·t ＝20×0.8×2.4m ＝38.4m设抛射角为θ，飞行时间为T ，根据射程与抛射角的关系得 X ＝v 0x T ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 02·sin2θg可以判断，当抛射角θ＝45°时，射程最大，最大射程X max ＝v 02g＝40m【考点】对斜抛运动的理解和规律应用 【题点】用运动分解的观点分析斜抛运动斜抛运动的对称性1．时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． 2．速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． 3．轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称．1．(对斜抛运动的理解)(多选)关于斜抛运动，忽略空气阻力，下列说法中正确的是( ) A ．斜抛运动是曲线运动 B ．斜抛运动的速度一直减小 C ．斜抛运动在最高点速度不为零 D ．斜抛运动的加速度是恒定的 答案 ACD解析 做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g ，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为g 的匀变速直线运动，斜上抛运动速度先减小后增大．在最高点时有水平速度．故A 、C 、D 正确．2．(对斜抛运动的理解)做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，下列图像中正确描述竖直方向上物体运动的速度的是( )答案 C3．(斜抛运动的射高)A 、B 两物体初速度相同，A 沿与水平方向成θ角的光滑斜面上滑；B 与水平方向成θ角斜上抛．它们所能达到的最大高度分别为H A 和H B ，则下列关于H A 和H B 的大小判断正确的是( ) A ．H A ＜H B B ．H A ＝H B C ．H A ＞H B D ．无法确定答案 C解析 假设初速度为v 0，在光滑斜面上，对物体A 进行受力分析可以得到物体的加速度a ＝mg sin θm＝g sin θ，设物体在斜面上运动的长度为l ，则v 02＝2gl sin θ，离地面的最大高度H A ＝l sin θ＝v 022g ；斜向上抛时，B 物体竖直分速度v y ＝v 0sin θ，上升的最大高度H B ＝v 02sin 2θ2g＜H A .4．(斜抛运动的射程)用弹簧枪将一小钢珠从地面沿与竖直方向成37°角斜向上弹出(不计空气阻力)，经4s 后钢珠落地，则小钢珠被弹出时的速度大小为________m/s ，小钢珠的水平射程为________ m ．(g 取10 m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8) 答案 25 60解析 根据对称性可知，钢珠上升的时间与下落的时间相等，均为t ＝2s ，设弹出时的速度大小为v 0，则有t ＝v 0cos37°g，解得v 0＝25m/s.水平射程为X ＝2t ·v 0sin37°＝60m.一、选择题考点一对斜抛运动的理解1．斜抛运动与平抛运动相比较，相同的是( )A．都是匀变速曲线运动B．平抛运动是匀变速曲线运动，而斜抛运动是非匀变速曲线运动C．都是加速度逐渐增大的曲线运动D．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动答案 A解析斜抛和平抛都做曲线运动且只受重力，产生的加速度为g，故均为匀变速曲线运动，故A正确，B、C错误；平抛运动是速度一直增大的运动，而斜上抛运动是速度先减小后增大的运动，斜下抛运动是速度一直增大的运动，故D错误．2．某同学斜向上抛出一铅球，忽略空气阻力．铅球在空中运动的过程中，加速度a随时间t变化的关系图像是( )答案 B解析由题意知，忽略空气阻力，铅球抛出后只受重力，由牛顿第二定律知，其加速度为g且保持不变，故B 正确．3．(多选)关于斜上抛运动，下面的说法正确的是( )A．抛射角一定，初速度小时，运动时间长B．抛射角一定，初速度大时，运动时间长C．初速度大小一定，抛射角小时，运动时间长D．初速度大小一定，抛射角大时，运动时间长答案BD解析斜抛运动的时间取决于竖直方向的分运动．4．(多选)如图1是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )图1A．物体在C点的速度为零B ．物体在A 点的速度与在B 点的速度相同C ．物体在A 点、B 点的水平分速度均等于物体在C 点的速度D ．物体在A 、B 、C 三点的加速度相同 答案 CD解析 速度是矢量，物体在A 、B 两点的速度大小相等，方向不相同．斜抛运动在水平方向上是匀速直线运动，竖直方向的加速度总为g .5．一小球以初速度v 0与水平面成α角斜向上抛出，球从抛出到落至与抛出点同一高度时速度的变化量大小为( ) A ．v 0sin α B ．2v 0sin α C ．v 0cos α D ．2v 0cos α答案 B解析 对速度分解可知，小球从抛出到落到与抛出点同一高度时速度变化量的大小为2v 0sin α，所以选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 考点二 斜抛运动的规律6．某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验，设抛出球的初速度为20m/s ，抛射角分别为30°、45°、60°、75°，不计空气阻力，则关于球的射程，以下说法中正确的是( ) A ．以30°角度抛射时，射程最大 B ．以45°角度抛射时，射程最大 C ．以60°角度抛射时，射程最大 D ．以75°角度抛射时，射程最大 答案 B解析 不计空气阻力，球做斜上抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动，设抛射角为θ，则球运动的时间为t ＝2v 0sin θg；水平射程x ＝v 0t cos θ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 02sin2θg可知，当抛射角为θ＝45°时，射程x 最大，故选项B 正确．7．(多选)如图2所示，在一次投篮游戏中，小刚同学调整好力度，将球从A 点向篮筐B 投去，结果球沿着一条弧线飞到篮筐后方．已知A 、B 等高，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )图2A ．减小初速度，抛出方向不变B ．增大初速度，抛出方向不变C ．初速度大小不变，增大抛出角度D ．初速度大小不变，减小抛出角度答案 ACD解析 设球在水平方向从A 运动到B 的时间为t ，A 、B 间的距离为d ，则有t ＝dv 0cos θ，而在竖直方向，则有t ′＝2v 0sin θg ，球飞过篮筐，所以t <t ′，得到dv 0cos θ<2v 0sin θg，整理得：v 02sin2θ>gd ，当g 、d 不变时，要使等式成立，若初速度大小不变，则夹角θ以45°为界，若夹角小于45°，则必须减小θ；若夹角大于45°，则可以增大θ；若抛出方向不变，则必须减小初速度的大小，故A 、C 、D 正确，B 错误．8.如图3所示，将小球沿与水平方向成α角的方向以速度v 斜向右上抛出，经时间t 1击中墙上距水平面高度为h 1的A 点；再将此球仍从同一点以相同速率抛出，抛出速度与水平方向成β(β＞α)角(图中未标出)，经时间t 2击中墙上距水平面高度为h 2的B 点(图中未标出)，空气阻力不计．则( )图3A ．t 1一定小于t 2B ．t 1一定大于t 2C ．h 1一定小于h 2D ．h 1一定大于h 2答案 A解析 小球被抛出后，仅受重力作用，即在水平方向做匀速直线运动，无论小球是在上升阶段还是在下落阶段击中墙壁，其水平方向的位移都相等，因此有：v cos α·t 1＝v cos β·t 2，由于β＞α，因此v cos α＞v cos β，所以有：t 1＜t 2，故选项A 正确，B 错误；因小球击中墙壁时可能在小球上升阶段，也可能在下落阶段，因此h 1与h 2的大小关系不能确定，故选项C 、D 错误．9.如图4所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )图4A ．B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大D ．B 在落地时的速度比A 在落地时的小 答案 C解析 由题意可知，A 、B 两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度g ，故A 错误；设上升的最大高度为h ，在下落过程，由h ＝12gt 2，可知下落时间t ＝2hg，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，可知B 球在落地时的速度比A 球在落地时的大，所以C 正确，D 错误．10．(多选)如图5所示，在地面上方某一高度处将A 球以初速度v 1水平抛出，同时在A 球正下方地面处将B 球以初速度v 2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )图5A ．A 和B 的初速度大小关系为v 1<v 2 B ．A 和B 的加速度大小关系为a 1>a 2C ．A 做匀变速运动，B 做变加速运动D ．A 和B 的速度变化量相同 答案 AD解析 如图所示，设v 2与水平方向夹角为θ，两球分别做平抛运动和斜抛运动，都只受重力作用，做匀变速运动，加速度均为g ，B 、C 错误；两球经过相等时间Δt 在空中相遇，则水平位移相等，故v 1Δt ＝v 2cos θΔt ，v 1<v 2，A 正确；由加速度的定义式a ＝ΔvΔt＝g 得Δv ＝g Δt ，故两球从抛出到相遇过程中，速度变化量相同，D 正确．11．(多选)如图6所示，从水平地面上A 、B 两点同时抛出两个物体，初速度分别为v 1和v 2，与水平面的夹角分别为30°和60°.某时刻两物体恰好在AB 连线上一点O (图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向(不计空气阻力)．则( )图6A ．v 1>v 2B ．v 1＝v 2C ．OA >OBD ．OA <OB答案 AC解析 两物体做斜抛运动，从抛出到相遇在竖直方向上做匀减速运动，在水平方向上做匀速运动，对A 物体，v 1x ＝v 1cos30°＝32v 1，v 1y ＝v 1sin30°＝12v 1，竖直方向通过的位移为h ＝v 1y 22g ＝v 128g ；对B 物体，v 2x ＝v 2cos60°＝v 22，v 2y ＝v 2sin60°＝32v 2，竖直方向通过的位移为h ′＝v 2y 22g ＝3v 228g ，因h ＝h ′，联立可得v 1>v 2，故A 正确，B 错误；由于v 1x ＝32v 1，v 2x ＝12v 2，则v 1x >v 2x ，所以A 在水平方向通过的位移大于B 在水平方向通过的位移，即OA >OB ，故C 正确，D 错误． 二、非选择题12．(斜抛运动的规律)世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡只有约6m 宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力．sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s 2) 答案5210m/s 解析 设该运动员的最小初速度为v 0，其在水平方向运动的距离恰为6m ，则其水平分速度：v 0x ＝v 0cos37° 水平位移：x ＝v 0x t竖直分速度：v 0y ＝v 0sin37° 运动时间：t ＝2v 0yg由以上几式代入数据解得：v 0＝5210m/s.【考点】对斜抛运动的理解和规律应用 【题点】用运动分解的观点分析斜抛运动13．(斜抛运动的规律)从某高处以6m/s 的初速度、以30°抛射角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g 取10 m/s 2)求： (1)石子在空中运动的时间； (2)石子的水平射程；(3)石子抛出后，相对于抛出点能达到的最大高度； (4)抛出点离地面的高度．答案 (1)1.2s (2)1835m (3)0.45m (4)3.6m解析 (1)如图所示：石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则v y v x＝tan60°＝ 3 即：v y ＝3v x ＝3v 0cos30°＝3×6×32m/s ＝9 m/s取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则 －v y ＝v 0sin30°－gt ，得t ＝1.2s(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x ＝v 0t cos30°＝6×32×65m ＝1835m.-11 (3)当石子速度的竖直分量减为0时，达到最大高度 v 0y ＝v 0sin30°＝6×12m/s ＝3 m/s.由v 0y 2＝2gh 得h ＝v 0y 22g ＝322×10m ＝0.45m. (4)由竖直方向位移公式：h 1＝v 0sin30°×t －12gt 2＝6×12×1.2m －12×10×1.22m ＝－3.6m ，负号表示落地点比抛出点低．。
