2.2.1椭圆及其标准方程(二)-人教版高中数学选修2-1学案(无答案)

2.2.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点 椭圆标准方程的认识与推导思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．梳理 (1)椭圆的标准方程的形式(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为________．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．引申探究若本例中“过点P 作x 轴的垂线段PD ”，改为“过点P 作y 轴的垂线段PD ”．那么线段PD 的中点M 的轨迹又是什么？反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1) 2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为____________．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 5．△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．1．两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在xa2＋yb2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.答案精析问题导学 知识点思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb 的平方和，并且分母为不相等的正值．思考2 把方程化为标准形式，与x 2，y 2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 思考3 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程． 梳理 (2)A >0，B >0且A ≠B (3)a 2＝b 2＋c 2 题型探究例1 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例2 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆． 引申探究解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，(*)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0代入(*)式得y 24＋x 2＝1.故点M 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2.∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1.∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.当堂训练1．A 2.A 3.x 218＋y 29＝1 4.4 35．解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.故所求的轨迹方程为x236＋y227＝1(y≠0)．。

高 二 年级 数学 学科第 1周第 2课时教学要点课题: 选修2-1 §2.2.1椭圆及其标准方程 (2) 主备人:一． 学习目标：1.理解并掌握椭圆的定义；2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.二、教学重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想难点：运用椭圆的定义与其标准方程解决问题三、教学过程分析1、椭圆定义的回顾椭圆定义中，平面内动点与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在.2、椭圆的标准方程当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。

当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为12222=+by a x )(0>>b a ，其中焦点坐标为),(01c F ，),(01c F -，且=2a 22c b + ；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为12222=+ay b x )(0>>b a ，其中焦点坐标为),0(1c F ，),0(1c F -，且=2a 22c b +3、典型例题例1、设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，求∆P F 1F 2的面积。

[分析] 由椭圆方程可求出2a 与2c ，且由|P F 1|：|P F 2|＝4：3知可求出|P F 1|，|P F 2|的长度，从而可求三角形的面积。

［解］由于|P F 1|＋|P F 2|＝7，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，得|P F 1|＝4，|P F 2|＝3，又| F 1F 2|＝2c ＝564492=-，显然|P F 1|2 ＋|P F 2|2＝| F 1F 2|2，所以∆P F 1F 2是以P F 1，P F 2为直角边的直角三角形，从而所求∆P F 1F 2的面积为S ＝⨯21|P F 1|⨯|P F 2|＝⨯214⨯3＝6.［变式训练］：已知点A (3,0)，B (－2,1)是椭圆1162522=+y x 内的点，M 是椭圆上的一动点，试求|MA |+|MB |的最大值与最小值。

人教B 版选修2—1 2.2.1椭圆及其标准方程教案 （ ）月（ ）日编者: 孙朝勃 审稿人：全组人员 星期 授课类型： 新授课教学目标1、 掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程。

2、 通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法3、通过椭圆定义和标准方程的教学，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。

课堂内容展示【自学指导】（一）自学课本第二章第二节的内容，然后回答下列问题：1、将一条无弹性的细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？所得的图形上的点始终满足什么条件？如果细绳的长度或两图钉的相对位置发生变化，所得的图形又有何变化？问题1：当线长大于21F F 时，笔尖的轨迹是__________问题2：当线长等于21F F 时，笔尖的轨迹是__________问题3：当线长小于21F F 时，笔尖的轨迹是__________2、平面内_______________________________的轨迹为椭圆。

__________是焦点,___________焦距。

3、焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为_______________,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________标准方程 ()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 不 同 点图形焦点坐标相同 点定 义 a 、b 、c 的关系规律总结-，求点9。

2.2.1 椭圆及其标准方程(2)【学习目标】1.熟练掌握椭圆的定义及其标准方程的形式，并能根据条件熟练求出椭圆的方程。

2.能利用代入法、定义法求动点的轨迹方程。

【重点难点】与椭圆相关的轨迹方程的求法。

求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用【学习过程】一、 自主预习（预习教材理P 41~ P 42，文P 34~ P 36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =,则椭圆的标准方程是 ．二、合作探究 归纳展示问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．三、讨论交流 点拨提升求椭圆标准方程的一般思路：四、学能展示 课堂闯关例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．五、学后反思※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点；定直线l 是椭圆的准线；常数e 是椭圆的离心率．【课后作业】：1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．。

教案：椭圆及其标准方程一、教学内容新课标人教版选修2-1第二章第二节第一课时内容：2.2.1椭圆及其标准方程二、教材分析教材的地位与作用⑴从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练；⑵从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用.本小节安排两课时：第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程.三、课程目标⑴知识目标：①掌握椭圆的定义及其标准方程；②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.⑵能力目标:通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力.⑶情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.四、重点和难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的建立和推导.五、教学过程与方法目标（一）设置情景，导入新课1、（借助多媒体）先演示本章开头语中用一个倾斜平面截圆锥，可以得到截口曲线（椭圆）；今天我们就着手研究这个内容.（进而出示本节研究的课题的教学目标）2、（借助多媒体）展示图片【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，激发学生的求知欲.（二）尝试画图、形成感知1、动手画椭圆（1）请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆.（2）动画演示椭圆的形成过程.（动画1）2、同学们作完图、观察完演示后，思考下面问题：⑴.结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义含有几个要点？⑵.在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？⑶.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？⑷.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？3、教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念，强调形成椭圆的条件.（三）探究椭圆的标准方程1、复习求动点的轨迹方程的基本步骤 （由学生回答，不正确的教师给予纠正）2、椭圆标准方程的探求 ⑴建系让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系.教师巡回察看各个同学的建系情况，然后让几个同学说出自己建系的依据，师生共评，寻找最佳方案.【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2原点；方案四：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的左交点为原点； 方案五：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的右交点为原点； 经过比较确定方案一.以两定点1F 、2F 所在的直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图1）．设c F F 221=()0>c ，则()01，c F -，()02，c F ． 已知图形，建立直角坐标系的一般要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系.⑵设点设()y x M ，为椭圆上的任意一点，M 与1F 、2F 的距离的和等于a 2(c a 22>)．由定义得到椭圆上点M 的集合为{}a MF MF M P 221=+=． ⑶列式将条件式a MF MF 221=+代数化，得()()a y c x y c x 22222=+-+++ （*）（图1）⑷化简先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视.预测学生问题：①若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到()()22222222c a a y a x c a-=+- （* *）在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述．然后教师提出：有无较为简单的方法化简（*）式呢？ 请学生观察式子()()a y c x y c x 22222=+-+++，引导学生联想等差中项的定义：“n p m ,,成等差数列p n m 2=+⇔”， 知()22y c x ++，a ，()22y c x +-成等差数列，可设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=++.,2222d a y c x d a y c x再设法消去d ，即可将（*）式化简为（* *）式．若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（* *）式，则教师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（* *）式．②b 的引入由椭圆的定义可知，c a 22>,022>-∴c a ， 让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形自行获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得椭圆的标准方程为:()012222>>=+b a by a x ． ③教师对标准方程的说明ⅰ.椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；ⅱ.上述方程表示焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中222b ac -=；图2ⅲ.以上的推导过程，没有证明“以满足方程12222=+by a x 的实数对),(y x 为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；ⅳ.如果椭圆的焦点在y 轴上，并且焦点为),0(),,0(21c F c F -,则椭圆方程为12222=+b x a y ()0>>b a ，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程12222=+by a x 中的y x ,对换而得到的；ⅴ.对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与2x 与2y 项分母的大小即可．若2x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2y 项分母大，则焦点在y 轴上． ⅵ.对椭圆的两种标准方程，都有()0>>b a ，焦点都在长轴上，且a 、b 、c 始终满足222b a c -=（四）、实例演练例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：有两种解题思路：思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2523，到两个焦点()20-，、()20，的距离之和为常数2a ，求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程12222=+b x a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标⎪⎭⎫⎝⎛-2523，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y ． （五）、回顾小结，归纳提炼1、先让学生思考，然后填表.建系设点－列等式－代坐标－化简方程 3、求椭圆方程常用方法：待定系数法 （六）达标检测1、判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.（1） （2）2、已知F 1、F 2是椭圆 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则四边形F 1MF 2N 的周长为 .3、若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .（七）、板书设计（八）布置作业练习：第42页1、2、3、4； 作业：第49页 习题2.2 中 2、322134x y +=22341x y += 192522=+y x 1162522=++-my m x。

导学案授课题目（章节或主题）2.1.1椭圆及其标准方程授课时间第周授课时数学时3教学课型理论新授课√□实验课□习题课□讨论课□实习（践）课□其它□教学目标与要求：(1)正确理解椭圆的概念(2)了解椭圆的标准方程推导过程，掌握椭圆标准方程的两种标准形式，并能求出基本的椭圆方程。

教学重点：椭圆概念及其标准方程。

教学难点：根据椭圆概念推导椭圆标准方程以及区别椭圆的焦点在不同坐标轴下得标准方程。

教学方法（请打√选择）：讲授法□讨论法□演示法□自学辅导法□练习法(习题或操作)□读书指导法□[来源学科网ZXXK]案例法□其他□教学媒体（请打√选择）：教材□板书□实物□标本□挂图□模型□多媒体□幻灯□录像□CAI（计算机辅助教学）□教学过程设计（包括讲授内容、讲授方法、时间分配、媒体选用、板书设计等）： 一、呈现目标（1)正确理解椭圆的概念(2)了解椭圆的标准方程推导过程，掌握椭圆标准方程的两种标准形式，并能求出基本的椭圆方程。

二、达成目标1、课题导入：人造卫星运行的轨迹、花坛. 问题一 探究椭圆的概念（设计意图：激发学生的思维，通过讨论得出椭圆的概念） 复习：圆的概念是什么？我们如何确定圆的标准方程？ 问题1：你能画出圆的图像吗？问题2：如果把细绳两端拉开一定距离，分别固定在两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？若把直线拉直，两端固定，你得到的又是什么几何图形？结论：我们把平面内与两个定点2,1F F 的距离之和等于常数a 2（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离21F F 叫做椭圆的焦距。

如果把直线拉直，得到的是一条线段。

问题3：若把直线拉直，两端固定，你得到的又是什么几何图形？问题:4：如果a 2<21F F 得到的又是什么图形？ 师生活动：学生在画的过程中体会椭圆的特点问题二 根据椭圆的概念探究椭圆上的动点轨迹方程？ （设计意图:培养学生自主探究的能力）问题1：还记得以前学过的两点之间的距离公式吗？()()2211,,,y x B y x A 如何求AB ？ 问题2：以前我们如何确定圆的标准方程？圆心在什么地方的圆最简单？ 问题3：我们怎样建立坐标系才能使椭圆的方程最简单？ 推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）① 建系：以1F 和2F 所在直线为轴，线段21F F 的中点为原点,线段21F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ； ② 点：设是椭圆上任意一点，设，则，；③ 定义：得板书设计(1)到两定点（2,1F F ）的距离之和等于定长（2a ）的点的集合，两个定点2,1F F 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离21F F 叫做焦距。

2.2.1椭圆及其标准方程（一）教学目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（二）教学重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程难点：会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（三）教学过程问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、 曲线与方程的概念？2、 求曲线的方程的步骤？引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长引例2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作 ，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的即1212|PF |||||PF F F +>；焦点：12,F F ；焦距：12||F F注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？问题3：书本P39页思考？问题4：书本P40页思考？如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 2、椭圆标准方程：（1）焦点在焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -， 中心在坐标原点的椭圆方程12222=+by a x 其中222b c a += （2）焦点在焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程12222=+b x a y 其中222b c a += （3）方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；由于m n 与的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。

2.2.1椭圆及其标准方程学习目标1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．学习目标：利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．学习重点：会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．学习过程自学导引1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距．想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2．椭圆的标准方程名师点睛1．椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等灵活运用．2．椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.3．求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)；②确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可．例题[解析]例 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点53(,)22.求它的标准方程.例2如图2－2－1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图2－2－1例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是49,求点M 的轨迹方程.课后检测 一、选择题1．若方程x 2m 2＋y 2m ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞3B ．m ＜－2C ．m ＞3或m ＜－2D ．m ＞3或－6＜m ＜－22．已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．4B ．2C ．8 D.324．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B.y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D.y 24＋x 23＝1(y ≠0) 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3二、填空题6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m ＝________.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点．设椭圆C 上一点(3，32)到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．10．已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．11．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求P 点坐标．——★参考答案★——学习过程自学导引1．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间的距离想一想：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．试一试：当焦点在x 轴上时，其标准方程为x 25＋y 16＝1，当焦点在y 轴上时，其标准方程为y 225＋x 216＝1.例题[解析]例1 解：因为椭圆的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为2222 1 (0).x y a b a b+=>>由椭圆的定义知2a =+=所以a =又因为2c = ,所以222104 6.b a c =-=-=因此, 所求椭圆的标准方程为221 .106x y += 例2解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， ∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝λ|PP ′|， ∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆． 例3 解：设点M 的坐标（x ,y ）,因为点A 的坐标是 （-5,0）,所以,直线AM 的斜率为55=≠-+();AM yk x x 同理，直线BM 的斜率55=≠-().BM yk x x 由已知有45559⨯=-≠±+-(),y y x x x 化简，得点M 的轨迹方程为2215100259+=≠±().x y x 课后检测 一、选择题 1． D[解析] ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞m ＋6m ＋6＞0，∴m ＞3或－6＜m ＜－2. 2． A[解析] 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎨⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125. ∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1. 3．A[解析] 由x 225＋y 29＝1，知a ＝5，根据椭圆定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8.又O 为F 1F 2中点，N 为F 1M 中点，∴ON 为△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.4．B[解析] ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1，∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 5． C[解析] 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，∴mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12mn ＝1.设点M 到x 轴的距离为h ，则：12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，∴h ＝33. 二、填空题 6．8[解析] 由椭圆的定义知：|F 2A |＋|F 1A |＋|F 2B |＋|F 1B |＝4a ＝20，∴|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＝20－12＝8.7．3或5[解析] 当焦点在x 轴时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3.8．x 215＋y 210＝1 [解析] ∵c 2＝9－4＝5， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，a 2＝15. ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题9．解 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4. ∴2a ＝4，a 2＝4 ∵点(3，32)是椭圆上一点， ∴32a 2＋322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)． 10．解 如图所示，连结AP ，∵l 垂直平分AC ， ∴|AP |＝|CP |，∴|PB |＋|P A |＝|BP |＋|PC |＝4，∴P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.11．解 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2. 且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)， 依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝±3，代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴P 点坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．。

作图，作图后学生回答引出课题。

学生口述后在投影展示，教师再根据投影进行强调。

引生入境听1、师：移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？2、师：笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？3、师：观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？4、师：观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？5．师：定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？1、生：椭圆．2、生：是．其距离之和始终等于线段的长度．3生：．4、生：5.生：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;；_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1.通过教师的引导，由于坐标系选择的灵活性与根式运算的复杂性，在寻求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

2．通过这些实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.板书设计导学反思课题：椭圆及其标准方程一、定义二、标准方程三、例题(文字表述) （符号表述）四。

变式训练。

五。

课堂检测。

六。

作业布置。

1.数形结合的思想开展我的教学；在整个教学过程中采用了“引导发现、讨论交流”的方法来进行教学，最大限度的挖掘学生的潜力；同时让学生通过动手作图亲身经历椭圆的形成过程，培养了学生的观察、分析、概括能力，从而激发学生学习数学的兴趣。

2.根据学生思讲练的反馈信息，在后面的教学中及时的进行小结和点评，并针对学生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题，进行教学调节。

3.在设计过程遇到很多我无法解决的问题，比如如何将圆锥曲线背景知识融入到课堂；如何用几何画板将图形的翻折更形象的演示等，如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。

椭圆及其标准方程（一）学案学习目标： 1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，掌握椭圆的标准方程；3.会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

重点难点: 1.重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程和坐标化的基本思想；2.难点：椭圆标准方程的推导与化简。

学习过程：一、椭圆的定义 椭圆定义的数学语言： 。

归纳总结：平面内点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（记a MF MF 221=+）的点M 的轨迹是 ；当2a >2c 时点M 的轨迹是 ；当2a =2c 时点M 的轨迹是 ；当2a <2c 时点M 的轨迹 。

二、椭圆的标准方程1.推导椭圆的标准方程：以 为x 轴， 为y 轴，建立如图所示坐标系；设）（y x M ,是椭圆上的任意一点，c F F 221= ,的坐标为、21F F ∴ ； 根据条件a MF MF 221=+，得 a y c x y c x 2)()(2222=+-+++；2. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： 。

三、实例演练例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-P ，求椭圆的标准方程。

M M【变式训练1】（课本49页A1）如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式 错误!未找到引用源。

， 点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。

【变式训练2】（课本49页A7）如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点。

线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？四、课堂检测1、（1）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于10，则P 点的轨迹是 ；（2）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于8，则P 点的轨迹是 ;（3）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于6，则P 点的轨迹是 .2、如果椭圆 错误!未找到引用源。

§2.2.1椭圆及其标准方程(2)【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程【重点】椭圆的定义及标准方程【难点】掌握点的轨迹的求法求椭圆的标准方程一、自主学习1.预习教材P41～ P42, 找出疑惑之处复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=则椭圆的标准方程是．二、典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式：若点M在DP的延长线上，且32DMDP=，则点M的轨迹又是什么？小结：例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？三、拓展探究1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：五、课后巩固1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠ C ．221169x y +=(0)y ≠ D ．221259x y +=(0)y ≠ 3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．6．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．7．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．。

2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点) 基础·初探教材整理1 椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )(2)在椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于F 1F 2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段.( )(3)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆.( ) 教材整理2 椭圆的标准方程椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在________轴上，焦距为________，椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在________轴上，焦点坐标为________. 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1). 名师指导1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0).因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算. 跟踪训练1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，求椭圆的标准方程.类型2 椭圆的定义及其应用例2 设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 名师指导1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a . 2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 跟踪训练2.在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积.探究共研型探究点与椭圆有关的轨迹问题 探究1如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.探究2如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？例3 一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程. 名师指导1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法.2.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法. 3.代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法). 跟踪训练3.已知圆C ：x 2＋y 2＝4，过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，则动点Q 的轨迹方程为____________. 课堂检测1.若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2, 3)，则其焦距为( )A.25B.2 3C.4 5D.4 32.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 3.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.4.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.——★ 参 考 答 案 ★——基础·初探教材整理1 椭圆的定义[答案] 常数(大于|F 1F 2|) 两个定点 两焦点间的距离 预习自测[答案] (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 椭圆的标准方程[答案] x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) (0，－c ) (0，c ) a 2－b 2预习自测[答案] x 8 y (0，7)和(0，－7)[解析] 由25>9可判断椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，由c 2＝25－9＝16，可得c ＝4，故其焦距为8.由16>9，可判断椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，c 2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，7)和(0，－7). 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1.解：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 类型2 椭圆的定义及其应用例2 解：由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|. ①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|. ② ②－①得3|PF 1|·|PF 2|＝75， 所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534.跟踪训练2.解：由椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°. ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.探究共研型探究点与椭圆有关的轨迹问题探究1 【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c . 所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.探究2 【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1).(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝gx ，y ，y 1＝hx ，y .(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.例3 解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图. 由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.跟踪训练3.[答案] y 216＋x 24＝1(y ≠0)[解析] 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点Q 的坐标为(x ，y )，点N 的坐标为(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y 2，又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4.由已知，直线m 平行于x轴，得y ≠0，∴Q 点的轨迹方程是y 216＋x 24＝1(y ≠0).课堂检测 1.[答案] D[解析] 将点(－2, 3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3. 2.[答案] A[解析] 由题意知c ＝1， a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3.[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知2a ＝8,2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.4.解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0).∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0).∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。

《椭圆及其标准方程》学案学习目标1．理解椭圆的定义 明确焦点、顶点、焦距、长轴、短轴的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程1.椭圆的定义我们把平面内到两个定点12,F F 的距离 为常数（大于12F F ）的动点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．理解椭圆的定义时要注意：一个动点到两个定点的距离之和为常数，且该常数要大于两定点之间的距离，这样的动点的轨迹才是椭圆思考：当常数等于或小于||21F F 时动点轨迹分别是是何曲线？2. 椭圆标准方程通过建立适当的坐标系，选取合适的参数，根据定义推导出椭圆的标准方程（1）动点P 到两定点21,F F 的距离之和记为a 2即a PF PF 221=+，a 2叫椭圆的长轴长 （2）两定点21,F F 之间距离记为c 2即c F F 221=，c 2叫椭圆的焦距（3）c a 22>， ac叫椭圆的离心率，用字母e 表示（4）令222b c a =-， b 2叫椭圆的短轴长椭 圆 标准方程12222=+b y a x （ 0>>b a ） 12222=+b x a y （0>>b a ）不 同 点图形焦点坐标相同点c b a ,,的关系焦点位置的判断典例讲解例1.已知椭圆方程是13610022=+y x 则 (1) a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ， 长轴长= ，短轴长= ，(2) 焦点坐标为： ，焦距等于 。

(3) 椭圆上一点P 到焦点F 1的距离为8，则点P 到另一个焦点F 2的距离等于______。

例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点分别是12(2,0),(2,0)F F -，且过点(0,1)P ；例3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)4,3a b ==，焦点在x 轴上； (2) 1,15b c ==，焦点在y 轴上；(3) 经过点(2,0)P -和(0,3)Q -； （4）两个焦点坐标分别是(2,0)-和(2,0)，且过（25， 23-）(5)焦点在坐标轴上，且经过()3,2A-和()23,1B -两点．课堂小结1．椭圆的定义中只有当距离之和2a >|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是 线段F 1F 2，如果2a <|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．当堂检测1．已知椭圆()2221025x y m m+=>的左焦点为()14,0F -，则m =（ ） A ．3 B ．4 C ．9 D ．22．椭圆2218127x y +=的两焦点为12,F F ，一直线过1F 交椭圆于P 、Q ，则△2PQF 的周长为 ．3．如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．34m << B ．72m >C ．732m <<D ．742m << 4．椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知12PF PF ⊥，则△12F PF 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．85．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹6．已知△ABC 的周长为20，且顶点()0,4B -，()0,4C ，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．()22103620x y x +=≠B ．()22102036x y x +=≠C ．()2210620x y x +=≠D ．()2210206x y x +=≠7．椭圆()2200mx ny mn m n ++=<<的焦点坐标是( )A ．(0,m n ±- B. (),0n m ±- C.(0,n m ±- D. (),0m n ±-8．设(),P x y 是椭圆2212516x y +=上的点且P 的纵坐标0y ≠，点()5,0A -、()5,0B ，试判断PA PB k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．9．如图所示，已知圆A ：()223100x y ++=，圆A 内一定点()3,0B ，动圆P 过B 点且与圆A 内切，设动圆P 的半径为r ，求圆心P 的轨迹方程．10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率22e =，焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 与直线0x y m -+=相交于不同的两点,M N ，且线段MN 的中点不在圆221x y +=内，求实数m 的取值范围．。

2.2.1椭圆及其标准方程(二)【教学目标】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1椭圆及其标准方程(二)》课件“新课导入”部分，通过两张熟悉的明星面孔再加上动态演示的椭圆生成过程，进一步对椭圆形成认知。

通过互相交流，引入本节课要学习的椭圆及其标准方程第二课时的知识.二、自主学习知识点一椭圆标准方程的推导(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0)方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)A>0，B>0且A≠B.知识点二椭圆的焦点位置确定(1)椭圆的焦点位置确定是由x2，y2的系数大小决定的．(2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．三、合作探究问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．问题2 已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案 看x 2，y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a 2，较小的分母是b 2.如果x 2项的分母大，焦点就在x 轴上，如果y 2项的分母大，则焦点就在y 轴上．问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.探究点1 椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得c ＝4,2a ＝10， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝9.∴所求的椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．探究点2 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个椭圆．反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．四、当堂测试1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析 因焦点在x 轴上，故m >1，故选A.2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 答案 A解析 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.由椭圆的定义可知，点A 的轨迹是椭圆的一部分，且2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1.当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A ，B ，C 三点不能构成三角形．因此，顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∵|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________．答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a ，即4 3.5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4， ∴2a ＝4,2c ＝2， ∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表： 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 不 同 点图形焦点坐标F 1(－c,0)、F 2(c,0)F 1(0，－c )、F 2(0，c )相 同 点定义 平面内到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹a 、b 、c 的关系a 2＝b 2＋c 2(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb ＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.。

2.2.1 椭圆及其标准方程【课时目标】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是______________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹． 2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎫0，±66B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝⎛⎭⎫±66，04．方程x 2|a|－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x 26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 210＝16．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形二、填空题7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．13.如下图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．[答案][解析]知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|，∴动点M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a |－1>a ＋3>0.]5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝⎛⎭⎫52，－32验证即可．] 6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5.又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．] 7．2 120° [解析]∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3[解析] 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )，因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3. ∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n[解析] 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n .10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知，2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.11．解 ∵|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4，∴|PO 1|＋|P A |＝4，又∵|O 1A |＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆，∴c ＝3，a ＝2，b ＝1， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30. 由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12，∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点．∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y3.故A 点轨迹方程为x 32100＋y 3264＝1.即x 2900＋y 2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．。

2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标 （一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程 （三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（ ）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对 【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究 如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0） 和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】 法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升 灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。

椭圆及其标准方程（二）导学案【学习要求】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.【学法指导】通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.【双基检测】1．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是 ( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为 ( )A ．－1B ．1C ． 5D ．－ 53．“m >n >0”一定是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”吗？4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍.【问题探究】探究点一 定义法求轨迹方程例1 如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.跟踪训练1 已知圆A ：100)3(22=++y x ，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程探究点二 相关点法求轨迹方程例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点 P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？问题 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型.探究点三 直接法求轨迹方程例3 如图，设点A ，B 的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－49，求点M 的轨迹方程. 问题 若将例3中的－49改为a (a <0)，曲线形状如何？ 跟踪训练3 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.求动点P 的轨迹C 的方程. 【当堂检测】1．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于 ( )A ．10B ．5C ．15D ．252．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为 ( ) A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．163．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ( )A ．x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C ．x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1 (y ≠0)4．椭圆x 29＋y 2＝1上有动点P ，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程. 【课堂小结】1．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别. 【拓展提高】1．已知椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程为________2．设F 1、F 2为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >，求21PF PF 的值。