高考定积分分类汇总及答案教学提纲

课程信息一、教学目标：1.理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2.理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题^二、知识要点分析 b1.定积分的概念：函数f(x)在区间［a, b］上的定积分表示为：L f(x)dx2.定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间［a, b］上恒为正时，定积分f f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积，在一般f#形下.［f (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图象、以及直线x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号.b b b在图(1)中：ff (x)dx =s >0 ,在图(2)中：「(x)dx =s<0 ,在图(3)中：［f (x)dxa -a -a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和. b 注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于 f f(x)dx,仅a b当在区间［a, b］上f (x)恒正时，其面积才等于 f f(x)dx.a3.定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间［a, b］上可积)b b b(1)［f(x) -g(x)］dx = J f(x)dx - g(x)dxa a ab b(2)ikf(x)dx = k j f (x)dx , (k 为常数)a ab c b(3)f(x)dx = f(x)dx，I f (x)dxa a cb(4)若在区间［a, b］上，f(x)之0,则1 f(x)dx >0a⑵ | a f(x)dx 匡 a | f(x)|dx aa a (3)若 f(x)是偶函数,则 f f (x)dx = 2 f f (x)dx ,若 f(x)是奇函数，则 f f (x)dx=0 ’.a ’0 」 4.微积分基本定理：b一般地,右 F (x) = f (x)，且f (x)在［a,b ］上可积,则 f f (x)dx = F (b) - F (a) a 注：(1)若F ‛(x) = f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间［a, b ］上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C 也是f (x)的原函数，求定积分 f f(x)dx 的关键是求f (x)的 原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算 . 【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2二'sinxdx=0推断：求直线 x=0, x=2n , y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(2：：,题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 ［sin xdx 与y=sinx 及直线x=a, x=b 和x 轴 围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间［0, 2冗］内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可 判断. 解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2冗,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正 可判断A 错.对于(B), (C)根据y=sinx 在［0, 2n ］内关于(冗,0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案( D)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义， 体现了数与形结合的思想的应用，易错点2 .只 是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0, x= 2几围成的面积等于 (f(x)dx .例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 1(1) 0 2xdx =11f 2推论：(1)若在区间［a, b ］上,f (x) «g(x)，则 J f (x)dx « J g(x)dx例1 .根据 A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴上方的面积小于在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积*(2)0 1 -x dx =屋题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间［0, 1］上函数y=2x,及y= J1 —x2恒为正时，定积分(2xdx表示函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，(，1 -x2dx表示函数y二11一x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=\；1—x2的图象，求此图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形图所示，所以函数y = <1 — x2与直线x=0 , x=1围成的图形面积是圆x2+ y2= 1面积的四分之一，又y = /1 —x2在区间［0, 1］上恒为正.f h -x2dx =—0 4解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y= Q1 — x2在区间［0, 1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.4例3.利用定积分的几何意义求r (| x —1|十| x — 3 |)dx的值.4题意分析：本题考查定积分的几何意义，］(|xT| + |x-3|)dx的值是函数y」x -1| +|x—3|的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间[0, 4]分割为[0, 1], [1, 3], [3, 4],在每个区间上讨论x—1, x-3的符号，把函数y=|x-1|+|x-3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40(|x-1| +|x-3|)dx 的值.-2x 4,(x [0,1]解：函数y =| x —1| + | x —3 |化为y = {2,(x w [1,3]2x-4,(x [3,4]-2x 4,(x [0,1]由于函数y ={2,(xW[1,3] 在区间[0, 1], [1, 3], [3, 4]都恒为正. 2x-4,(x [3,4] 设函数y= — 2x+4的图象与直线x=0, x=1围成的面积为 &函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是S2函数y=2x — 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是S3一 1 一一一由图知：S1=S3=-(4 2) 1=3,S2=2 2 = 44由定积分的几何意义知：o(|x-1| • |x-3|)dx=& • S3 • S2 =10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x-1| +|x -3|)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间[ 0, 4]分割，把函数y=|x—1|+|x —3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间[0, 4]分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间[ a, b]上f (x)恒为正时，f (x) 在区间[a, b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.一、选择题1.(2010 山东日照模考)a=「2xdx, b= f2e x dx, c=「2sinxdx,则a、b、c 的大小关系是'0 10 ' O( )A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b2.(2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()C. (e 11, e) 8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 兀，宽为2的矩形OABC 内，曲线y = sinx （0<x<兀后x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 （ ）1A.— C .3 7 D- 12（2010湖南师大附中）设点P 在曲线y=x 2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线 直线y=x 2及直线x = 2所围成的面积分别记作S 1, 5.如图所示，当S I =S 2时，点POP,的坐标 是（） A. *C. 3, 157 D .百3. 由二条直线x= 0、 x= 2、y=0和曲线y=x 3所围成的图形的面积为（）4.C. 5.4B.3D. 6 （2010湖南省考试院调研）j 1 —1（sinx+1）dx 的值为（ ） 2 + 2cos1 B. 2D. 2—2cos1曲线y= cosx （0wxw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是（ ） B. 3兀C 3jt D.兀6 .函数 F(x)=「t(t —4)dt 在［―1,5］上()A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-警，无最大值3D.既无最大值也无最小值7 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2+n,函数 f(x)=「一dt,若 f(x)<a 3,则 , 1 t x 的取 值范围是（ ）A. -k OO ? 18 . (0, e 21) D. (0, e 11)10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-［x ］,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，如［—1.2］x =—2, [1.2]= 1, [1] = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则f ng(x)dx 的值是('m 8. -43C.(2010江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比 赛中甲获胜的概率为( )1 A 「 兀2 B.- 兀 3C.兀D.49. (2010吉林质检)函数 f(x) = S x + 2(-2<x<02cosx(0WxW]) 兀 的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( )A.2B. 1C. 4 1D.2 [0,1] c(b 、 A.1 3 B.2 C -C.2D.312. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲 线y=x 2(x>0)与x 轴，直线 落在区域M 内的概率是(x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点 1A.21 B.4 1C"32 D.5二、填空题 13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1 ,若1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=兀 L 1 A 一 一一，、，人 一, 1 一S I14 .已知 a= 2 2°（sinx+ cosx ）dx,则二项式（aF —了）的展开式中含 x 项的系数是 15 .抛物线y 2=2x 与直线y= 4 —x 围成的平面图形的面积为若直线l 与抛物线相切且平行于直线 2x —y+6= 0,则l 的方程为f （x ）= - x 3+ax 2+bx （a, bC R ）的图象如图所示，它与. ........ 一 一一，，一一一一， ,， ............... .. . 1 ............ 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112,则a 的值为 三、解答题18 .如图所示，在区间［0,1］上给定曲线y = x 2,试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S I + S 2最小. 16. （2010安徽合肥质检）抛物线 y 2= ax （a>0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4 3'17. （2010福建福州市）已知函数。

考点11 定积分的概念与微积分基本定理【考点分类】热点1 定积分的基本计算1．【2014江西高考理第8题】若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰ （ ）A ．1-B ．13- C ．13D ．12．【2014陕西高考理第3题】定积分1(2)xx e dx +⎰的值为 （ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -3．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰若 ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为 （ ） A ． s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 14．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．【答案】3．【解析】∵⎠⎛0T x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪T＝T33＝9，∴T ＝3． 5．【2013福建理15】当,1x R x ∈<时，有如下表达式：211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式： 23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111()()...()_____2223212n n n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； （3）分别用求导公式求出F(x)，使得F ′(x)＝f(x)； （4）利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算所求定积分的值． 【解题技巧】 求定积分的常用技巧：（1）求被积函数，要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分；（4）若f (x )是偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝0热点2 定积分几何意义的应用1．【2014山东高考理第6题】直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ） A.22 B ．24 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】由已知得，23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰，故选D ． 考点：定积分的应用．2．【2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理】直线l 过抛物线C ： x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）A ．43 B ．2 C ．83D【方法规律】1．定积分的几何意义：定积分()baf x dx ⎰表示在区间[,]a b 上的曲线()y f x =与直线x a =、x b =以及x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()bax x f x dx S S =⎰轴上方轴下方－．（在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号）．2．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的下、下限； （2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置； （3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 【易错点睛】 概念理解错误例．【2014北京西城】求曲线f (x )＝sin x ，x ∈[0，54π]与x 轴围成的图形的面积．热点3 定积分物理意义的应用1．【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理7】一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） 125ln 5+ B ．11825ln3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+【答案】C ．【解析】令()257301v t t t =-+=+，则4t =，汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰，故选C ． 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求． ①变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[],a b 上的定积分，即().baS v t dt =⎰．②变力作功：物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<，那么变力()F x 所作的功()baW F x dx =⎰．【易错点睛】如2013湖北卷理7试题可能出现以下错误： （1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻．（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间． （3）求错被积函数的原函数致误． 防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间．由此可见，分析过程可以发现规律． 【考点剖析】 1．最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． （2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．2．命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下．预测2015年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现． 3．课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑ni ＝1f (ξi )·b －an；④取极值： ⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1f (ξi )·b －an ． （2）定积分的性质 性质1：()bakdx k b a =-ò；性质2：()()bb aakf x dx kf x dx =蝌（k 为常数）（定积分的线性性质）； 性质3：()()()()1212bb ba aaf x f x dxf x dx f x dx 轾??臌蝌?（定积分的线性性质）； 推广：()()()()()()1212bb bb m m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dxf x dx 轾北?北?臌蝌蝌L L性质4：()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+蝌?（其中a c b <<）（定积分对积分区间的可加性） 推广：()()()()121kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++蝌蝌L说明：定积分的定义中，()baf x dx ò限定下限小于上限，即a ＜b ，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()()(),0b a aabaf x dx f x dx f x dx =-=蝌?．（3）微积分基本定理一般地，如果f (x )在区间[a ，b ]上连续，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式． （4）常用定积分公式：①0dx c ⎰=（c 为常数）；②1dx x c ⎰=+；③1(1)1x x dx c αααα+⎰=+≠-+；④1ln dx x c x⎰=+；⑤x xe dx e c ⎰=+；⑥(0,1)ln xxa a dx c a a a⎰=+>≠；⑦sin cos xdx x c ⎰=-+；⑧cos sin xdx x c ⎰=+； ⑨1sin cos (0)axdx ax c a a⎰=-+≠；⑩1cos sin (0)axdx ax c a a ⎰=+≠．4．名师二级结论： 一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）积分可分段进行． 四种求定积分的方法①利用定义求定积分；②利用微积分基本定理求定积分；③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4；④利用积分的性质．两类典型的计算曲边梯形面积的方法 （1）x 型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：()b S f x dx a ⎰＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadx x f dx x f S )()(＝－＝（如图（2））； ③由一条曲线()y f x =，当a x c ≤≤时，()0()0caf x f x dx ≥⇒≥⎰；当c x b ≤≤时，()0()0.bcf x f x dx ≤⇒≤⎰与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：()()cbacS f x dx f x dx +⎰⎰＝()().c bacf x dx f x dx -⎰⎰＝（如图（3））； ④由两条曲线()()y f x y g x ==，（()())f x g x ≥与直线)(,b a b x a x <==所围成的曲边梯形的面积：[]()()()().b b baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰（如图（4）） （2）y 型区域：①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用⎰bady y h S )(＝求出（如图（5））； ②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用⎰⎰babady y h dy y h S )()(＝－＝求出（如图（6））； ③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用⎰bady y h y h S |)()(|21－＝求出（如图（7））；5．课本经典习题：（1）【人教新课标A 版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算130x dx ò的值．【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A 版2-2第56页，例1】计算由曲线22,y x y x ==所围成图形的面积S ．【变式】由曲线21,2y y x x =-=-+所围成图形的面积为____________．分，∴21,143443s πππ=∴=-+=-⎰． 6．考点交汇展示：（1） 定积分计算与几何概型交汇例1【广东省梅州市2014届高三3月质检】．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域．，E 是函数3y x =的图像与x 轴及1x =±围成的阴影区域，项D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 ( )A ．116 B ．18 C ．14 D ．12（2） 定积分的计算与函数的性质交汇例2【2014年高考原创预测卷（浙江理科）】．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=⎰210,1),4()(x dt t e x x f x f x ，则)2016(f 等于 ． 【答案】2ln 1+【解析】 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=⎰210,1),4()(x dt t e x x f x f x ，2ln 12ln )0()0504()2016(0+=+==+=∴e f f f ． （3） 定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3【2014届安徽六校教育研究会高三2月联考数学理】．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．【考点特训】1．【河南省安阳一中2015届高三第一次月考8】如图是函数5cos(26y x π=-在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ）A ．34 B．54 C ．32D ．32【答案】Ｂ2．【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）13】直线x y 31=与抛物线2x x y -=所围图形的面积等于_____________ 【答案】481【解析】3．【2014届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰，则下列关系式成立的是 （ ） A ．235a b c << B ．325b a c << C ．523c a b << D ．253a cb <<4．【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】由直线02=-+y x ，曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为________．5．【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试12】图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】1．【解析】由定积分的几何意义得：1|)(310312===⎰x dx x S 阴影．考点：定积分的几何意义．6．【2014年哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】220sin 2xdx π=⎰( ) A ． 0 B ．142π-C ． 144π-D ． 12π-7．【唐山一中2014下学期调研考试试卷】直线l 的方向向量为)3,4(=且过抛物线y x 42=的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为( )A ．885 B ．24125 C ． 12125 D ．243858．【稳派2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】设1a >，若曲线1y x=与直线1x =，x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2，则a =（ ）A ．2B ．eC ．2eD ．2e9．【2014黑龙江哈尔滨】下列值等于1的定积分是（ ）.A 0⎰.B dx x )(11+⎰.C dx ⎰221.D dx ⎰102110．【2014辽宁】如图，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353【答案】C ．【解析】直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2，解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2），抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）．设阴影部分面积为s ，则==，所以阴影部分的面积为，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．11．【2014山西山大附中高三5月月考理科】22sin 2xdx π=⎰( ) A ．0 B ．142π-C ．144π-D ．12π-12．【2014湖南雅礼中学模拟】曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是 （ ） A ．1B ．12C ．22D ．1313．【2014江西师大附中高三三模理科】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为 （ ）A ．33B ．46C ．48D ．5014．【2014南京调研】给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；②04p-==； ③曲线y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，15．【2014浙江五校联考】已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k =( )A ．2B ．1C ．3D ．416．【2014广州综合测试】函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1，5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【答案】B ．17．【2014福建莆田高三质检】如图，由函数f (x )＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C ．e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1【答案】B【解析】面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e ．18．【2014山东淄博模拟】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．3019．【2014湖北孝感高中高三5月摸底理科】若)(x f 在R 上可导，3)2('2)(2++=x f x x f ，则=⎰30)(dx x f ____________．20．【2014中山一模】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f （1）]＝1，则a ＝________．【答案】1．【解析】∵f （1）＝lg 1＝0，∴f [f （1）]＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3| a 0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1．21．【2014上海模拟】已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B (12，5)、C (1，0)．函数y＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．22．【2014湖北孝感高中高三5月摸底理科】如图， 甲、乙、丙中的四边形ABCD 都是边长为2的正方形， 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB 的中点、B 点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D 点)下方的部分， 丙图中阴影部分是以C 为圆心、半径为2的圆弧下方的部分． 三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息， 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是123P P P 、、， 则123P P P 、、的大小关系是 ．23．【海淀区高三年纪第二学期其中练习理】函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．24．【河北省邯郸市2014届高三上学期第二次模拟考试】dx x )4sin(22ππ+⎰= _______．25．【2014年辽宁省大连市高三双基考试】6cos xdx π=⎰_______．26．【2014江西鹰潭】设1a >，若曲线1y x=与直线0,1,y x x a ===，所围成封闭图形的面积为2，则a = ．【知识点】定积分在求面积中的应用． 【答案解析】2e 解析 ：解：如图，27．【2014吉林一中】设()0cos sin a x x dx p=?，则二项式26()xx a+展开式中的3x 项的系数为【考点预测】1．【热点1预测】若21(4),0,()1,0,x f x x f x e dt x t ->⎧⎪=⎨+⎰≤⎪⎩则(2012)f 等于（ ） A ． 0 B ． ln 2C ． 21e +D ．1ln 2+【答案】D ．【解析】0(2012)(0)ln 21ln 2f f e ==+=+． 2．【热点2预测】曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=21围成的封闭图形的面积为（ ）A ．3 B ．3-2 C ．3-2πD ．3-3π3．【热点3预测】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+4，（30≤≤t t ）（t 的单位：h ， v 的单位：km/h ）则这辆车行驶的最大位移是______km。

一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a xx ln )(='例题：对下面几个函数求导 （1）、12832++=x x y （2）xxa x x e x f -+=ln 5)((3)22ln 3)(x xe xf x +=3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

第十四节 定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)． 令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

定积分【知识梳理】（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。

基本的积分公式：⎰dx 0＝ ；⎰dx x m ＝ （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ ；⎰dx e x ＝ ；⎰dx a x＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝ ；⎰xdx sin ＝ （表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质 ①()ba kf x dx =⎰（k 为常数）； ②()()baf xg x dx ±=⎰；③⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0）， 及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积 S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝ 。

【课前预习】 1.求下列定积分. （1）02dx π-⎰＝ ； （2）312x dx ⎰＝ ；（3）1831x dx -⎰＝ ； （4）122()x x dx ---⎰＝ ；2.求下列定积分.（1）24cos xdx ππ-⎰＝ ； （2）36sin xdx ππ-⎰＝ ；（3）22xdx ⎰＝ ； （4）21e edx x⎰＝ ； 【典型例题】题型一：利用积分公式求定积分值例1．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；题型二：利用定积分求平面图形的面积例2 已知直线y ax =与曲线xy e b =+相交于点(0,0),(1,)y ，求直线y ax =与xy e b =+所围成的图形的面积。

定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200) 王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。

从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。

一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么bf(x)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。

2、例题讲义e1例1、计算1(- 2x)dx1x解：因为(In x x2) 12xxe1所以j (一2x)dx =(|nx x2) I：(In e e2) (In 1 12) e21x【解题关键】：计算b f(X)dx的关键是找到满足F(x) f(x)的函数aF(x)。

跟踪训练：1计算02 (e x cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。

1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和4 |例3、求0 . 4(X 2)2dx的值解：令y 4 (x 2)2(y 0)则有y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y24(y 0)右图所以1-(x 2)2dx - S a A 2 o / 2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分_83(lx+2)2^y2=2,,…y 丄及x 轴所围图形的面积为（ ） 2 x A. 15 B. 17 C.如 2 4 4 2 三、利用变换被积函数求定积分1从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就 变换被积函数求其定积分。

定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数），（2）[]1212()()()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()baF x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰；2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x dx f x f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ； （2）dx xx x ⎰+-212)1(； （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x， ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+xxx e x e ，∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。

定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。

在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。

二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。

三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。

2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。

3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。

四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。

2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。

3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。

五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

这是定积分最基本的应用之一。

2. 定积分可以用来求解物体的质量。

例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。

3. 定积分可以用来求解物体的质心。

通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。

4. 定积分可以用来求解函数的平均值。

通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。

六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。

七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。

2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。

3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。

函数与导数16 导数及其应用 定积分一、具体目标：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义． 考点透析：1.以定积分与微积分基本定理的简单应用—计算为主；2.在计算面积方面的应用.3.备考重点：(1) 掌握微积分基本定理；(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算. 二、知识概述：1. 定积分的概念与微积分基本定理 1．定积分的概念 在()baf x dx ⎰中，,a b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[]a b ，叫做积分区间，()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式． 2．定积分的性质 (1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 12[()()]baf x f x dx ±=⎰12()()bbaaf x dx f x dx ±⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (其中a <c <b )．3．微积分基本定理：一般地，如果()f x 是在区间[]a b ，上的连续函数，且()()F x f x '＝，那么【考点讲解】()()()dx baF f x b F a =⎰-，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．为了方便，常把()()F b a F -记作()ba F x ，即()()()dx ()bba af x F x b F a F ==⎰-．2．定积分的几何意义（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰.3．定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x . 4.温馨提示：1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． 2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．1. 【2019优选题】若222 21231111,,,xS x dx S dx S e dxx===⎰⎰⎰则123,,S S S的大小关系为（）A．123S S S<<B．213S S S<<C．231S S S<<D．321S S S<<【解析】3221127133xS x dx===⎰，22121ln ln21S dx xx===⎰，223121x xS e dx e e e===-⎰．显然213S S S<<，故选B．【答案】B2．【2019优选题】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．14B．15C．16D．17【解析】∵31221211)()326S x x dx x x-=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P=16．【答案】C3．【2018优选题】由曲线y x=，直线2y x=-及y轴所围成的图形的面积为（）A．103B．4 C．163D．6【解析】用定积分求解342422116(2)(2)323x x dx x x x-+=-+=⎰，选C.【答案】C【真题分析】4．【2017优选题】1(2)xex dx +⎰等于（ ）A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．【答案】C 5．【2017优选题】421dx x⎰等于（ ） A ．2ln 2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．【答案】D6.【2015福建】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．【答案】5127.【2019优选题】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e阴正． 【答案】22e8.【2019优选题】若29,T x dx T =⎰则常数的值为 ． 【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 【答案】39.【2019优选题】计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=． 【答案】2310.【2016优选题】设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a ． 【答案】9411.【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【解析】考点为1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 【答案】1.212.【2019优选题】（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=333()()33x x+-， 当3(,)3x ∈-∞-和33+∞（，）时，()>0f x '；O xy当3(,3x ∈-3)3时，()<0f x '， 因此，()f x 的单调递增区间为3(,)3-∞-和33+∞（，），单调递减区间为3(,3-3)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．1.设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．【答案】12.20(1)x dx ⎰-= .【解析】本题考点是定积分的计算. 试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x 【答案】0.3.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【解析】本题考点定积分几何意义与定积分运算.在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2y x y x⎧=⎨=⎩得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.21.510.50.511.522.543211234【答案】16【模拟考场】4. 计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.【解析】由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. 【答案】π5.由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 【解析】 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为：1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3. 【答案】4－ln 36. .二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的第二项的系数为23-，则⎰-a dx x 22的值为__________．【解析】二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的通项公式()2221322363x a ax C T -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． ∵第二项的系数为23-，∴23232-=-a ，∴a 2=1，a ＞0，解得a =1．当a =1时，则322=⎰-a dx x .【答案】37.若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.【答案】B8.定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】ʃ2－2|x 2－2x |d x ＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20＝83＋4＋4－83＝8. 【答案】D9.定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π【解析】由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. 【答案】C10.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【解析】 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离S ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 【答案】 C 11.若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3 【解析】 ππ220(sin cos )d (cos sin )|⎰－＝－－x a x x x a x ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.【答案】A12.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则()dx x f ⎰20等于( ) A.34 B.45 C.56 D.67【解析】()dx x f ⎰20＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－12×4)－(2－12)＝56. 【答案】C13.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动， 则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433J D ．2 3 J 【解析】()()dx x dx x F 2212152330cos -=⎰⎰ο＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=233153x x ｜21＝433，∴F (x )做的功为433 J. 【答案】C 14.若4222π=--⎰-dx x x m，则m ＝________. 【解析】根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 【解析】－1。