定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理

基础热身

1．已知f (x )为偶函数，且

⎠⎛0

6f(x)d x ＝8，则⎠

⎛6－6f(x)d x ＝( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16 2． 设f(x)＝⎩⎨⎧

x 2，x ∈[0，1]，

1

x ，x ∈

1，e ]

(其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0

e

f(x)d x 的值为( )

B ．2

C ．1

3．若a ＝⎠⎛0

2x 2d x ，b ＝⎠⎛0

2x 3d x ，c ＝⎠⎛0

2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关

系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

4．如图K 15－1 )

图K 15－1

A ．2 3

B ．2－ 3 能力提升

5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛0

1f(x)d x ＝2，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．由直线x ＝－π3，x ＝π

3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )

B ．1 ￥

7．一物体以v ＝＋(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )

A ．260 m

B ．258 m

C ．259 m

D ． m

8．若⎠⎛0

k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．以上均不对

9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( )

A ． J

B ． J

C ． J

D ． J

10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函

数f K (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

K ，f

x ≤K ，

f x ，f x

>K ，

则当函数f (x )＝1

x ，K ＝1时，定积分⎠⎛2

1

4f K (x)d x 的值为________． |

(x －x 2)d x ＝________.

12． ∫π

20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________.

13．由抛物线y 2

＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．

14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围

成的区域(阴影)面积为27

4，求f(x)的解析式．

图K 15－2

15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)；

(2)求函数S ＝f(t)

图K 15－3

难点突破

16．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．

(1)求切线PQ 的方程；

(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．

；

|

~

参考答案：

【基础热身】

1．D [解析] ⎠

⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛0

6f(x)d x ＝2×8＝16.

2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e 0f(x)d x 可以分为两段，

即∫e 0f(x)d x ＝⎠

⎛0

1x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A . 3．D [解析] a ＝⎠⎛02x 2

d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4

⎪⎪⎪

20＝4，c ＝⎠⎛0

2

sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪

2

0＝1－cos 2<2，

∴c

4．C [解析] ⎠⎛1－3(3－x 2

－2x)d x ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪

1－3＝32

3. 【能力提升】

5．C [解析] ⎠⎛0

1f(x)d x ＝⎠

⎛0

1(ax 2＋1)d x ＝ax 3

3＋x ⎪⎪⎪

10＝a 3＋1＝2，解

得a ＝3.

6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π

3，x ＝π

3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为： )

⎪⎪⎪S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π3＝3，

故选D .

7．D [解析] ⎠⎛4

8

＋d t ＝＋⎪⎪⎪

8

4＝×64＋×8－×16－×4＝＋52－－26＝.

8．C [解析] ⎠⎛0

k

(2x －3x 2

)d x ＝⎠⎛0

k

2x d x －⎠⎛0

k

3x

2

d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 0－x 3k

0＝k 2－

k 3＝0，∴k ＝0或k ＝1.

9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，错误!100x d x ＝(J )．

10．2ln 2＋1 [解析] 由题设f 1

(x)＝⎩⎨⎧

1，1

x ≤1，

1x ，1

x >1，

于是定积分⎠

⎛21

4

f 1(x )d x ＝⎠⎛1141x d x ＋⎠

⎛1

21d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 114＋x

⎪⎪⎪ 21＝2ln 2＋1. [解析] ⎠⎛0

1

(x －x 2

)d x ＝

⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13. 12．1 [解析] ∫π

20(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)错误!＝错误!－