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蒋中一数理经济学的基本方法第4版课后习题详解展开全文第一篇导论第1章数理经济学的实质本章是对数理经济学的实质的介绍，并将数理经济学与非数理经济学、经济计量学进行了比较，本章没有对应的课后习题，读者对相关概念了解即可。
第2章经济模型练习2.31用集合符号写出下列集合：（a）大于34的所有实数集；（b）大于8但小于65的所有实数集。
答：（a）大于34的所有实数集可以表示为：A＝{x|x＞34}。
（b）大于8但小于65的所有实数集可以表示为：A＝{x|8＜x＜65}。
2给定集合S1＝{2，4，6}，S2＝{7，2，6}，S3＝{4，2，6}，S4＝{2，4}，下面哪些说法正确？（a）S1＝S3；（b）S1＝R；（c）8∈S2；（d）3∉S2；（e）4∉S3；（f）S4⊂R；（g）S1⊃S4；（h）∅⊂S2；（i）S3⊃{1，2}。
答：（a）（d）（f）（g）（h）是正确的。
（b）应为S1⊂R，（c）应为8∉S2，（e）应为4∈S3，（i）应为{1，2}⊄S3。
3根据上题给出的四个集合，求：（a）S1∪S2；（b）S1∪S3；（c）S2∩S3；（d）S2∩S4；（e）S4∩S2∩S1；（f）S3∪S1∪S4。
答：（a）S1∪S2＝{2，4，6，7}。
（b）S1∪S3＝{2，4，6}。
（c）S2∩S3＝{2，6}。
（d）S2∩S4＝{2}。
（e）S4∩S2∩S1＝{2}。
（f）S3∪S1∪S4＝{2，4，6}。
4下述哪些说法是正确的？（a）A∪A＝A；（b）A∩A＝A；（c）A∪∅＝A；（d）A∪U ＝U；（e）A∩∅＝∅；（f）A∩U＝A；（g）的补集是A。
答：（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）都是正确的。
5已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，4，6，7}，C＝{2，3，6}，验证分配律。
证明：首先验证A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），有：A∪（B∩C）＝{4，5，6}∪{3，6}＝{3，4，5，6}（A∪B）∩（A∪C）＝{3，4，5，6，7}∩{2，3，4，5，6}＝{3，4，5，6}所以A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）成立。
《数理经济学》参考习题说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。
而对相关数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。
另一方面，对经济学分析如何应用最优化数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教程。
另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。
第一部分 非线性规划与应用1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个特例，考虑以下的线性规划问题，min : T c x..:0s t Ax ≤ 0x ≥其中nx R ∈，c 为维向量，为n A m n ×矩阵。
导出该线性规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。
2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。
导出以下二次规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。
1min : 2T Ta c x x Hx ++..:s t Ax b =0x ≥其中为常数，为维向量，为a c n H n n ×对称矩阵，为A m n ×矩阵。
3. 考虑以下非线性规划问题：12max : x x −221..:0s t x x −+≤110x −≤ 20x −≤画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足Kuhn-Tucker 条件或Fritz John 条件。
14. 求解以下非线性规划问题：221122min : 23x x x x x −+− 212..:42s t x x −+≤1234x x +≤6)2 10x ≥，20x ≥5. 分析点*(4,3)是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解：x =()(2212max : 34x x −+− 2212..:25s t x x +≤127x x +≥ 10x ≥，20x ≥6. 考虑下述含参数的非线性规划问题：11min : x u x −− 2212..:1s t x x u +≤−2用()x u 表示最优解，表示最优值函数，利用定理2.1.2和定理2.2.1的公式计算()u Φ()x u ∇，在和的值。
第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。
美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。
Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。
路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。
杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。
因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。
2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。
解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。
因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。
2.1解：（1）第101个单位的劳动所带来的产量为f (101) − f (100) = 0.0249，其经济含义为：在100单位劳动下，再增加1单位劳动所能增加的产量。
（2）精确值为0.0249，近似值为∂ f (100)/∂L = 0.025。
可见近似值非常接近于精确值。
2.4解：q ′(p ) = −16000p /(p 2 +1)2，因此需求量底变动估计为∆q = q ′(9)(8.5 − 9) = 10.71。
2.5解：由题意，成本C 是产量q 的函数，产量q 是时间t 的函数，因此，成本C 是t 的复合函数。
需要求dC /dt 。
由复合函数求导法则及题意有242*12===dtdq dq dC dt dC 即成本每小时增长24。
2.7解：t 年后市场价值的现值为t t rt e t B e t P 05.02)()(−−==则最优持有时间t*应满足一阶必要条件：0)05.0*22ln (2*)('*05.0*=−=−t e t P t t ，t* ≈ 48。
当0< t < t* 时，P ′(t ) > 0；当t > t* 时，P ′(t ) < 0. 由于P (t )只有唯一的驻点t*，因此t*也是函数P (t )的最大值点，也是这本书持有的最佳时间。
2.10解：t 年后市场价值的现值为P (t ) = e −rt V (t )，令f (t ) = ln P (t ) = ln V (t ) − rt .函数f (t )的极大值点t*满足一阶必要条件：[f (t*)]′ = V ′(t*)/V (t*) − r = 0因为f (t )为严格单调递增函数，所以由定理2.6.10知最优持有时间t*满足的必要条件是V ′(t*)/V (t*) ＝ r即该项资产价值的增长率与贴现率相等。
2.12证明：设f (x )是严格凸函数，需证明f (x )是凸函数，即需证明对任意λ ∈ [0，1]，对任意x 1，x 2 ∈ (a ，b )，恒有f (λx 1 + (1 − λ)x 2) ≤ λf (x 1) + (1 − λ)f (x 2) （*） 成立。
作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。
做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1 ，4.2 教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法作业八：贝塔系数与证券定价（一）4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且市场组合的期望收益是15%。
假定资本资产定价模型有效。
如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为,(1)p M X r X ϕϕ=-+由题意知，()14%,0.05,M p M E X r σϕσ===所以，，()(())p Mp M E X r E X r β=+-11%5%(15%5%)0.6Mp Mp ββ=+-∴=0.180.6,0.3p p m mp mp m σσσββσ====0.30.400.120.30.30.4mj pm mj ρσσβ⨯====由资本市场线CML 方程得:()(()5%0.410%9%j Mj M E X r E X r β=+-=+⨯=4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵与市场组合的相j 关系数是0.45，方差是0.16。
根据资本资产定价模型，证券的期望收益是多少？j 解：设为证券j 的收益率，由题意知，j X 2()15%,6%,/0.450.40.2/0.040.9M mj mj j m m E X r βρσσσ===⋅⋅=⨯⨯=由CAPM 模型：得：()(())j f mj M f E X r E X r β=+-()6%0.9(15%6%)14.1%j E X =+⨯-=4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风险溢价为8%。
假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组()M E X r -合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。
Problem Set 4 光滑函数1.（3.2）计算 CES 函数()( )⁄的 Hessi 矩阵解：一阶导数为：( )⁄( )⁄二阶导数为：()( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )()( )( )( )( ) ( )Hessi 矩阵为：()[]()( )()( )[] ()( )()( ) []()( )2.（3.3）计算二次函数()在点(0,0)附近的二次Taylor 展开式。
3.(3.5)证明以下结论成立：（1）CES函数()( )⁄是1次齐次的。
证明:令t>0，则有：(t )[(t )(t )(t )]⁄t( )⁄t ( )从而可知，CES函数()( )⁄是1次齐次的。
（2）证明：令t>0，则有：v(tp,tm)[m u() s.t. (tp)≤(tm)][m u() s.t. p ≤m]v(p,m)故v(p,m)在p和m中是0次齐次的。
（3）证明：令t>0，则有：Π(tp)[m (tp)T y s.t. ( )≥y]t[m (p)T y s.t. ( )≥y]tΠ(p)从而可知利润函数Π(p)是1次齐次的。
（4）证明：令t>0，则有(tw,y)[min(tw)T s.t. ( )≥y]t[min(w)T s.t. ( )≥y]t (w,y)可知成本函数(w,y)在投入价格w中是1次齐次的。
证明：由于生产函数是1次齐次的，有：(w,y)[min(w)T s.t. ()≥y][min(w)T s.t. (y)≥ ]y[min(w)Ty s.t. (y)≥ ]y[min(w)T z s.t. (z)≥ ]y (w,)其中，令zy证毕。
Problem Set 5 凹函数1. (3.7)必要性：由已知可得f()函数是凹函数，变量都在其定义域内。
对于α∀∈[0 1],有1212[(1)][((1))]g t t f x t t v αααα+-=++- 12[()(1)()]f x t v x t v αα=++-+ 12()(1)()f x t v f x t v αα≥++-+ 12()(1)()g t g t αα=+- 从而可知函数g （t ）是在定义域上是凹函数。
注意：答案按题序写在专用答题纸上，写在本试卷或草稿纸上者一律不给分（因答题纸不够而另外由考场添加的答题纸除外）。
考试后要求试卷和答题纸同时上交.1. (12%)设S 与T 是凸集。
证明下面每个集合也是凸的：（1）、{}S s -s,x x ∈=≡-S（2）、{}T t ,S s t,-s x x ∈∈=≡-T S2. (12%)设f 和g 为nR D ⊆上的实值凹函数，,0,0>>g f 证明：它们的乘积)x ()x ()x (g f h =在D 上是拟凹的。
3. (12%)解答下列最优化问题：（1）、的局部极值点求222121212123126),(x x x x x x x x f ++++=及对应的函数值；（2）、函数33121212(,)3f x x x x x x =--是否存在极值，如果存在，求出极值，并判断是极大值还是极小值。
4. (12%)设函数T S f i →:是一个连续函数，其中},...,2,1,202{n i x X S i =≤≤=，}104{≤≤=x x T 。
证明：0)x (=-i i x f 有解。
5. (12%)考虑下面的问题：22121),(max x x x x f = a x x t s =+22212..已知3=a 时此问题的最优解为：)5.0,1,1())(),(),((21=a a x a x λ增加0.3个单位时，目标函数的最优值增加多少？6. (12%)求解最优化问题： ∏=∈+n i i R X i x 12max αm X P t s T ≤..厦门大学《数理经济学》课程试卷 经济 学院＿2009＿年级 研究生各专业其中.2,1,0,,=>i m p i i α7. (14%)求解下列微分方程系统，并分析系统的稳定性（1）X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1243 （2）⎩⎨⎧--=+-=xy x yy x x 2 8. (14%)考虑微分方程y y dtdy ln 3--= （1）证明存在一点*y 使得**--y y ln 3=0，因此微分方程有均衡点*y ；（2）画出y y dtdy ln 3--=的相位图的略图； （3）讨论时间路径的定性性质（即均衡点的稳定性）；。
第三章作业参考答案 3.2 解： 由题意知，AT = f(x)/x 在 x*处达到极值，由极值的必要条件知， (AT)′|x=x* = [x*f′ (x*) − f(x*)]/(x*)2 = 0 从而 f ′(x*) = f(x*)/ x*，因此总函数在 x*处的点弹性为E=df ( x) dxf ( x) x * f ′( x*) = =1 x f ( x*)即此点弹性为单位弹性。
3.3 证明： 令 u = f(x)，v = g(x)，二者的乘积记为 y = uv = f(x)g(x)。
需证明，Eyx = Eux+Evx。
事实上， Eyx = dlny/dlnx = (dlnu + dlnv)/dlnx = dlnu/dlnx + dlnv/dlnx = Eux + Evx 3.12 （1） 图示如下：（2） 验证定理 A．验证定理 3.3.1 由于 TP(K) = 90K2 −K3，所以 AP(K) = TP(K)/K = 90K − K2，MP(K) = 180K − 3K2。
结论（1）和（2）的验证如下： 平均产量函数 AP(K)的递增和递减区间的分界点满足 90K −K2 = 180K − 3K2，解得 Ks= 45，也可解方程 AP′(K) = 90 − 2K = 0 获得这个分界点。
1经验证，在区间(0，45)上 AP′(K) > 0，在区间(45，+∞)上 AP′(K) < 0，因此 AP(K)在[0 ， 45]上递增，在[45 ， +∞)上递减；在区间(45，+∞)上 MP(K) > AP(K)，在区间[45 ， +∞) 上 MP(K) < AP(K)。
（3）的验证如下: 若 AP(K)在 KS 处获得极大值，由极值的必要条件，则 AP′(KS) = 0，即 90 − 2KS = 0，即 KS = 45，且有 AP(KS) = MP(KS) = 2025。
第9章作业参考答案
9.1 解：
（1）利润函数为π(P 1，P 2) = P 1Q 1 + P 2Q 2 − C = −0.2P 12 + 32P 1 − 0.05P 22 + 12P 2 − 1395，利润极大化的一阶必要条件为∂π/∂P 1 = 0，∂π/∂P 2 = 0。
进而解得P 1 = 80，Q 1 = 8，P 2 = 120，Q 2 = 4。
下面验证二阶充分条件。
由于矩阵
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=1.0004.0),(212P P D π 处处是负定的，所以π(P 1，P 2)是严格凹函数，从而满足一阶必要条件的点(80，8)使π(P 1，
P 2)获得最大值（定理8.4.2）。
因此两个市场的最优供给量分别为8和4，最优价格为80和120。
由弹性的计算公式i
i i i di Q P dP dQ =||ε，可知两个市场的需求弹性分别为2和1.5，又两个市场的价格分别为80和120，这说明弹性大的市场的价格小于弹性小的市场的价格。
（2）若不实行价格歧视，则P 1 = P 2 = P ，此时两个市场的总需求函数为
Q = Q 1 + Q 2 = 34 − 0.25P
总成本函数为
C = 35 + 40(Q 1 + Q 2)
= 35 + 40(34 − 0.25P )
= 1395 − 10P
从而利润函数为π(P ) = PQ − C = −0.25P 2 + 44P − 1395。
容易得出最大值点为P * = 88，代入两个市场的需求函数，可知对应的两个市场的最优供给量分别为Q 1* = 6.4和Q 2* = 5.6。
（3）显然两种情形下的两个市场的最优供给量相等，均为12，但实行价格歧视时的最优利润605大于不实行价格歧视时的利润541。
9.4 解：
利润函数为π(x ，y ) = PQ − C = x 1/4 y 1/4 − 4x − 4y ，一阶必要条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=−=∂∂−−044
104414/14/34/14/3x y y y x x ππ。
解得x * = y * = 1/256。
由于
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−−−−−−4/7414/34/34/34/34/14/7216316
116116
3y x y x y x y x D π 对任意x ≥ 0，y ≥ 0满足
01634/14/7121≤−=−y x D π，01634/74/1121≤−=−y x D π，032
12/32/3222≥=−−y x D π 因此D 2π处处半负定，进而可知x * = y * = 1/256是最大值点。
即(x *，y *) = (1/256，1/256)是使厂商利润最大化的投入组合。
9.7 解
（1）利润函数为π = pQ − wL − rK = pK a L b − wL − rK ，进而一阶必要条件为
∂π/∂K = apK a −1L b − r = 0，
∂π/∂L = bpK a L b −1 − w = 0
解之得L * = [(r /bp )(wb /ra )a ]1/(a + b − 1)，K * = [(w /ap )(ra /wb )b ]1/(a + b − 1)。
（2）当D 2π处处半负定时，满足一阶必要条件的解一定是利润函数的最大值点。
即
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−−−−−2111122)1()1(b a b a b a b
a L PK
b b L abPK L abPK L PK a a D π 处处半负定。
因此只要a (a − 1) ≤ 0，b (b − 1) ≤ 0，ab (1 − a − b ) ≥ 0即可。
从而只要a ，b 满足0 ≤ a ≤ 1，0 ≤ b ≤ 1，a + b ≤ 1即可。
9.12 解(全微分法) 最优解(a *，b *)满足的(9-3-6)式如下
⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−−0
*)*,(0*)*,(0000b t r b a t r a P e b a Q P P e b a Q P 两端求全微分得到
⎪⎩⎪⎨⎧=−−−++=−−−++−−−−−−−−−−0
**0**000000000000b rt b rt b rt bb rt ab rt b a rt a rt a rt ab rt aa rt a dP dt re Q P dr te Q P db e Q P da e Q P dP e Q dP dt re Q P dr te Q P db e Q P da e Q P dP e Q 将da *和db *的微分保持在左侧，其他五个外生变量的微分移到右侧，写成矩阵乘法的形式得到
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+++−+++−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−dt re Q P dr te Q P dP dP e Q dt re Q P dr te Q P dP dP e Q db da e Q P e Q P e Q P e Q P rt b rt b b rt b rt a rt a a rt a rt bb rt ab rt ab rt aa 000000000000** 为了求a *和b *分别关于P 0的偏导数，令其它外生变量的微分为0，即dr = dt = dP a 0 = dP b 0 = 0，并代入上面矩阵方程的左侧，得到
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−000000**dP e Q dP e Q db da e Q P e Q P e Q P e Q P rt b rt a rt bb rt ab
rt ab rt aa 进而得到 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−rt b rt a dP db dP da rt bb rt ab
rt ab rt aa e Q e Q e Q P e Q P e Q P e Q P 00**0000 据此可获得∂a */∂P 0和∂ b */∂P 0。
类似地，可求出其它所有的偏导数。
9.20 解：
（1）利润函数为π = αpy − c (y )，由题意知c (y )是凸函数，从而π是凹函数。
因此厂商一定能获得最大利润。
（2）显然∂π/∂α = py 。
假设y*是利润极大化的产量，由包络定理，厂商的最优利润关于参数α的导数为py*。
（3）由于py* > 0，所以无缺陷产品的比例α的增加将导致厂商最优利润的增加。
9.21解：
只需关于y 求函数c (q ，y ) = ay + bq + dq 2/(2y )的最少值。
令∂c (q ，y )/∂y = a − dq 2/(2y 2) = 0。
解这个方程得到作为y 的函数c (q ，y )的驻点
a dq y 2/*2=
又对于任意投入参数y ≥ 0，∂c 2(q ，y )/∂y 2 = dq 2y −3 ≥ 0，所以c (q ，y )是y 的凸函数，因此c (q ，y )在其驻点y *处获得最少值。
将y = y *代入函数c (q ，y )的表达式得到这个最小值为
q b ad q c )2()(+=
这就是长期总成本函数。
