2017-2018年河南省中原名校(即豫南九校)高一(上)数学期中试卷和答案

考试时间：90分钟满分100分一、选择题(本题共16个小题，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的)l.下列由实验或已有知识得出的结论错误的是A.SO2可用于杀菌、消毒，但不可用来加工食品B.液氨汽化时要吸收大量热，因此氨常用作制冷剂C.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的细小可吸入颗粒物，其分散在空气中能形成气溶胶D.铝箔在酒精灯上加热，铝熔化但不滴落，说明氧化铝的熔点高于铝的熔点2.化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A.高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”B.《本草经集注》中关于鉴别硝石(KNO3)和朴硝(Na2SO4)的记载:“以火烧之，紫青烟起，乃真硝石也”，该方法应用了焰色反应C用漂粉精和洁厕灵(主要成分是盐酸) 混合后的浓溶液清洗马桶效果更佳D.中草药煎制过程体现了化学实验中的溶解、浓缩、过滤等提纯操作3.某同学参阅了“84消毒液”说明中的配方，欲用NaClO固体配制480mL含NaC1025%，密度为1.19g/cm3的消毒液，下列说法正确的是A.配制过程只需要三种仪器即可配成B.容量瓶用蒸馏水洗净后必须烘干才能用于溶液的配制C.定容时俯视容量瓶的刻度线，会造成所配溶液物质的量浓度偏低D.需用托盘天平称量的NaClO固体的质量为148.8g4.下列实验目的可以实现或操作正确的是A.用托盘天平称取3.23gNaCl固体B.用10mL量筒量取7.50mL稀盐酸C.分液以后下层液体从分液漏斗下端管口放出，关闭活塞，换一个接收容器，上层液体继续从分液漏斗下端管口放出D.稀释浓硫酸时，把浓硫酸沿器壁慢慢注入水里，并不断搅拌5.不论以何种比例混合，将甲和乙两种混合气体同时通入过量的丙溶液中，一定能产生沉淀的组合是A. ②③④B. ②③④⑤C. ①③④D. ①③④⑤6.某强酸性溶液中还可能存在Al3+、Fe2+、NH4+、Ba2+、Cl-、CO32-、SO42-、NO3-中的若干种，现取适量溶液进行如下一系列实验(已知硝酸根离子在酸性环境中具有强氧化性，还原产物一般为气体)下列有关判断不正确的是A.试液中一定有Fe2+、SO42-、H+、NH4+、Al3+B.试液中一定没有Ba2+、CO32-、NO3-C.步骤③中发生反应的离子方程式为: 2AlO2-+CO2+3H2O=2Al(OH)3↓+CO32-D.沉淀B在空气中会迅速变为灰绿色，最后变为红褐色7.酸式盐是盐的一种，可看作是多元酸中的氢离子未被完全中和所得到的盐，常见的有NaHCO3、NaHSO4、KH2PO4、KHPO4等。

绝密★启用前【全国校级联考】河南省中原名校（即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知直线1:10l ax y +-=与直线22:0l x ay a ++=平行，则a 的值为A ．1B ．-1C ．0D ．-1或13．函数()21,0{ 2log ,0xx f x x x ⎛⎫≤ ⎪=⎝⎭>，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．14 B ．4 C ．18D ．8 4．设,αβ是两个不同的平面， m 是直线且m α⊂， //m β，若使//αβ成立，则需增加条件（ ）A ．n 是直线且n α⊂， //n βB ．,n m 是异面直线， //n βC ．,n m 是相交直线且n α⊂， //n βD ．,n m 是平行直线且n α⊂， //n β 5．已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞6．已知矩形ABCD ， 6AB =， 8BC =，沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起，若,,,A B C D 四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．200π7．设()f x 是定义在实数集上的函数，且()()2f x f x -=，若当1x ≥时， ()ln f x x =，则有（ ）A ．()()()102f f f -<=B ．()()()102f f f ->=C ．()()()102f f f -<<D ．()()()102f f f ->>8．已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a −1,2a]上的偶函数，那么f(x)的最大值是（ ） A ．0 B ．13 C ．427 D ．19．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）A ．1B ．43 C ．32D ．2 10．已知实数,x y 满足方程22410x y x +--=，则2y x -的最小值和最大值分别为（ ）A ．-9，1B ．-10，1C ．-9，2D ．-10，211．已知函数()221f x ax x =-+，若对一切1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()0f x >都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞ 12．已知AC,BD 为圆O ：x 2+y 2=9的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1,2)，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ） A ．10 B ．13 C ．15 D ．20第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明的单调递增区间为 ．14．已知集合()()()22{,|126}A x y x y =-++=， (){,|250}B x y x y =+-=，则集合A B ⋂中子集个数是__________．15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是矩形， 12AA AB =， C 是圆柱下底面弧AB 的中点， 1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为__________．16．已知函数()211,1{ 42,1x x f x x x x -+<=-+≥，则函数()()()221g x x f x x =--+的零点个数为__________．三、解答题17．已知全集U R =，集合3{|0log 1}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-. （1）当1m =-时，求A B ⋃， ()U C A B ⋂； （2）若A B A ⋂=，求实数m 的取值范围.18．已知直线()():20l a b x a b y a b -+++-=及点()1,3P . （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时， ()13xxf x =-.（1）求()f x 的解析式； （2）解不等式()8x f x <-. 20．已知圆C 经过点()2,1A -， ()0,3B -和直线1x y +=相切. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()2,0B ，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.21．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =，BC =.（Ⅰ）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？ （Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC的值．22．已知函数()332log f x x =-， ()3log g x x =.（1）当[]1,9x ∈时，求函数()()()1?h x f x g x ⎡⎤=+⎣⎦的值域；（2）如果对任意的[]1,9x ∈，不等式()2•f x f k >恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()()()2?F x ag x f x ⎡⎤=+⎣⎦的最大值为0，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.参考答案1．D【解析】集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个． 故选D. 2．A【解析】由于直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x ＋ay ＋2a ＝0平行所以210a -=， 即a =－1或1，经检验1a =成立. 故选A. 3．D【解析】∵211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴()3113882f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D 4．C【解析】要使//αβ成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，,n m 是相交直线且n α⊂， //n β， m α⊂， //m β，由直线和平面平行的判定定理可得//αβ. 故选C. 5．B【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ， 画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上是单调增函数，，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]． 故选B. 6．C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为100π. 故选C. 7．B【解析】由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以()()02f f =，()()13f f -=，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以()()()102f f f ->=，故选B. 8．C 【解析】∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴f(x)=13x 2，所以f(x)min =13×(23)2=427.故选C. 9．B【解析】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D 1-BCB 1，如图所示，该四面体的体积为114V 222323=⨯⨯⨯⨯=.故选B ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 10．A【解析】22410x y x +--=即为()2225x y -+=y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝2x ＋b 与圆相切时，纵截距b =得b ＝－9或1．所以y －2x 的最大值为1，最小值为－9． 故选A. 11．C【解析】由题意得，对一切1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，f (x )>0都成立，即22221211a (1)1x x x x x->=-=--+， 而21(1)11x--+≤，则实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值） . 12．B 【解析】如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝5，∴|AC |2＋|BD |2＝4(9－|OP |2)＋4(9－|OQ |2)＝52． 则|AC |·|BD |=|AC |∙√52−|AC |2=√52|AC|2−|AC |4，当|AC |2=26时，|AC |·|BD |有最大值26，此时S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |=12×26＝13，∴四边形ABCD 面积的最大值为13． 故选B ．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 13．(),1-∞-【解析】所以当(),1x ∈-∞-时，21u x =-[，而的单调递增区间为(),1-∞-.考点：复合函数单调性 14．4【解析】由题意知A B ⋂中的元素为圆与直线交点， 因为圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ==<，所以直线与圆相交．集合A B ⋂有两个元素. 故集合A B ⋂中子集个数为4. 故答案为：4. 15．【解析】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ， 所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点， 所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ， 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是矩形， AA 1=2AB所以C 1D ＝AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为故答案为：.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置. 16．3【解析】由()()()221g x x f x x =--+，得()213222x f x x x -==+--， 作出y ＝f (x )， 3y 22x =+-的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3． 故答案为：317．(1)A ∪B ＝{x |－2<x <3}， ()(]2,1U C A B ⋂=-；(2)(－∞，－2]． 【解析】试题分析：（1）求解集合A,B 根据集合交并补的定义求解即可；（2）由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，从而得12{21 13m mm m ->≤-≥，解不等式求解即可.试题解析：（1）由题得集合A ＝{x |0＜3log x ＜1}={x |1＜x ＜3} 当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．()(]{|13}{|22}2,1U C A B x x x x x ⋂=≤≥⋂-<<=-或（2）由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ..解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． 18．(1)证明见解析，定点坐标为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)15x ＋24y ＋2＝0. 【解析】试题分析：（1）直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0，由210{ 10x y x y ++=-+-=，即可解得定点； （2）由（1）知直线l 恒过定点A 21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大，利用点斜式求直线方程即可. 试题解析：（1）证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0， 由210{10x y x y ++=-+-=，得23{ 13x y =-=，所以直线l 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由（1）知直线l 恒过定点A 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率13832513k -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的斜率k l ＝－58． 故直线l 的方程为152383y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 即15x ＋24y ＋2＝0．19．(1) (),0,13{0,0, ,0.13xxx x f x x x x -<-==>-；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】试题分析：（1）奇函数有f (0)＝0，再由x <0时，f (x )＝－f (－x )即可求解；（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.试题解析：（1）因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x=0时，f (x )＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝，.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－＝.. 综上所述：此函数的解析式(),0,13{0,0, ,0.13xx x x f x x x x -<-==>-.（2）f (x )<－，当x=0时，f (x )<－不成立；当x >0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x －1<8，解得x <2， 当x <0时，即<－，所以>－，所以3－x >32，所以x <－2，综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．20．(1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；(2)x ＝2或3x －4y －6＝0．【解析】试题分析：（1）先求线段AB 的垂直平分线方程为1y x =--，设圆心的坐标为C (a ，－a －1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；（2）由题知圆心C 到直线l的距离1d ==，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析：（1）由题知，线段AB 的中点M(1,－2)， ()31102AB k ---==-,线段AB 的垂直平分线方程为()21y x +=--，即1y x =--，设圆心的坐标为C (a ，－a －1)，=，化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝＝．∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．（解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C 到直线l 的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2， 满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-1=，解得k ＝，∴直线l 的方程为y ＝（x －2）．综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －6＝0． 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法： （１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．21．(Ⅰ) 2；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）易得ACB ∆， PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ，可证得AC ⊥平面MBN ，从而使得AC ⊥BM ，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥， PA AB ⊥,所以PB =又由于PA∩AB ＝A ，故BC ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB,所以BC PB ⊥,所以ACB ∆， PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，12PCB S ∆==．（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ．由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ．又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ．因为ABN ∆与ACB ∆相似， 12AB AB AN AC ⋅==，从而NC ＝AC －AN ＝．由MN ∥PA ，得＝＝．22．(1)[0,2]；(2)(－∞，8116-)；(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）由h (x )＝－2(log 3x －1)2＋2，根据log 3x ∈[0,2]，即可得值域；（2）由()2•f x f k >，令t ＝log 3x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3x ∈[0,2]，得(3－4t )(3－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可； （3）由()()()233 2log 34log 6F x a x a x =-+-+，假设最大值为0，因为3log x R ∈,则有()()220{ 344260a a a -<--⨯-⨯=，求解即可.试题解析：（1）h (x )＝(4－2log 3x )·log 3x ＝－2(log 3x －1)2＋2，因为x ∈[1,9]，所以log 3x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]．（2）由()2•f x f k >， 得(3－4log 3x )(3－log 3x )>k ，令t ＝log 3x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立，令()()23434159y t t t t =--=-+，其对称轴为158t =， 所以当158t =时， y 的最小值为8116-， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，8116-)．. （3）假设存在实数a ，使得函数()()()2F x ag x f x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的最大值为0，由()()()()()()()233332log 232log 2log 34log 6F x ag x f x a x x a x a x ⎡⎤=+⋅=+-=-+-+⎣⎦.因为3log x R ∈,则有()()220{ 344260a a a -<--⨯-⨯=，解得a ϕ∈，所以不存在实数a ，使得函数()()()2F x ag x f x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的最大值为0.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.。

2017-2018高一数学上学期期末联考试卷（含答案河南中原名校）豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42.已知：直线与直线平行，则的值为（）A．1B．-1C．0D．-1或13.函数，则（）A．B．4C．D．84.设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A．是直线且，B．是异面直线，C.是相交直线且，D．是平行直线且，5.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．6.已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A．B．C.D．7.设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A．B．C.D．8.已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A．0B．C.D．19.某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）A．1B．C.D．210.已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A．-9，1B．-10，1C.-9，2D．-10，211.已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．12.已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A．10B．13C.15D．20二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的单调递增区间为．14.已知集合，，则集合中子集个数是．15.如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为．16.已知函数，则函数的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.18.已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.19.设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.20.已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.21.如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.22.已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.豫南九校2017—2018学年上期期末联考高一数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．解析：选D集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．2．解析：选A由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+110．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．201512．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数的单调增区间是．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】利用终边相同角的表示方法，化简即可判断角所在象限．【解答】解：由2015°=1800°+215°，并且180°＜215°＜270°，可知2015°是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角与轴线角的应用，基本知识的考查．2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P 内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），故选B．【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．9．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．10．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，利用函数奇偶性的对称性，可解不等式的解集．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．2015【分析】可得函数f（x）是R上周期为6的周期函数，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）可得结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）是R上周期为6的周期函数，∵当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+3+0﹣1+0=5，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=335×5+1+2+3+0﹣1=1680故选：C．【点评】本题考查函数的周期性，涉及函数值的求解，属基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14．（5分）求值：=102．【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=（lg2）2+（lg5）2+2lg2lg5+1+0.4﹣2×42=1+1+=2+100=102．故答案为：102．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．（5分）函数的单调增区间是．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．【分析】（1）由P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴sinα=﹣=﹣，cosα==，则原式=﹣+=；（2）∵tanβ=2，∴原式====．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，再求出A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2≤x≤4}，a=1时，B={x|2＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜5}，A∩（C R B）={x|﹣2≤x≤2}…（6分）（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．B=∅时，2a≥a+4，∴a≥4；B≠∅时，，∴﹣1≤a≤0．综合：a≥4或﹣1≤a≤0…（6分）【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．【解答】解：（1）由已知可得，，解得，a=1，b=﹣1，所以，；（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．【分析】（1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为﹣n，即可得到；（2）由题意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式组，解得即可；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）为奇函数，则[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；（2）若，即为f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得，解得；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．即对a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；a+≥2=2，当且仅当a=取得最小值．即有．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。

豫南九校2017-2018学年上期第二次联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以，选D.2. 若对于任意实数恒有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，解得选A.3. 设集合，，则下列表示到的映射的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，所以；；，，所以选C.4. 幂函数在上为增函数，则的取值是（）A. B. C. 或 D.【答案】Am=﹣1；又x∈（0，+∞）时f（x）为增函数，∴当m=2时，m2+2m﹣3=5，幂函数为f （x）=x5，满足题意；当m=﹣1时，m2+2m﹣3=﹣4，幂函数为f（x）=x﹣4，不满足题意；综上，m=2．故选：A．5. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：B．6. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当x≤0时，y≥1，故选：C7. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如图，则它的左（侧）视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，是虚线，左视图为：故选A．考点：三视图8. 若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】由图像知a+b=6，或解得解的个数是1，选D.9. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，所以该几何体的体积是，选D.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=1，，∴PA⊥PD，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=+（﹣d）2，∴d=0，R=，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=3π．故选：A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．11. 已知是定义在整数集上的减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为定义在上的减函数；∴解得．故选：．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12. 已知实数满足且，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作与的图像,可得时,所以选C.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，，，则__________.（用数字作答）【答案】0【解析】f（4）=2，f（2）=0．故0．14. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________.【答案】24【解析】15. 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是__________.【答案】【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A⊆B当A=时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠时，要使A⊆B成立，则，解得：,综上可得：实数k的取值范围16. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】（0，+∞）【解析】如图，当时，有两个根，，（0，1），所以对应四个实根，满足题意；当时，有一个根，（0，1），所以对应一个实根，不满足题意；即实数的取值范围是点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，，，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1){x|﹣1≤x＜2}；(2)a>3.【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得集合A，再结合数轴求C U B，以及（2）由，得A⊆C，再结合数轴得的取值范围.试题解析：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，且B={x|2≤x＜5}，U=R，∴C U B={x|x＜2，或x≥5}，∴A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜2}；（2）由A∪C=C，得A⊆C，又C={x|x<a}，A={x|﹣1≤x≤3}，∴a的取值范围是a>3.18. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据，得异面直线与所成角为，再通过解三角形得异面直线与所成角的正切值.试题解析：（1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点（2）由（1）知即为所求角.19. 如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中在直径上，点在圆周上.（1）设，将矩形的面积表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料的面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)y=2x，x∈（0，20）.(2)截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得OA=2，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义得定义域；（2）先整理成关于二次函数，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法试题解析：（1）AB=2OA=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，20）.（2）时，.∴截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.20. 已知函数（为常数，且）.（1）当时，求函数的最小值（用表示）；（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2).试题解析：（1）令当即时，当即时，综上：.（2）假设存在，则由已知得,等价于在区间上有两个不同的实根等价于，作出函数图象，可得.法二:亦可用一元二次方程实根分布求解.21. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，分别是线段的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．2分不妨令∵，∴，即．4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴．6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得，9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为．12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求．8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 已知函数（）且.（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)2；(2)k＜1.【解析】试题分析：（1）代入，解得的值；（2）化简函数得2x﹣1+k，再根据指数函数图像确定实数的取值范围.试题解析：（1）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣.（2）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k 有零点，则函数y=2x 的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

一、选择麒本大题共12个小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.（5分）设集合〃={0,2. 4.6,8}, A={0, 4.8},B={2, 4.8},则图中阴影部分表示的集合是（）UA. 0B.（6）C.（4.8}D.（0. 2.6|【解答】解：•.•集合U=（0,2, 4.6,8},A={0, 4.8},B={2, 4.8）.:.AC\B={4, 8）,・.•图中阴影部分表示的集合是：Cu<Ans）={0. 2.6}.故选：D.2.（5分）若/：A-B能构成映射，则下列说法正确的有（）（1）A中的任意一元素在B中都必须有像旦唯一：（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）8中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合8.A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解：根据映射的定义，对于两个集合A,B,对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，A中的任意一元素在8中都必须有像且唯一：故（1）正确A中的多个元素可以在8中有相同的像；故（2）正确B中的多个元素不可以在A中有相同的原像.故（3）错误像的集合就是集合B的子集，故（4）错误，综上可知共有2个正确，故选：B.3.（5分）设函数/（X）=[X~2f（X-10）,则/（9）的值为（）l/W+6）]，（x<10）A,10 B.11 C.12D・13【解答】解:V/(x)=,x-2,(x>10)/W+6)]・(xVIO)'•J(9)=/(/(9+6))=/(/(15))=/(13)=13-2=11,故选：B.4.(5分)函数y=/与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是()A.|h2]B.[0,1|C.|-!•0|D.[2.3]【解答】解：函数v=A J与)，=x+3图象交点的横坐标，就是/(x)=/-x-3的零点，函数是连续函数，并且/(I)=-3<0./(2)=8・2・3=3>0,/(1)/(2)V0,由零点的判定定理可知，函数y=?与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是：[I.21，故选：A.5.(5分)函数/(x)=x/1^27+定义域为()A.(・3,0)B・(-3,1]C・(・ 8,・3)U(・3,0] D.(・8.・3)U(・ 3,1]【解答】解：根据题意：(x+3>0解得：-3VxW0・.・定义域为(・3,0]故选：A.6.(5分)若函数y=f(x)是函数)，=/(〃>0,且的反函数，且/(2)=1,贝IJ/(8)=()A. 3B.-C.-3D, -i3 3【解答】解；(2)=1,.••点(2,1)在函数y=/的反函数的图象上，则点(1,2)在函数y=a x的图象上，将x=l,y=2,代入)=/中，得2=/,解得：a=2,.••y=2\贝ij x=logxv>即y=log2X,•V(x)=logu\:.f(8)=log28=3.故选：A.7.(5分)设2d=5"=m且-+7=2,则巾等于()a bA.x/10B.10C.20D.100【解答】解：•.•2“=5°=”且土+；=2,a b：.a=Iog2/w,h=Iog5/n•+7=log/n2+k)g,〃5=lo伽10=2,a bio,解得川=寸访.故选：A.8.(5分)给出如下三个等式：®f(a+b)=f(a) +f(b),®f(.ab)=了顷)甘(b)：(3)f(uh)=/(〃)Xf(b\则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是()A. /(x)=«?B.f(a)=3aC. /(x)=2rD.f(x)=lnx【解答】解：A中，若/(A)=】，V/(ub)=(ab)2,f(a>f(b)=44f(ah)=/(“)•/(b),故③成立，8中，若/(x)=3x,V/(a+b)=3(o+b),/(“)+f<b)=3。

2017-2018学年上期高一期中考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∴故选B2.设集合，，若，则满足条件的实数的值是（）A. 1或0B. 1，0，或3C. 0，3，或-3D. 0，1，或-3【答案】C【解析】∵集合，，∴或∴或或当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意；∴满足条件的实数的值是，或故选C3.函数的图像过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，令，得，则∴函数的图像过定点故选D4.设，若，则的值为（）A. B. 5 C. 6 D.【答案】A【解析】∵，∴当时，，即，不成立；当时，，即或（舍）当时，，即，不成立∴故选A5.已知幂函数在上为减函数，则等于（）A. 3B. 4C. -2D. -2或3【答案】C【解析】∵为幂函数∴∴或又∵在上为减函数∴，即∴故选C6.下列四种说法：（1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数；（2）若函数与轴没有交点，则且；（3）函数的单调递增区间为；（4）和是相同的函数.其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】对于（1），若函数，在上是增函数，在上也是增函数，但在上不是增函数，故（1）错误；对于（2），当时，与轴没有交点，故（2）错误；对于（3），，可知函数的单调增区间为和，故（3）错误；对于（4），与不表示相同的函数，故（4）错误.故选A7.若函数是偶函数，其定义域为.且在上是增函数，则与的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵函数是偶函数，且在上是增函数∴在上是减函数∵∴故选C8.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数的定义域为∴且，即且∵∴，则∴故选A9.函数的图像和函数的图像的交点个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出与的图像如图所示：由图象可知两函数图象有2个交点，故选B10.设是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数满足∴函数是周期为2的周期函数∴又∵是定义在上的奇函数∴∵当时，∴，即故选D11.函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数∴函数的对称轴为直线，且函数的最小值为令，解得或4∵在区间上的最大值为5，最小值为∴实数的取值范围是故选B点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.12.若在函数定义域的某个区间上定义运算，则函数，的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数∴由新运算法则得，即∵∴当时，，其值域为，即值域为当时，，其值域为，即值域为综上可得值域为故选B点睛：本题考查新定义题型，根据新运算法则可得到分段函数，在判断分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给定集合，，定义一种新运算：或，试用列举法写出___________.【答案】【解析】∵，∴又∵∴故答案为14.函数的定义域是__________．【答案】【解析】∵∴要使函数有意义，则，即或∴的定义域为故答案为15.定义在上的奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为-1，则__________．【答案】-15【解析】∵是定义在上的奇函数∴又∵在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为∴，∵是奇函数∴，∴故答案为16.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】令∵函数在上单调递减∴在上单调递增，且∵∴，即∴故答案为点睛：复合函数的单调性规则：若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数单调性相反，则它们的复合函数为减函数，即“同增异减”.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）（2）.【答案】（1）（2）【解析】⑴解：原式=………………………………2分==………………………………6分（2）解：原式=………………………………9分=………………………………13分18.若集合，.（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解出集合，，根据，即可求出的取值范围；（2）根据，即可求出的取值范围.试题解析：（1），，；（2），.19.设是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若时，方程仅有一实根，（若有重根按一个计算），求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质，当时，，结合当时，，可写出当时的解析式，即可得到的解析式；（2）记，根据题意，在时仅有一根，设的两实根分别为，根据，，三种情况分类，即可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，当时，，那么，即综上（2）记，设的两实根分别为，当时，有，即；当时，有，即，此时，或不符合（舍去）当时，有可得综上，的取值范围是或.20.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）在内，求使关系式成立的实数的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）.【解析】试题分析：（1）根据函数有意义，求出的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再计算，与作比较，即可判断函数的奇偶性；（2）先根据定义法判断函数的单调性，再由单调性解不等式，即可求出的取值范围.试题解析：（1）函数有意义，需解得且，函数定义域为或；（1），又由（1）已知的定义域关于原点对称，为奇函数.（2）设，，又，，又，，，.；.由①②，得在内为减函数；又，使成立的范围是.点睛：利用函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定要注意函数的定义域；（2）注意应用函数的奇偶性；（3）化成后再利用单调性和定义域列出不等式（组）.21.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数属于集合，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出所给函数的定义域，假设，则存在非零实数，使得，即，由方程无实数解，即可得出；（2）据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，并化简，得到，当时，符合题意，当，再根据有解，得到判别式大于等于0，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1），若，则存在非零实数，使得，即此方程无实数解，所以函数（2）依题意，.由得，存在实数，，即又，化简得当时，，符合题意.当且时，由得，化简得，解得.综上，实数的取值范围是.点睛：对于探索性题目，在求解的过程中，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证命题成立.22.设函数满足.（1）求函数的解析式；（2）当时，记函数，求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）法一，根据整体思想，令，则，即可求出的解析式；法二，对中的分子进行配方得到，即可求出的解析式；（2）根据函数判断出为偶函数，由，判断出在上的单调性，再根据偶函数的性质，即可求出在上的值域.试题解析：（1）（法一）设，则，（法二）（2），为偶函数，的图像关于轴对称.又当时，由在单调减，单调增，（需证明），当时，函数在区间上的值域为。

豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．故选D.2. 已知：直线与直线平行，则的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -1或1【答案】A【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.3. 函数，则（）A. B. 4 C. D. 8【答案】D【解析】∵，∴.故选D4. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A. 是直线且，B. 是异面直线，C. 是相交直线且，D. 是平行直线且，【答案】C【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，是相交直线且，，，，由直线和平面平行的判定定理可得.故选C.5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为. 故选C.7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以，故选B.8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.故选C.9. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，该四面体的体积为. 故选B．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A. -9，1B. -10，1C. -9，2D. -10，2【答案】A【解析】即为y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，.....................故选A.11. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，对一切，f(x)>0都成立，即，而，则实数a的取值范围为.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A. 10B. 13C. 15D. 20【答案】B【解析】如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52．则|AC|·|BD|=，当时，|AC|·|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四边形ABCD面积的最大值为13．故选B．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间为__________．【答案】(－∞，－1)【解析】试题分析：因为，所以当时，而，所以函数的单调递增区间为.考点：复合函数单调性14. 已知集合，，则集合中子集个数是__________．【答案】4【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离，所以直线与圆相交．集合有两个元素.故集合中子集个数为4.故答案为：4.15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．【答案】【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．故答案为：2.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．【答案】3【解析】由，得，作出y＝f(x)，的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3．故答案为：3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)A∪B＝{x|－2<x<3}，；(2)(－∞，－2]．【解析】试题分析：（1）求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可；（2）由A∩B＝A，得A⊆B，从而得，解不等式求解即可.试题解析：（1）由题得集合A＝{x|0＜＜1}={x|1＜＜3}当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．（2）由A∩B＝A，得A⊆B..解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．18. 已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.【解析】试题分析：（1）直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.试题解析：（1）证明：直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直线l恒过定点．（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率，所以直线l的斜率k l＝－．故直线l的方程为，即15x＋24y＋2＝0．19. 设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.【答案】(1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】试题分析：（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.试题解析：（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..综上所述：此函数的解析式.（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．20. 已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．【解析】试题分析：（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析：（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,线段AB的垂直平分线方程为，即，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，则，化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝．∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得k＝，∴直线l的方程为y＝（x－2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．21. 如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，．（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA 交PC于点M，连接BM．由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC．由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．因为与相似，，从而NC＝AC－AN＝．由MN∥PA，得＝＝．22. 已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.试题解析：（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．（2）由，得(3－4log3x)(3－log3x)>k，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，令，其对称轴为，所以当时，的最小值为，综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，由.因为,则有，解得，所以不存在实数，使得函数的最大值为0.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。

2017—2018学年上期期中联考高一数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数y =）A ]43,21[- B )43,21(- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃-2.已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f 作用下的象为（ ） A 18B 30C 272D 283.已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为A 2x ＋3B 3x ＋2C 3x －2D 2x －34.三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A b c a <<B c a b <<C c b a <<D a c b << 5.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为（ ）A 1B 4C 1或4D 14或46. 方程2log 20x x +-=在下列哪个区间必有实数解（ ）A （1，2）B （2，3）C （3，4）D （4，5）7.已知211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则2(6)(log 12)f f -+=（ ）A 3B 6C 10D 128.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A f (－1)＜f (9)＜f (13)B f (13)＜f (9)＜f (－1)C f (13)＜f (－1)＜f (9)D f (9)＜f (－1)＜f (13)9.设f(x)为定义在R 上的奇函数。