高中数学 考点9 变化率与导数、导数的计算(含高考试题)新人教A版

高考数学一轮复习定时检测 3.1变化率与导数、导数的计算（带详细解析） 理 新人教A 版第三编 导数及其应用§3.1 变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，得t 1＝1，t 2＝2. 答案 D2．(2009·临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 ( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3解析 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案 B3．(2009·潮州一模)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)， 整理得4x －y －3＝0. 答案 A4．(2010·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22.答案 D5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2. 答案 B6．(2009·安徽文，9)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是 ( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]解析 由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段 ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））= ；0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)解析 由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )＝－2x ＋4 (0≤x ≤2)．同理BC所在直线的方程为f (x )＝x －2 (2<x ≤6)． 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)，x －2 (2<x ≤6)，所以f (0)＝4，f (4)＝2..2)1()1()1(lim-='=∆-∆+→∆f xf x f x答案 2 －28．(2009·福建理，14)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 答案 (－∞，0)9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)． 答案 (－2,15) 三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k . (1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .11．(13分)(2010·绍兴月考)设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c . 解 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①y 1＝－x 21＋92x 1－4.②①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

第三章 导数及其应用第1节 变化率与导数、导数的计算课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y =c ，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =1x，y =x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f （ax +b ））的导数；6.会使用导数公式表。

【知识衍化体验】知识梳理1．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的 ，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即“当x 0∆→时，f x 0＋Δx －f x 0Δx →f ′(x 0)”.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x ).2．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f(x)上 的斜率k ，即k ＝ ；切线方程为 ．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f(t)，则f′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的 ．3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)；(2)(x n)′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ；(4)(cos x )′＝ ； (5)(a x)′＝ ；(6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ；(8)(ln x )′＝ . 4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ； 特别地：[C ·f (x )]′＝ (C 为常数)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝ (g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【微点提醒】1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，贰直线与二次曲线相切只有一个公共点．5.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．基础自测1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174 C.154 D.1342．设函数f (x )可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx 等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)3．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是 A ．e B ．－e C.1e D ．－1e【考点聚焦突破】考点一 导数的基本运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1-1】求下列函数的导数：(1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3) y ＝lnx x 2＋1.（4）y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 (5)y ＝12x －13.角度2 导数运算的应用【例1-2】已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x(2x －2)＋f (x )，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x (x ＋1)B ．f (x )＝e x (x －1)C ．f (x )＝e x (x ＋1)2D ．f (x )＝e x (x －1)2规律方法 1.连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．2.分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.3.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.4.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.5.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.6.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x .考点二导数的几何意义 角度1 求切点坐标与切线方程【例2-1】（1）(2015陕西，5分)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．（2）(2018全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．(3)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．角度2 求参数的值或范围【例2-2】（1）(2018全国Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．（2）对函数f(x)＝－e x－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)角度3 求公切线的方程【例2-3】 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．规律方法 1.求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意区分曲线在某点出的切线和曲线过某点的曲线。

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一、选择题1.函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0，+∞)B.(-∞ ，0)C.(-∞，0)和(0，+∞)D.R2.假定函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3，那么使得函数f(x+1)单调递减的一个充沛不用要条件为x∈()A.(0,1)B.[0,2]C.(1,3)D.(2,4)3.函数f(x)的导函数为f′(x)，假定(x+1)·f′(x)0，那么以下结论中正确的选项是()A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f (x)的极值点4.函数f(x)=4x+3sin x，x∈(-1,1)，假设f(1-a)+f(1-a2)0成立，那么实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(1，)C.(-2，-)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)5.假定函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是( )A.[1，+∞)B.[1，)C.[1,2)D.[，2)6.假定a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，那么ab的最大值等于() A.2 B.3C.6D.9。