八年级数学下册19.3《矩形、菱形、正方形》矩形的判定(第2课时)课件(新版)沪科版

第2课时 矩形的判定的应用
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
2. 矩形的判定的运用
第2课时 矩形的判定的运用
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第2课时 矩形的判定的应用
学 习 指 南 [教用专有]
★教学目标★ 会运用矩形的判定定理解决问题． ★情景问题引入★ 一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能 判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换 工具，你还有其他方法吗？
∴△BOE≌△COD，∴OE＝OD，∴四边形 BECD 是平行四边形．
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第2课时 矩形的判定的应用
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形 BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°. ∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC， ∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD， ∴OC＝OD.∵BO＝CO，OD＝OE， ∴DE＝BC.∵四边形 BECD 是平行四边形， ∴四边形 BECD 是矩形．
列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
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第2课时 矩形的判定的应用
2．四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的
是( C )
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180° D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°

5.如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点， 且AE=DF.求证：BE=CF.
【证明】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
AB=CD，∵AE=DF，∴OE=OF.
在△BOE与△COF中，
OB OC， BOE COF， OE OF，
∴△BOE≌△COF，∴BE=CF.
D.24
【解析】选A.因为△ABC的面积为 1 ×8×6=24．
2
又因为E，F是AC上的三等分点．
所以△BEF的面积为 1×24=8．
3
4.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BF∥DE.
若AD=12cm，AB=7cm，且AE∶EB=5∶2.则阴影部分EBFD的面积
为
cm2.
【解析】因为BF∥DE，AB∥CD，所以四边形BEDF是平行四 边形，又AB=7cm，AE∶EB=5∶2，得EB=2cm，所以阴影 部分面积为BE×ADபைடு நூலகம்2×12=24(cm2). 答案：24
(打“√”或“×”) (1)矩形的对角线相等且互相平分. ( √ ) (2)矩形的四个角都是直角. ( √ ) (3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. ( √ )
知识点 1 矩形的性质 【例1】(2013·宁夏中考)在矩形ABCD中，点E是BC上一点， AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 求证：DF=DC.
A.88mm C.80mm
B.96mm D.84mm
【解析】选B.如图，把主板转化为一个矩形后，还多余2个 4mm的边长，即主板的周长为2×(24+20)+4×2=96(mm).
3.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F是AC上的三等分点， 则△BEF的面积为( )

题组：矩形的判定
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需
要添加的条件是( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
【解析】选D.由条件知四边形ABCD是平行四边形，若
AC=BD，即对角线相等，故是矩形.
2.如图，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且AC=BD，则下列条 件能判定四边形ABCD是矩形的是( ) A.AB=BC B.AC，BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB∥CD 【解析】选B.若AC，BD互相平分，则四边形ABCD是平行四 边形，又AC=BD，故是矩形.
【证明】∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD.
∵在△BAE和△CAD中，
AE AD，
B
A
E
CAD，
AB AC ，
∴△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形. ∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180°， ∴∠BED=∠CDE=90°， ∴四边形BCDE是矩形.
2.若一个四边形有三个内角是直角. 【思考】(1)这个四边形的第四个角是什么角？ 提示：直角. (2)这个四边形的两组对角相等，它是什么四边形？ 提示：平行四边形. (3)这个四边形是矩形吗？理由是什么？ 提示：是.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【总结】矩形的判定： (1)定义法：有一个角是_直__角__的平行四边形是矩形. (2)定理1：有三个角是_直__角__的四边形是矩形. (3)定理2：对角线_相__等__的平行四边形是矩形.

随堂练习
p 136(1)(2)
1、下面说法中正确的是 （ D ）
A 有一个角是直角的四边形是矩形 B 两条对角线相等的四边形是矩形 C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D 四个角都是直角的四边形是矩形
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
生活中的数学
给你一根足够长的绳子，你能检查教 室的门窗或你的桌子是不是矩形吗？你 怎样检查？你现在能解释其中的道理吗?
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随堂练习 (1)已知：如图，在平行四边 形ABCD中，AC、BD 相交于点 O，△ AOB是等腰三角形。求： ∠BAD的度数
解：∵ △AOB是等腰三角形 ∴OA=OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OA,BD=2BO
A
∴AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝90°
B
D O
C
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随堂练习
3、能够判断一个四边形是矩形的条件是（A）
A 对角线相等

∴四边形CEDF是正方形 （ 有一组邻边相等的矩形是正方形 )
五、巩固练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的 是（ B ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ A）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
一个角是直角 菱形
正方形
∟
★正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平 行四边形叫正方形.
想一想？
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关 系?
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
边 ： 四边相等
角 ：四个角都是直角
相等 对角线：
互相垂直且平分 每条对角线平分一 组对角
华东师大版八年级下册 第19章 矩形、菱形与正方形
19.3.2 正方形判定
1
学习目标
1.探索正方形的性质,理解平行四边形、矩形、 菱形之间的联系和区别.(重、难点) 2.探索正方形的判定. (重、难点) 3.会运用正方形的性质及判定条件做有关的证 明和计算.(难点)
2
一、温故而知新
矩形 一组邻边相等 正方形
3.对角线相等且互相垂直平分
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
布置作业
作业: 课本121页 习题 第1、2、3题
16
B
C
（3 ）四个内角都相等，四条边也都相等的四 边形一定是：（ A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
四、例题讲解

几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=90° ∴四边形ABCD是矩形
02 思维延伸
【思考】能否改变平行四边形的其他元素，使 它变成矩形？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
02 证明猜想
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
已知：平行四边形ABCD中，对角线AC=BD， 求证：四边形ABCD是矩形.
02 归纳判定
矩形的判定2 对角线相等的平行四边形是矩形.
平行四边形 + 对角线相等
矩形
几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
02 活动探究
【思考】若题目中给出的是四边形的条件，而 不是平行四边形，如何证明矩形？
【探究】分别画出下列图形，小组交流，你发 现了什么？ 图1：画一个四边形，只有一个角是直角 图2：画一个四边形，只有两个角是直角 图3：画一个四边形，只有三个角是直角
03 练习巩固
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边 形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
03 练习巩固
【练习】如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC
和AD、CD分别相交于点B、D．求证：四边形ABCD是
矩形.
04 小结思考
一个角是直角的平行四边形是矩形
特殊的平行四边形 ——矩形的判定
01 复习引入
1、矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2、矩形的性质： （1）具有平行四边形的所有性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等
02 归纳判定
矩形的判定1（定义） 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
平行四边形 + 一个直角

类型之一 利用菱形的定义判定菱形 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC、∠ECA 是△ABC 的两
个外角，AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA.求证：四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
证明：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠FAC＝∠ACE＝120°. ∵AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA，
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第1课时 菱形的判定定理1
解： (1)如答图所示，EF 为所求直线； (2)四边形 BEDF 是菱形．理由：∵EF 垂直平分 BD， ∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF.又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
知 识 管 理 [学生用书P106]
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的__平__行__四___边__形___是菱形． 定理 1：四条边相等的__四___边__形___是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
归 类 探 究 [学生用书P106]
A∠EA＝＝C∠F，C，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
∠AED＝∠CFD，
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时 菱形的判定定理1
9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起(矩

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使得▱成为矩形．
2.如图，▱的对角线，相交于点，将△ 平移到
△ ．已知 = ， = ， = ，求证：四边形是矩形．
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ = = ， = = ， = = ．
由平移，得 = = ， = = ．
∴ = ， = ．
∴ 四边形是平行四边形．


∵ + =

,即 + = ，
∴ + = ． ∴ ∠ = ∘ ．
∴ 四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在▱中，对角线，相交于点，且
∠的平分线，则四边形一定是(
A.菱形
B.正方形
C.矩形
C )
D.不能确定
第5题图
6.如图，在△ 中，∠ = ∘ ，是的中
点，，分别是∠，∠的平分线．
（1）求∠的度数.
解：∵ ∠ = ∘ ，是的中点，
∴ = ．
∵ 是∠的平分线，
A.对角线互相平分
B.邻角互补
C.对角相等
D.对角线相等
3.如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，
杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的
夹角为∘ 时，∠的大小为( D )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
4.如图，矩形的周长为 ，与相交于
点，过点作的垂线，分别交，边于点
，，连接，则△ 的周长为(
A.
B.
C.
C )
D.
5.如图，矩形的对角线相交于点，过点的
直线交，于点，��，若 = ， = ，
6
则图中阴影部分的面积为___.
6.如图，在矩形中，是边上一点，

二.探究新知 （一）探究：菱形的判定1(四边相等的四边形是菱形)
已知：如图，四边形ABCD的边长，AB=BC=CD=AD
求证：四边形ABCD是菱形
A
证明： ∵AB=BC=CD=AD 即AB=DC,BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
BБайду номын сангаас
D
∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2
2
4
三.课堂小结
菱形的判定：间接判定
有一组邻边相等的平行四边形为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
直接判定
四条边相等的四边形为矩形
对角线互相垂直、平分的四边形为菱形（简答题不能直接使用）
解: ∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F
A
∴AE=DE ,AF=DF 即∠EAD= ∠EDA, ∠FAD =∠ FDA
又∵AD平分∠BAC
E
∴ ∠EAD= ∠FAD, ∠EDA =∠ FDA
F
∴△AED全等于△AFD(ASA)
∴AE=AF=DF=DE
B
D
C ∴四边形ABED为菱形（四条边相等的四边形为菱形）
∵AC+BD=q
O
∴ AO+DO=0.5q
C
A
∴ 有勾股定理得：（ AO DO）2 AO2 DO 2 2AO • DO AD2 2AO • DO p2 2AO • DO q2
4
4
即2 AO • DO q2 - p2
B
4
∴ S菱形 1 AC • BD 1 2AO 2DO 2AO • DO q2 - p2
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.2 菱形的判定