高一年级数学第二学期第一次阶段考试

新课标人教版高一年级数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC 中，AB AC ＝1，A ＝30°，则△ABC 的面积为（ ）2．设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为( )A 15B 37C 27D 643．已知△ABC 中，2=a ，3=b ，︒=60B ，那么角A 等于A 、︒135B 、︒90C 、︒45D 、︒304．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A ．90° B．120° C ．135° D．150°5．在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝( )A ．12B ．14C ．16D ．186．在ABC ∆中，已知A C B sin cos 2sin =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形7．在ABC ∆中，若21cos ,3==A a ，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A ．32B ．34C ．23D ．38．在ABC ∆中，ab c b a =-+222，则=C cos （ ）A ．21B ．22C ．21-D ．239．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 610．在ABC ∆中，00090,60,30===C B A ，那么三边之比a ∶b ∶c 等于（ ）A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2D ．2∶3∶111．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=•a a ，则=+++1032313log log log a a a( )A ．12B ．10C ．8D ．2+log3512．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（ ）A 、8项B 、7项C 、6项D 、5项二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，A ＝60˚，AC ＝4，BC ＝ABC 的面积等于__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和132++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 ．15．在△ABC 中，若10103cos =A ，C ＝150°，BC ＝1,则AB ＝______ 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n a n 2sin π=，则2014S 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）一个等比数列{}n a 中，14232812a a a a +=+=，，求这个数列的通项公式.18.(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cosBcosC －sinBsinC ＝12. (1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．19.（12分）等差数列{}n a 满足145=a ，207=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 证明数列{}n b 是等比数列.20.（12分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集N 7U x x =∈∣，集合{}{}2,3,4,2,4,5A B ==，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}0,1,6B ．{}1,6,7C ．{}0,1,6,7D ．{}0,1,3,5,6,7【答案】C【分析】写出{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，根据补集含义得出答案. 【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，{}()0,1,6,7UA B ⋃=.故选：C.2．800°是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】由800236080︒=⨯︒+︒可进行判断. 【详解】因为800236080︒=⨯︒+︒，所以800︒与80︒的终边相同，而80︒是第一象限的角， 所以800︒是第一象限的角， 故选：A.3．命题“N m ∃∈N ”的否定是（ ）A ．N m ∃∉NB ．N m ∃∈NC ．N m ∀∉ND ．N m ∀∈N【答案】D【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“N m ∃∈N ”为存在量词命题，其否定为：N m ∀∈N . 故选：D4．函数()ln 1f x x =-的零点是（ ） A ．1 B ．eC ．()e,0D ．4【答案】B【分析】根据零点的定义列式运算求解. 【详解】令()ln 10f x x =-=，解得e x =， 故函数()ln 1f x x =-的零点是e . 故选：B.5．函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】∵()()()()332cos 2cos e e e e x x x xx x x x f x f x -----==-=-++，∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误； 又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x x x ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.6．药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C （t ）（单位mg/ml ）随时间t (单位：小时)的变化规律可近似表示为()0etC t C λ-=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为31.210-⨯mg/ml ，2小时后测得血药浓度为-⨯30.810mg/ml ，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为-⨯30.410mg/ml 时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(lg 20.3010,lg30.4771≈≈)（ ）小时 A ．3.0 B ．3.5C ．3.7D ．4.2【答案】C【分析】先根据题意得到方程组，求出3ln 2λ=与30 1.810C -=⨯，进而得到关系式，再代入()30.410C t -=⨯，求出第二次注射与第一次注射的间隔时间t 约为多少【详解】由题意得：30230e 1.210e 0.810C C λλ----⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除，得：3ln 2λ=，把3ln 2λ=代入30e 1.210C λ--=⨯，解得：30 1.810C -=⨯，所以()3ln20.0018e t C t -=⋅，令()30.410C t -=⨯得：3ln 320.0018e 0.410t --⋅=⨯，解得：2ln 3ln 2ln 3ln 2t -=-，由换底公式得：2ln 3ln 22lg 3lg 2ln 3ln 2lg 3lg 2t --==--，所以2lg3lg 220.47710.3010 3.7lg3lg 20.47710.3010t -⨯-=≈≈--故选：C7．已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.21log 0.5log log 2a ==，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>， 所以a b c <<， 故选：A.8．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞【答案】B【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知2x ax μ=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；分别在a<0、0a =、01a <<和1a ≥的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.【详解】令2x ax μ=-，()2log f μμ=在()0,∞+上单调递增，()22log f x x ax =-在(]0,1上单调递增， 2x ax μ∴=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；①当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若(),0x a ∈，20x ax -<； ∴当(]0,1x ∈时，2x ax μ=-，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；②当0a =时，22x x μ==，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；③当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若()0,x a ∈，20x ax -<；当01a <<时，(]()22,0,,,1ax x x a x ax x a μ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则当,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ax x μ=-单调递减，不合题意；当1a ≥时，若(]0,1x ∈，则2ax x μ=-，则其对称轴为2ax =， ∴若2ax x μ=-在(]0,1上单调递增且0μ>，则12a≥，解得：2a ≥； 综上所述：实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. 故选：B.二、多选题9．已知集合()(){}20N ,2Z x A xx B x x x x -⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭∣∣，则下列表述正确的有（ ） A ．{}0,3,4A B ⋂= B ．{}1,2A =C ．A B ⊆D ．满足A C ⊆且C B ⊆的集合C 的个数为8【答案】BCD【分析】根据集合的定义确定集合,A B 中的元素，然后再判断各选项． 【详解】因为()(){}{}20021,2x A xx x x x x -⎧⎫=∈=<≤∈=⎨⎬⎩⎭N N ∣∣，(){}{}20,1,2,3,4B x x =∈=Z ，A C B ⊆⊆，所以C 中元素个数至少有1，2，至多为0,1,2,3,4，所以集合C 的个数等于{}0,3,4子集的个数，即328=． 故选：BCD ．10．已知函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则下列各选项正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．3x π=-是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在区间,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 向右平移23π个单位是一个奇函数.【答案】AC【分析】根据周期公式得到A 正确；代入验证知B 错误C 正确；根据平移法则得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2ππ2T ==，正确； 对选项B ：当3x π=-时，2π20π,Z 32x k k π+=≠+∈，错误； 对选项C ：当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2π2π2,323x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，正确；对选项D ：()f x 向右平移23π得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误.故选：AC11．已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD【分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【详解】由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确；故选：AD12．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()0f x m -=的根，下列说法正确的有（ ） A ．当0m =时，方程有4个不等实根 B ．当01m <<时，方程有6个不等实根 C ．当1m =时，方程有4个不等实根D ．当1m >时，方程有6个不等实根 【答案】BC【分析】结合函数奇偶性以及0x ≥时解析式，作出函数图象，将关于x 的方程()0f x m -=的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.【详解】由题意函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如图示：则关于x 的方程()0f x m -=的根，即转化为函数()f x 的图象与直线y m =的交点问题， 当0m =时，即0y =与()f x 的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A 错误； 当01m <<时，y m =与()f x 的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B 正确； 当1m =时，1y =与()f x 的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C 正确；当1m >时，y m =与()f x 的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D 错误； 故选：BC.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.三、填空题13．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______． 【答案】2【分析】先求得m 的值，然后求得12x =时的函数值.【详解】由于函数25(3)m y m x -=-是幂函数， 所以31,2m m -==，则1y x -=， 所以当12x =时，2y =. 故答案为：214．已知函数()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩，若()4f x =，则x =________【答案】2【分析】分两种情况，当1x ≤-时和当1x >-时，解方程即可. 【详解】当1x ≤-时，()214f x x =-=，可得52x =，不成立， 当1x >-时，()24f x x ==，可得2x =或2x =-（舍去），所以2x =. 故答案为：2.15．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1a ≤【分析】当0x <时，由2210ax x ++=，可得212a x x=--，令10t x =<，()22f t t t =--，求出函数()f t 在(),0∞-上的值域，即为实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，由2210ax x ++=，可得222112x a x x x+=-=--， 令10t x=<，()()(]22211,1f t t t t =--=-++∈-∞，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0，1]【解析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123aa -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.四、解答题17．已知集合(){}2lg 65A x y x x ==-+-，{1B x x =≤或}2x ≥，{}()12C x m x m m =-≤≤∈R .(1)若A C A ⋃=，求m 的取值范围；(2)若“x B ∈R ”是“x C ∈”的充分条件，求m 的取值范围. 【答案】(1)()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)[]1,2【分析】（1）求出集合A ，分析可知C A ⊆，分C =∅、C ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围； （2）由题意可知B C ⊆R，求出集合B R ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：因为(){}{}{}{}222lg 6565065015A x y x x x x x x x x x x ==-+-=-+->=-+<=<<， 因为A C A ⋃=，则C A ⊆.①当12m m ->时，即当1m <-时，C A =∅⊆，合乎题意； ②当12m m -≤时，即当1m ≥-时，C ≠∅，要使得C A ⊆，则1125m m ->⎧⎨<⎩，解得522m <<，此时522m <<.综上所述，实数m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）解：由题意可知B C ⊆R ，且{}12B x x =<<R ，所以1122m m -≤⎧⎨≥⎩，解得12m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]1,2. 18．已知()3tan 4απ+=. （1）若α为第三象限角，求sin α. （2）求cos 4sin 2sin 2παπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3sin 5α=-（2）【解析】（1）根据诱导公式,先求得tan α,结合同角三角函数关系式即可求得sin α. （2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可. 【详解】（1）()3tan tan 4απα+== ∴sin 3tan cos 4ααα==,即3sin cos 4αα=联立223sin cos 4sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为第三象限角 ∴3sin 5α=-（2）)cos cos sin 42sin cos 2sin 22sin cos παααπααααα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭-=- ⎪⎝⎭==31434-==.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．某片森林原来面积为a ，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p %，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018. （1）求每年砍伐的森林面积的百分比p %； （2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年. 【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比%p ，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，结合指数型函数得到方程，即可求解每年砍伐的森林面积的百分比p %．（2）结合（1）的结论，构造关于m 的方程，解得．【详解】（1）由题意可得，()1011%2a p a -=，解得1101%12p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴每年砍伐的森林面积的百分比%p 为110112⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设经过m年森林剩余面积为原来面积的2，则()1%m a p ⋅-=，()1211%22m p ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 由（1）可得，11011%2p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即11021122m ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m ∴=，解得5m =，故到2018年年末，该森林已砍伐了5年．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，指数式与对数式的互化，其中关键是建立数学模型，属于中档题．21．已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)若a<0，求()f x 的最小值()g a ；(2)若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围． 【答案】(1)()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩； (2)910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）化简得出()22cos 21024a a f x x a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，令cos t x =，则[]0,1t ∈，可得出()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭，分012a <-<、12a -≥两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得()g a 的表达式；（2）分析可知关于x 的方程2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令[]3cos 2,3p x =-∈，可得出16a p p =--，利用函数的单调性求出函数()16H p p p=--在[]2,3的值域，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()2222cos sin 29cos cos 210cos 21024a a f x a x x a x a x a x a ⎛⎫=---=+--=+--- ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令cos t x =，则[]0,1t ∈． 则()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭． 又因为a<0，所以>02a -． 当012a <-<，即20a -<<时，则()h t 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()221024a a g a h a ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭； 当12a -≥，即2a ≤-时，()h t 在[]0,1上单调递减， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()()19g a h a ==--．综上所述，()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩. （2）解：因为关于x 的方程()f x a =在[0,]2π上有解， 即关于x 的方程2cos cos 1030x a x a +--=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 所以2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令[]3cos 2,3p x =-∈， 则()231016p a p p p--==--， 因为函数()16H p p p =--在[]2,3上单调递增，则()910,23H p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 故a 的取值范围是910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 22．对于函数()f x ，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则称()f x 为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断()|cos |f x x =是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若2()log (sin )1f x x m =++是定义在区间[,]33ππ-上的“伪奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）试讨论22()4243x x f x m m +=-+-在R 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（21m <≤；（3）答案见解析. 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解，结合三角函数的性质即可求解； （3）由题意可知，2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解， 再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ()0()22f f ππ-==， ()()022f f ππ∴-+=． ()|cos |f x x ∴=是“伪奇函数”． （2）()f x 为“伪奇函数”，()()0f x f x ∴+-=，即22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解．sin [x ∈， 2211sin [,1]44m x ∴=+∈． 又sin 0m x +>在[,]33ππ-恒成立，max (sin )m x ∴>-=1m <≤． （3）当22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”时， 则()()f x f x -=-在R 上有解，可化为2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即可保证()f x 为“伪奇函数”，令22()488F t t mt m =-+-，则①当(2)0F ≤时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即22210m m --≤，m ≤ ②当(2)0F >时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩2m <，m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”，否则不是．。

2021-2022学年吉林省四平市高一下学期期初验收考试数学试题一、单选题1．已知集合， ，则=（ ）{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<A B ⋃A ．B ．{}|13x x <≤{}|04x x ≤<C ．D ．{}|13x x ≤≤{}|04x x <<【答案】B【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由， ，{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<则=.A B ⋃{}|04x x ≤<故选：B2．是的2x >220x x ->A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．220x x ->【详解】由解得：或，，220x x ->0x <2x >{}{}202x x x x x ⊂>≠ 或因此，是的充分不必要条件，故选A ．2x >220x x ->【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；A B x A ∈x B ∈（2），则“”是“”的必要不充分条件；A Bx A ∈x B ∈（3），则“”是“”的充要条件．A B =x A ∈x B ∈3．已知函数则（ ）()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()2f f -=A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数，即可求出结果.()2f -【详解】因为，()21224f --==所以.()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭故选：D.4．函数的零点所在区间是（ ）()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定()f x 理判断零点所在区间.【详解】由递增，递增，则递增，又递增，2y x =-1()2xy =-21()2x y -=-y =∴在定义域上递增，()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭又，，()1111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭()210f =>∴零点所在区间是.()1,2故选：B.5．设，，，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ）2log 0.5a =0.5log 0.2b =122c =A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<b a c<<b<c<a【答案】B【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由，120.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2c a b =<=<==<=<<∴.a c b <<故选：B.6．函数的部分图象可能是（ ）()e e sin x x y x-=-A ．B ．C．D．【答案】B【分析】根据函数解析式，由奇偶性定义判断函数的对称性，再由上的函数值符号确定可()0,πx ∈能图象.【详解】令，则且定义()y f x =()()1()e e sin()(e )sin (e e )sin ()e x x x x x xf x x x x f x -----=--=--=-=域为R ，易知：该函数是偶函数，排除A ，C ；当时，，排除D.()0,πx ∈()0f x >故选：B ．7．2021年，我国先后发射天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据）3.14π≈A ．471.70B ．450.67C ．235.85D ．225.33【答案】A【分析】由题设以千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.(388.66371.4)+【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为千米.()2388.66371.426760 3.14471.709090π⨯+⨯⨯≈=故选：A.8．已知则（ ）412cos ,cos ,,0,,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos()αβ+=A ．B ．C ．D ．1665336556656365【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭式展开代入即可求出cos （α+β）．【详解】∵412cos ,cos ,,0,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴(,),(,0)66366πππππαβ+∈-∈-∴，sin 0sin 066ππαβ⎛⎫⎛⎫+>-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，35sin sin 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+==-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()cos cos 66ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．4123563cos cos sin sin ()666651351365ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，则B ．若且，则a b >c d <a c b d ->-0ab >a b >11a b<C ．若，，则D ．若，则0a b >>0c d <<ac bd <0a b <<22a ab b<<【答案】ABC【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，且，则，真命题；a b >c d ->-a c b d ->-B ：由且，则，真命题；0ab >a b >110b aa b ab --=<C ：由，，则，即，真命题；0a b >>0c d ->->ac bd ->-ac bd <D ：由，则，假命题.0a b ->->22a ab b >>故选：ABC.10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的定义域为()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．函数的最小正周期为()f x 4T =C ．函数的单调递增区间为，()f x 12π,2π33k k 5⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k ∈Z D ．函数的对称中心为，()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 【答案】AD【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A ；由三角函数的周期公式可判断B ；由正切函数的单调区间可判断C ；由正切函数的对称中心可判断D.【详解】由得，πππ232π+≠+x k ()12,3≠+∈x k k Z 所以函数的定义域为，故A 正确；()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 函数的最小正周期为，故B 错误；()f x 22T ππ==由得，ππ2232ππππ-+<+<+k x k ()512233-+<<+∈k x k k Z 函数的单调递增区间为，故C 错误；()f x 12,2335⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k k k ∈Z 由得,πππ232+=x k ()23=-∈x k k Z 所以函数的对称中心为，故D 正确.()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 故选：AD.11．已知，且满足，，则下列说法正确的是（ ）()0,θπ∈12sin cos 25θθ⋅=-sin cos θθ>A ．B ．C ．D ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4tan 3θ=-4tan 3θ=1sin cos 5θθ+=【答案】ABD【分析】由于，且满足，可得，再结合，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1θθ+=可求出的值，进而可求出的值sin ,cos θθtan θ【详解】因为，且满足，可得，所以A 正确，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，22sin cos 1θθ+=所以，22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-=，222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+=所以，，()21sin cos 25θθ+=()249sin cos 25θθ-=因为，，sin cos θθ>sin 0,cos 0θθ><所以，，所以D 正确，1sin cos 5θθ+=7sin cos 5θθ-=所以解得，43sin ,cos 55θθ==-所以，所以B 正确，C 错误，sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD 12．函数的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，，设函数[]y x =[]1.11=[]2.32=则下列说法正确的是（ ）()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩A ．函数的值域为()f x (],0-∞B ．若，则0x ≥()0f x ⎡⎤=⎣⎦C ．方程有无数个实数根()1f x =D ．若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是()f x x a=-+[)0,∞+【答案】BD【分析】由题意可知，当时，，所以，作出函数[),1,x n n n N∈+∈[]x n =()[]f x x x x n =-=-和的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数()f x 1y =和函数的图象，由图象即可判断D 是否正确.()y f x =y x a =-+【详解】当时，，所以；[)0,1x ∈[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，所以；[)1,2x ∈[]1x =()[]1f x x x x =-=-当时，，所以；[)2,3x ∈[]2x =()[]2f x x x x =-=-当时，，所以；[)3,4x ∈[]3x =()[]3f x x x x =-=-……当时，，所以；[),1,x n n n ∈+∈N[]x n =()[]f x x x x n =-=-作出函数的图形，如下图所示：()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩由图像可知，函数的值域为，故A 错误；()f x (),1∞-由图像可知，若，则，所以，故B 正确；0x ≥()[)0,1f x ∈()0f x ⎡⎤=⎣⎦由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C 错误；()f x 1y =()1f x =在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：()y f x =y x a =-+由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是，故D 正()f x x a=-+[)0,+∞确.故选：BD.三、填空题13．命题“，”的否定是___________.R x ∃∈210x x -+>【答案】，R x ∀∈210x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式.【详解】由特称命题的否定为全称命题，∴原命题的否定为：“，”.R x ∀∈210x x -+≤故答案为：，.R x ∀∈210x x -+≤14．在平面直角坐标系中，已知角的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点，则xOy θ()1,2P -___________.sin θ=【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求值.sin θ【详解】由题设，sin θ==.15．已知是奇函数，当时，，则___________.()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈()8f -=【答案】256-【分析】先由奇函数的性质求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果(0)0f =m 【详解】因为是奇函数，当时，，()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈所以，得，83(0)00f m =+=0m =所以，，()83f x x=0x ≥因为是奇函数()y f x =所以，()8838(8)82256f f -=-=-=-=-故答案为：256-16．已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上单调递()kf x x x =+0k >()f x (减，在区间上单调递增，若函数的值域为，则实数a 的取值范围∞+）()11a y x x x -=+≥[),a +∞是___________.【答案】(,2]-∞【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当的大小关系，结合1a ≤1a >的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.()kf x x x =+[1,)+∞【详解】1、当时，在上递增，故，满足题设；10a -≤1a y x x -=+[1,)+∞1|x y a ==2、当，即，10a ->1a >，即时，函数在上递减，在上递增，故，1≥2a ≥)+∞|x y a=可得；2a =，即时，函数在上递增，故，满足题设；1<12a <<[1,)+∞1|x y a ==综上，.(,2]a ∈-∞故答案为：.(,2]-∞【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据的性质，结合目标函数的解析式及值域()kf x x x =+研究单调性及最值，即可求参数范围.四、解答题17．已知全集为R ，集合，或.{}12A x x =≤≤{B x x m =<}21,0x m m >+>(1)当时，求；2m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.R A B ⊆ m 【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；2m =B （2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.R B R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩【详解】（1）解：当时，或，2m ={2B x x =<}5x >又，所以；{}12A x x =≤≤{}12A B x x ⋂=≤<（2）因为或，所以，{B x x m=<}21,0x m m >+>{}R 21B x m x m =≤≤+又，所以，解得，即.R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩112m ≤≤1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以实数m 的取值范围.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知.()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值.133f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)；()cos αα=f (2).59【分析】（1）利用诱导公式化简即可.()f α（2）由题设有，又、，再由诱导公式、同角1cos()33πα-=()326πππαα-=-+2()33ππαπα+=--三角函数的平方关系求目标式的值.【详解】（1）.()()()()()sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）由，1cos()333f ππαα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭又，1cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=-⎪⎝⎭π1cos 33α⎛⎫∴-=⎪⎝⎭∴.2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．已知函数（且）．()221f x ax x a =-+-a R ∈0a ≠(1)若函数在区间内为单调函数，求实数的取值范围；()f x []0,1a(2)若，解关于的不等式．0a >x ()()1f x a a x>+【答案】(1)或a<0102a <≤(2)()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用二次函数的单调性可得出或，解之即可；102a <112a ≥（2）将所求不等式变形为，比较与的大小关系，利用二次不等式的解()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1a a +1法解原不等式即可.【详解】（1）解：由题设，二次函数的对称轴为且，()f x 12x a =0a ≠所以要使在内为单调函数，则或，解得或．()f x []0,1102a <112a ≥a<0102a <≤因此，实数的取值范围是.a ()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦（2）解：由题设，，()()2221f x ax x a a a x=-++>+所以，()()22211110ax a a x a a x a x a ⎛⎫-++++=---> ⎪⎝⎭由，则，当且仅当时等号成立，所以．0a >12a a +≥=1a =11a a +>解可得或，()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1x <1x a a >+故原不等式的解集为.()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭ 20．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式及其对称轴方程；()f x (2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围和这两个根的1111212x ππ<<()2f x m =m 和．【答案】(1)，的对称轴方程为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 1,26x k k Z ππ=+∈(2)的取值范围为： ；当时，两根和为； 时，m 10m -<<1m <<10m -<<43π1m <<两根和为3π【分析】（1）由最值点可得，由可得，由可得；令2A =()01f =6πϕ=2332ππωϕ⨯+=2ω=，可得对称轴方程.2,62x k k Zπππ+=+∈（2）在同一坐标系中画出和的图象，由图可知，当或2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y 2m =220m -<<时，直线与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.结合三角函22m <<y 2m =数的对称性，分两种情况讨论即可得结果.【详解】（1）显然，又图象过点，即2A =()0,1()01f =所以又，所以 1sin ,2ϕ=2πϕ<6πϕ=由图象结合“五点法”可知，对应函数图象的点，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即得＝22332ππωϕ⨯+=23326πππω⨯=-ω所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2,62x k k Z πππ+=+∈1,26x k k Zππ=+∈所以的对称轴方程为()f x 1,26x k k Z ππ=+∈（2）如图所示，在同一坐标系中画出和（）的图象，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y m =m R ∈由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点，220m -<<22m <<2y m =即原方程有两个不同的实数根.，则的取值范围为：m 10m -<<1m <<当时，两根和为; 时，两根和为10m -<<43π1m <3π21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，2m k 2m 2m 该水生植物的面积y （单位：）与时间x （单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同2m 学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2021年元旦()0,1xy ka k a =>>()130,0y px k p k =+>>最初测量时间x 的值为0.(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)同学甲提出的函数模型更适合，解析式为，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)6【分析】（1）由于三月份面积增量快是二月份的2倍，所以选择，然后利用待()0,1x y ka k a =>>定系数法求解即可，（2）假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则由题意得x ，化简后两边取常用对数可求得结果21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适，()0,1x y ka k a =>>由题意得，解得，232440kaka ⎧=⎨=⎩5321625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为，216521625315⨯=假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即x ，21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭所以，55033x⎛⎫≥⎪⎝⎭所以，55lg 1lg33x ≥+因为，所以，5lg 03>1111 5.551lg 2lg 3lg 3x ≥+=+≈--所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上22．已知函数为偶函数.()()()3log 31R x f x kx k =++∈(1)求实数k 的值；(2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围.()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈【答案】(1)；12k =-(2).{3(0,)--⋃+∞【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得，有且仅有一个实数根，讨论、，结(31)0xa ->23(1)310x x a a ⋅-+-=0a >a<0合指数函数、二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，，即，()()f x f x -=33log (31)log (31)x xkx kx --++=++∴，可得，则.32log 3xkx x -==-21k =-12k =-（2）由题设，，则，()33log (31)log 322x x x xa a -++=+⋅-33log (31)log (31)x xx a +=+-∴，且，整理得，(31)0xa ->2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-23(1)310x x a a ⋅-+-=令，则有且仅有一个零点，，，3xt =2()(1)1g t at a t =-+-(0)10g =-<(1)20g =-<当时，， 此时，且开口向上，0a >0x >(1,)t ∈+∞()g t ∴在上有且仅有一个零点；()g t (1,)+∞当时，，此时，且开口向下且对称轴，a<00x <(0,1)t ∈()g t 11(1)2x a =+∴，即时，仅当，可得符合条件；1012a <+<1a <-22(1)4610a a a a ∆=++=++=3a =--，即时，在上无零点.110a +<10a -<<()g t (0,1)综上，.{3(0,)a ∈--⋃+∞【点睛】关键点点睛：第二问，注意，讨论、对应定义域区间不同，另外结(31)0xa ->0a >a<0合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。

高一年级数学第二学期第一次阶段考试数 学 试 题（时刻：120分钟 满分: 160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直截了当填在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1.一条直线的倾斜角为π61，则该直线的斜率为 ▲ 。

2．空间两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系为 ▲ 。

3．下列推理正确的是 ▲ 。

（填上所有．．正确说法的代号） ①ααα∈⇒⎭⎬⎫∈∈PQ Q P ； ②PQ Q P =⇒⎭⎬⎫∈∈βαβα ；③αα⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈∈⊂CD AB D AB C AB ； ④⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαβαβα B A AB AB 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1和平面CD B A 11所成的角为 ▲ 。

5．长方体1111D C B A ABCD -中，︒=∠=∠301BAC BAB ,则异面直线1AA 与C B 1所成的角为 ▲ 。

6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，5=BC ,P 是平面ABC 外一点，10===PC PB PA ，则点P 到平面ABC 的距离为 ▲ 。

7．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则那个正三棱柱的体积为 ▲ 。

_ 俯视图 _ 左视图 _ 主视图︒120AB CD 8.如图，在ABC ∆中，23,2==BC AB ,︒=∠120ABC ,若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积 是 ▲ 。

9．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，E 为1AA 的中点，则三棱锥11EBD A -的体积为 ▲ 。

10．下列命题说法正确的是 ▲ 。

（填上所有．．正确说法的代号） ①若直线l 与平面α不垂直，则直线l 不可能垂直于平面α内的许多条直线；②两个平面垂直，过其中一个平面内的一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；③两组对边分别相等的四边形为平行四边形；④若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α至多有一个公共点；⑤过平面外一点作与该平面成︒30角的直线必有许多多条。

智才艺州攀枝花市创界学校高一年级第二学期第一次段考数学试题第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．〕1x +12cos x =sin(x +φ)，那么φ的一个可能值为〔〕Ａ、6π-Ｂ、3π-Ｃ、6πＤ、3π2、27tan 33tan 327tan 33tan ++的结果为〔〕33-3、将一个棱长为a 的正方体切成8个全等的小正方体，外表积增加了 〔〕A 、24aB 、26aC 、28aD 、212a4、△ABC 三内角满足c B a =cos 2，那么△ABC 的形状为〔〕A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形 5、两等角的一组对应边平行，那么〔〕A 、另一组对应边一定平行B 、另一组对应边一定不平行C 、另一组对应边不可能垂直D 、以上都不对6、三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是1，1，2，那么三棱锥的体积是()A 、31 B 、32 C 、34 D 、27、41)6cos(=-πx ，那么=-+)3cos(cos πx x 〔〕Ａ、43Ｂ、43-Ｃ、41Ｄ、43±8、高与底面的直径之比为1：2的圆柱内接于球，且圆柱体积为64π，那么球的体积〔〕A 、380πB 、35160πC 、π80D 、π51609、在△ABC 中，54sin ,135cos ==B A ，那么cosC 的值是〔〕 Ａ、6533Ｂ、6563Ｃ、6533或者6563Ｄ、6533-10、用假设干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如下列图的图形，那么这个几何体的最大体积与最小体积的差是〔〕. A 、5B 、6 C 、7D 、8第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题(本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分，把答案填在题中的横线上) 11、在ABC ∆中，假设3=b ， 45=C ， 60=B ，那么=a12、假设tan α=31,那么αα2cos 2sin +的值是 13、圆锥的高为1,底面半径为3,过圆锥两条母线所作的截面面积最大值_____14、假设满足60=∠ABC ，6=AC 的△ABC 恰有一个，那么BC 的取值集合15．某几何体的三视图如下列图，那么它的体积是 三、解答题(本大题一一共6小题，16-18题每一小题12分，19-21每一小题13分，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)16、函数f (x )＝2cos22x＋sin x -1. 〔Ⅰ)求f (x )的单调递增区间； 〔Ⅱ〕当x∈[0,π]时，求f (x )的值域。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高一第二学期第一次阶段考试数学试卷说明:本套试卷分Ⅰ卷、Ⅱ卷两局部,一共6页.时间是:120分钟,总分值是:150分选择题答案涂在机读卡上,交卷时将答题卡、第二卷一起交回.第一卷一.选择题〔此题一共12小题,每一小题5分，一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.〕{}n a 满足12a =，110n n a a --+=，(n ∈N*且n 2≥)，那么此数列的通项n a 等于( )A ．21n +B ．1n +C ．1n -D ．3n -2．在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设bB a A cos sin =，那么B 的值是 〔〕A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90 3．等比数列{}n a 的公比13q =-,那么13572468a a a a a a a a ++++++等于()A ．13-B ．3-C ．13D ．3 4．数列1⋯,1617,815,413,21的前n 项和为〔〕 A ．2112n n -+ B.211122n n +-+ C.2112n n n --+ D.21122n n n --+ 差数列{}n a 中，1251,4,333n a a a a =+==，那么n 为〔〕 A ．48B ．49 C ．50D ．516.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 4＝18－a 5，那么S 8等于()A ．18B ．36C ．54D ．72 7．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,那么这个三角形是〔〕A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对8.在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，那么cos C 的值是〔 〕A ．23B ．－23C ．14D ．－149.在ABC ∆中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是〔〕A ．10=b， 45=A ， 70C =B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80A =D ．14=a ，16=b ， 45=A3tan α=，那么22sin cos αα的值等于() A ．2B ．3 C ．4D ．611．等比数列前三项积为2，后三项积为4，且所有项的积为64，那么该数列有()A ．13项B.12项C.11项D.10项12．数列{}n a 满足),14(n a 3a n 1n ≥=++且则,S 项之和为n 其前9,a n 1=满足不等式12516n S n <--的最小正整数n 是〔〕 A ．6B ．7 C ．8D ．9二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把最简答案填在答题纸上〕 13.111cos ,cos(),714ααβ=+=-且,(0,),2παβ∈那么β=． 1等比数列{}n a 中，696,9a a ==，那么3a =_________.15.在锐角三角形中，假设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设b a 则2A,B =的取值范围是 _.1{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，那么n a =.二零二零—二零二壹高一第二学期第一次阶段考试数学试卷答题纸第二卷13．.14．.15．.16．.三、解答题〔本大题一一共６小题，一共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题总分值是10分〕{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．.)1433sin22,1435sin38：0.52210B 338A 1218.(0000==（参考数据小时能截住该走私船？多大速度行驶，恰好用何方向以方向行驶，问缉私艇朝小时的速度向岛北偏西海里的一艘走私船正以处处有一艘缉私艇。

2022-2023学年高一年级第二学期开学考试数学试卷满分：100分，考试时间：60分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“，”的否定是（ ）(1,)∃∈+∞x 2e1xx ≥+A.B.2(1,),e 1xx x ∀∈+∞<+2(1,),e 1xx x ∀∉+∞<+C. D. 2(1,),e 1xx x ∃∈+∞<+2(1,),e1xx x ∃∉+∞≥+【答案】A 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】命题“，”为存在量词命题，(1,)∃∈+∞x 2e1xx ≥+它的否定是：“”，2(1,),e 1xx x ∀∈+∞<+故选：A2. 已知为实数，，，若，则的取值范围为（ ）a {}|14A x x =<<{}|0B x x a =-≥A B B ⋃=a A.B.C.D.(],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】由给定条件可得，再借助集合的包含关系即可列式计算作答.A B ⊆【详解】依题意，，因，则，又，于是得，{}|B x x a =≥A B B ⋃=A B ⊆{}|14A x x =<<1a ≤所以的取值范围为.a (],1-∞故选：A3. 若点在直线上，则的最小值为（ ）(1,1)1(0,0)bx ay a b +=>>11a b +A .2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】将点代入直线方程可得，则，化简后利用基本不等式(1,1)1a b +=1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()可求得结果【详解】因为点在直线上，(1,1)1(0,0)bx ay a b +=>>所以，1a b +=所以，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号，a b b a =12a b ==所以的最小值为4，11ab +故选：C4. 不等式的解集是（ ）(1)(21)0x x --<A.B.或{}|12x x <<{|1x x <}2x >C.或 D. 1{|2x x <1}x >112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】方程的解为，(1)(21)0x x --=121,12x x ==所以不等式的解集是.(1)(21)0x x --<112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：D.5. 设，，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）:23p x <<:q x a >A.B.C.D.[)2,∞+(],2-∞(],3-∞[)3,∞+【答案】B 【解析】【分析】由p 是q 的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数a 的取值范围.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以 ，所以，即实数a 的取值范{}23x x <<{}x x a >2a ≤围是.(],2-∞故选：B .6. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是单调递增的是（）A.B.1||y x =2y x x =+C. D.||e x y=)=+y x 【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性结合偶函数的定义和性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，当时，，此时在上为减函数，故A 错误.0x >1y x =1y x =()0,+∞对于B ，设，因为，故，()2f x x x=+()()10,12f f -==()()11f f -≠故不是偶函数，故B 错误.2y x x =+对于C ，设，此函数的定义域为，且，()||e x g x =R ()()||||e e x x g x g x --===故为偶函数，()g x 而时，，此时在上为增函数，故C 满足.0x >()e xg x =()e xg x =()0,+∞对于D ，设，())h xx =+因为，且，()()11)0,11)0h h =+≠-=≠()()11h h ≠-故不是偶函数，)=+yx 故选：C .7. 计算（ ）25log 25log ⋅=A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解【详解】3222525253log 25log log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题8. 已知关于x 的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）421()33x x--≥A. B. [4,)-+∞(4,)-+∞C. D. (,4)-∞-(4,1]-【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案.【详解】不等式即，421()33x x--≥4233x x--≥由于在上单调递增，所以，3xy =R 42,4x x x -≥-≥-所以不等式的解集为.[4,)-+∞故选：A二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 设函数，若，则实数可以为（ ）()1,2,xx x af x x a -≤⎧=⎨>⎩()()120f f =a A. B. C. D. 1-012【答案】AB 【解析】【分析】分、、三种情况讨论，验证是否成立，综合可得出实数的取a<001a ≤<1a ≥()()120f f =a 值范围，即可得出合适的选项.【详解】若，则，，成立；a<0()01f =()12f =()()120f f =若，则，，成立；01a ≤<()01f =()12f =()()120f f =若，则，，不成立.1a ≥()01f =()10f =()()120f f =综上所述，实数的取值范围是.a (),1∞-故选：AB.10. 若，则下列不等式中正确的是（ ）110a b <<A. B.C. D.a b ab +<a b<a b<2b aa b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式基本性质得到，则可判断B,C 选项，而则可判断A 选项，0b a <<0,0a b ab +<>根据基本不等式及其成立的条件则可判断D 选项.【详解】，所以C 错误；1100b a a b <<⇔<<，所以A 正确；0,0,a b ab a b ab +<>∴+< 可知成立，B 正确；||||a b <∴可知，，D 正确.0,0,>>≠b a b aa b a b 2b a a b ∴+>=∴故选：ABD.三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．11. 设函数f (x )＝，则f (f （1）)＝___________．212,02,0x x x x x -≤⎧⎨+->⎩【答案】1【解析】【分析】先求再求.()1f ()()1f f 【详解】()()()()21120,1012011f f f f +-=∴==-⨯== 故答案为：112. 若，，则函数的图象恒过定点________；当时，函数0a >1a ≠()()23log 1a f x x =++1a >的单调递减区间是________．()f x 【答案】 ①.②.()0,3(),0∞-【解析】【分析】(1)令中真数求解即可.()()23log 1a f x x =++211x +=(2)利用同增异减的关系,的单调递减区间与的单调递减区间相同即可.()f x 21x +【详解】(1)令又,又,故图象恒过定点211x +=0x =()()203log 013a f =++=()0,3(2) 当时为增函数,故的单调递减区间与的单调递减区间相同,1a >log a x ()()23log 1a f x x =++21x +为(),0∞-故答案为(1)(2).()0,3(),0∞-【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.四、解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 已知函数．()122f x x x =+（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；()f x 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围．10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()2f x m ≥-m 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0m ≥【解析】【分析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.12102x x ≤<<()()12,f x f x （2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围．()min 2f x m≥-m 【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，()122f x x x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12102x x ≤<<()()()12121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭()()12121212121=2222x x x x x x x x x x ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭()121212412x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∵，12102x x ≤<<∴，，，120x x -<12410x x -<1220x x >∴，()()120f x f x ->∴在区间上单调递减；()122f x x x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由（2）可知在上单调减函数，()f x 10,2⎛⎤⎥⎝⎦∴当时，取得最小值，即，12x =()f x ()min 122f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭对任意时，都成立，只需成立，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()2f x m ≥-()min 2f x m ≥-∴，解得：．22≥-m 0m ≥14. 已知函数，其中且.()log (3)a f x x =-0a >1a ≠（1）求函数的定义域；()f x （2）求函数的零点；()f x （3）比较与的大小.(1)f -(1)f 【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析(,3)-∞【解析】【分析】（1）由真数大于0求解即可；（2）由，可得函数的零点；log 10a =()f x （3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.a 【详解】（1）由，得，30x ->3x <所以函数的定义域为；()f x (,3)-∞（2）令，即，()0f x =log (3)0a x -=则，所以，31x -=2x =所以函数的零点为2；()f x （3），(1)log (3(1))log 4a a f -=--=，(1)log (31)log 2a a f =-=当时，函数是增函数，所以，即1a >log ay x =log 4log 2a a >(1)(1)f f ->当时，函数是减函数，所以，即01a <<log a y x =log 4log 2a a <(1)(1)f f -<【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.。

2022—2023学年高一年级（数学）科试卷下学期阶段验收考试第Ⅰ卷（选择题）单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）1sin 3α=()sin πα-=A ．B ．C ．D 13-132．已知，，且，则实数x 的值为（ ）()1,2a = (),3b x = a b ⊥A ．-6B ．C ．D ．632-323．给出下列命题：①零向量与任何向量平行；②对于任意向量、，有恒成立；a ba b a b -≥- ③设非零向量、、，有成立；abc()()a b c a b c ⋅=⋅④向量的充要条件是存在唯一实数λ，使得．a b ∥ a b λ=其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设向量满足，且 ）a b ⋅1a b == 3b a -= A ．B ．向量和方夹角为60°2a b += 2a bC ．D ．()1a b b -⋅= ()()a b a b+⊥- 5．2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall 购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m ，圆心O 距地面的高度约为60m ，摩天轮逆时针匀速转动，每15min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，已知在时刻t （min ）时P 距离地面的高度，()()()sin 0,f t A t h ωϕωϕπ=++><当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全(60m +貌的时间约为（）A ．2.0minB ．2.5minC ．2.8minD ．3.0min6．已知O 是△ABC 外接圆的圆心、若，，则（ ）3AB = 7BC = BO CA ⋅=A ．10B ．20C ．-20D ．-107．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则112663OP OB OC OA =++△ACO 与△CBP 面积比为（ ）A ．5:6B ．3:4C ．2:3D ．1:28．已知向量a ，b 满足，，为任意向量，则2a = b = 2a b ⋅=- c的最小值为（ ）()()()a cbc a b c -⋅-+-⋅A ．-4B ．-3C ．D ．72-52-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列结论不正确的有（ ）()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．B ．的最小正周期为π()01f =()f xC ．不是的对称中心D ．在上单调递增,04π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭10．已知，，则的可能取值为（ ）7sin cos 5αα-=()0,απ∈sin cos sin 2ααα++A ．B ．C ．D ．2925-1925-1725-725-11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中，则下列结论正确的是（）1OA =A ．B ．20HC OG CD +-=OA HO ⋅=C ．D ．在上的投影向量为BD ED -=AF DB DB12．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()()sin 0f x nx ωω=>()f x 12ω()g x 点A 、B 、C 是与图象三个连续相邻的交点，若△ABC 是锐角三角形，则函数的周期的可()f x ()g x ()f x 能取值为（ ）A ．B ．2C D ．1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，且，若和的夹角为钝角，则______．()6,8a = 5b = ()3,b m = ab b = 14．已知，，则______．21sin 54x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()0,x π∈sin 10x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．在△ABC 中，，∠A =120°，点M 满足，λ+2μ=2，则的最26AB AC == AM AB AC λμ=+AM 小值为______．16．已知函数，若对任意的实数m ，在的值域均为，且在()22cos3f x x ω=-()f x (),5m m +[]3,1--上单调递减，则ω的范围为______．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题：共计40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎭⎝（1）求函数的解析式；()y f x =（2）求函数的单调递减区间．()y f x =18．（8分）设，，．()1,2OA =- ()3,4OB = (),1OC t =（1）当t =2时，试用向量表示；OA OB ⋅ OC （2）若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数t 应满足的条件．19．（12分）如图1所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，满足，G 是线段AB 上的点，且满足13BD BC =，线段CG 与线段AD 交于点O ．25AG AB =（1）试用，表示和；AB AC AD CG（2）如图2所示，过点O 的直线与线段AB ，AC （不与端点重合）分别交于点E ，F ，设，AE x AB =，求xy 的最小值．AF y AC =20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知函数的最小正周期为π，且直线x =-()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<π/2是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式：()f x（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原()y f x =4π来的2倍后所得到的图象对应的函数记作．()y g x =①若动点在圆O 上运动，P 为圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为(),2Q f g αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭M ，N ，求的最小值；PM PN ⋅②已知常数，，，，且函数在R λ∈*n N ∈()cos sin ,x x αλ=-()()cos sin ,x x g x β=+()F x αβ=⋅内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．()0,π答案一、选择题：123456789101112CABDBCDACDABACDBCD7．【答案】D【解析】由O 是△ABC 的重心，可得，0OA OB OC ++= 则，所以点P 为OA 中点，即点P 、点O 为BC 边中线的两个三等分点，2OP OA =所以△ACO 与△CBP 面积比为1:2．8．【答案】A【解析】由已知可得．建系令．则，设．34a b π⋅= ()2,0a =()1,1b =- (),c x y =．()()()()()22114a c b c a b c x y -⋅-+-⋅=++-- 当x =-1，y =1时，有最小值为-4．12．【答案】BCD【解析】由题意可得，()11sin sin cos 222g x f x x x x ππωπωπωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦作出函数、的图象如下图所示：()f x ()g x设点A 、B 、C 为连续相邻的三个交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点．由对称性可得△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，所以，222AC T CD πωπω====由，可得，sin cos x ωπωπ=-tan 1x ωπ=--有，，，14k x ωω=-+k Z ∈22C A ACAD x x ω==-=k Z ∈所以，，所以．sin x ωπ=A C B y y y ==-=2A BD y ==要使△ABC 为锐角三角形，，所以，，04ABD π<∠<tan 1AD ABD BD∠==<∵ω>0，解得BCD ．ω>2T ππω=<二、填空题：13．；14；15．3；()3,4-16．．3939,,4,4,252522ππ⎡⎫⎡⎤⎡⎤--⋃--⋃⋃⎪⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎭⎣⎦⎤⎥⎦⎣ ⎝⎦⎛15．【解析】（法一）∵，cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅=-∴2222222||||293618AM AB AC AB AC λμλμλμλμ=++⋅⋅=+- ，()()22292236182210810836μμμμμμ=-+--=-+则当时，，∴．12μ=2min 9AM = min 3AM = （法二），取，则12AM AB AC λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 12AB AD = 122AM AD ACλλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴M ，D ，C 三点共线，则的最小值即为点A 到线段DC 的距离．AM16．【解析】易得，由，有，()cos 22f x x ω=-()[]3,1f x ∈--[]cos 21,1x ω∈-即对任意的实数m ，在内都满足，(),5m m +[]cos 21,1x ω∈-故，则，252m m T πω+->=5πω>由在上单调递减，则，即，()f x ,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭1342T ππ-≤06ω<≤当ω>0时，由于f （x ）在R 上的单调递减区间为，,,2k k k Z πππωωω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令k =0．有，则；,0,432πππω⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32ω≤令k =1，有，则；,0,432πππω⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦942ω≤≤令k =2，有，无解，25,,432ππππωω⎛⎫⎡⎤⊂⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故39,4,522πω⎡⎫⎡⎤∈⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦同理，当ω<0时，有39,,4252πω⎡⎫⎡⎤∈--⋃--⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦综上，3939,,4,4,252522ππω⎡⎫⎡⎤⎡⎫⎡⎤∈--⋃--⋃⋃⎪⎪⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦⎣⎭⎣⎦三、解答题：17．【解析】（1）由已知A =2，，，ω=2，115112122T ππ-=2ππω=代入点，有，则．5,212π⎛⎫⎪⎝⎭5sin 16π⎛⎫+= ⎪⎝⎭52,62k k Z πππ+=+∈∵，令k =0，，有2πω<3ϕπ=-()2sin 23f x x π⎛⎫--⎪⎝⎭（2）令，3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈有()511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数的单调递减区间为 ()y f x =()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18．【解析】（1）当t =2时，．()2,1OC =设，有．OC xOA yOB =+12x y ==∴1122OC OA OB=+ （2）由已知，()2,60AB OB OA =-=≠ ()1,3AC OC OA t =-=-若A ，B ，C 三点共线，由向量共线定理可知，存在唯一的，使得．故有，t =2．R λ∈AC AB λ= 12λ=所以当t ≠2时，A ，B ，C 三点能构成三角形．19．【解析】（1）．()11213333AD BD BA BC AB AC AB AB AB AC =-=+=-+=+25CG AG AC AB AC=-=-（2）在图1中，设()AO AD AO AB BDλλ=⋅=+111233333AO AB BC AB AC AB AB ACλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由G ，O ，C 三点共线，存在唯一．R μ∈使得．()()2115AO AG AC AB AC μμμμ=+-=+-所以则，．1;32253λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩56μ=12λ=有．111236AO AD AB AC ==+ 在图2中，由E ，O ，F 三点共线，存在唯一，使得R m ∈()()11AO mAE m AF mxAB m y AC=+-=+-有，则，∵，．∴()13116mx m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11136x y +=01x <<01y <<1≥当且仅当，时，xy 有最小值为．23x =13y =2920．【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，∴22πωπ==()()sin 2f x x ϕ=+令，得．()22x k k Z πϕπ+=+∈()422k x k Z ϕππ=-+∈由于直线为函数的一条对称轴，2x π=-()y f x =所以，得．()2422k k Z πππϕ-=-+∈()32k k Z πϕπ=+∈由于0<φ<π，∴k =-1，则2πϕ=因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（2）将函数的图象向右平移个单位．()y f x =4π得到函数．cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得的图象上每一点的纵坐标不变．横坐标伸长为原来的2倍后．所得到的图象对应的函数为．()sin g x x =①由已知，则圆O 的半径为1，故△POM ≌△PON ，()cos ,sin Q αα设，,2PM PN θ=()()()222221||2||112||112||PM PN PM cos PO sin PO PO θθ⎛⎫⋅==--=-- ⎪⎝⎭ ∴，当且仅当时，取等号．221||233||PM PN PO PO ⋅=+-≥- PO = 故的最小值为．PM PN ⋅3-②∵．()()()22sin sin 1F x f x g x x x λλ=+=-++令，可得，()0F x =22sin sin 10x x λ--=当n =1时，不符合题意，所以，2n ≥*Nn ∈令，得，，[]sin 1,1t x =∈-2210t t λ--=280λ∆=+>则关于t 的二次方程必有两不等实根、，2210t t λ--=1t 2t 则有韦达定理，，．所以、异号．122t t λ+=12102t t ⋅=-<1t 2t （ⅰ）当且时，101||t <<201||t <<则方程和在区间均有偶数个根，1sin x t =2sin x t =()()*0,n n N π∈从而方程在也有偶数个根，不合题意；22sin sin 10x x λ--=()()*0,n n N π∈（ⅱ）当，则，此时λ=1，11t =212t =-当时，只有一根，有两根，2()0,x π∈1sin x t =2sin x t =所以，关于x 的方程在上有三个根，22sin sin 10x x λ--=()0,2π由于2023=3×674+1，则方程在上有3×674=2022个根．22sin sin 10x x λ--=()0,1348π方程在区间（1348π,1349π）上只有一个根．1sin x t =方程在区间（1348π,1349π）上无实数解，在区间（1349π,1350π）上有两个根．2sin x t =因此，关于x 的方程在区间（0,1349π）上有2023个根；22sin sin 10x x λ--=（ⅲ）当时，则，此时λ=-1，11t =-212t =当时．只有一根，有两根，()0,2x π∈1sin x t =2sin x t =所以，关于x 的方程在（0,2π）上有三个根，22sin sin 10x x λ--=由于2023=3×674+1，则方程在（0,1348π）上有3×674=2022个根．22sin sin 10x x λ--=由于方程在区间（1348π,1349π）上无实数根，在区间（1349π，1350π）上只有一个实数根，1sin x t =方程在区间（1348π,1349π）上有两个实数解，在区间（1349π，1350π）上无实数解，2sin x t =因此，关于x 的方程在区间（0,1349π）上有2024个根．不满足题意；22sin sin 10x x λ--=（ⅳ）当，则：有，1|1|t >201||t <<因此方程在有偶数个根，不合题意；22sin sin 10x x λ--=()()*0,n n N π∈综上所述，λ=1，n =1349．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016下半学年高一年级第一次阶段考数学试题注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间90分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木C.2016年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．集合},{b a 的子集有 （ ）A ．2个B ．4个C ．3个D ．5个4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）5．下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )A. A∩BB. A ⊇BC A ⊆B D. .A ∪B7. 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．221y x =+C ．y=x 2D ．221y x x =++ 8函数2x y -=的单调增区间为 （ ）A.]0,(-∞B.),0[+∞C.),(+∞-∞D.),1(+∞-9．下列各组函数表示同一函数的是 （ ） M N A M N B N M C M N DA ．22(),()()f x x g x x ==B ．0()1,()f x g x x ==C ．3223(),()()f x x g x x ==D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=- 10. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ）A 2B 3C 4D 511. 若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ）A .是减函数，有最小值0B .是增函数，有最小值0C .是减函数，有最大值0D .是增函数，有最大值012.已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52- 第Ⅱ卷（共90分）．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)．13. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数， 则)(x f 的递减区间是_____________.14. 函数()1,3,x f x x +⎧=⎨-+⎩ 1,1,x x ≤>则()()4f f = ． ．15. 若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________16. 当x ∈[-1,1]时，函数f(x)=3x-2的值域为三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合{}36A x x =≤<，{}29B x x =<<．分别求)(B A C R ⋂，()R C B A ；18.（12分）求下列函数的定义域：（1）y ＝x ＋1 x ＋2 （2）y ＝1x ＋3+ ()054x -19.（12分）对于二次函数2483y x x =-+-， （1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）求函数的最大值或最小值；（3）写出函数的单调区间。

第三中学2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段性测试试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.中，以下结论错误的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.【详解】画出图像如以下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法那么可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.应选C.【点睛】本小题主要考察向量加法运算，考察平行四边形的几何性质，属于根底题.中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等〞可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，那么这两个三角形全等〞可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D选项有两个解.应选B.【点睛】本小题主要考察解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.是两个不一共线的向量，假设那么〔〕A. 三点一共线B. 三点一共线C. 三点一共线D. 三点一共线【答案】A【解析】因为+==2，故三点一共线.故答案为：A.与的夹角为120°，那么〔〕A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】即解得〔舍去〕应选B6.的三内角所对边的长分别为设向量,,假设,那么角的大小为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两向量平行，所以等价于，整理为，所以，所以角考点：1．向量平行的坐标表示；2．余弦定理．7.．与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，得，，，根据向量数量积的计算公式，得，解得，又与不一共线，那么，所以正确答案为A,中，点在边上，且，，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，利用向量减法的运算，表示出，由此求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，故，故.应选C.【点睛】本小题主要考察向量减法运算，考察平面向量根本定理，属于根底题.中，，那么的形状是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式，求得的值，由此判断角的大小，进而判断出角的大小，从而判断出三角形的形状.【详解】由正弦定理得，由于，故,，由于，故，故，所以三角形为钝角三角形.应选C.【点睛】本小题主要考察正弦定理，考察二倍角公式，考察三角形形状的判断，属于中档题.10.是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足，那么的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.【详解】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如以下图所示，，设，那么有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的间隔的最大值为直径，也即的最大值为.应选A.【点睛】本小题主要考察平面向量的坐标运算，考察数形结合的数学思想方法，考察运算求解才能以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.中,,分别为所对边,那么为A. B. 1 C. 或者1 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】将通分后，利用余弦定理化简，求得化简的结果.【详解】由余弦定理得.由通分得，应选B.【点睛】本小题主要考察余弦定理的运用，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，那么点为三角形的A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心【答案】D【解析】【分析】在上分别取单位向量，记，那么平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，那么可证明三点一共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.【详解】在，上分别取点使得，那么，作菱形，那么由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点一共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，应选D.【点睛】本小题主要考察平面向量的加法运算，考察三点一共线的证明，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.，，假设，那么_____________．【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，.【点睛】本小题主要考察平面向量坐标的加法运算，考察两个向量垂直的坐标表示，属于根底题.所在的平面内有一点，假设，那么的面积与的面积之比是_____________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值.【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于.【点睛】本小题主要考察平面向量加法和减法的运算，考察平面向量方向相反的表示，属于根底题.中,内角所对应的边分别为，假设，，那么的面积为_________.【答案】【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进展求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：此题主要考察余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．其中正确的序号是__________．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【解析】【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算，结合余弦定理，对四个结论逐一分析，由此得出正确的序号.【详解】由于，故〔1〕正确.由于，故〔2〕正确.由于，且，故〔3〕正确.由于，故〔4〕正确.综上所述，正确的序号是〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕.【点睛】本小题主要考察平面向量加法、减法运算，考察平面向量数量积运算，考察两个向量垂直的表示，考察余弦定理，属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共40分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.中，内角的对边分别为，，，．〔1〕求的值；〔2〕假设，,求的面积．【答案】〔1〕2；〔2〕【解析】【分析】〔1〕通过将条件转化为，然后利用三角变换可得结果；〔2〕由〔1〕得，由余弦定理得，可解得，，从而解得三角形的面积。