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真题演练集训
1．[2016·天津卷]甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲
获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )
A.56
B.25
C.16
D.13
答案：A
解析：由题意得，甲不输的概率为12＋13＝56.
2．[2015·江苏卷]袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案：56
解析：记2只黄球分别为黄1，黄2.故基本事件空间为Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}共6种情况．其中2只颜色不同的情况有：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，共5种．故从中一次随机摸出2只球，
颜色不同的概率为56.
3．[2013·新课标全国卷Ⅱ]从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
答案：0.2
解析：任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2
种，所以所求概率为210＝0.2.。
18-18《排列、组合、概率、统计》高考题解析（文科）一选择题1．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（ 10.C ） A ．56 B ．52 C ．48 D ．40（18湖南10）2．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ B ）A ．120B ．240C ．360D ．720（18湖北11）3．已知8)(xax -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 （C ） A ．28 B ．38C ．1或38D ．1或28 （18福建9）4 若nxx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ C ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12（18浙江7）5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ A ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42（18河北5）(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（A ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-（18广西6）7从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条的不同取法有n 种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m,则nm等于5. B (A) 0 (B) 41 (C) 21 (D) 43（18北京5）8．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ 6.B ）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法（18湖南6）9．某地2018年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下,则根据表中数据,就业形势一定是（ B ）A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张. （18上海16） 10．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ D ）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120（18重庆1111．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ B ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种（18甘肃9）(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（C ） A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种 （18广西12）13．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ C ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110（18河北11） 14．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ C ）A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个（18四川12）15在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是B（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28(18四川3)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= A（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0(18四川12) 16五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（8）B（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种（18北京8） 17若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于（8.A ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11（18重庆8） 18把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ 9．D ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144（18湖北9） 19某初级中学有学生270人，其中一年级118人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，118，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （12．D ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样（18湖北12） 20如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（C ） （A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21- （18山东6） 21 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（D ） （A ）310 (B) 112 (C) 12 (D)1112（18山东10） 22123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有 3．B ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项（18江西3） 23将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（7．A ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840（18江西7）24为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ 12．A ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83（18江西12）25从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（A ）A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37(18浙江6) 26在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是(C )(A)5- (B) 5 (C) －10 (D) 10 (18浙江5) 二填空题1．若在二项式(x +1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 114. (结果用分数表示)（18上海9） 2．92)1(x x +的展开式中的常数项为___84 _______(用数字作答) （18湖南14） 3．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 28 . （18甘肃13）4．已知nx x )(2121-+的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是35 .（以数字作答）（18湖北14）5．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是－15，则=a 21-. （18四川13） 6．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 63 .（18福建15）7．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 192 . （18湖北15）8. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品。
概率年份卷别具体考查内容及命题位置2016甲卷几何概型·T8频率估计概率、频率分布表与平均值的应用·T18乙卷古典概型·T3丙卷古典概型·T52015Ⅰ卷古典概型·T4Ⅱ卷频率分布直方图、数据的平均值和方差、用频率估计概率·T182014Ⅰ卷古典概型·T13Ⅱ卷古典概型·T13茎叶图、用样本的数字特征估计总体的数字特征、用频率估计概率·T191．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查;二是两图（频率分布直方图与茎叶图）择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．题示真题呈现考题溯源参数题示对比(2016·高考全国卷甲，T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．错误!B．错误!C。
错误! D.错误!(2015·高考全国卷Ⅱ，T18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①题溯源(必修3 P136例1）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.题溯源(必修3 P82习题2。
2B组T1)某地区为了解高中生学习统计图表的情况，把标有本地区58所高中名称的号签放入一个不透明的纸箱中，充分搅拌后，逐个抽出了4个号签，再从抽出的4所学校中随机选取高一年级的一个班，得到了一个容量为173的样本．样本中的每名学生被要求做一份时间为20分钟的试卷。
7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B. 点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。
3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。
K单元概率K1 随事件的概率K2 古典概型6.K2[2018·江苏卷]某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.[解析]设该兴趣小组中的2名男生分别为a,b,3名女生分别为c,d,e.从5名学生中任选2 6.310名的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个,其中恰好选中2名女生的基本事件为.cd,ce,de,共3个,所以所求概率P=31015.I1、K2[2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.15.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{ D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.(ii)由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=5.21K3 几何概型K4 互斥事件有一个发生的概率5.K4[2018·全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.75.B[解析]设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付.由题知P(A)=0.45,P(AB)=0.15,P(A∪B)=0.45+P(B)+0.15=1,所以P(B)=0.4.17.K4、I2[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)17.解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为50=0.025.2000(2)方法一:由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为1-3722000=0.814.方法二:设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).由古典概型概率公式得P (B )=16282000=0.814.(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.K5 相互对立事件同时发生的概率K6 离散型随机变量及其分布列K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布7.K8[2018·浙江卷] 设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P 1-p 2 12 p 2则当p 在(0,1)内增大时,( ) A .D (ξ)减小B .D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D .D (ξ)先增大后减小 7.D [解析]E (ξ)=1×12+2×p 2=12+p ,D (ξ)=(12+p)2×1-p 2+(12+p -1)2×12+(12+p -2)2×p 2=12(-2p 2+2p +12)=-p 2+p+14=-(p -12)2+12,则D (ξ)在(0,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减,故选D .K9 单元综合1.[2018·西安一模]从1,2,3,4这四个数字中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为()A.12B.13C.14D.151.A[解析]所有可能构成的两位数为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,满足条件的有6个,∴这个两位数大于30的概率为12.2.[2018·茂名期末]在1,2,3,6这四个数字中随机取出三个,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.14B.13C.12D.342.A[解析]在1,2,3,6这四个数字中随机取出三个,所有可能的结果为(1,2,3),(1,2,6),(1,3, 6),(2,3,6),共4个,其中满足条件的只有(1,2,3),共1个.因此,数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14.故选A.3.[2018·桂林、贺州期末联考]太极图是以黑、白两个鱼形纹组成的图形,形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被曲线y=图K40-33sinπ4x分割为两个对称的鱼形图案,如图K40-3所示,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.136B.118C.112D.183.D[解析]根据题意,大圆的直径为函数y=3sinπ4x的周期,即2ππ4=8,则大圆的面积S=π×(82)2=16π.一个小圆的面积S'=π×12=π,根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=2S'S =2π16π=18.故选D.。
概率
．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．
．选择或填空题常出现在第～题或第题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．
．解答题常出现在第或题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
图①地区用户满意度评分的频数分布表满[，)[，)[，)[，)。
2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,542．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 34．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29 B.14 C.512D.125．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.86．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.127．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.388．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.7109．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.71210．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.3411．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.1612．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．15．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．16．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计（解析版）(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,54解析：选B.系统抽样是等间隔抽样，故选B.2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 解析：选 C.由已知得x ＝176，y ＝176，因为点(x ，y )必在回归直线上，代入选项验证可知C 正确．3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解析：选A.由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1，故选A. 4．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29B.14C.512D.12解析：选C.依题意，所求的概率等于5＋4＋3＋2＋136＝512，故选C.5．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5D ．0.8解析：选A.小明成绩为优秀的概率P ＝1－0.5－0.3＝0.2，故选A.6．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.12解析：选B.依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38， 则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 7．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.依题意，将题中的两张卡片排在一起组成两位数共有6种情况，其中奇数有3种情况，因此所求的概率等于36＝12，故选C.8．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.710解析：选B.2＋a －a 2＞0, 得－1＜a ＜2. 所以由几何概型知其概率为2－－5－－＝310，故选B.9．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选A.从2名男生和2名女生中任选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，共有12种选法，其中星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的结果有4种，所求概率为412＝13，故选A.10．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C.由f (x 0)＝log 2x 0≥1，解得x 0≥2，故所求概率是4－24－1＝23，故选C.11．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.16解析：选B.依题意，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，结合图形分析可知，当点P 介于点B ，M (不含点B ，M )之间时，△APC 为锐角三角形，因此所求的概率等于12，故选B.12．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710解析：选D.每个人被抽到的概率为520＝14，由分层抽样知，女生要抽8×14＝2人，男生要抽3人，记女生为n 1，n 2，记男生为m 1，m 2，m 3，现从中抽取2人，则总的基本事件为(n 1，n 2)，(n 1，m 1)，(n 1，m 2)，(n 1，m 3)，(n 2，m 1)，(n 2，m 2)，(n 2，m 3)，(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 2，m 3)，共10个，至少有一个女生的基本事件数为7个，故概率P ＝710，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．解析：由茎叶图可得x 甲＝72＋74＋88＋85＋965＝83，x 乙＝77＋79＋81＋93＋905＝84.答案：83,8414．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．解析：由题知组距为10，根据频率分布直方图得(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1，解得a ＝0.005. 答案：0.00515．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．解析：设CA ＝x (x ∈(0,16))，则CB ＝16－x ，故矩形的面积S ＝x (16－x )，令x (16－x )＞60，解得6＜x ＜10，故所求概率P ＝10－616＝14.答案：1416．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 解析：依题意得知，所求的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫π×12×2－12×43π×13π×12×2＝23.2答案：3。
真题演练集训1．［2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30，8：00,8：30发车，小明在7：50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A。
错误! B.错误! C.错误!D。
错误!答案：B解析:由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为1 2 .2．［2016·新课标全国卷Ⅱ]从区间［0，1］随机抽取2n个数x1，x2,…,x n，y1，y2，…,y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n,y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!答案：C解析:设由错误!构成的正方形的面积为S，x错误!＋y错误!<1构成的图形的面积为S′,所以错误!＝错误!＝错误!，所以π＝错误!，故选C。
3．[2015·陕西卷］设复数z＝(x－1）＋y i(x，y∈R)，若|z｜≤1,则y≥x的概率为( ）A。
错误!＋错误!B。
错误!＋错误!C.错误!－错误!D。
错误!－错误!答案：D解析：|z|＝错误!≤1，即（x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当｜z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝错误!π×12－错误!×1×1＝错误!。
又圆的面积为π,根据几何概型公式，得概率P＝错误!＝错误!－错误!。
4．[2016·山东卷]在[－1，1］上随机地取一个数k,则事件“直线y＝kx与圆（x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．答案：错误!解析：圆（x－5）2＋y2＝9的圆心为C（5，0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得错误!〈r,即错误!<3，整理得k2<错误!,解得－错误!〈k<3.故所求事件的概率P＝错误!＝错误!。
2018高考文科数概率专项100题（WORD版含答案）2018高考文科数概率专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共53道小题）1.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x 0，则f （x 0）＞0的概率为（）A ．B ．C ．D ． 2.从A ，B ，C ，D ，E5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为（） A ．51 B ．52 C ．258 D ．259 3.苏果超市特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡购买商品达到88元者，可获得一次抽奖机会，已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分成6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，且其面积依次成公比为3的等比数列，指针箭头指在最小1区域内时，就中“一等奖”，则消费达到88元者没有抽中一等奖的概率是（）A ．B ．C ．D ．4.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是（）A ．B ．C ．D ． 5.中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12：00到12：30，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道．若小张于当天12：20打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（）A ．B ．C ．D ． 6.在如下程序框图中，任意输入一次x （0≤x ≤1）与y （0≤y ≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A ．B ．C ．D ． 7.用计算机在01间的一个随机数a ，则事件“103a <<”发生的概率为（） A ．0 B ．1 C. 13 D ．238.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（） A ．31 B ．52 C ．158 D ．539.已知在椭圆方程+=1中，参数a ，b 都通过随机程序在区间（0，t ）上随机选取，其中t ＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A ．B ．C ．D ． 10.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A ．0.35 B ．0.25C ．0.20D ．0.1511.已知关于x 的函数f （x ）=x 2﹣2，若点（a ，b ）是区域内的随机点，则函数f （x ）在R 上有零点的概率为（）A ．B ．C ．D ．12.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x 0，则f （x 0）＞0的概率为（）A ．B ．C ．D ． 13.从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是（）A ．B ．C ．D ．14.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则（） A ．p 1＜p 2＜p 3 B ．p 2＜p 1＜p 3 C ．p 1＜p 3＜p 2 D ．p 3＜p 1＜p 2 15.去A 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A 城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A ．31 B ．21 C ．32D ．91 16.在区间[0，π]上随机取一个数x ，使的概率为（）A ．B ．C ．D ． 17.向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于3S的概率为（）A ．31B ．53C ．32D ．43 18.在区间[﹣3，3]中随机取一个实数k ，则事件“直线y=kx 与圆（x ﹣2）2+y 2=1相交”发生的概率为（）A ．B ．C ．D ．19.从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是（）A ．B ．C ．D ．20.在区间[0，1]上任选两个数x 和y ，则的概率为（）A ．B ．C ．D ．21.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是（）A ．B ．C ．D ． 22.在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）A ．B ．C ．D ． 23.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A ．1﹣B ．C ．D ．1﹣在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为（）A ．B ．C ．D ． 25.已知a=log 0.55、b=log 32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f （x ）=x 3+mx 2+x+2有极值点的概率为（）A ．B ．C ．D ．1 26.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是（）A ．B ．C ．D ． 27.蒙特卡洛方法的思想如下：当所求解的问题是某种随机事件=出现的概率时，通过某种“试验”方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，并将其作为问题的解．现为了估计右图所示的阴影部分面积的大小，使用蒙特卡洛方法的思想，向面积为16的矩形OABC 内投掷800个点，其中恰有180个点落在阴影部分内，则可估计阴影部分的面积为（）A ．3.6B ．4C ．12.4D ．无法确定28.在集合M={x|0＜x≤5}中随机取一个元素，恰使函数x log y 21 大于1的概率为（）A ．54B ．109C ．51D ．101 29.在一次赠书活动中，将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为（）A ．B ．C ．D ．如图，矩形ABCD 中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP 内的概率为（）A ．31B ．83C ．32D ．43 31.袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为（）A ．B ．C ．D ．32.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．B ．C ．D ． 33.在1万km 2的海域中有40km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（）A ．B ．C ．D ．34.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A ．B ．C ．D ． 35.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．B ．C ．D ． 36.已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=4，CD=6，AD=5，点E 在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为（） A ．252πB ．254πC ．21D ．41 37.两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（） A ．3611B ．41C ．21D ．4338.在区间[﹣1，5]上随机取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则实数m 为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 39.从1、2、3、4、5、6中任三个数，则所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列的概率为（）A ．B ．C ．D ．40.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ． 41.有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（）A ．B ．C ．D ． 42.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P 的坐标（m ，n ），那么点P 在圆x 2+y 2=17内部（不包括边界）的概率是（）A ．41B ．61C ．185D ．92 43.在[﹣1，2]内任取一个数a ，则点（1，a ）位于x 轴下方的概率为（） A ．32 B ．21 C ．31 D ．61 44.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（） A ．52 B ．21 C ．43D ．65 45.从3双不同的鞋中任取2只，则取出的2只鞋不能成双的概率为（） A ．53 B ．158 C ．54 D ．157 46.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A ．B ．C ．D ．47.如图一所示，由弧AB ，弧AC ，弧BC 所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家、机械运动学家勒洛首先发现的，它的构成如图二所示，以正三角形ABCd 的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形即为勒洛三角形，有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC 内部（即阴影部分）的概率为（）A ．B ．C ．D ．48.某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m49.设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D 的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确50.连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．51.在如图所示程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．52.从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．61B．31C．32D．6553.已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共22道小题）54.从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为()a b c a b c <<，，，则a b c +>的概率是________. 55.从A 、B 、C 、D 、E ，5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为__________．56. ①③④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据f （x ）在[a ，b]上具有性质P 的定义，结合函数凸凹性的性质，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：①f （x ）=在[1，3]上为减函数，则由图象可知对任意x 1，x 2∈[1，3]，有ff（）≤ [f （x 1）+f （x 2）]成立，故①正确：②不妨设f （x ）=x ，则对任意x 1，x 2∈[a ，b]，有f （）≤ [f （x 1）+f （x 2）]，故②不正确，③在[1，3]上，f （2）=f[]≤ [f （x ）+f （4﹣x ）]，∵F （x ）在x=2时取得最大值1，∴，∴f （x ）=1，即对任意的x ∈[1，3]，有f （x ）=1，故③正确；∵对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]，f （）≤ [f （x 1）+f （x 2）]，f （）≤ [f （x 3）+f （x 4）]，∴f （）≤（f （）+f （））≤[f （x 1）+f （x 2）+f（x 3）+f （x 4）]；即f（）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．故④正确；故答案为：①③④57.已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．58.在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．59.给出下列四个命题：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是④函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）60.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．61.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为．62.每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间，在这个时间窗口内，飞机均有可能降落．甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，那么甲航班晚点的概率是；若甲乙两个航班在上午10点到11点之间共用一条跑道降落，如果两架飞机降落时间间隔不超过15分钟，则需要人工调度，在不考虑其他飞机起降的影响下，这两架飞机需要人工调度的概率是． 63.数轴上有四个间隔为1的点依次记为A 、B 、C 、D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B 、C 两点的距离之和小于2的概率为． 64.若从[1，4]上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为． 65.已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为． 66.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 67.在区间（0，1）上随机取两个实数m ，n ，则关于x 的一元二次方程有实数根的概率为． 68.已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N 颗黄豆，恰有n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为． 69.从3男1女4名学生中，随机抽取2名学生组成小组代表班级参加学校的比赛活动，则该小组中有女生的概率为． 70.已知指数函数f （x ）=a x（a ＞0且a≠1）的图象过点P （2，4），则在（0，10]内任取一个实数x ，使得f （x ）＞16的概率为． 71.经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5 概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是． 72.向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ,则MCD 的面积小于3S的概率为________. 73.某变速车厂生产变速轮盘的特种零件，该特种零件的质量均匀分布在区间（60，65）（单位：g），现随机抽取2个特种零件，则这两个特种零件的质量差在1g以内的概率是．74.甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为．75.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1 编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．三、解答题（本题共25道小题,）76.为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班．（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数．（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有一个来自甲学校的概率．77.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？78.某地举行公车拍卖会，轿车拍卖成交了4辆，成交价分别为5元，x万元，7万元，9万元；货车拍卖成交了2辆，成交价分别为7万元，8万元．总平均成交价格为7万元．（1）求该场拍卖会成交价格的中位数；（2）某人拍得两辆车，求拍得轿车、货车各一辆且总成交价格不超过14万元的概率．79.长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000，3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.80.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系无关系不知道40岁以下800 450 20040岁以上（含40岁）100 150 300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8，7、9.3、9.0、8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．81.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月频数 20 40 20 10 10（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．82.在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．83.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，2]任取的一个数，b是从区间[0，3]任取的一个数，求上述方程有实数的概率．84.怀化某中学对高三学生进行体质测试，已知高三某个班有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）男生成绩在195cm以上（包含195cm）定义为“合格”，成绩在195cm以下（不包含195cm）定义为“不合格”，女生成绩在185cm以上（包含185cm）定义为“合格”，成绩在185cm以下（不包含185cm）定义为“不合格”．（1）求女生立定跳远成绩的中位数；（2）若在男生中按成绩合格与否进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（3）若从（2）中抽取的6名学生中任意选取4个人参加复试，求这4人中至少3人合格的概率．85.第12界全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳顺利举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率？（2）若从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，求这两人身高相差5cm以上的概率．86.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和2个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由．87.为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．分组频数频率[50，60） 5 0.05[60，70） a 0.20[70，80） 35 b[80，90） 25 0.25[90，100） 15 0.15合计 100 1.00（ I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．88.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”，“从不闯红灯”、“带头闯红灯”等三种形式进行调查，获得下表数据：跟从别人闯红灯从不闯红灯带头闯红灯男生 980 410 60女生 340 150 60用分层抽样的方法从所有被调查的人中抽取一个容量为n的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）在所抽取的“带头闯红灯”的人中，在选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有一人是女生的概率．89.现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件．（I）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件．现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率．90.某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110] 频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110] 频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．91.如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．（注：方差，其中为x1，x2，…x n的平均数）。
高考文科数学考前集训： 概率[考情分析]高考主要考查古典概型，多在解答题中与统计结合考查，几何概型考查多为选择题.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310D.25解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a >b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为1025＝25，选D.答案：D2．(2016·高考全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.56解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38D.310解析：如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18 C.115D.130解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.答案：C5．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19(x ∈N )．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7， 故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．几何概型[方法结论]几何概型的两个基本特征： (1)基本事件的无限性、等可能性．(2)其事件的概率为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)，一般要用数形结合法求解．[题组突破]1．在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( )A.12B.34C.38D.58解析：由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故要求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B. 答案：B2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( ) A.π4 B.π－36C.3＋3π12D.33＋2π18解析：区域D 表示矩形，面积为3，到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O 为圆心，半径为2的圆内，图中阴影部分的面积为12×1×3＋112×π×4＝32＋π3，故所求概率为33＋2π18.答案：D3．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．解析：设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，故所求概率P ＝4×85×8＝45.答案：45[误区警示]几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．古典概型[方法结论]古典概型的两个基本特征： (1)基本事件的有限性、等可能性． (2)其事件的概率为P (A )＝ 事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn . [题组突破]1．(2017·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是( ) A.512 B.712 C.13D.12解析：连掷两次骰子得到的点数(m ，n )的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个． ∵(m ，n )·(－1，1)＝－m ＋n ＜0，∴m ＞n .符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴P ＝1536＝512.答案：A2．(2017·哈尔滨模拟)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．解析：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 1、B 1、C 1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 2、B 2、C 2，则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 2)，(A 1，C 2)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 2)，(C 1，A 2)，(C 1，B 2)，(C 1，C 2)，共9个．其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(C 1，C 2)，共3个，所以所求概率P 1＝39＝13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1，表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2， 表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3，则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9个，所以所求概率P 2＝915＝35.[误区警示]对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．概率与统计的交汇综合问题概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查． 交汇点一 古典概型与用样本估计总体交汇考查[典例1] (2017·成都模拟)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70,85)内，记为B 等；分数在[60,70)内，记为C 等；60分以下，记为D 等，同时认定A ，B ，C 等为合格，D 等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．图1 图2(1)求图中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C ，D 的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D 的概率．解析：(1)由题意，可知10x ＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x ＝0.004， ∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%. 而乙学校的合格率为(1－250)×100%＝0.96×100%＝96%.∴甲、乙两校的合格率均为96%.(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C ，D 的6名学生分别记为C 1，C 2，C 3，C 4，D 1，D 2，则随机抽取2名学生的基本事件有{C 1，C 2}，{C 1，C 3}，{C 1，C 4}，{C 1，D 1}，{C 1，D 2}，{C 2，C 3}，{C 2，C 4}，{C 2，D 1}，{C 2，D 2}，{C 3，C 4}，{C 3，D 1}，{C 3，D 2}，{C 4，D 1}，{C 4，D 2}，{D 1，D 2}，共15个基本事件．其中“至少有1名学生成绩等级为D ”包含{C 1，D 1}，{C 1，D 2}，{C 2，D 1}，{C 2，D 2}，{C 3，D 1}，{C 3，D 2}，{C 4，D 1}，{C 4，D 2}，{D 1，D 2}，共9个基本事件．∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D 的概率为P ＝915＝35.[类题通法]求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．(3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算．[演练冲关]1．(2017·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图估计利润y 不少于4 800元的概率．解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3. 这个开学季内市场需求量x 的众数估计值是150. 需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1， 需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2， 需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3， 需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25， 需求量为[180,200]的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153. (2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， 所以当100≤x ≤160时，y ＝50x －30×(160－x )＝80x －4 800， 当160＜x ≤200时，y ＝160×50＝8 000，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80x －4 800，100≤x ≤1608 000，160＜x ≤200(x ∈N )．(3)因为利润不少于4 800元，所以80x －4 800≥4 800， 解得x ≥120.所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P ＝1－0.1＝0.9. 交汇点二 古典概型与独立性检验的交汇[典例2] (2017·长沙模拟)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如下表：参考数据：参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d(1)试根据以上数据运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？(2)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A 组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B 组，计划从A 组推选的2人和B 组推选的3人中，随机挑选2人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组的概率．解析：(1)由题易求得K 2＝10，因为7.879<K 2<10.828， 所以有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响．(2)记A 组推选的2名同学为a 1，a 2，B 组推选的3名同学为b 1，b 2，b 3， 则从中随机选出2名同学包含如下10个基本事件：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)．记挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组为事件Z ， 则事件Z 包含如下6个基本事件：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)．故P (Z )＝610＝35，即挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组的概率是35.[类题通法]古典概型与独立性检验的交汇问题的解题策略(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性．(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K 2，K 2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．[演练冲关]2．(2017·洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三座城市进行治霾落实情况检查． (1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求A 城市恰有两个专家组选取的概率；(2)在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：(1)可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示：其中，A 故A 城市恰有两个专家组选取的概率P ＝1236＝13.(2)K 2的观测值k ＝400×(40×240－60×60)2100×300×100×300＝16，16＞6.635，所以有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关．。
