1.2.1-极坐标系的的概念-教案2-(人教A版选修4-4)

二极坐标系课题：1、极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为极点，射线OX称为极轴。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

高中数学选修4-4教案1极坐标的概念教学目标：使学生理解极坐标系的概念；两点之间的距离。

教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能熟练地根据坐标描点及求一个点的坐标、对称点的极坐标教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点．教学过程设计：极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对。

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．一、问题引入教师对直角坐标系作简要回顾如下：建立直角坐标系，使几何问题代数化，将几何问题，由平面几何中的定性研究，转变为解析几何中的定量研究．解析几何的出发点是点用坐标表示，注意以下几点：①一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的；②直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；③同一点在不同的坐标系中，坐标不同．回顾这些知识后提出问题（回顾知识要点是为了寻求新知识的生长点和突破口）：除了直角坐标系，还有没有确定点的位置的方法？学生可能有多种回答，答案可能有以下几中：①用仿射坐标表示一个点，它与直角坐标系的主要区别是坐标轴的夹角不是90°；②用船在岛的南40°东的说法表示方向，再加一个船与岛的距离表示船的位置，这实际上是用方向角及距离表示位置；③把正北定为0°，90°是正西，180°是正南，270°是正东，利用一个角度及一个距离表示点的位置，这实际上是利用方位角表示一个点；④密位法：把一个周角分为6000份，一份称为1密位，其它与方位角表示点的方法相同，只是方向更细些．炮兵常用密位法表示方向．教师对学生回答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示，但有两点是一致的，一是建立坐标系一般包括原点，长度单位，角度单位和方向，二是一对有序实数表示平面上一个点，可以通俗地说“平面上点的坐标是点坐落位置的标记，这个标记是一对有序实数”．由此可以转入新课的学习．这样作，教师在不断点拨中，逐步抽象出问题的本质，使学生联想思维水平层层递进，从多方面考虑问题，探求问题答案，达到殊途同归的目的．二、数学构建定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

二极坐标系第1课时极坐标系的概念学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．知识点极坐标系思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？答案能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？答案选一个点O为基点，射线OA为参照方向．梳理极坐标系的概念(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个定点O；②作极轴：自极点O 引一条射线Ox ；③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)． (2)点的极坐标①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)； ②意义：ρ＝|OM|，即极点O 与点M 的距离(ρ≥0)． θ＝∠xOM ，即以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角．类型一 由极坐标画出点 例1 根据下列极坐标作出各点．(1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3；(2)D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解 如图，反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”． 跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点． A(5,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π2.解 在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．类型二 求点的极坐标例2 设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 解 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.关于极点O 的对称点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3. 引申探究1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．解 B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3.2．若将极角θ改为θ∈R ，求例2中的点的极坐标．解 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3＋2kπ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3＋2kπ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3＋2kπ(k ∈Z)． 反思与感悟 (1)设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． (3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．跟踪训练2 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．解 作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.类型三 极坐标系中两点间的距离例3 在极坐标系中，点O 为极点，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫6，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，求|AB|的值．解 如图∠AOB ＝2π3－π6＝π2，∴△AOB 为直角三角形， ∴|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝6 2. 引申探究在本例条件不变的情况下，求AB 的中点的极坐标． 解 取AB 的中点M ，连接OM ，在△AOB 中，∠AOB ＝π2，OA ＝OB ，∴∠AOM ＝π4，∴∠xOM ＝π4＋π6＝5π12.又|OM|＝6×cos π4＝32，∴M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，5π12. 反思与感悟 在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)的两种特殊情形为 ①当θ1＝θ2＋2kπ，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； ②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.跟踪训练3 (1)在极坐标系中，已知两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则线段PQ 的长度为________．答案 5解析 作出图形，如图所示，可知OP 与OQ 垂直，所以线段PQ 的长度|PQ|＝32＋42＝5.(2)在极坐标系中，若△ABC 的三个顶点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，判断三角形的形状． 解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－5π6＝49， |AC|2＝52＋32－2×5×3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－7π6＝49，|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－7π6＝49. 所以△ABC 是等边三角形．1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( ) A ．(1,0) B ．(2，π) C ．(1,2016π) D ．(1,2017π)答案 D2．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2kπ＋π3(k ∈Z)答案 C3．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π3 答案 B解析 根据极坐标的对称关系知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π3. 4．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB|＝________.答案5解析 |AB|＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.1．极坐标系的四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．确定点的极坐标的方法点P 的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k ∈Z ，则 (1)ρ为点P 到极点的距离，是个定值．(2)极角为满足θ＋2kπ，k ∈Z 的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP 的任意一个角，一般取绝对值较小的角．一、选择题1．在极坐标系中，下列与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－11π6重合的点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫5，－π6B.⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13π6答案 D解析 与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－11π6重合的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6＋2kπ(k ∈Z)，故选D. 2．极坐标系中，极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．3．在极坐标系中，已知点A(4,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1＋π2，则线段AB 的长度是( )A ．1B.1＋π24C ．7D ．5答案 D解析 设极点为O ，因为点A(4,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1＋π2， 所以OA ⊥OB ，所以AB ＝OA 2＋OB 2＝5.4．已知极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析 由题意，得∠AOB ＝π4，|AB|＝22＋(2)2－2×2×2×cos π4＝2，所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝2， 故△OAB 为等腰直角三角形．5．在极坐标中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，则线段PQ 的中点M 的一个极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π12D.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π12答案 D解析 如图所示，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ ＝2π3－π6＝π2，则|PQ|＝22， |OM|＝12|PQ|＝2，∠xOM ＝π4＋π6＝5π12，所以点M 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π12. 6．已知极坐标系中，极点为O ，若等边三角形ABC(顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6，则顶点C 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫22，2π3 答案 C解析 如图所示，由于点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6，故极点O 为AB 中点，故等边△ABC 的边长|AB|＝4， 则CO ⊥AB ，|CO|＝23，则点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6＋π2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.二、填空题7．在极坐标系中，若两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB(其中O 为极点)的面积为________．答案 3解析 由题意知，∠AOB ＝π6，AO ＝3，OB ＝4，所以△AOB(其中O 为极点)的面积为 12×3×4×sin π6＝3. 8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3解析 在射线OM 上符合条件的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3，在射线OM 反向延长线上符合条件的点为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3.9．在极坐标系中，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3作极轴的垂线，垂足为M ，则点M 的一个极坐标为__________．答案 (1,0)解析 如图所示，在极坐标系中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则|OP|＝2，∠xOP ＝π3.由题意，过点P 作极轴的垂线，垂足为M ，则|OM|＝|OP|cos π3＝1，故点M 的一个极坐标为(1,0)．10．已知在极坐标系中，△AOB 为等边三角形，A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B 的极坐标为________________________________________________________________________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6解析 设B(ρ，θ)，由∠AOB ＝π3，得θ－7π6＝±π3＋2kπ，k ∈Z ，即θ＝7π6±π3＋2kπ，k ∈Z.由|OA|＝2，得ρ＝2，又因为θ∈[0,2π)，所以θ＝3π2或5π6.所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6.三、解答题11．在极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标．(1)ρ≥0，θ∈[0,2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解 (1)当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π3.(2)当ρ≥0，θ∈R 时，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，2kπ＋5π3，k ∈Z.12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，AC ＝2OAsin π3＝2×2×32＝2 3.∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3. 13．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600m ，建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系．由|OC|＝600m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC|＝300m ，|OA|＝3003m ， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F(300，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4.四、探究与拓展14．已知两点的极坐标A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB|＝____，AB 与极轴正方向所夹的角为________．答案 35π6解析 ∵|AO|＝|BO|＝3， ∠AOB ＝π3，∴|AB|＝3.∠ADx ＝π－∠ADO ＝5π6.15．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23， |OP|＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2×4×23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.。

极坐标系【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

2．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。

【学习重难点】1．理解坐标系的作用。

2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

4．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。

【学习过程】一、基础知识1．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下对应到点///(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2．在平面内取一个定点O 为极点。

引一条射线OX 为叫做极轴。

再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。

这样就建立了一个极坐标系。

对于平面内的点M ，设||OM =ρ， θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。

[ 强调 ] ：一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。

极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角。

3．负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点(,)M ρθ位于极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++()k Z ∈4．直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

数学：1.2《极坐标系》教案（新人教A版选修4-4）极坐标系【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。

2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。

3．极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。

4．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式，。

【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。

【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。

【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。

1．已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。

1.2.1.极坐标系的概念【学习目标】1.理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构；2.理解极坐标系下点的极坐标(,)ρθ与点之间的多对一的对应关系； 3.已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标.【重点难点】重点：理解极坐标的意义. 难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置.【学习过程】一．课前预习二．课堂学习与研讨（一）知识梳理1.建立极坐标的方法：在平面内取一个定点O ，叫做 ；自 O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.2.极坐标系中点的极坐标的规定：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M的 ，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角∠xOM 叫做点M 的 ，记为θ.有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标. 一般地, 0ρ≥,θ为任意实数.特别地，极点的极坐标为 .3. 在极坐标系中点与它的极坐标的对应关系:（1）已知极坐标),(θρ,在平面上可以确定 点M .（2）给定平面上一点M ，却有无数个极坐标，点M 的极坐标统一的表达式为 ．（3）如果规定0>ρ，)2,0[πθ∈，那么除极点外，极坐标系中的点与极坐标是 对应．（二）例题分析例1．写出右图中各点的极坐标，并回答下面的问题：（１）平面上一点的极坐标是否唯一？（２）若不唯一，那有多少种表示方法？（３）坐标不唯一是由什么因素引起的？练习1. 在极坐标系里描出下列各点：(3,0)A ，(6,2)B π，(3,)2C π，4(5,)3D π，5(3,)6E π，(4,)F π，5(6,)3G π.例２．在极坐标系中，（1）已知两点5(5,)4P π，(1,)4Q π，求线段PQ 的长度； （2）已知M 的极坐标为(,)ρθ且3πθ=，R ρ∈，说明满足上述条件的点M 的位置.练习2. 若ABC ∆的的三个顶点为5(5,)2A π，5(8,)6B π，)34,3(πC ，判断三角形的形状.三．达标检测 A 基础巩固1.在极坐标系中，与点(8,)6π关于极点对称的点的一个坐标是( ) A.(8,)6π- B.5(8,)6π- C.5(8,)6π D.2(8,)3π 2．两点(2,)3M π，4(5,)3N π之间的距离是（ ） A.3 B.4 C.7 D.83.P 与(,)Q ρθ关于极轴对称，则P 的坐标是（ ）A.(,)ρθ-B.(,)ρπθ-C.(,)ρπθ+D.(,2)ρπθ+B 提升练习4.如图，写出极坐标系中的边长为a 正方形OABC 的三个顶点 A 、B 、C 的坐标A （ ）；B （ ）；C （ ）C5.在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π，求第三个顶点C 的坐标.四．拓展延伸与巩固6. 若ABC ∆的的三个顶点为5(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则三角形的形状为 .7. 已知两点)3,2(π，)2,3(π，求两点间的距离.。