极坐标系教案

初中数学教案极坐标系初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解极坐标系的概念和基本性质；2. 掌握极坐标系中各种图形的绘制方法；3. 运用极坐标系解决实际问题。

二、教学重点和难点1. 教学重点：极坐标系的概念和性质；2. 教学难点：运用极坐标系解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：- 准备幻灯片或黑板，用于黑板上的绘图；- 准备一些实际问题，用于课堂练习。

2. 学生准备：- 课本、笔记本等学习用具。

四、教学过程导入：1. 教师简要介绍极坐标系的概念，并引导学生回顾直角坐标系的相关知识。

新知呈现：2. 教师通过幻灯片或黑板绘制极坐标系，并解释极坐标系的构造及基本性质。

3. 教师通过实例引导学生理解极坐标系中极角和极径的概念，并解释其表示方法。

示范演示：4. 教师通过绘制圆和其他图形的示范，讲解使用极坐标系绘制图形的方法。

实践演练：5. 学生进行小组活动，按照教师的要求，绘制指定的图形，并在小组内互相讨论、交流。

巩固提高：6. 教师出示一些实际问题，并引导学生运用极坐标系解决问题。

7. 学生进行个人练习，完成课后习题。

拓展延伸：8. 教师引导学生进一步探究极坐标系中其他图形的绘制方法，如椭圆、双曲线等。

五、教学总结本节课我们学习了极坐标系的概念和基本性质，掌握了绘制各种图形的方法，并运用极坐标系解决了一些实际问题。

通过本节课的学习，我们对数学中的极坐标系有了更深入的了解。

六、课后作业1. 完成课后习题；2. 思考：极坐标系在现实生活中有哪些应用？七、板书设计- 极坐标系的构造及基本性质- 极角和极径的概念及表示方法- 绘制图形的方法八、教学反思本节课采用了多种教学方法，如导入、示范演示、实践演练等，帮助学生更好地理解和掌握极坐标系的相关知识。

同时，通过实际问题的引入，培养了学生解决问题的能力。

教学过程中，学生积极参与，课堂氛围较好。

但在讲解极坐标系的性质时，可以增加一些示例图形，以便学生更好地理解。

极坐标系【教学目标】知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点】对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解【教学难点】互化关系式的掌握【教学模式】启发、诱导发现教学。

【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

互化公式的三个前提条件1． 极点与直角坐标系的原点重合；2． 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；3． 两种坐标系的单位长度相同。

三、举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中，已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A ，B 两点的距离例2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系。

已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标， 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标。

ρ(＞0，0≤θ＜2π）变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标（限定ρ＞0，0≤θ＜π2）)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3．在极坐标系中，已知两点)32,6(),6,6(ππB A 。

(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。

在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。

本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。

一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。

极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。

而极点是坐标系的原点，通常表示为O。

极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。

2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。

极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。

在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。

3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。

它们之间可以通过一组转换公式相互转换。

在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。

转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。

二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。

三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。

极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。

二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。

三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。

四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。

Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。

Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。

Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。

Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。

Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。

极坐标教案教案标题：极坐标教案一、教学目标1. 了解极坐标的概念和基本性质；2. 掌握极坐标下点的表示方法；3. 学会在极坐标下进行坐标变换和图形绘制；4. 能够应用极坐标解决实际问题。

二、教学重点和难点重点：极坐标的基本概念和性质，点的极坐标表示方法，极坐标下的坐标变换和图形绘制。

难点：极坐标与直角坐标系的转换，极坐标下的曲线方程的表示和理解。

三、教学过程1. 导入新知识通过展示极坐标系和直角坐标系的对比，引导学生了解极坐标的概念和基本特点。

2. 讲解极坐标的表示方法介绍极坐标下点的表示方法，包括极径和极角的概念，以及极坐标与直角坐标系之间的转换关系。

3. 案例分析通过具体的案例分析，引导学生掌握极坐标下的坐标变换和图形绘制方法，例如绘制简单的极坐标曲线和解决相关实际问题。

4. 练习与讨论设计一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和答疑，加深对极坐标的理解和掌握。

5. 拓展应用引导学生将极坐标应用到实际问题中，例如极坐标下的坐标变换和图形绘制在工程、物理等领域的应用。

6. 总结反思对本节课的内容进行总结，强调极坐标的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习和思考。

四、教学资源1. 极坐标系和直角坐标系的对比图；2. 相关极坐标的案例分析题目；3. 极坐标下的图形绘制工具。

五、作业布置布置相关练习题目，巩固学生对极坐标的理解和掌握。

六、教学反思根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，不断完善教学内容和方法，提高教学效果。

七、教学评价通过课堂练习、作业完成情况和学生的表现，对学生的学习情况进行评价，并及时进行指导和辅导。

极坐标系教学设计与教学反思教学设计：极坐标系一、教学目标1.了解和掌握极坐标系的基本概念和表示方式。

2.能够将直角坐标系转化为极坐标系。

3.通过练习和实例分析，掌握极坐标系的应用。

二、教学重点和难点重点：极坐标系的基本概念和表示方式。

难点：将直角坐标系转化为极坐标系。

三、教学过程1.导入（5分钟）通过问题启发学生思考：在绘图中，有时我们需要将坐标点表示为距离原点的距离和与x轴正方向的夹角。

你认为这种表示方式叫什么？用什么坐标系表示？2.引入（10分钟）通过PPT介绍极坐标系的概念和表示方式，让学生对极坐标系有一个初步的了解。

3.讲解（15分钟）以直角坐标系转化为极坐标系为例，详细讲解转化的步骤和方法。

同时结合图表和实例，让学生更清晰地理解。

4.示范（10分钟）通过示范练习，让学生跟随教师一起练习将直角坐标系转化为极坐标系。

教师先做一个示范，然后指导学生进行练习。

5.练习（15分钟）学生在作业本上完成一系列的练习题，巩固对极坐标系的认识和掌握。

6.拓展(10分钟)通过实例分析，引导学生思考极坐标系的应用。

如在极坐标系中，如何表示点的对称关系、如何表示点的共线关系等。

7.课堂小结（5分钟）对本节课的要点进行总结，回答学生提出的问题，澄清疑惑。

四、教学反思1.本节课的教学设计的目标明确，突出了极坐标系的基本概念和表示方式。

通过引入问题和实例分析，能够激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解极坐标系的概念。

2.在讲解过程中，我使用了PPT和图表来让学生更直观地了解极坐标系，帮助他们形成正确的概念。

同时，我在讲解过程中也加入了实例分析和示范练习，让学生能够操作和应用所学的知识。

3.本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动。

通过引导学生思考问题和解答问题，帮助他们更深入地理解和掌握极坐标系。

同时，通过练习和作业，巩固学生的学习成果。

4.但是，在教学中我发现一些问题。

有些学生对概念理解不够清晰，可能需要更多的实例分析和练习。

极坐标系教学目标知识与技能：1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法：1.通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性；2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程；3.通过学生动手描点，得出极坐标的多值性。

情感、态度与价值观：1.培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力。

重点难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识教学过程一、导入平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。

有时可以用方向和距离表示点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

二、探究新知1.极坐标系的概念(1)概念:在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

(2)点的极坐标的规定:如图：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ； 一般地，不做特殊说明时，我们认为0,ρθ≥∈R 。

(3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况:在同一极坐标系中描点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛πππππππ2-6446426464，，，，，，，，这些点有什么关系?你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗？从以下方面探究：① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不惟一，那有多少种表示方法？③ 坐标不惟一是由谁引起的？④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？X 结论：1)给定（ρ,θ），在极坐标平面内确定惟一的一点M ；2)给定平面上一点M ，但却有无数个极坐标与之对应；原因在于：极角有无数个；3)一般地，极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π) 表示同一个点；4)特别地，极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈R)；5)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

数学：1.2《极坐标系》教案（新人教A版选修4-4）极坐标系【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。

2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。

3．极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。

4．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式，。

【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。

【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。

【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。

1．已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。

极坐标一、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点，从极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系。

对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。

记作M(ρ, θ)。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角任意。

极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．即：1、极坐标⇒直角坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 2、直角坐标⇒极坐标222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩图1x ⎩（直极互化 图）三、简单曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，如果曲线C 上的点与一个一元二次方程f(ρ,θ)=0建立了如下的关系：1、曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程f(ρ,θ)=0；2、极坐标满足f(ρ,θ)=0的点都在曲线上。

那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫做极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线。

极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。

2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。

3.理解和应用极坐标系的运算规则。

教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。

2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。

二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。

b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。

2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。

b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。

三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。

2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。

3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。

四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。

b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。

c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。

d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。

2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。

b.计算两个点的角度差。

c.计算两个点之间连线的方程等。

五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。

2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。

3.强调极坐标系的运算规则和应用。

教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。

丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。

可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。

二、极坐标系教学目标：知识与技能（1）认识极坐标系；能在极坐标系中，用极坐标刻画点的位置；（2）体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法通过生活实际问题，引导学生探究、发现，激发学生的好奇心，进而得出建立极坐标系的必要性。

情感、态度与价值观通过多媒体展示现实生活中的图片，激发学生好奇心和求知欲；培养学生“学数学，用数学” 的应用意识，让学生切身体会“数学源于生活，服务于生活”。

教学重点和难点：重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；认识点与极坐标之间的对应关系。

教学基本流程：一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。

大家有没有见过这种图片？台风的卫星云图。

众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。

气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风的路径图。

根据路径图，及时播报台风中心的位置。

从小到大我们听过很多次台风预报。

今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。

【设计意图】引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。

让学生称为学习的主人，积极参与。

看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（利用信息技术，播放这段视频，给学生更为直观地感受，也能更加激发学生此时学习的热情。

在此，要及时评价学生的描述，加以表扬和补充。

）问：哪些条件刻画了台风中心的位置?东经123.8度，北纬22.3度。

温州东南偏南方向大约800公里的海面上。

经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点？如果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位置？你得到什么样的启发？1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。

极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。

2.掌握在极坐标系中表示点的方法。

3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。

2.在极坐标系中表示点的方法。

三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。

2.学生准备铅笔和笔记本。

五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。

Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。

Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。

首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。

随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。

Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。

直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。

Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。

首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。

随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。

Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。

六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

1.2 极坐标系(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？（学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西 45走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念图1我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示图24π Ox2π 65ππB 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为GFAD CE4π Ox2π 65ππ34π 35π 图3 x图4)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式.【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标图5（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos 6sin 2sin16x y πρθπρθ======)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．（2）由cos 3cos 02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-． （2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy 求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)． 同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π．（2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ 又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π． （3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值.【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．A ．(5，67π) B ．(5，157π) C ．(5，67π-) D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示． 【数学思想】【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ．【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点． 【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解． 【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积． 【数学思想】数形结合思想【解题过程】因为π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ，所以π2AOB ∠= ，则三角形为直角三角形，则面积为12552⨯⨯= ，所以选D. 【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可． 【答案】D ．5．规定R ∈>θρ,0，则极轴上极点以外的点的极坐标为________． 【知识点】点与极坐标系的关系． 【数学思想】【解题过程】因为在极轴上且不是极点，所以极角,,2Z k k ∈=πθ极径0>ρ，所以极坐标为))(2,(Z k k ∈πρ．【思路点拨】根据极坐标的定义来处理． 【答案】))(2,(Z k k ∈πρ．6．极坐标系中，与点)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．【知识点】点的极坐标．【解题过程】因为)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点为)3,3(π．【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】)3,3(π．能力型 师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（ ）A ．)0,1(B ．)4,2(π C ．)2,3(πD ．),4(π【知识点】极坐标的定义、点的极坐标． 【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知y =ρ，又由θρρθρsin ,sin =∴=y ，所以1sin =θ，所以选C 【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化． 【答案】C8．已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C ，π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A，B (－1)，C (0)，D (0，－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A，B (－1，C (0)，D (0，－4) 探究型 多维突破9．已知点的直角坐标分别为A (3)，B (0，，C (－2，-)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)． 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)．10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O A B C D E F G ，，，，，，， 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中AB BC = ，600OC = m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标（限定002πρθ≥≤<， 且极点为（0，0））.【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置．【解题过程】以O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系，因为600OC = ，π6AOC ∠= ，故π6006C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， . 又π600cos30036OA =⨯=，π600sin 3006OD =⨯= ，3002OE = ，300OF = ，1502OG = . 故()30030A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可．【答案】()3003A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π30024E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，自助餐1．在极坐标系中，已知)6,6(),6,2(ππ-B A ，则OB OA ,的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3π D.56π【知识点】极坐标的定义． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图所示，夹角为3π.【思路点拨】将B A ,两点的极坐标标在极坐标系中可得． 【答案】C2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，34πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，54πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，54πD ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，34π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．【解题过程】复数i 33+-对应的点的直角坐标为)3,3(-， 由133tan ,323)3(22-=-==+-=θρ，且点在第二象限，所以选A ． 【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标． 【答案】A ．3．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P 的极坐标π2,4⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标 .【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点P 的极坐标为π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ ,设点P 的直角坐标为(x,y),所以ππ2cos2sin 44x y ====． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M )35,2017(π表示的点在第________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】根据2201735cos 2017cos ===πθρx ，23201735sin 2017sin -===πθρy ， 所以点在第四象限．【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】四5．在极坐标系中,分别求下列条件下点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标:(1)[)πθρ2,0,0∈≥.(2)R ∈≥θρ,0 【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】1)当[)πθρ2,0,0∈≥时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为)35,3(π.(2)R ∈≥θρ,0时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为))(352,3(Z k k ∈+ππ．【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解． 【答案】（1）)35,3(π；（2）))(352,3(Z k k ∈+ππ． 6．在极坐标系中，已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.(1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上． 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题过程】(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】（1）M(1，－3)， N(2,0)， P(3，3)；（2）在同一条直线上．。

极坐标教案极坐标教案教学目标：1. 了解极坐标的概念；2. 理解极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 掌握在极坐标下表示点的方法；4. 能够用极坐标表示平面上的图形。

教学重点与难点：1. 极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 如何在极坐标下表示图形。

教学准备：1. 学生教材：包括极坐标的相关知识点和例题；2. 教师准备：教案、例题、练习题。

教学过程：一、导入新知识（5分钟）1. 教师简要介绍直角坐标系与极坐标系的概念，引导学生思考它们的异同点。

2. 导入问题：如何用直角坐标表示一个平面上的点？学生用大脑思考并回答。

二、极坐标的引入（15分钟）1. 教师呈现一个平面上的点，并告诉学生要用极坐标表示这个点，然后让学生思考，提问：如何表示？2. 学生思考一会儿后，教师引导学生发现，可以用点到原点的距离（极径）以及与正半轴的夹角（极角）来表示点。

3. 引导学生观察示例图，进一步理解极径和极角的意义。

可以通过多次示例讲解，让学生更好地理解极坐标的概念。

三、极坐标与直角坐标的转换关系（20分钟）1. 教师用一些例题来讲解极坐标与直角坐标之间的转换关系。

2. 分析示例题中的极坐标和直角坐标，让学生找出规律和转换关系。

3. 教师引导学生总结：极坐标与直角坐标之间的转换关系为：x = r*cosθ，y = r*sinθ。

四、用极坐标表示点的方法（20分钟）1. 教师通过几个实际问题，引导学生运用极坐标表示点的方法。

2. 通过练习题让学生掌握用极坐标表示点的方法。

3. 教师帮助学生解决疑惑，巩固学生的理解。

五、用极坐标表示图形（20分钟）1. 教师通过几个实际问题，引导学生应用极坐标表示图形的方法。

2. 分析示例题中的步骤和方法，让学生找出规律和方法。

3. 教师通过练习题让学生掌握用极坐标表示图形的方法。

六、小结与拓展（10分钟）1. 教师简要复习教学的重点和难点，并给出解答。

2. 教师提出进一步拓展问题，激发学生的思考。

1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。