高二数学北师大版选修4-4《极坐标系的概念》教案

(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。

在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。

本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。

一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。

极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。

而极点是坐标系的原点，通常表示为O。

极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。

2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。

极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。

在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。

3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。

它们之间可以通过一组转换公式相互转换。

在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。

转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。

二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。

三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。

高中数学选修4-4教案1极坐标的概念教学目标：使学生理解极坐标系的概念；两点之间的距离。

教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能熟练地根据坐标描点及求一个点的坐标、对称点的极坐标教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点．教学过程设计：极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对。

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．一、问题引入教师对直角坐标系作简要回顾如下：建立直角坐标系，使几何问题代数化，将几何问题，由平面几何中的定性研究，转变为解析几何中的定量研究．解析几何的出发点是点用坐标表示，注意以下几点：①一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的；②直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；③同一点在不同的坐标系中，坐标不同．回顾这些知识后提出问题（回顾知识要点是为了寻求新知识的生长点和突破口）：除了直角坐标系，还有没有确定点的位置的方法？学生可能有多种回答，答案可能有以下几中：①用仿射坐标表示一个点，它与直角坐标系的主要区别是坐标轴的夹角不是90°；②用船在岛的南40°东的说法表示方向，再加一个船与岛的距离表示船的位置，这实际上是用方向角及距离表示位置；③把正北定为0°，90°是正西，180°是正南，270°是正东，利用一个角度及一个距离表示点的位置，这实际上是利用方位角表示一个点；④密位法：把一个周角分为6000份，一份称为1密位，其它与方位角表示点的方法相同，只是方向更细些．炮兵常用密位法表示方向．教师对学生回答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示，但有两点是一致的，一是建立坐标系一般包括原点，长度单位，角度单位和方向，二是一对有序实数表示平面上一个点，可以通俗地说“平面上点的坐标是点坐落位置的标记，这个标记是一对有序实数”．由此可以转入新课的学习．这样作，教师在不断点拨中，逐步抽象出问题的本质，使学生联想思维水平层层递进，从多方面考虑问题，探求问题答案，达到殊途同归的目的．二、数学构建定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

教学设计极坐标系的概念1教学任务分析在以往的学习中，学生对直角坐标系已经非常熟悉，在实际中，所给出的条件经常用“方位角”和“距离”表示，这时用直角坐标刻画点的位置就不方便。

因此需要建立一种以“角度”和“距离”为参照的坐标系，即极坐标系。

本节教学的基本任务是使得学生认识极坐标系。

具体的，要使得学生能在极坐标系中刻画点的位置，体会极坐标系和直角坐标系在刻画点的位置时的区别。

2教学重难点重点：1让学生在探究的过程中，以平面直角坐标系为基础，理解极坐标的概念。

2能根据坐标描点，根据点写坐标，在此基础上，能在极坐标系中，解决简单的数学问题。

难点：1理解极坐标的概念。

2理解极坐标系的多值性。

3教学流程（一）情景引入情境1：让学生描述小A同学的位置，从而引出平面直角坐标系，并回顾平面直角坐标系的作用及组成要素。

情境2：让学生描述游戏情境下的位置关系，体会到直角坐标系的不方便，从而引出极坐标系，进而理解极坐标系的概念以及点的坐标。

（二）例题一及变式一熟悉极坐标系及点的表示。

例题1，学生单独口答。

变式1，投影，并强调极角必须用弧度。

（三）探究与思考在学生独立思考、动手探究的基础上，以学生小组相互讨论的方式，理解极坐标系的多值性，与直角坐标系的区别。

（四）变式二多值性的检验。

（五）变式三极坐标概念的进一步巩固理解，难度稍大，让学生黑板板书，并讲解。

（六）类型二极坐标概念的强化训练，在学生陈述思路的基础上引导学生选择合适的方法。

（七）小结让学生在自主思考的基础上，回顾本节课，自主总结。

（八）当堂检测检验本节课的学习探究效果关于学情的研究学生对平面直角坐标系已经非常熟悉，所以再探究这一部分内容的时候，要以平面直角坐标系的概念、作用、组成要素、处理方式为参考，使用类比的方法引进极坐标系。

虽然有平面直角坐标系为铺垫，但是极坐标系对于学生而言，仍然是一个陌生的新概念，学习过程不能操之过急，要由浅入深，循序渐进，从生活实例入手，引导学生探究思考，做练习题时，先以基础巩固为主，在学生熟悉之后，再加深难度。

《极坐标系》教学设计江西省乐平市第一中学高中数学组程新华一、教材分析《极坐标系》是高中数学北师大版选修4-4第一章第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系、任意角的概念的背景下，结合学生的日常生活，探究建立极坐标系的合理性，便捷性。

类比直角坐标系的研究方法自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化。

为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础。

二、学情分析学生已经对平面直角坐标系有了一定的了解；极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该较容易接受。

高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转化，学生在概括总结极坐标系知识上可能会有所不足。

三、教学目标分析1.知识与技能：①理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标系下表示点的多值性。

②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标；③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。

2.过程与方法：通过双师教学，促进重难点理解，体会数形结合、类比的数学思想方法；通过精准辅导，提高教学效果，每个学生都有收获。

通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过日常生活中的语言引入极坐标系让学生感受生活中的数学，体验数学的实际应用价值。

通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦，提高解决问题的能力。

四、教学重难点：教学重点：掌握极坐标系的相关概念，明确能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。

直角坐标系与极坐标系互化公式及其运用五、教学方法：问题引入法、讲解示范法、自主学习法、个别辅导法、分组讨论法。

六、教学基本流程七、教学情境设计：问题设计意图师生活动（1）吃鸡游戏中常给队友秒回敌人的位置。

如“1点钟方向100米有敌人。

”这句话从哪些方面刻画了敌人的位置？体会用距离和角度表达方位的优越性，引入极坐标系。

课题：圆的极坐标方程（第1课时）授课老师：张秀红授课班级:高二（6）班●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。

本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。

●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。

难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：一尝试自学1、直角坐标与极坐标的互化2、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的圆的直角坐标方程为。

3、上述1中如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）4、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）二、主干讲解类型一：圆心在极点的圆例1：求圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程。

类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为Ca,0 （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？三、局部训练1、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程2、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？3、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π,半径为1的圆的极坐标方程四、效果反馈1、，圆θρcos 2=圆心极坐标是 半径是 θρsin 4=的圆心极坐标是 半径是 两圆的圆心距是2、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程3、求圆心在A ()π,3、半径为3的圆的极坐标方程 圆的方程是为半径的为圆心，、以极坐标系中的点1)1,1(4A )4cos(2πθρ-=、A )4sin(2πθρ-=、B )1cos(2-=θρ、C )1sin(2-=θρ、D5、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半6．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=7、求极坐标方程分别是1=ρ与θρcos 2-=的两个圆的公共弦所在的极坐标方程。

极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。

二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。

三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。

四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。

Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。

Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。

Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。

Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。

Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。

课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27 ）班执教时间： 2016 年 06 月 18 日一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。

2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置.3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。

三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。

三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。

二、讲解新课：1、合作探究，概念形成。

（1）学生阅读教材 P8-P10 页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作深入分析。

极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。

）强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。

2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数．3、典型例题例 1 写出下图中各点的一个极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．变式训练 . 在极坐标系里描出下列各点A(3,0), B(6,2 ), C (3,) , D (5, 4), E(3,5) , F (4 ,),G (6 ,5)23634、思考：通过例子，对比平面直角坐标系，平面上的点与极坐标有何关系？（1）. 平面上一点的极坐标是否惟一？若不惟一，那有多少种表示方法？（2）. 坐标不惟一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标 ( ρ，θ ) 与____________________表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0 ，θ )( θ∈ R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．（3）想一想：我们是否能限制一些条件使得平面上的点与极坐标一一对应呢？（如果限定：＞0,0＜2，那么除了极点外，平面内的点就和极坐标一一对应了！）（1）探究：极坐标是否对应惟一的一点答：规律总结：建立极坐标系后，给定( ρ，θ ) ，就可以在平面内唯一确定一点M；巩固练习1、已知极坐标M54，下列所给出的不能表示点 M的极坐标的是（）（，）310A（.5，）32B（.5，-）C（.5，-）38D.(5,)四、课堂小结，反思感悟。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图1所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．图1(2)极坐标①极径：设M 是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长，ρ叫作点M 的极径．②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，t an θ＝yx (x ≠0).4．圆的极坐标方程曲线图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤0＜π)(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． ( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )【导学号：57962483】A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.]5．(·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .2分 圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.10分平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，8分于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.10分 [规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2， 2分∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1. ∴点A ′的坐标为(1，－1).5分(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，8分代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程.10分极坐标与直角坐标的互化122＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分 (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 8分 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分 [迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C 1与C 2的交点的极坐标． [解] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解得θ＝π4且ρ＝－2 2.6分 所以交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，π4.10分[迁移探究2] 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程． [解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分故所求圆C 2关于极点的对称圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋4＝0.10分[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，t an θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 2分由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1. ∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆. 4分 (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心.6分 ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径． 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.10分 直线与圆的极坐标方程的应用1⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t an α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 ⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知t an θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 8分 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.10分 [规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3yy ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【导学号：57962484】[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 8分 ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分[思想与方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．2．确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． [易错与防范]1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．。

O引一条射线四、课堂小结你今天主要学习了什么？都有哪些收获？课堂检测内容1.在下面的极坐标系里描出下列各点：(3,0)(6,2)(3,)2A B Cππ，，455 (5,)(3,)(4,)(6,) 363D E F Gππππ，，，2、第18页A组 1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。

2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。

3.理解和应用极坐标系的运算规则。

教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。

2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。

二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。

b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。

2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。

b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。

三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。

2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。

3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。

四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。

b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。

c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。

d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。

2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。

b.计算两个点的角度差。

c.计算两个点之间连线的方程等。

五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。

2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。

3.强调极坐标系的运算规则和应用。

教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。

丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。

可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。

§2极坐标系2．1极坐标系的概念1．极坐标系的概念图1－2－1如图1－2－1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地：极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.2．为什么点的极坐标不唯一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．试探究M (ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标． 【提示】 (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ，π－θ).设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π)．【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B (2，53π)．关于直线l 的对称点为C (2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，4π3)．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标．【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为： A (0,0)，B (a,0)，C (3a ，π6)，D (2a ，π3)，E (3a ，π2)，F (a ，23π).在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B (3，π4)，C (2，π2)，D (3，7π4)．【思路探究】 建立极坐标系――→极径作出极角的终边――→极角以极点O 为圆心， 以极径为半径 分别画弧―→点的 位置【自主解答】 如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由极坐标确定点的位置的步骤： ①取定极点O ；②作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；③以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；④以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．在同一个极坐标系中，画出以下各点： A (1，π4)，B (2，32π)，C (3，－π4)，D (4，94π)．【解】 如图所示．某大学校园的部分平面示意图如图1－2－2所示．图1－2－2用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．【思路探究】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．【自主解答】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B (600，π6)，C (300，π2)，D (3002，3π4)，E (300，π)，F (1502，3π4)．在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．(1)若A (3，4π3)，B (5，π6)，O 为极点，求△AOB 的面积；(2)在极坐标系中，A (2，34π)与B (3，74π)，求A 、B 两点间的距离．【解】(1)S △AOB ＝12×|3×5×sin(43π－π6)|＝154.(2)A 、B 在极坐标系中的位置如图： 则|AB |＝5.(教材第18页习题1—2A 组第2题)在极坐标系中，已知A (ρ，θ)，B (ρ，－θ)，C (－ρ，－θ)，D (－ρ，θ)，则点A 和B 、C 和D 分别有怎样的相互位置关系？(2013·福州模拟)如图1－2－3，如果对点的极坐标定义如下：点M (ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R )，关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)．例如，M (3，π3)关于极点O 的对称点M ′(－3，π3)，也就是说(3，π3＋π)与(－3，π3)表示同一点．图1－2－3已知点A 的极坐标是(6，5π3)，分别在下列给定条件下，写出点A 关于极点O 的对称点A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【命题意图】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力．【解】 如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为(6，2π3)；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为(－6，5π3)；(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为(－6，－π3).1．在极坐标系中与点P (2，π3)表示同一点的是( )A ．(－2，π3)B ．(2，－π3)C ．(－2,4π3)D ．(－2，－π3)【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确． 【答案】 C2．点P (2，π3)关于极轴的对称点的极坐标为( )A ．(－2，π3)B ．(2，2π3)C ．(2，4π3)D ．(2，5π3)【解析】 在极坐标系中确定点P 位置，再作出其关于极轴的对称点P ′知D 正确． 【答案】 D3．(2013·南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点．其中，叙述正确的序号是________．【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误．【答案】 ①③4．已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A (2，π4)，B (2，3π4)，C (2，5π4)，D (2，7π4)．一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置 ，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2【解析】 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.【答案】 B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3 D.5π6【解析】 如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2，π4)，B (2，5π4)，那么顶点C 的坐标可能是( )A ．(4，3π4)B ．(23，3π4) C ．(23，π) D ．(3，π)【解析】 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，∠AOC ＝π2，C 对应的极角为θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4，即C 点的极坐标可能为(23，3π4)或(23，7π4)，故应选B. 【答案】 B二、填空题5．点M (6，5π6)到极轴所在直线的距离为________． 【解析】 依题意，点M (6，5π6)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3. 【答案】 36．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．【解析】 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3， 在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件．且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. 【答案】 (7，π3)或(1，43π) 三、解答题7．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系．(1)A (2,0)、Bf (2，π6)、C (2，π4)、D (2，π2)、E (2，32π)、F (2，54π)、G (2，116π)； (2)A (0，π4)、B (1，π4)、C (2，54π)、D (3，54π)、E (3，π4)． 【解】 (1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．8．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：|AB |＝ 4＋16－2×2×4×cos (5π6－π3) ＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 9．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积． 【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3， 且|AO |＝|BO |，所以△AOB 是等边三角形，|AB |＝5，|BC |＝ 52＋(43)2－2×5×43×cos (4π3－π2) ＝133，|AC |＝52＋(43)2－2×5×43cos (2π3＋π6) ＝133， ∵|AC |＝|BC |，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.教师备选10．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．【解】 由B (3，π4)，D (3，7π4)， 知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)， 且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求.。

极坐标系教学设计导入（一）创设情境、导入新课对于坐标系，我们曾经研究过平面直角坐标系（进行知识的回顾）。

在某些时候，直角坐标系并不方便，例如：在战斗中对危险所在位置的判断，根据一位天气预报播音员所说的话判断位置？（生活实例引入，引起学生兴趣，让学生感受极坐标思想，并能够根据原有知识自主解决）。

其实以上所采用的就是我们日常生活中常用的刻画位置的方法，它体现了极坐标的思想。

而我们这节课所要共同探讨的内容就是——极坐标系。

（板书）学生思考、回答问题。

通过学生熟悉的直角坐标系和生活实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性，引导学生做类比、比较。

课程展开（二）初步探索，直观感知启发学生思考、归纳上述问题的解决过程中哪些地方需要注意？得到：抓住关键点（出发点，方向，距离）学生思考、回答利用原有的常识学生很容易得到答案，从中先让通过自身原有的常识解答，从中直观感知了“极坐标”的思想。

此时抓住契机，抛出问题，大家自己建立一个合理的坐标系来表达你们刚刚解决问题的想法。

总结和思考极坐标系如何建立？（三）循序渐进，延伸拓展1．极坐标系的建立由上个思考，先由学生自主探究如何合理的建立一个极坐标系。

学生方案重视课堂的生成，针对现场，从合理性（参照方向只需一个）及简洁的角度出发对上述学生的方案作调整。

一个个问题引导学生最终得到我们规定的极坐标系的建立，展示如下：（板书上述建系过程）分组讨论，选代表回答他们直观感知了“极坐标”的思想。

感受数学来源于生活，为后面归纳得到极坐标系的建立铺垫。

由学生的模糊知识来催促知识的生成，过程中体现自主建立的极坐标系的合理性，简洁性。

2．极坐标系内一点的极坐标的规定类比直角坐标系，建立极坐标系是为了表示平面内的点的位置，因此我们要表示极坐标系中点的极坐标，如何表示？（板书）直接展示如下：抓住极径，极角构成的有序数对表示点的极坐标，特别注意极角为以极轴ox为始边，射线OM为终边的角xOM。

提出疑问：已知一个点，如何求出它的极坐标；反过来，已知一个点的极坐标，如何描出这个点？3．例题讲解由于比较简单，请2-3个同学口答，不足再补充。

课题：极坐标和参数方程教学目标1、通过近五年的高考题，发现全国卷的命题规律和特点，举一反三。

教学重点参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化成普通方程，较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；极坐标与直角坐标的互化。

教学难点研究极坐标方程、直角坐标方程和参数方程的互化以及求解相关最值问题教学过程一、考试说明对本节的要求1、坐标系（1）理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标系和直角坐标的互化（3）能在极坐标系中给出简单图形的方程。

了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法。

（不做要求）2、参数方程（1）了解参数方程以及参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

（2）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。

（不做要求）二、全国卷极坐标和参数方程的命题趋向根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及他们的位置关系的数据确立。

有些问题用极坐标系解决比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手简单，计算简便。

高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程和普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定。

极坐标和参数方程在高考中的地位在全国卷1中以主观题形式出现，题序为第22题，分值为10分。

全国卷考情扫描2021年全国卷以椭圆和圆为背景，求解直角坐标点和取值范围的问题；2021年全国卷Ⅰ以圆为背景，考查参数方程与极坐标方程的互化及应用；2021年全国卷Ⅰ以直线与椭圆为背景，考查直角坐标方程与参数方程的互化以及距离的最值问题；2021年全国卷Ⅰ以直线与圆为背景，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及三角形的面积的求解； 2021年全国卷Ⅰ以直线和圆为背景，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用.三、模拟练习题再现1、（2021年全国1）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为)0a (sin 1cos >⎩⎨⎧+==为参数，t ta y t a x ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程（2）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a2、（2021年全国1）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

石泉中学课时教案科目:高二数学教师:张艳琴授课时间: 第11周星期四2016 年 5月 5 日单元（章节）课题第一章坐标系本节课题 2.1极坐标系的概念三维目标知识与技能: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 过程与方法：通过实例, 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别。

情感,态度与价值观: 培养学生学习数学概念的方法；情感,态度与价值观：培养学生学习数学概念的方法；提炼的课题极坐标系的概念教学重难点重点: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 难点: 的理解。

难点：0,0<<θρ的理解。

教学过程一、情境导入如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置, 他应如何描述？二、自主学习（预习教材P8~ P9, 找出疑惑之处）1.极坐标的概念1.如右图, 在平面内取一个定点, 叫做；自极点引一条射线, 叫做；再选定一个, 一个（通常取）及其 （通常取 方向）, 这样就建立了一个 。

如图：2.设是平面内一点, 极点与的距离叫做点的 , 记为 ；以极轴为始边, 射线为终边的角叫做点的 , 记为 。

有序数对 叫做点的 , 记作 。

特别规定： 当M 在极点时, 它的极坐标= , 可以取任意值.3、思考: 如何做点）？，（），，（ππ-2-6-2B A 三、典型例题例1． 题型一: 已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置在极坐标系中描出下列各点:).675.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二: 已知极坐标系点的位置写出点的极坐标例2.在极坐标系中, 请写出点A, B, C 的极坐标。

四、课堂小结你今天主要学习了什么？ 都有哪些收获？你今天主要学习了什么？都有哪些收获？),(θρM● ρ θ O x。

高二数学教课设计：极坐标系的的观点教案1.2.1 极坐标系的的观点学习目标1.能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点.2.领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的区别.学习过程一、学前准备情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前面有一群水雷，如何确定它们的地点以便将它们引爆?情境 2：如图为某校园的平面表示图，假定某同学在教课楼处。

(1)他向东偏60 方向走 120M 后抵达什么地点?该地点独一确定吗 ?(2)假如有人探询体育馆和办公楼的地点，他应如何描绘?问题 1：为了简易地表示上述问题中点的地点，应创立如何的坐标系呢 ?问题 2：如何刻画这些点的地点?二、新课导学◆研究新知 (预习教材 P8～ P10，找出迷惑之处)1、如右图，在平面内取一个，叫做;自极点引一条射线，叫做;在选定一个，一个 (往常取 )及其 (往常取方向 )，这样就成立了一个。

2、设是平面内一点，极点与的距离叫做点的，记为; 以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的，记为。

有序数对叫做点的，记作。

3、思虑：直角坐标系与极坐标系有何异同?___________________________________________.◆应用示例例题 1： (1)说出右图中各点的极坐标(2)：思虑以下问题，在横线上给出解答。

①平面上一点的极坐标能否独一 ? ②若不独一，那有多少种表示方法 ? ③坐标不独一是由谁惹起的 ?④不一样的极坐标能否能够写出一致表达式? ⑤此题点的极坐标一致表达式。

解：◆反应练习在下边的极坐标系里描出以下各点小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应个点。

极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只好对应个点。

三、总结提高◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点.学习评论一、自我评论你达成本节导教案的状况为( )A. 很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1.已知，以下所给出的不可以表示点的坐标的是A.B.C. D.2、在极坐标系中,与(,)对于极轴对称的点是( ) A、B、C、 D、3、设点 P 对应的复数为 -3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点 P 的极坐标为 ( )A.( ， )B.( ， )C.(3， )D.(3， )我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。