专题三 导数及其应用 第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2+b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =， 则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰．7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++，依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰． 19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ．30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+Q ，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x x x x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得166a x -=，266a x -+=．当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增， 故当x()f x取的最小值，最小值为f14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点； 当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >． 当2m =时，函数()12x f x e x '=-+在()2,-+∞单调递增．又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()2000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ， 于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ． （证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式， 当>0x时，+1+1=+2xx +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ，即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++()()=7-18<04+1xx x ．因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x ． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3(x -，当(,x ∈-∞和+∞）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '， 因此，()f x的单调递增区间为(,)3-∞-和3+∞（），单调递减区间为(3-)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。

2010-2019北京高考数学（理）导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln xy a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是A ．11()f k k <B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．47．（2013江西）若则123,,S S S 的大小关系为A ．B ．C ．D ．8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ． 9．（2011新课标）由曲线及轴所围成的图形的面积为A ．B ．4C ．D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 212．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰123S S S <<213S S S <<231S S S <<321S S S <<14151617y =2y x =-y 103163A ．[0,4π)B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____．16．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰=．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为． 20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线在点处的切线方程为．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数)过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b=25+=-xey )3,0(xOy xbax y +=2)5,2(-P 0327=++y x b a +)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α=． 26．(2013湖南)若．27．（2013福建）当时，有如下表达式: 两边同时积分得：从而得到如下等式： 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设，若，则．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N209,Tx dx T =⎰则常数的值为,1x R x ∈<211.......1n x x x x+++++=-1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+0>a x y =0,==y a x 2a =a 2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…((1))1f f =a =个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++=． 三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值． 35．(2016年北京)设函数，曲线在点处的切线方程为，（I ）求，的值； （II ）求的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()exx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围．37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．()a xf x xebx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+a b ()f x39．（2013新课标Ⅱ）已知函数(Ι)设是的极值点，求,并讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明．40．（2012辽宁）设，曲线与直线在点相切．（1）求的值；（2）证明：当时，． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．()()ln x f x e x m =-+0x =()f x m ()f x 2m ≤()0f x >()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数()=y f x 3=2y x ()0,0,a b 0<<2x ()9<+6xf x x2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题三 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理参考答案2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ． 优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-，则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =， 则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ．5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =．6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)xex dx +⎰，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 210()x e x e =+=1ln2-化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】22021(1)()002x dx x x -=-=⎰．19．(1,1)【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点P 处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即P 的坐标是，所以答案应填：．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于． 21．【解析】55xy e-'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即．22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正． 21y x =--x y e =x y e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x '=-1y x=02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-211x -=-201x =01x =±00x >01x =01y =()1,1()1,1221754433x dx -=-=⎰553412=53y x =-+53y x =-+23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2b f x ax x '=-，过点的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-．24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x'=，1|1x y ='=， 在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】，则，故切线方程过点(1,2)解得．26．3【解析】． 27．【解析】由 两边同时积分得：从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． )5,2(-P 1y xαα-'=k α=y x α=2α=393330302=⇒===⎰T T x dx x TT113[()1]12n n +-+01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+11111222222000001......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰29．94【解析】，解得． 30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.31．1【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得110()N f x dx N ≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1NN．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+a a x dx x S aa ====⎰23230323249=a 10x =>(1)lg10f ==230()3af x x t dt x a =+=+⎰3(0)f a =31a =1a =∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+ 令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e+-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x x x x xf x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得1x =，2x =当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x =()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点． 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点； 当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点． 38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+． 由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故(2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xee-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-．39．【解析】(Ι)因为, x =0是的极值点，所以， 解得，所以函数=-ln(x +1)，其定义域为，因为=，设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；当时，，，所以在上是减函数；在，上是增函数．（Ⅱ）当，时，， 故只需证明当时，． 当时，函数在单调递增． 又，故在有唯一实根，且． 当时，；当时，，从而当时，取得最小值．由得， 故 综上，当时，．40．【解析】（1）由的图像过点，代入得1b =-，由在处的切线斜率为，又， '1()xf x e x m =-+()f x '1(0)10f m=-=1m =()f x xe (1,)-+∞'1()1xf x e x =-+(1)11x e x x +-+()(1)1x g x e x =+-'()(1)0x xg x e x e =++>()g x (1,)-+∞(0)0g =0x >()0g x >'()0f x >10x -<<()0g x <'()0f x <()f x (1,0)-(0,)+∞2m ≤(),x ∈-∞+∞()()ln ln 2x m x +≤+2m =()0f x >2m =()12xf x e x '=-+()2,-+∞()()10,00f f ''-<>()0f x '=()2,-+∞0x ()01,0x ∈-()02,x x ∈-()0f x '<()0,x x ∈+∞()0f x '>0x x =()f x ()00f x '=()00001,ln 22x e x x x =+=-+()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++2m ≤()0f x >()=y f x ()0,0()=y f x ()0,032=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当时，．记， 则 ， 令，则当时， 因此在内是减函数，又由，得，所以 因此在内是减函数，又由，得， 于是当时，．（证法二）由（1）知，由均值不等式，当时，令，则，故， 即，由此得，当时，，记， 则当时，=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++>0x +1+1=+2x x +12x()()9=-+6xh x f x x ()()()()()22215454+654'=<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ()()()3=+6-216+1g x x x 0<<2x ()()2'=3+6-216<0g x x ()g x ()0,2()0=0g ()<0g x ()'<0h x ()h x ()0,2()0=0h ()<0h x 0<<2x ()9<+6xf x x ()()=ln +1f x x >0x +1+1=+2x x +12x ()()=ln +1-k x x x ()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ()<0k x ()ln +1<x x >0x ()3<2f x x ()()()=+6-9h x x f x x 0<<2x ()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++．因此在内是减函数，又由，得，即． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3(x ，当(,3x ∈-∞-和3+∞）时，()>0f x '；当(3x ∈-)3时，()<0f x '， 因此，()f x的单调递增区间为(,)3-∞-和3+∞（），单调递减区间为(． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --， 即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠ 因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在()()=7-18<04+1xx x ()h x ()0,2()0=0h ()<0h x ()9<+6xf x x点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f k k <B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =A ．0B ．1C ．2D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．47．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为 A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．179．（2011新课标）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）10(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 212．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ 二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____．16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线 ()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）20(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb ax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ．24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ．26．(2013湖南)若209,T x dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x +++++=- 两边同时积分得：111112222220000011.......1n dx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ． 28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设20lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()ex x ax f x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围．37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()lng x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =-+ (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6x f x x ．41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．专题一 集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语答案部分1．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．2．A 【解析】通解 由11||22x -<，得01x <<，所以301x <<；由31x <， 得1x <，不能推出01x <<．所以“11||22x -<”是“31x <”的充分而不必要条件，故选A ．优解 由11||22x -<，得01x <<，所以301x <<，所以充分性成立； 取14x =-，则1131||4242--=>，311()1464-=-<，所以必要性不成立．故选A ． 3．A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a ， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．5．B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．6．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．7．A 【解析】由ππ||1212θ-<，得06πθ<<，所以1sin 2θ<，反之令0θ=，有1sin 2θ< 成立，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件．选A ．8．B 【解析】0x ∀>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ⌝∧为真命题．选B ．9．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．10．D 【解析】取0-≠a =b ，则||||0=≠a b ，|||0|0+==a b ，|||2|0-=≠a b a ，所以||||+≠-a b a b ，故由||||=a b 推不出||||+=-a b a b ．由||||+=-a b a b ， 得22||||+=-a b a b ，整理得0⋅=a b ，所以⊥a b ，不一定能得出||||=a b ，故由||||+=-a b a b 推不出||||=a b ，故“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的既不充分也不必要条件，故选D ．11．A 【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以 ,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ．12．C 【解析】由题意得，111(0)n n a a q a -=>，222121211n n n n a a a qa q ---+=+= 221(1)n a q q -+，若0q <，因为1q +得符号不定，所以无法判断212n n a a -+的符号； 反之，若2120n n a a -+<，即2(1)1(1)0n a q q -+<，可得10q <-<，故“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件，故选C.13．C 【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．14．A 【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A ．15．B 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．16．A 【解析】解不等式|2|1x -<可得，13x <<，解不等式220x x +->可得，2x <-或1x >，所以“21x -< ”是“220x x +-> ”的充分而不必要条件．17．D 【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“**N ,()N n f n ∀∈∈且 ()f n n ≤”的否定为“**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >”可知选D ．18．B 【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β”，则平面、αβ 可能相交也可能平行，不能推出αβ∥，反过来若αβ∥，m Ìα，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件．19．A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．20．C 【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．21．A 【解析】由正弦定理sin sin a b A B=，故“b a ≤”⇔“B A sin sin ≤”． 22．C 【解析】 把量词“∀”改为“∃”，把结论否定，故选C ．23．A 【解析】 当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，若i bi a 2)(2=+，则有1a b ==- 或1a b ==，因此选A ．24．C 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p q ∧为假命题，②p q ∨为真命题，③q ⌝为真命题，则()p q ∧⌝为真命题，④p ⌝为假命题，则()p q ⌝∨为假命题，所以选C ．25．A 【解析】 从原命题的真假人手，由于12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ．26．D 【解析】 2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A 不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．27．C 【解析】当a =0 时，()f x x =，∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增；当0a <时， ()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中一个根10a <，另一个根为0，由图象可知()f x 在区间 ()0,+∞内单调递增；∴"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的充分条件，相反，当()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(0,+)∞内单调递增，∴0a =或 10a<，即0a ≤；"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C ．28．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点，则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．29．C 【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设．对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真．对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真．对选项C: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假．对选项D: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真． 所以选C ．30．B 【解析】由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确．31．D 【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ．32．C 【解析】由命题的否定易知选C ．33．A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．34．D 【解析】存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉．35．C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4πα≠”．36．A 【解析】①,,,b m m b αβαββ⊥⊥⋂=⊂,b a b a αα⇒⊥⊂⇒⊥②如果//a m ；∵b m ⊥，一定有a b ⊥但不能保证b α⊥，既不能推出αβ⊥37．D 【解析】∵,0xx R e ∀∈>，故排除A ；取x =2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1a b=-，故排除C ；应选D ． 38．B 【解析】0a =时i a b +不一定是纯虚数，但i a b +是纯虚数0a =一定成立，故“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的必要而不充分条件．39．B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ．40．A 【解析】p ：“函数()xa x f =在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数()()32x a x g -=在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．选A ．41．C 【解析】命题p 为假,命题q 也为假,故选．42．A 【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，222a b c ++≥3的否定是222a b c ++<3，故选A ．43．A 【解析】由1a b +==>得， 1cos 2θ>-， 20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。

1•解析因为y （x 1 2 x ） e x ，所以y'3e x ( x 2 3x 1),所以当x 0时，y' 3，所以 y (x 2x ）e x 在点（0,0）处的切线斜率k 3，又y 00所以切线方程为0，即y 2•解析由 y=2sinx+cosx ，得2cosx sin x ，所以2cos n sin n=-2 , 所以曲线y=2sinx+cosx 在点1）处的切线方程为y2(x n‘则该曲线在点A 处的切线方程为 ylnx °专题三导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案部分2019 年即2x y 故选C.丄（x X 。

），因为切线经过点（e, 1）, x °3•解析y xae xl nx的导数为y' ae x lnx又函数y xaexlnx在点（1，ae ）处的切线方程为2x可得ae 0 112，解得a e ,又切点为（1,1）可得1 2 b，即b 匸故选D .4•解析由题意, 可知yx 所以曲线y cosx x 在点 2 0,1处的切线方程y 1，即x 2y 2 0.5•解析设 A(x °,lnx °)，由 yInx ,1y'l x 沁x 0所以1 lnx 0e1，即 lnx 0则 x 0 e .在(2,0)上单调递减, f(x)2x 不具有M 性质.对于选项 C , f (x)3x(1)x ,则 e x f(x) e x (3)x (|)x ,e e x31，•y(3)在R上单调递减,f(x)2010-2018 年1.D 【解析】通解 因为函数f(x) x 3(a 1)x 2 ax 为奇年函数，所以f( x) f(x), 所以(x)3 (a 1)( x)2 a( x) [x 3 (a1)x 2 ax]，所以 2(a 1)x 20, 因为x R ，所以a 1，所以f (x) x 3x ，所以f (x)3x 21, 所以 f (0)1，所以曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为y x .故选D.优解一因为函数 f (x)32x (a 1)x ax 为奇函数，，所以f( 1)f(1)0，所以1 a 1 a (1 a 1a) 0 ,解得a1，所以f(x) x 3 x ,所以f (x) 3x 2 1，所以f (0) 1，所以曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为y x .故选D .322优解二 易知f(x) x (a 1)x ax x[x (a 1)x a],因为f (x)为奇函数，所以2函数g(x) x (a 1)x a 为偶函数，所以a 1 0，解得a 1，所以f (x) x 3 x ，所以f (x) 3x 21，所以f (0)1,所以曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为y x .故选D .11 e e 2. A 【解析】对于选项 A , f(x)2 x (-)x ,则 e x f (x)e x (-)x(?)x-1 ,二e x f (x))在 R 上单调递增，••• f (x) 2 x 具有M 性质•对于选项 B , f (x) x 2 , e x f (x) e x x 2, [e xf (x)] e x (x 2 2x)，令 e x (x 2 2x) 0,得 x 0 或 x 2 ；令e x (x 2 2x) 0,得2 x 0，•函数e x f(x)在(，2)和(0,)上单调递增,具有 M 性质.对于选项 D , f (x) cosx , e x f (x) e x cosx , 则[e x cosx] e x (cosx sin x)》0在R 上不恒成立，故 e x f (x) e x cosx 在R 上不是单 调递增的，所以f (x) cosx 不具有M 性质.3. A【解析】设两个切点分别为(X1,yj ,(X2,y2)，选项A中，y cosx ,cosx1cosx2 1 ,4. A【解析】设R X i , In X i , F2 X2 , In x2(不妨设x-j1,0 X2 1)，则由导数的几1何意义易得切线|1 ,|2的斜率分别为k1— , k2X i —.由已知得X21 1 kA? 1, X1X2 1, X2 ■切线l1的方程分别为y In X1 x X1 ,X1 X1切线l2的方程为y In X2 1x X2 ，即y In x x x1 X2 X1分别令X 0得A 0, 1 In x1, B 0,1P(产. 1,ln X12X12).x. 1 ,1 X 1 X1…S PAB^IY A Y B I I X p| 2 12 1咅 12X 1，二0 S RAB 1，故选A .B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在1,1］上大于零，所以原函数递增，且导函数值在［1,0］递增，即原函数在［1,1］上切线的斜率递增，导函数的函数值在［0,1］递减, 即原函数在［0,1］上切线的斜率递减，所以选B.6. D【解析】y1a ，由题意得y |x 0 2，即a 3.x 17. A【解析】•/ y3x26x •••切线斜率为3,则过(1,2)的切线方程为y 2 3(x 1),即y 3x 1 ,故选A.A【解析】y0, e0C【解析】•••y 3x2，切点为P(1,12)，所以切线的斜率为故切线方程为10. B【解析】y cosx(sin x cosx) sin x(cosx sin x)(sin x cos x)22，所以(sin x cosx)当x1 0,x2时满足，故A正确；函数y In x, y e x, y x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.3x y 95.D 【解析】因为y 4e xx 2(e 1)31，即tan >- 1,所以上-4y 2x 2【解析】由题意知，y-，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率x故所求切线方程为 y 02( x 1)，即 y 2x 2 .e 【解析】 由题意得f (x) e x ln x e则 f (1) e .y x 1【解析】•/ y 2x ，又y x1【解析】••• f (1) a ，切点为 (1,a) , f (x) 切线方程为：ya (a 1)(x 1)，令 x 1,所以切线方程为y0得出2 1 (x1),y 2x 【解析】当x 0时,所以f (x) f (xx) - x ，所以当xe丄，则切线的斜率为x则 f ( x)f (1) a 1 , l 在y 轴的截距为1又f(x)为偶函数,0 时，f(x) e x 11 ,则曲线y f (x)x 4 (sin 才 cos 才)2A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k , k y x 1 3 12 2 1，由点斜式可得切线方程为A .在点(1, 2)处的切线的斜率为f (1) 2，所以切线方程为y 2 2(x 1)，即 y 2x .1【解析】••• f (x) 3ax 2 1 ,••• f (1) 3a 1，即切线斜率 k 3a 1,a 27又•/ f(1) a 2，•切点为(1, a 2 ), •••切线过(2,7), •- -------------------------- 3a 1,1 2解得a 1.11.12.13.14.15.16.17.18.19.因此切线的方程为ye20. 3 ［解析】因为f x a 1 Inx，所以f 1 a 3.21. 8 ［解析】••• y 1丄x,••• y2，二y x lnx在点(1,1)处的切线方程为x 1y 1 2(x 1),-y 2x 1，又切线与曲线y ax1 2 (a 2)x 1相切，当a 0时,y 2x 1 与y 2x 1 平行，故a 0. ；y 2ax (a 2)，：•令 2ax a 2 2 得1 1 2x 2，代入y 2x 1,得y 2，二点(2，2)在y ax2 (a 2)x 1 的图象1 21上，故2 a (寸)2(a 2)(寸)1 ,.•. a 8.b b22.—3【解析】由题意可得5 4a -①又f (x) 2ax 「,过点P(2, 5)的切线的斜2 x—7率4a —-②，由①②解得a 1,—2，所以a — 3 .4 2123.(e,e)【解析】由题意得y In x x — 1 Inx，直线2x y 1 0的斜率为2，设xP(m, n)，则1 In m 2，解得m e，所以n elne e,所以点P(e,e).2 324.［解析】①③④ 对于①，y 3x , y |x o 0，所以I: y 0是曲线C : y x在点3P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C : y X在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正1 : y x，画图可知曲线C : y sin x在点P 0,0附近位于直线l的两侧，③正确；1 1对于④，y 厂，y艮0 2 1，在点P 0,0处的切线为l: y x，画图可cos x cos 01知曲线C : y tanx在点P 0,0附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤ y —，x y |x 1 1，在点P 1,0 处的切线为l: y x 1，令h(x) x 1 ln x(x 0),1 x 1可得h(x) 1 ，所以h(x)mi n h(1) 0 ,x x故x 1 > In x,可知曲线C : y lnx在点P 1,0附近位于直线l的下侧，⑤错误.125. 2 ［解析】y X ,则k ，故切线方程y x过点(1,2)解得2 .确；对于②，因为y 2(x 1),y |x 1 0,所以l: x 1不是曲线C : y (x 1)2在点P 1,0处的切线，②错误；对于③，y cosx,y |x 0 1，在点P 0,0处的切线为27.【解析】(I)由题意f (x) x 2ax ,所以，当a 2时，f(3) 0, f (x) x 2 2x ,所以f (3)因此，曲线y f (x)在点(3, f(3))处的切线方程是 y 3(x 3)，即3x y(n)因为g(x) f (x) (x a)cos x sin x 所以g (x)f (x)cosx (x a)sin xcosx ,x(x a) (x a)sin x令 h(x) xsin x ，贝U h (x) 1 cosx 0,所以h(x)在R 上单调递增,因此h(0)(x a)(x sin x),(3)当 a 0时，g (x) (x a)(x sin x),当 x ( ,0)时，x a 0, g(x) 0, g(x)单调递增;(1) 当a0时， g(x) (x a)(x sin x),当x (,a)时，x a0, g (x) 0 , g(x)单调递增；当x (a,0)时，xa 0, g (x)0 , g (x)单调递减；当x (0,)时， x a 0 , g (x)0 , g(x)单调递增.所以， 当xa 时， g (x)1取到极大值，极大值是 g(a)a 3 sina ,当x0时， g (x) 取到极小值，极小值是 g(0)a .(2) 当a0时， g(x)x(x sin x),当x (, )时, g (x) > 0 , g(x)单调递增；0 ,所以，当x 0时，h(x) 0 ;当 x 0时 h(x) 0 .g(x)在()上单调递增，g(x)无极大值也无极小值. 所以,当x (0, a)时，x a 0, g (x) 0, g(x)单调递减；当x (a, )时，x a 0, g (x) 0 , g(x)单调递增.所以，当x 0时,g (x)取到极大值，极大值是g(0) a;当x a时，g(x)取到极小值，极小值是1 3 .g(a) a sin a6综上所述：当a 0时，函数g(x)在(，a)和(0,)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既1 3有极大值，又有极小值，极大值是g (a) a3 sina，极小值是g(0) a .6当a 0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；当a 0时，函数g(x)在(，0)和(a,)上单调递增，在(0,a)上单调递减，函数既1有极大值，又有极小值，极大值是g(0) a，极小值是g(a) a3 sina .6x x28.【解析】(i)因为f (x) e cosx x，所以f (x) e (cosx si n x) 1, f (0) 0 . 又因为f(0) 1，所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 1.(n)设h(x) e x(cosx sin x) 1 , x ［0,?］，则h (x) e x(cos x sin x sin x cosx) 2e x sin x .当x (0导时，h(x) 0 ,所以h(x)在区间［0,—］上单调递减.2所以对任意x (0,亍］有h(x) h(0) 0，即f (x) 0 .所以函数f(x)在区间［0,］上单调递减.2所以当x —时，f (x)有最小值f ( ) e2 cos —2 2 2 2 2当x 0 时，f(x)有最大值f (0) e0cos0 0 1.3 2 229.【解析】(I)由f x x ax bx c，得f x 3x 2ax b.因为 f 0 c , f 0 b , 所以曲线y f x 在点0, f 0处的切线方程为y bx c(II )当 a b 4 时，f xx 3 4x 2 4x c ,所以f x3x 2 8x 4.令f x0，得 3x 2 8x 40，解得x 2或x23f x 与f x 在区间 ,上的情况如下:所以， 32 2当c 0且c0时， 27存在X i 4, 2 ,X 22,3X 32 2,0 ，使得 f x , f3x2f X 30 .由f x 的单调性知，当且仅当c 0,3232时，函数27f Xx 4x 4x c 有三个不同零点.(III ) 当4a 2 12b 0 时， f x23x 2axb 0, x ,,此时函数f x 在区间 ，上单调递增，所以f x 不可能有三个不同零点.当 24a 12b0 时，f x3x 2 2ax b 只有 个零点, 记作 X g . 当x ,x 0 时，f x 0, f x在区间，X Q上单调递增； 当xx g ,时，f X 0 ,f x 在区间X Q ,上单调递增.所以 f x 不可能有三个不同零点.综上所述，若函数 f x 有三个不同零点，则必有4a 2 12b 0 .所以k 1时，方程f (x)g(x)在(k, k 1)内存在唯一的根.故a 3b 0是f x 有三个不同零点的必要条件.当a b 4, c 0时，a 2 3b 0 , f x x 3 4x 2 4x x x 2只有两个不同零 点，所以a 2 3b 0不是f x 有三个不同零点的充分条件.2因此a 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.30.【解析】(I)由题意知，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f'(1) 2 , 又 f '(x) ln x -1,所以 a 1 .x(n) k 1时，方程f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根.2、口x 设 h(x) f (x) g(x) (x 1)lnx —,e当 x (0,1］时，h(x) 0 ,44 又 h(2) 3ln 2 右 In8 —110,ee所以存在x 。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =， 则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤．14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰． 19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率为22=S S e阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ． 30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e-+-+=． 令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得1x =，2x =当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知263,6a x -=≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤，∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >． 当2m =时，函数()12x f x e x '=-+在()2,-+∞单调递增． 又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ， 于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ． （证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式， 当>0x时，+1+1=+2xx +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ， 即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++()()=7-18<04+1x x x ． 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6x f x x ． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3()(33x x+-，当(,3x ∈-∞-和3+∞）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '， 因此，()f x的单调递增区间为(,-∞-和+∞），单调递减区间为(． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --， 即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠ 因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3b a-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a -平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。

高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理 含解析【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i ＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx ＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作f(x)dx ，即f(x)dx ＝f(ξi).1n i =∑1n i =∑lim n →∞1n i =∑在f(x)dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x) ，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)(cos x＋1)dx＝________.(2)|x2－2x|dx＝________.(3)(2x＋)dx＝________.[答案] (1) π(2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π.(2)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝＋4＋4－＝8.(3)dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，∴dx＝.又∵ 2xdx＝x2＝1，∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝1＋.。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2+b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。