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二项展开式中的系数问题
耿宏
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1996(000)006
【摘要】二项展开式中的系数问题耿宏（甘肃省徽县一中７４２３００）二项展开式中的系数问题不仅是二项式定理中最重要的一部分，更是高考的必考内容．纵观从１９８４年至１９９６年这十三年的高考数学试题，从未间断对这部分内容的考察，但就题目类型和解决方法而言，不外乎下面...
【总页数】4页(P30-33)
【作者】耿宏
【作者单位】甘肃省徽县一中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.例析二项展开式中项的系数问题 [J], 刘亚辉
2.二项展开式中系数问题的六种形式及求解策略 [J], 黄利林
3.二项展开式中系数问题的四种形式 [J], 冯寅
4.二项展开式中系数最大值问题的探究学习 [J], 何勇;鲁芝珍
5.二项展开式中系数最大值问题的探究学习 [J], 何勇;鲁芝珍
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不知不觉，以记录自律生活为题材的短视频开始在各大网络平台上走红。
一些博主将自己坚持早起、每日锻炼、认真学习的自律状态以短视频的形式发布到网上，展示自律带来的改变，在赢得网友羡慕的同时，也引来了不少年轻人的跟风“打卡”。
（陈述现象：以记录自律生活为题材的短视频在网上走红，引来网友的关注。
“透过现象看本质”的议论文，需先陈述现象，为下文的论述提供议题，这也是“以小见大”的基础。
）何为自律？顾名思义，就是在不依靠外在的监督下，实现自我管理。
不过，将自律状态发布到网上，寻求一种外向的展示，如此注重形式，似乎有些喧宾夺主。
那自律为何会成为年轻人追捧的品质？又为何需要在网上“打卡”？这背后的原因，值得我们深思。
（承上启下。
先诠释自律，指出其与“网上发布”相矛盾；接着照应标题，追问自律为何会成为年轻人追捧的品质，引出下文探源。
）在自律成为年轻人推崇的品质的背后，是“很难自律”已经成为不少年轻人的生活常态：下班后只想在沙发上“葛优躺”，打开游戏就忘了睡觉，锻炼完就忍不住喝可乐……这种放任的生活态度，不仅是因为工作的忙碌与劳累，更多的是出于一种“自律，似乎也不会让自己立刻就变得更好”的心理。
（先揭示自律成为年轻人追捧的品质的原因是年轻人的“很难自律”，接着列举年轻人不够自律的诸多表现，最后进一步分析年轻人不够自律的根本原因：既是忙碌劳累，也是人们普遍存在的“自律不会让自己立刻变得更好”的心理。
层层推进，追根溯源。
）互联网带来的信息，在方便了人们的生活的同时，也在输出“成功焦虑”。
“人均985，年薪超百万”，网络中各色“成功人士”形象光鲜，在各自耕耘的领域中有着傲人的成就，让人赞叹“比你优秀的人还比你努力”。
这些信息无形中给年轻人带来了压力——好像无论怎样努力，都无法达到他人的高度。
由此，点滴的积累和不断的努力开始显得微不足道，得过且过便成为不少年轻人的选择。
（进一步剖析年轻人缺乏自律的深层原因：“成功焦虑”带来的巨大压力，让年轻人认为努力无济于事，不会达到别人的高度，所以得过且过。
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
2020年12月1日理科考试研究•数学版• 31 •棱长都为及，各顶点都在同一个球面上，则此球的体 积为______•3结语本文充分利用空间内过不共面四点有唯一外接 球的唯一性将四棱锥的外接球问题转化为三棱锥（四面体）的外接球问题进行求解，再借助三棱锥中现有的模型简化计算，达到快速解题的目的.同时本文还从唯一性角度将静态四面体的外接球问题采用动态的方法求解，即换一个等价的四面体来求解，这是对球唯一性的巧妙应用.参考文献：[1]李海玲.四面体外接球的半径求法[J].数理化解题研究，2016(28) :22.(收稿曰期：2020-08 -03)高考二项I幵式糸教问题分类例析陈东(高台县第一中学甘肃张掖734300)摘要：本文举例说明由二项展开式的通项公式，根据题意建立方程或方程组，从而解决二项展开式中指定项系数、常数项、二项式中的参数等问题，解题过程体现了方程、转化与化归的数学思想.关键词：二项展开式；系数；通项公式；方程二项式定理是高中数学的重点内容之一，其中二项展开式系数问题是二项式定理的重要应用也是高考常考知识点.本文结合近几年高考题，对二项展开式系数问题的相关题型及解题思路进行归类分析，供大家参考.1二项展开式中指定项的系数问题例题1(2020年天津卷理）在U+%)5的展开X式中,y的系数是_____.解析因二项式U + 4)5的展开式的通项为X9rr t l =c^5-r(4)r-Q2V-3r,X由题意，令5 -3r= 2,得r= 1.则i的系数为20 = 10.2二项展开式中常数项问题例题2 (2020年全国瓜卷理）（*2+|)6的展开式中常数项是______(用数字作答）.解析因二项式（V +i)6的展开式的通项为Xr r+1 =c6(x2)6-r(^y =c62r x i2~3r,由题意，令12 -3r=0,得r=4.则常数项为C〗24 =240.评注求二项展开式中指定项的系数或常数项，根据二项式定理写出二项展开式的通项公式，由题意 确定次数G即可求出指定项的系数或常数项.3二项式中的参数问题例题3 (2015年全国II卷理）（a+;〇 (1 +x)4的展开式中％的奇数次幂项的系数之和为32,则a=_______•解析因（1 + 幻4 = + C h2 + + C^4 = 1 + 4x + 6j c2 + 4a:3 +x4,则（a+;〇(l + s〇4 的展 开式中的奇数次幂项分别为4cw：，4(m：3,x，6*3,x5，其 系数之和为4a+4a + l +6 + 1 =32,解得a=3.例题4 (2〇14年安徽卷理）y个设a_0,n是大于1的自然数，（14+三）"的展开式为a。
二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B (4,0)，则下列结论中：①abc>0②4a+b>0；③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点，若0<x1<x2，则y1>y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m―3)(m+3)<b(3―m)；⑤AB≥3，则4b+3c>0，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线x=2右侧，即―b2a>2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出b=―6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出a =―4b+c 16，再根据AB ≥3，得到y =a +b +c ≥0，进而得出4b +5c ≥0，再结合c <0，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．解：∵抛物线开口线下，与y 轴交于负半轴，∴a <0，c <0，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a 、b 异号，∴b >0，∴abc >0，①结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴对称轴在直线x =2右侧，即―b 2a >2，∴2―<0，∴4a+b2a <0，∵a <0，∴4a +b >0，②结论正确；M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点，且0<x 1<x 2，∵0<x <―b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >―b2a 时，y 随x 的增大而减小；∴无法判断y 1和y 2的大小，③结论错误；∵抛物线的对称轴是直线x =3，∴―b 2a =3，即b =―6a ，∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2，∵a <0，(m ―3)≥0，∴a (m ―3)2≤0，∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m )，④结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴当x =4时，y =16a +4b +c =0，∴a =―4b+c 16，∵AB ≥3，∴点A 的横坐标0<x A ≤1，∴当x =1时，y =a +b +c ≥0；∴―4b+c 16+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，∴4b +3c ≥―2c ，∵c <0，∴2c >0，∴4b +3c >0，⑤结论正确；∴正确的结论有①②④⑤，共4个，故选：B ．1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称，与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）A ．abc <0B ．b =2aC ．4a ―2b +c >0D ．a ―b ≤m (am +b )（m 为任意实数）2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x =―1，则下列结论中：①b c >0 ②am 2+bm ≤a ―b （m 为任意实数） ③3a +c <1④若M (x 1,y )、N (x 2,y )是抛物线上不同的两个点，则x 1+x 2≤―3．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (3,0)，与y 轴交于点B ，对称轴为直线x =1，下列四个结论：①bc <0；②3a +2c <0；③ax 2+bx ≥a +b ；④若―2<c <―1，则―83<a +b +c <―43，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．44．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点1，1，m ，0，3，0，若c <0，则下列结论中错误的是（ ）A ．ab <0B ．4ac ―b 2<4aC ．3a +b <0D ．点2+m ，1必在该抛物线上5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y =ax²+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x =1．下列结论：①abc >0；②2a +b =0；③4a ―2b +c =0；④方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根；⑤若点A (m,n )在该抛物线上，则am²+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc <0；②―2b +c =0；③4a +2b +c <0；④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m (am +b )（其中m ≠12），其中说法正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②④⑤D ．②③④⑤7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc <0；②a +b +c >0；③2a ―c >0；④点(―2,y 1)，(4,y 2)都在抛物线上，则有y 1>y 2；⑤不等式ax 2+bx +c <―cx 1x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图像的一部分如图所示，该函数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x =2．对于下列结论： ①b >0；②a +c <b ；③多项式ax 2+bx +c 可因式分解为(x +1)(x ―5)；④无论m 为何值时，代数式am 2+bm ―4a ―2b 的值一定不大于0．其中正确个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0)，顶点坐标为(1,n )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）①当x >3时，y <0；②3a +b >0；③―1≤a ≤―23；④83≤n ≤4．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y =ax²+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴负半轴交于―12,0，对称轴为直线x =1． 有以下结论∶ ① abc <0；②3a +c >0；③若点(―3,y 1)，(3,y 2)，(0,y 3)均在函数图象上，则 y 1>y 3>y 2；④若方程a (2x +1)(2x ―5)=1的两根为x 1、x 2，且x 1<x 2则 x 1<―12<52<x 2；⑤点 M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ， 使得， 则a 的范围为a ≥23．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，顶点坐标为―12,m ．对于下列结论：①abc <0；②a +b +c =0；③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，则m <3；④am 2+bm <14(a ―2b )）（其中m ≠―12）﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有（ ）A ．②③④B ．②③⑤C ．②③D ．④⑤12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①abc <0；②4a +c <2b ；③b c +1m =1；④am 2+(2a +b )m +b +c <0；⑤|am +a |=确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．513．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的部分图象如图，图象过点(―1,0)下列结论：①b 2>4ac ；②4a +b =0；③4a +c >2b ；④―3b +c =0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程ax 2+bx +c =5没有实数根．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0)，与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a+b+c<0；②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上，则y1<y2；③若m为任意实数，则a(m2―4)+b(m―2)≥0；④―24≤5 (a+b+c)<―16．其中正确结论的序号为．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：①abc<0；②4a+2b+c=0；③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，则x T=1；④抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，P在Q的左边，若x1+x2>2，则y1<y2；⑤b2―4ac<―4a，请将所有正确的序号填在横线上．16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，若am2+bm+c=p，则p(m―x1)(m―x2)≤0．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c)2<4b2；④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1；3⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有（填序号）．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，对称轴为直线x =―12．对于下列结论：①abc <0；②b 2―4ac >0；③a +b +c =0；④am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12）；⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有 ．（填写序号）19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc >0；②5b +2c <0；③若抛物线经过点(―6,y 1),(5,y 2)，则y 1>y 2；④若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =4无实数根，则n <4．其中正确结论是 （请填写序号）．20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，>1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b24at>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤1，其中正确的是3(填序号即可)．二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
