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1.4生活中的优化问题举例教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？求导数，得，解得16(16x x ==-舍去）。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
3.4 生活中的优化问题举例5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为__________ m 时，帐篷的体积最大．解析：设OO 1为x m ，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x －2＝8＋2x －x 2(m)，于是底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2) ＝32(8＋2x －x 2)[]x －＋3＝32(16＋12x －x 3)， V ′＝32(12－3x 2)． 令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0. 所以当x ＝2时，V 最大． 答案：27．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖出的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)由(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432. 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，f (21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．8．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在A B 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数f (x )；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断A B 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB ＝90°，|AC |＝ x km ，|BC |＝400－x 2km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k 400－x2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0＜x ＜20)．又垃圾处理厂建在A B 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，故有4102＋1022＋k400－102＋1022＝0.065，解得k ＝9，故y ＝f (x )＝4x2＋9400－x2(0＜x ＜20)．(2)f′(x)＝－8x3＋18x－x22＝18x4－－x22 x3－x22＝x2＋x2－x3－x22.令f′(x)＝0，解得x＝410或x＝－410(舍去)．所以当x∈(0,410)时，f′(x)＜0，y为减函数；当x∈(410，20)时，f′(x)＞0，y为增函数．故在x＝410处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为410 m时，对城A和城B的总影响最小．(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( )A．sin x B．cos xC．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( )A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2解析：选C 因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y＝－3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0， 22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1B.12C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t(t 的单位：s ，S 的单位：m)，则物体在时刻t＝2时的速度v 与加速度a 分别为( )A.154 m/s ，94m/s 2B.152 m/s ，92 m/s 2C.92 m/s ，154m/s 2D.94 m/s ，154m/s 2解析：选A S ′(t )＝2t －1t2，∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154(m/s)．令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t2，∴g ′(t )＝2＋2t －3，∴a ＝g ′(2)＝94(m/s 2)．8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)， f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，253C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫253，＋∞D ．[9，＋∞)解析：选C ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上恒成立， ∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上递增，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C.12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x ＜f (x )，且f (2)＝0，则f xx＞0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅解析：选A ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＝fxx －f xx2＜0，∴f xx在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (2)＝0，∴f2＝0.∴f xx＞0的解集为0＜x ＜2，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x －1＝1－2x 2x ，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：1415．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2x 2＋2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a >0)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝f (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递减区间为(0,1)， 单调递增区间为(1，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝x －ax 2(0<x ≤3)， 则k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12，所以a 的最小值为12.19．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本C ＝25 000＋200x ＋140x 2(单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x40，y ′＝－25 000x 2＋140， 令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时y ′＜0，当在x ＝1 000附近右侧时y ′＞0，故当x ＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240 ＝300x －25 000－x 240.L ′＝300－x20，令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时L ′＞0，当在x ＝6 000附近右侧时L ′＜0，故当x ＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x－k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x－x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x－12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x－x －1，令g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0得x <0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. ∴f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (x ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x －a x ＋ax，∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0； 当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立，理由如下：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x＝x －x 2＋x ＋x＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0，∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，所以f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：11因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， 所以－43＜k ＜283.所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.。
3.4 生活中的优化问题举例导数实际应用中的三类问题导数有着广泛的应用,比如:一.最优化问题例1. 从一块边长为a 的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形（如图),然后按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子，要截去多大的小四边形方使盒子容积最大？分析: 将四边形分解成两个全等的直角三角形，将盒子高作为自变量，体积作为因变量，建立函数关系，运用导数求解．解: 设盒子的高为x,则盒子的底面边长为(x a 32-),得x<a 183或x ＞a 63. ∴V 在x ∈(0,a 183)上为增函数，在(a 183,a 63)上为减函数， ∴V 在x=a 183处取得最大值，此时小四边形面积21083183183a a a S =⋅=. 答：截去三个面积都为21083a 的四边形时，盒子的容积最大. 评析: 解空间几何体有关的最值问题，要熟悉相关几何体的形和数的特征．二.学科间综合问题例2.如图,已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．分析:由抛物线y=4-x 2的图象性质可知，矩形是关于y 轴对称的，设矩形的长为2x ，则宽为4-x 2，利用面积公式，运用导数求解．解: 设矩形的长为2x ，则宽为4-x 2,矩形面积S=2x(4-x 2）=8x-2x 3 (0<x<2),∴S '=8-6x 2, 令S '＞0得-332< x <332, ∴S 在(0, 332)上为增函数，在(332，2)上为减函数． ∴当x=332时，矩形面积最大. 答: 当矩形的长、宽分别为334和38时矩形面积最大. 评析: 这是与解析几何有关的问题，本题充分利用了抛物线的图形特征和数量特征．三.方案设计类例3. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1.x(a ) (b )分析: 本例主要考查利用导数研究函数单调性、求最值等基础知识，解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.在第(2)问中,有多种设计方案,哪一种容器的容积最大呢?当然,原材料不浪费的情况下,最为优化.解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，∴V 1=（4－2x ）2·x =4（x 3－4x 2+4x ）（0＜x ＜2）.∴V 1′=4（3x 2－8x +4）.令V 1′=0，得x 1=32，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －32）（x －2）， 又当x ＜32时，V 1′＞0；当32＜x ＜2时，V 1′＜0， ∴当x =32时，V 1取最大值27128. （2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.故第二种方案符合要求.23 114① ② ③解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．。
3.4 生活中的优化问题举例【基础巩固】1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2()(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为( B )(A)30 (B)40 (C)50 (D)60解析:V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时V′(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.故选B.2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )(A)8 (B)(C)-1 (D)-8解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选C.3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( B )(A)2和6 (B)4和4(C)3和5 (D)以上都不对解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0≤x≤8,y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当4<x≤8时,y′>0,所以当x=4时,y 取得极小值,也是最小值.故选B.4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( A )(A)()3π(B)()3π(C)()3π(D)()3π解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,所以h=,V=πr2h=πr2-2πr3(0<r<).则V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,V取得最大值,最大值为()3π.故选A.5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为( A )(A)3.2% (B)2.4% (C)4% (D)3.6%解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y′=0.096kx-3kx2.令y′=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0<x<0.032时,y′>0;当0.032<x<0.048时,y′<0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.故选A.6.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为.解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙壁总长度L=2x+(x>0),则L′=2-.令L′=0,得x=±16.因为x>0,所以x=16.当x=16时,L min=64,此时堆料场的长为=32(米).答案:32,167.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为件时,总利润最大.解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p2=,p=,x>0.设总利润为y万元,则y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200.求导数得,y′=-x2.令y′=0得x=25.故当x<25时,y′>0;当x>25时,y′<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.答案:258.(2018·南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35],即y=+300x(0<x≤35).(2)由(1)知,y′=-+300,令y′=0,解得x=40或x=-40(舍去).因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当0<x≤35时, y′<0, 所以y=+300x在(0,35]上单调递减,故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.故为了使全程运输成本最低,轮船应以35海里/时的速度行驶.【能力提升】9.(2018·西安高二质检)某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x月的销售量f(x)=-3x2+40x(x∈N*,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(x∈N*,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( B )(A)3 120元(B)3 125元(C)2 417元(D)2 416元解析:该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12),g′(x)=18x2-370x+1 400.令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去).当1≤x≤5时,g′(x)>0;当5<x≤12时,g′(x)<0,所以当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(元).综上,5月份的月利润最大,是3 125元.故选B.10.(2018·杭州高二检测)在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为( D )(A)(B)r (C)r (D)r解析:设梯形的上底长为2x(0<x<r),高为h,面积为S.因为h=,所以S==(r+x)·.所以S′=-==.令S′=0,得x=(x=-r舍去),则h=r.当x∈(0,)时,S′>0;当<x<r时,S′<0.所以当x=时,S取极大值,也就是最大值.所以当梯形的上底长为r时,它的面积最大.【探究创新】11.(2018·宁波高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.解析:设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以两项费用之和为y=+(x>0),y′=-+,令y′=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y′<0;当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:5。
高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时解析：选C.y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝8或t ＝－12(舍去)， 则当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t ≤9时，y ′<0，所以当t ＝8时，通过该路段所用的时间最多．2．把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选D.设一段为x ，则另一段为12－x (0<x <12)， 则S (x )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32×32＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32×32 ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 29－8x 3＋16，所以S ′(x )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫49x －83. 令S ′(x )＝0，得x ＝6， 当x ∈(0，6)时，S ′(x )<0， 当x ∈(6，12)时，S ′(x )>0， 所以当x ＝6时，S (x )最小．所以S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19×62－83×6＋16＝23(cm 2)． 3．已知生产某产品x 单位的成本为C (x )＝5x ＋200(元)，所得收益为R (x )＝10x －0.01x 2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L 最大( )A ．200B ．250C ．300D ．260解析：选B.总利润L ＝R (x )－C (x )＝5x －0.01x 2－200，L ′＝5－0.02x ，令L ′＝0，得x ＝250.易知x ＝250是唯一的极大值点．因此，生产250单位的产品才能使总利润最大．4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000(0≤x ≤390)．P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300. 当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．故选D.5．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：选D.设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，则长为x m 的一边的邻边长度为16x m ，则l ＝16×15＋(2×3x ＋2×3×16x)×12＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________．解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：－17．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2， 所以V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．答案：43R8．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0，25)时，y ′>0；当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以x ＝25时，y 取最大值． 答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m ，则宽为2 400xm ，绿化区域的总面积为S (x ) m 2.则S (x )＝(x －6)⎝⎛⎭⎪⎫2 400x －4＝2 424－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋6×2 400x＝2 424－4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3 600x ，x ∈(6，600)．所以S ′(x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫1－3 600x2＝－4（x ＋60）（x －60）x2. 令S ′(x )>0，得6<x <60；令S ′(x )<0，得60<x <600. 所以S (x )在(6，60)上是增函数，在(60，600)上是减函数， 所以当x ＝60时，S (x )取得极大值，也是最大值， 所以S (x )max ＝S (60)＝1 944.所以当休闲广场的长为60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m 2.10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0，21]．(2)对(1)中函数f (x )求导得f ′(x )＝－18(x －2)(x －12)且f ′(x )的变化情况如下表：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，f (21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．[B 能力提升]11．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2解析：选A.设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. 所以S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6解析：选B.依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 13.如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解：设AD ＝2x (0<x <2)， 则A (x ，0)，AB ＝y ＝4－x 2，所以矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0，所以，当x ＝23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83，433时，矩形的面积最大．14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a －x ) 和x 2的乘积成正比；②当x ＝a2时，y ＝a 3，并且技术改造投入比率为x2（a －x ）∈(0，t ]，t 为常数且t ∈(0，2]．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y 的最大值及相应的x 值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2， 当x ＝a2时，y ＝a 3，即a 3＝k ·a 2·a 24，解得k ＝8.所以f (x )＝8(a －x )x 2. 因为0＜x2（a －x ）≤t ， 所以函数的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2at 2t ＋1. (2)因为f (x )＝8(a －x )x 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤2at 2t ＋1， 所以f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍去)或x ＝2a 3.当0＜x ＜2a 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上是增函数；当x ＞2a3时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上是减函数． 所以x ＝2a 3为函数f (x )＝8(a －x )x 2的极大值点．当2at 2t ＋1≥2a 3，即1≤t ≤2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝3227a 3；当2at 2t ＋1＜2a 3，即0＜t ＜1时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2at 2t ＋1＝32a 3t 2（2t ＋1）3.综上可得，当1≤t ≤2时，投入2a 3万元，y 的最大值为3227a 3；当0＜t ＜1时，投入2at 2t ＋1万元，y 的最大值为32a 3t2（2t ＋1）3.。
