广东省深圳市2016届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题

2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，则=B A （ ）A ．{}13|≤≤-x x B ．{}10|≤<x x C ．{}23|≤≤-x x D ．{}2|≤x x 2．设i 为虚数单位，复数z 满足i i z 43+=⋅，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量a 、b2=1=，a 与b 的夹角为︒120，且()()b a b a -⊥+2λ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．34．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+0033022x y x y x ，则y x z -=的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．25．公差为1的等差数列{}n a 中，631,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 6．若函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像过点)1,6(π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12π=x B ．125π=x C ．6π=x D ．3π=x7．62)1)(2(xx x -+的展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．558．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图， 则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．24B ．52C ．6D ．34 9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中 的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．94 B ．274 C ．649 D ．64310．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21，3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．21 11．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．()+∞,2C ．()2,1D ．()2,1 12．函数x ax x x f +-=2ln )(有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()1,∞- C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-21,e e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+21,0e e二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知)(x f ，)(x g 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且x x g x f 3)()(=+，则)1(f 的值为______14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这 就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出的值为_______（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）15．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线 交于B A ,两点，若弦AB 的垂直平分线经过点)2,0(，则p 等于_______16．数列{}n a 满足)2(,2,211212≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---n na a na n a n n n n ，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是_______三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，D 是BC 上一点，31=AB ，20=BD ，21=AD（1）求B ∠cos 的值；（2）求BAC ∠sin 的值和边BC 的长18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位)31,27[∈X 的概率（结果用分数表示）； （2）该河流对沿河A 企业影响如下：当)27,23[∈X 时，不会造成影响；当)31,27[∈X 时，损失10000元；当)35,31[∈X 时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60ABC ，PB PA ⊥，2=PC（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）若PB PA =，求二面角D PC A --的余弦值20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，直线03=++y x 与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆3:22=+y x O 截得的弦长为3，且与椭圆E 交于B A ,两点，求ABO ∆面积的最大值21．（本小题满分12分）已知函数x e x x f )1()(+=和函数2)1)(()(--=x a e x g x （e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）判断函数)(x g 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数)(x g 存在极值为22a ，求a 的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，BC AB ⊥，D 为BC 边上异于C B ,的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交AD AC ,于点F E ,（1）证明：D F E C ,,,四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3=AF ，1=FD ，求AE 的长23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ）（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求OBOA 11+的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(-++=x a x x f （R a ∈） （1）当1=a 时，求不等式8)(+≥x x f 的解集； （2）若函数)(x f 的最小值为5，求a 的值。

2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2} C．{0，1}D．{﹣1，0}2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2| B．|z1|=|z2| C．|z1|＞|z2| D．无法比较4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时B．2.24小时C．3.56小时D．4.32小时5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增 D．|f（x）|的值域是[0，1]6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．48．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1] B．（1，2] C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是．（填上所有正确选项的序号）14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2} C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入B求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：把x=﹣1，0，1代入得：y=2，0，即B={2，0}，∵A={﹣1，0，1}，∴A∩B={0}，故选：A．2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，可得m﹣4=2（﹣1），解得m=2．故选：B．3．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2| B．|z1|=|z2| C．|z1|＞|z2| D．无法比较【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则分别化简z1，z2，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：z1====﹣i，∴|z1|=1．∵，∴|z2|==1，则|z1|=|z2|．故选：B．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时B．2.24小时C．3.56小时D．4.32小时【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用同一组数据所在区间的中点值乘以对应的频率，再求和即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间为=0.12×2×1+0.20×2×3+0.10×2×5+0.08×2×7=3.56（小时）．故选：C．5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增 D．|f（x）|的值域是[0，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期T==π，选项A正确；由2x=kπ可得x=，k∈Z，∴x=是f（x）的一条对称轴，选项B正确；由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+≤x≤kπ+π，∴函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，C错误；|f（x）|=|cos2x|，故值域为[0，1]，D正确．故选：C6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．8．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的图象．【分析】根据奇偶函数图象的对称性排除A、C；利用特殊点排除D，从而得到答案．【解答】解：由f（x）=xcosx为奇函数知，其图象关于原点对称，排除A、C；又f（π）=πcosπ=﹣π＜0，故排除D；故选B．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得sin（）=，从而可得sin（）=，结合α的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值得解．【解答】解：因为：sinα+cosα=，所以： sin（）=，所以：sin（）=．又因为：﹣＜α＜，可得：，所以： =，解得：．故选：A．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意AB=6，BC=8，AC=10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，所以R2=（R）2+52，解得R2=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：C．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1] B．（1，2] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是①④．（填上所有正确选项的序号）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（0，+∞）上的单调性，从而写出在（0，+∞）上为减函数的序号．【解答】解：∵x∈（0，+∞）；①x增大时，增大，﹣减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；②x增大时，x+1增大，log2（x+1）增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；③x增大时，x+1增大，减小，增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；④x增大时，x﹣1增大，减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；∴在（0，+∞）上为减函数的是①④．故答案为：①④．14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是全胜．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意可得，共有6胜6负，由甲，乙，丙的成绩，运用补集思想即可求出丁的成绩．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行=6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．故答案为：全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先由正弦定理，有=，进而根据双曲线的几何性质，可得|CB|=2c=4，|AB|﹣|CA|=2a=6，代入，即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理：在△ABC中，有=，又由题意C、B分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|=2c=10，且△ABC的顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|=2a=6，则===．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知， ==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．【解答】解：（Ⅰ）由表格数据，作出茎叶图：A户型销售价格的中位数是=3.0，B户型销售价格的中位数是=4.0．（Ⅱ）若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是=，若选择B户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，成功购房的概率是，∵，∴该员工选择购买A户型住房的概率较大．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取BC中点M，连结AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等边三角形的性质得出BC⊥B1M，故BC⊥平面AB1M，故而AB1⊥BC；（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B1M，从而B1M⊥平面ABC，故而B1M为棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解出AB．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1⊂平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），•=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F1、F2，∴设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1，∵•=0，且AF1=AF2，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆E的方程是．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，整理，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，①∴，∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1，代入方程①中，得到，解得x=﹣，代入直线l的方程中，得y=，即P（﹣，），又∵直线l与圆x2+y2=r2相切，∴r===，∵|OP|==，∴|PQ|===，S△OPA=．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x+a，∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=e0+a=1+a=0，则a=﹣1，又f（0）=1+b=1，则b=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x﹣x，则不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立等价为e x≥mx+n，即e x﹣mx﹣n≥0，设g（x）=e x﹣mx﹣n，则g′（x）=e x﹣m，当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立，当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=e lnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0，即m﹣mlnm≥n，2m﹣mlnm≥m+n，令h（m）=2m﹣mlnm，则h′（m）=1﹣lnm，令h′（m）=0得m=e，当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减，故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e，∴e≥m+n，故m+n的最大值为e．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆C3的普通方程，解方程组得出交点坐标；（2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程．【解答】解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．联立方程组，解得或．联立方程组，解得或．∴M（﹣，﹣1），N（，﹣1）．（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，则（r﹣1）2+=r2，解得r=2．∴圆心坐标为（0，﹣2）．∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4．即x2+y2+4y=0．∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=0，即ρ=﹣4sinθ．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2016.2.25一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，则=B A （ ）A ．{}13|≤≤-x xB ．{}10|≤<x xC ．{}23|≤≤-x xD ．{}2|≤x x 2．设i 为虚数单位，复数z 满足i i z 43+=⋅，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知平面向量a 、b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为︒120，且()()b a b a -⊥+2λ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．34．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+0033022x y x y x ，则y x z -=的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．25．公差为1的等差数列{}n a 中，631,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ）A ．65B ．80C ．85D ．170 6．若函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像过点)1,6(π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ）A ．12π=x B ．125π=x C ．6π=x D ．3π=x 7．62)1)(2(xx x -+的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．24B ．52C ．6D ．349．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中 的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．94 B ．274 C ．649 D ．643 10．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21，3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．21 11．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．()+∞,2C ．()2,1D ．()2,1 12．函数x ax x x f +-=2ln )(有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()1,∞- C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-21,e e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+21,0e e二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知)(x f ，)(x g 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且xx g x f 3)()(=+，则)1(f 的值为______ 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无 限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这 就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出的值为_______（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）15．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线 交于B A ,两点，若弦AB 的垂直平分线经过点)2,0(，则p 等于_______16．数列{}n a 满足)2(,2,211212≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---n na a na n a n n n n ，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是_______三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，D 是BC 上一点，31=AB ，20=BD ，21=AD（1）求B ∠cos 的值；（2）求BAC ∠sin 的值和边BC 的长18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位)31,27[∈X 的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当)27,23[∈X 时，不会造成影响；当)31,27[∈X 时，损失10000元；当)35,31[∈X 时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60ABC ，PB PA ⊥，2=PC （1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）若PB PA =，求二面角D PC A --的余弦值20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，直线03=++y x 与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆3:22=+y x O 截得的弦长为3，且与椭圆E 交于B A ,两点，求ABO ∆面积的最大值21．（本小题满分12分）已知函数xe x xf )1()(+=和函数2)1)(()(--=x a e x g x（e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）判断函数)(x g 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数)(x g 存在极值为22a ，求a 的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，BC AB ⊥，D 为BC 边上异于C B ,的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交AD AC ,于点F E ,（1）证明：D F E C ,,,四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3=AF ，1=FD ，求AE 的长23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ） （1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求OBOA 11+的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(-++=x a x x f （R a ∈） （1）当1=a 时，求不等式8)(+≥x x f 的解集； （2）若函数)(x f 的最小值为5，求a 的值。

深圳市2016年高三年级高考模拟考试试题细则 试题序号考纲范围试题考点考试分值备注1集合概念、交集5　2复数复数的概念及运算5　3简易逻辑充要条件与不等式5　4线性规划线性规划求最值5　5数列等差、等比数列的概念及性质5　6算法初步流程图5　7直线与圆平行直线、距离5　8圆锥曲线双曲线渐近线、离心率5　9三角函数图像与性质5　10几何初步三视图、表面积5　11圆锥曲线与方程直线与抛物线5　12函数与导数函数的零点、极值、单调性5　13导数切线5　14平面向量数量积5　15立体几何正方体的截面、球的体积5　16数列递推数列、周期性5　17三角函数与解三角形三角诱导公式、图像与性质、正余弦定理12　18概率与统计概率、独立性检验12　19立体几何直线和平面的位置关系、探究、推理论证能力12　20圆锥曲线与方程直线与圆、椭圆的位置关系、方程12　21函数、导数与不等式导数的运算及导数的应用、分类讨论12　22平面几何选讲圆的切线和割线性质，三角形相似10　23坐标系与参数方程圆的极坐标和普通方程互化、直线参数方程应用10　24不等式选讲绝对值不等式、恒成立问题10　说明：其中1，10,12,14,15,16，18,20,23等题基本原创，其余为改编深圳市2016年高考模拟试题命题比赛参赛试题(3)文科数学本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．．若集合，，则A． B．C． D．2．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为A． B． C． D．3．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设x、y 满足约束条件则的最小值是．A．4 B．1 C．10 D．2开始k< 2016输出S结束否是（第6题）图5．已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则A．2 B．4C．8 D．166．如果执行如右图的程序框图，那么输出的S值是A．B．2C．2016 D．7．若直线与平行，则与间的距离为A． B． C． D．．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D．（第9题）-22229．函数的部分图象如图所示．若函数在区间上的值域为, 则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知某正四面体（棱长都相等）的三视图如图正视图222侧视图俯视图所示，则其表面积为A． B．C． D．．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=2|BF|，的方程为．A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝或y＝C．y＝或y＝ D．y＝或y＝12．已知函数，下列结论中错误的是A．B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极大值点，则在区间单调递增D．若，则是的极值点第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．函数的图像在点处的切线方程为，为的导数，则=________.14．已知正方形的边长为2，E、F分别为BC、CD 的中点，则＝_______.15.在如图所示的正方体中，已知过三边中点所作正方体截面面积为，则三棱锥的外接球的体积为_______.16. 数列{a n}满足且，则.三、解答题:（本大题共6小题,满分70分，解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数（1） 求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且, 角满足，若，求的值．18．（本小题满分12分）2016届高考我省准备改用全国卷模式，模式变化之后，本届高三学生都进行了一些适应性训练，为了解本届高三学生对改革的适应能力与性别是否有关，特对我校500名高三学生进行调查，统计结果如下：已经适应不适应无感觉男生120y40女生x z130已知在全体学生中随机抽取1名“已经适应”的人是女生的概率为0.3，且y=2z.（I）现从全部500名学生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不适应”的男生和女生人数各是多少？（11）若将“不适应”和“无感觉”的学生归为“未适应”一类，列出“适应”和“未适应”列表，试根据我校高三学生男女生对模式改革的适应情况推断有多大把握认为：学生对改革的适应能力与性别有关。

2019年广东省深圳市高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|12}A x x =-剟,{1B =,2,3},则(A B = )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}2.(5分)设221iz i-=+,则||(z = )B.2D.33.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,设角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,若角α终边过点(2,1)P -,则sin(2)πα-的值为( ) A.45-B.35-C.35D.454.(5分)设x ,y 满足约束条件030426x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…,则3z x y =+的最大值为( ) A.7 B.9 C.13 D.155.(5分)己知()f x 是定义在R 上的偶函数,在区间(-∞,0]为增函数,且f (3)0=,则不等式f (12)0x ->的解集为( )A.(,0)l -B.(1,2)-C.(0,2)D.(2,)+∞6.(5分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.64B.68C.80D.1097.(5分),底面半径为2,则该圆锥的外接球表面积为( )A.254π B.16π C.25π D.32π8.(5分)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点,具体方法如下：()l 取线段2AB =,过点B 作AB 的垂线,并用圆规在垂线上截取112BC AB ==,连接AC ； (2)以C 为圆心,BC 为半径画弧,交AC 于点D ；(3)以A 为圆心,以AD 为半径画弧,交AB 于点E .则点E 即为线段AB 的黄金分割点.若在线段AB 上随机取一点F ,则使得BE AF AE 剟的概率约为、( 2.236)(≈ )A.0.236B.0.382C.0.472D.0.6189.(5分)己知直线6x π=是函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<与的图象的一条对称轴,为了得到函数()y f x =的图象,可把函数sin 2y x =的图象( )A.向左平行移动6π个单位长度 B.向右平行移动6π个单位长度C.向左平行移动12π个单位长度D.向右平行移动12π个单位长度10.(5分)在长方体ABCD 一1111A B C D 中,2AB =,BC =1CC =M 为1AA 的中点,则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为( )B.23C.3411.(5分)己知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点,过2F 的直线与椭圆交于P ,Q 两点,1PQ PF ⊥,且11||2||QF PF =,则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为( )A.21lD.2+12.(5分)己知函数,0()1,0xlnx x f x x x >⎧=⎨+⎩…,若12x x ≠,且12()()f x f x =,则12||x x -的最大值为()A.1C.2D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.(5分)曲线1x y e x=-在点(1,f (1))处的切线的斜率为 . 14.(5分)已知平面向量a ,b 满足||2a =,||4b =,|2|43a b +=,则a 与b 的夹角为 . 15.(5分)己知1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ,B ,C ,D 四个点,若这四个点与1F ,2F 两点恰好是一个正六边形的顶点,则该双曲线的离心率为 .16.(5分)在ABC ∆中,150ABC ∠=︒,D 是线段AC 上的点,30DBC ∠=︒,若ABC ∆当BD 取到最大值时,AC = .三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =,公差0d >,4a 是2a 与8a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列1{}nS 前n 项和为n T . 18.(12分)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关,具体见表.(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19.(12分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形,PD DC =,AD PC ⊥. (1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ,120ADC ∠=︒；,4AD DC ==,求点B 到平面PAC 的距离.20.(12分)设抛物线2:4C y x =,直线:20l x my --=与C 交于A ,B 两点.(1)若||AB =求直线l 的方程；(2)点M 为AB 的中点,过点M 作直线MN 与y 轴垂直,垂足为N .求证：以MN 为直径的圆必经过一定点,并求出该定点坐标.21.(12分)已知函数()(2)2x f x ax e x =+--,其中2a >-. (1)当0a =时,求函数()f x 在[1-,0]上的最大值和最小值； (2)若函数()f x 为R 上的单调函数,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B .(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 为直线l 与x 轴的交点,求2211||||PA PB +的取值范围. [选修4-5：不等式选讲]23.设函数()|1||2|f x x x =++-,2()1g x x mx =-++. (1)当4m =-时,求不等式()()f x g x <的解集；(2)若不等式()()f x g x <在[2-,1]2-上恒成立,求实数m 的取值范围.2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 【解答】解：{|12}A x x =-剟,{1B =,2,3}；{1A B ∴=,2}.故选：C . 【解答】解：221iz i-=+,22|22|||||21|1|i i z i i --∴====++. 故选：B .【解答】解：角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点(2,1)P -, 2x ∴=,1y =-,||r OP==sin y r α∴==,cos x r α==, 则4sin 22sin cos 2()555ααα==-=-,4sin(2)sin 25παα∴-==-,故选：A .【解答】解：由x ,y 满足约束条件030426x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…,作出可行域如图,化目标函数3z x y =+为3y x z =-+,由图可知,当直线3y x z =-+过(3,4)B 时,直线在y 轴上的截距最大, 此时z 有最大值为33413⨯+=. 故选：C .【解答】解：根据题意,()f x是定义在R上的偶函数,在区间(一∞,0]为增函数,则函数()f x在[0,)+∞上为减函数,又由f(3)0=,则不等式f(12)0x f->⇒(12)x f->(3)|12|3x⇒-<,解可得：12x-<<,即不等式的解集为(1,2)-；故选：B.【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥,如图所示,底面正方形的边长为4,高为5棱锥的高为3,∴该几何体的体积为：1445443643⨯⨯-⨯⨯⨯=,故选：A.【解答】解：如图,CB=,2BE=,可得1CE=,取CB中点D,作DO CB⊥交CE延长线于O,则O为ABC∆的外心,也即圆锥外接球的球心,设OE x =,则1OC x =+,OB = 22(1)4x x ∴+=+,得32x =, ∴外接球半径52R =, ∴254254S ππ=⨯=球. 故选：C .【解答】解：由勾股定理可得：AC 1CD =,则1 1.236AD =≈, 则 1.236AE =,20.764BE AE =-=, 所以0.764 1.236AF 剟, 由几何概型中的线段型可知： 使得BE AF AE 剟的概率约为1.2360.7640.2362-=,故选：A .【解答】解：令22x k πϕπ+=+,由6x π=是此方程的一个解,则6k πϕπ=+,又||2πϕ<, 所以6πϕ=,即()sin(2)sin 2()612y f x x x ππ==+=+,所以为了得到函数()y f x =的图象,可把函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,故选：C .【解答】解：以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则A 0),(0C ,2,0),1B,M,∴(AC =0),1(0B M =,2-,,设异面直线AC 与1B M 所成角为θ, 则11||2cos 3||||66AC B M AC B M θ===. ∴异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为23. 故选：B .【解答】解：可设1||PF t =,11||2||2QF PF t ==, 由椭圆的定义可得2||2PF a t =-,2||22QF a t =-, ||43PQ a t =-,由22211||||||PQ PFQF +=,即222(43)4a t tt -+=, 即有43a t -=,解得t =,则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为12 12142231||||23333 2182321||||sin302223333a aPF PFQFQF a a+++=-︒++2==故选：D.【解答】解：不妨设：12x x>,由12()()f x f x=,要使12||x x-最大,转化为：求解12()maxx x-,问题转化为：(如图所示),1(A x,1)y到1(0)y x x=+<距离的最大值问题,此时需过A点的切线与1y x=+平行,当0x>时,()1f x lnx'=+,令()1f x'=则11x=,(1,0)A.21x=-所以12||x x-最大值为：2,故选：C.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.【解答】解：曲线1xy ex=-,可得21xy ex'=+,所以曲线1xy ex=-在点(1,f(1))处的切线的斜率为：1|1xy e='=+.故答案为：1e +.【解答】解：由向量的模的运算有：222(2)4448a b a b a b +=++=,又||2a =,||4b =,所以4a b =,设a 与b 的夹角为θ, 则41cos 242||||a b a b θ===⨯, 又[0θ∈︒,180]︒,所以60θ=︒,故答案为：60︒.【解答】解：1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ,B ,C ,D 四个点,若这四个点与1F ,2F 两点恰好是一个正六边形的顶点,可得第一象限内的点1(2c ),代入双曲线方程可得：22223144c c a b-=, 可得：222131444e e e -=-,1e >,解得1e =.1.【解答】解：由题意可得：11sin15024ABC S ac ac ∆=︒=,∴解得：ac =设BD x =,则：14BCD ABD S S ax ∆∆+==可得：x =,当且仅当a =时x 取得最大值,a ∴=2c =,∴由余弦定理可得：222222cos 222(28AC AB BC AB BC ABC =+-∠=+-⨯⨯=,∴解得：AC =故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.【解答】解：(1)4a 是2a 与8a 的等比中项,∴2428a a a =,即2111(3)()(7)a d a d a d +=++,2(43)(4)(47)d d d ∴+=++,解得4d =或0d =.0d >,4d ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1(1)4n a a n d n =+-=； (2)21()222n n n a a S n n +==+, ∴211111()2221n S n n n n ==-++, 则1211111111111[(1)()()](1)2223121n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++. 【解答】解：(1)指标Y 的平均值为：1329.61010.410.07666⨯+⨯+⨯≈. (2)由分层抽样法知,先抽取的件产品中,指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件,记为1A ,2A ,3A ,指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件,记为1B ,2B ,指标Y 在[9.4,9.8)内的有1件,记为C ,从6件产品中,随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为：1(A ,2)A ,1(A ,3)A ,1(A ,1)B ,1(A ,1)B ,1(A ,2)B ,1(A ,)C ,2(A ,3)A ,2(A ,1)B ,2(A ,2)B ,2(A ,)C ,3(A ,1)B ,3(A ,2)B ,3(A ,)C ,1(B ,2)B ,1(B ,)C ,2(B ,)C ,其中,指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为31155P ==. (3)不妨设每件产品的售价为x 元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x 元,其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,此时平均每件产品的消费费用为1(48163008600)20048x x η=+⨯+⨯=+元. 【解答】(1)证明：取PC 中点M ,连接AM ,DM .PD DC =,且M 为PC 中点,DM PC ∴⊥.AD PC ⊥.AD DM D =.PC ∴⊥平面ADM .AM ⊂平面ADM .PC AM ∴⊥. M 为PC 中点,AC AP ∴=；(2)过P 作PH 垂直AD 延长线于点H ,连接CH ,平面APD ⊥平面ABCD ,平面APD ⊥平面ABCD AD =.PH ⊂平面APD ,PH AD ⊥, PH ∴⊥平面ABCD .CH ⊂平面ABCD ,PH CH ∴⊥.PD CD =,AD AD =,AC AP =,ADP ADC ∴∆≅∆,120ADC ADP ∴∠=∠=︒.∴4,PD CD AD AC AP =====.PH CH ==PC =.设点B 到平面PAC 的距离为d ,由于P ABC B ACP V V --=,可得1133ABC ACP S PH S d ∆∆=.1442ABC S =⨯⨯=12ACP S ∆=⨯=∴d =.∴点B 到平面PAC【解答】解：(1)由224x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x 并整理可得2480y my --=, 显然△216320m =+>,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,124y y m ∴+=,128y y =-, 22221212||()414246AB y y y y m m ∴+-=++=,21m ∴=,即1m ==±,∴直线方程为20x y --=或20x y +-=,(2)证明：设AB 的中点M 的坐标为(M x ,)M y ,则121()22M y y y m =+=, 2222M M x my m ∴=+=+,2(22M m ∴+,2)m ,由题意可得(0,2)N m ,设MN 为直径的圆经过点0(P x ,0)y ,∴20(22PM m x =+-,02)m y -,0(PN x =-,02)m y -,由题意可得0PM PN =,即22200000(42)420x m y m x y x --++-=,由题意可得00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,解得02x =,00y =,∴定点(2,0)即为所求【解答】解：(1)当0a =时,()22x f x e x =--,()21x f x e '=-,由()0f x '>,解得：2x ln >-,由()0f x '<,解得：2x ln <-,故函数()f x 在[1-,2]ln -递减,在[2ln -,0]递增,故()(2)21min f x f ln ln =-=-,2(1)10f e-=-<,(0)0f =, ()(0)0max f x f ∴==；(2)令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-,则()(22)x g x ax a e '=++,()i 当0a =时,由(1)知,与题意不符,()ii 当0a >时,由()0g x '>,解得：2(2)x a>-+, 由()0g x '<,解得：2(2)x a<-+, 故222()(2)10a min g x g ae a--=--=--<, (0)10g a =+>,故此时函数()f x '存在异号零点,与题意不符,()iii 当20a -<<时,由()0g x '>,解得：2(2)x a<-+, 由()0g x '<,解得：2(2)x a>-+, 故()g x 在2(,2)a -∞--递增,在2(2a--,)+∞递减 故222()(2)1a max g x g ae a--=--=--, 由题意得：2210a ae----…恒成立, 令22t a --=,则上述不等式等价于12t t e +…,其中1t >-, 易证,当0t >时,112t t e t >+>+, 又由(1)的结论知,当(1t ∈-,0]时,12t t e +…成立, 由2120a-<--…,解得：21a -<-…, 综上,当21a -<-…时,函数()f x 为R 的单调函数且递减.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：(1)曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,转换为直角坐标方程为：2220x y x +-=.(2)把直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数),代入2220x y x +-=, 得到：26cos 80t t α-+=.由已知得：△236cos 320α=->, 故：28cos 9α>, 由于2cos 1α…, 所以：28cos (,1]9α∈. 设方程的两实数根为1t 和2t ,则由参数的几何意义可得：12||||||6|cos |PA PB t t α+=+=, 12||||||8PA PB t t ==. 所以222222(|)2119cos 4||||16||PA PB PA PB PA PB PA PB α+--+==, 由于28cos (,1]9α∈, 故：29cos 415(,]16416α-∈, 即：222119cos 415(,]||||16416PA PB α-+=∈. [选修4-5：不等式选讲]【解答】解：(1)()|1||2|f x x x =++-,21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪∴=-<<⎨⎪-⎩……,当4m =-时,2()41g x x x =--+,①当1x -…时,原不等式等价于220x x +<,解得：20x -<<,故21x -<-…；②当12x -<<时,原不等式等价于2420x x ++<,解得：22x -<-,故12x -<<-③2x …时,()g x g …(2)11=-,而()f x f …(2)3=, 故不等式()()f x g x <的解集是空集； 综上,不等式()()f x g x <的解集是(2,2--；(2)①当21x --剟时,()()f x g x <恒成立等价于22mx x x >-, 又0x <,故2m x <-,故4m <-；②当112x -<-…时,()f x ,()g x 恒成立 等价于()3g x >恒成立,即()3min g x >, 只需(1)31()32g g -⎧⎪⎨->⎪⎩…即可,即392m m -⎧⎪⎨<-⎪⎩…, 综上,9(,)2m ∈-∞-.。

深圳市2016届高三年级第一次调研考试数学（理科）本试卷共7页，24小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，则=B A （ ） A ．{}13|≤≤-x x B ．{}10|≤<x x C ．{}23|≤≤-x x D ．{}2|≤x x2．设i 为虚数单位，复数z 满足i i z 43+=⋅，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量、2=1=，与的夹角为︒120，且()()-⊥+2λ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．34．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+0033022x y x y x ，则y x z -=的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．25．公差为1的等差数列{}n a 中，631,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 6．若函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像过点)1,6(π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12π=x B ．125π=x C ．6π=x D ．3π=x 7．62)1)(2(xx x -+的展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．55 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长 的棱的长度是（ ）A ．24B ．52C ．6D ．349．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可 自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名 同学参加的概率为（ ）A ．94 B ．274 C ．649 D ．64310．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21，3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．21 11．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．()+∞,2C ．()2,1D ．()2,1 12．函数x ax x x f +-=2ln )(有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-21,e e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+21,0e e 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}A =-，2{ ,}B y y x x x A ==-∈，则AB =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】∵{0}B =，{0}AB =．2．若平面向量(,1)m =a ，(2,1)=b ，且(2)-a b ∥b ，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】2(4,1)m -=--a b ， ∵(2)-a b ∥b∴42m -=-，∴2m =．3．设i 为虚数单位，已知11i1iz -=+，212z =-，则1z ，2z 的大小关系是（ ） A ．12z z < B ．12z z = C ．12z z > D ．无法比较 【答案】B【解析】∵11i 11i z -===+，21i 122z =-+=，∴12z z =．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（ ） A ．1.78小时 B ．2.24小时 C ．3.56小时 D ．4.32小时【答案】C【解析】(10.1230.250.170.08)2 3.56⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 5．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．2x π=是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在(,)44ππ-上单调递增 D ．()f x 的值域是[0,1] 【答案】C【解析】∵22()cos sin cos 2f x x x x =-=，∴()f x 在[0,)4π上单调递减，故错误．6．直线(1)()y k x k R =+∈与不等式组220,220,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞C ．11[,]22-D ．11(,][,)22-∞-+∞【答案】A【解析】直线(1)y k x =+恒过点(1,0)P -，∴PB PA k k k ≤≤，即22k -≤≤．7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．B ．C ．6 D ．【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，C D AB P如图，最长的边为PC =．8．函数()cos f x x x =在[,]ππ-上的大致图像为（ ）【答案】B【解析】∵()cos f x x x =为奇函数，∴排除A ． ∵()cos f ππππ==-，∴排除C ．()cos sin cos (1tan )f x x x x x x x '=-=-，∵(0,)4x π∈，()0f x '>，()f x 在(0,)4π单调增，∴D ． 9．已知22ππα-<<，且sin cos 2αα+=，则α的值为（ ）A ．12π- B ．12π C ．512π- D ．512π【答案】A【解析】∵sin cos 2αα+=，∴1sin()42πα+=， ∵22ππα-<<，∴3444πππα-<+<，∴46ππα+=，∴12πα=-．10．已知,,A B C 是球面上三点，且6AB =，8BC =，10AC =，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为（ ）A ．1003πB ．2003πC ．4003πD ．4009π【答案】C【答案】48π【解析】∵222AC AB BC =+，∴90ABC ∠=．∴ABC ∆的外心为AC 的中点D ，∴OD ⊥平面ABC ． ∵222OA AD OD =+，∴22215()2R R =+, ∴21003R =，240043S R ππ==． 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于（ ） A ．25 B ．23 C ．45 D ．43B A DO【答案】C【解析】直线AB 的方程为2p y x =-， 由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．12．已知0a >，若函数2324ln ,0()34,0a x x x f x x a x x ⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩，且()()2g x f x a =+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．(1,2]C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】当1a =时，234ln ,0()34,0x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩，234ln 2,0()()232,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨-- ≤⎪⎩，当0x >时，2()4ln 2g x x x =-+．42(()2x x g x x x x-+-'=-=，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x在x =2ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，2()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，3()32g x x x =--， 2()333(1)(1)g x x x x '=-=+-，(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，(1,0)x ∈-时，()0g x '<， ()g x 在1x =-处取得极大值(1)0g -=， 0x ≤时，()g x 有唯一零点．综上，1a =时，()g x 有三个零点，排除B ，C ．当2a =时，238ln ,0()124,0x x x f x x x x ⎧- >⎪=⎨-- ≤⎪⎩，238ln 4,0()()212,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨- ≤⎪⎩，当0x >时，2()8ln 4g x x x =-+．82(2)(2)()2x x g x x x x-+-'=-=， (0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<， ()g x 在2x =处取得极大值(2)8ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，4()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，32()12(12)g x x x x x =-=-， 0x ≤时，()g x 有两个零点．综上，2a =时，()g x 有四个零点，排除A ．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．下列四个函数中：①y =2log (1)y x =+；③11y x =-+；④11()2x y -=，在(0,)+∞上为减函数的是_________(填上所有正确选项的序号)【答案】①④14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是______． 【答案】全胜【解析】∵比赛为三胜三负，∴丁全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______．（参考数据：sin150.2588=，sin 7.50.1305=）【答案】24【解析】由程序框图可知：16．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)B -和(5,0)C ，顶点A 在双曲线221916x y -=的右支上，则sin sin sin C BA-=______． 【答案】35【解析】依题意，,B C 为双曲线的焦点， ∴2AB AC a -=，2BC c =， 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin sin C B A -=2325AB AC a a BC c c -===．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足138a a +=，2412a a +=． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若12311119991000n S S S S +++⋅⋅⋅+=，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵138a a +=，2412a a +=， ∴112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩．∴21(1)2n n n dS na n n -=+=+． （2）由（1）知211111n S n n n n ==-++， ∴1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1999111000n =-=+， ∴999n =． 18．（本小题满分12分）某房地产公司新建小区有,A B 两种户型住宅，其中A 户型住宅每套面积为100平方米，B 户型住宅每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，下表是这套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）（1）根据商标数据，完成下列茎叶图，并分别求出,A B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数； （2）该公司决定对上述24套住宅通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【解析】（1）茎叶图如下：B 户型A 户型 4.2.3.A 户型销售价格的中位数是2.9 3.13.02+=． B 户型销售价格的中位数是3.94.14.02+=．（2）若选择A 户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是82123=；若选择B 户型抽签，则每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，∴成功购房的概率是61122=； ∵2132>，∴该员工选择购买A 户型住房的概率较大．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，且侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=． （1）求证：1AB BC ⊥；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，且该三棱柱的体积为，求AB 的长．【解析】（1）取BC 的中点M ，连结1,AM B M ， ∵AB AC =，M 是BC 中点，∴AM BC ⊥．∵侧面11BB C C 是菱形，且160B BC ∠=，∴1B M BC ⊥． ∵1AMB M M =，AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M ，∴BC ⊥平面1AB M ．∵1AB ⊂平面1AB M ，∴1AB BC ⊥．A 1C 1B 1CBAC 1（2）设AB x =，依题意可得,AC x BC ==，∵M 是BC 中点，∴11,,2AM x BB B M ===．∵11AB BB =，∴1AB ，∴22211AB B M AM =+，即1B M AM ⊥．由（1）知1B M BC ⊥，且AMBC M =，∴1B M ⊥平面ABC ，,即1B M 为三棱柱111ABC A B C - 的高， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积31()2V Sh x x x x ==⋅⋅==解得2x =，即 2AB =．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在原点，经过点(0,1)A ，其左、右焦点分别为12,F F ，且120AF AF ⋅=．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(,0)的直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与圆222:(0)O x y r r +=>相切于点Q ，求r 的值及OPQ ∆的面积．【解析】（Ⅰ）设椭圆E 方程为22221(0)x y a b a b+=>>,∵椭圆E 经过点(0,1)A ，∴1b =． ∵120AF AF ⋅=，且12AFAF =，∴1c b ==，2222a b c =+=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l的方程为(y k x =，由22(12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)620k x x k +++-=，①∴22222)4(21)(62)8(1)k k k ∆=-+-=-， ∵直线l 与椭圆相切，∴0∆=，解得1k =±．代入①中得2340x ++=，解得x =， 代入直线l的方程得y =(P ． ∵直线l 与圆222x y r +=相切，∴r ===，∵OP ==PQ ==， ∴1124OPQ S PQ r ∆=⨯⨯=．21．（本小题满分12分）已知函数()(,,xf x e ax b a b R e =++∈是自然对数的底数）在点(0,1)处的切线与x 轴平行．（1）求,a b 的值；（2）若对一切x R ∈，关于的不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立，求m n +的最大值．【解析】（1）()xf x e a '=+，由题意可知(0)10f a '=+=，(0)11f b =+=， ∴1a =-，0b =． （2）由（1）知()xf x e x =-，∴不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立， 可转化为xe mx n ≥+恒成立．令()xg x e mx n =--，()xg x e m '=-．当0m ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，没有最小值，故不成立． 当0m >时，令()0g x '=，解得ln x m =．令()0g x '<，解得ln x m <， 令()0g x '>，解得ln x m >，∴当(,ln )x m ∈-∞时，()g x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()g x 单调递增． ∴当ln x m =时，()g x 取得最小值(ln )ln 0g m m m m n =--≥， 即ln m m m n -≥，令()ln h m m m m =-，则()1ln h m m '=-， 令()0h m '=，解得m e =．当(0,)m e ∈时，()h m 单调递增；当(,)m e ∈+∞时，()h m 单调递减． 故当m e =时，()h m 取得最大值()h e e =， ∴e m n ≥+，即m n +的最大值为e ．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ． （1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠，∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠，∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB =∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC == ∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC AF AD ⋅=⋅．∴12=,即AE =23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知三圆221:4C x y +=，222:((1)4C x y +-=，32cos :(12sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）有一公共点(0,2)P ．（1）分别求1C 与2C ，1C 与3C 异于点P 的公共点M 、N 的直角坐标；（2）以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点,,O M N 的圆C的极坐标方程．【解析】（1）曲线3C的普通方程为22((1)4x y -+-=，由22224((1)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩由22224((1)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴相异于点A的公共点为(1)M -)，1)N -． （2）线段OM OM 的中垂线为2y =-，线段ON的中垂线为2y =-，由22y y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，半径为2，∴圆C 的方程为22(2)4x y ++=， 化为极坐标方程得4sin 0ρθ+=．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。