第四章-向量组的线性相关性与矩阵的秩

矩阵的秩与向量组线性相关性的判定作者：单彩虹李慧珍夏静来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第06期【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。

【关键词】向量；矩阵；线性代数矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。

矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。

下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。

向量组线性相关性判定定理向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。

证先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。

例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。

证一根据题设可得b1-b2+b3-b4=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。

证二两向量组表示的矩阵形式为：因为detK=0，所以R（K）由矩阵秩的性质知R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。

矩阵的向量空间矩阵的秩与线性相关性矩阵是线性代数中的重要概念之一，它描述了向量与线性变换之间的关系。

在研究矩阵的性质时，向量空间的概念也十分重要。

本文将探讨矩阵的向量空间以及矩阵的秩与线性相关性之间的关系。

一、矩阵的向量空间矩阵可以看作是由一组向量组成的。

向量是指在向量空间中的一个点，它可以由一组有序的数值表示。

在研究向量的性质时，我们需要考虑向量的线性组合、线性相关和线性无关等概念。

对于一个由m×n个实数构成的矩阵A，我们可以将它看作是一个m 维n列的向量，进而构成一个向量空间。

向量空间的性质包括零向量、加法、标量乘法等运算。

通过这些运算，我们可以得到向量空间的维数和基。

二、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵所包含的线性无关的列或行的最大个数。

秩的计算方法包括初等行变换和初等列变换。

一个m×n矩阵的秩不会超过m和n中的较小值。

当矩阵的秩等于m或n时，该矩阵被称为满秩矩阵。

秩的概念在矩阵求解、线性方程组求解等问题中具有重要作用。

通过计算矩阵的秩，我们可以得到矩阵的列空间和行空间，进而得到矩阵的零空间和左零空间。

这些空间描述了矩阵的线性相关性和线性无关性。

三、矩阵的线性相关性矩阵的线性相关性指的是矩阵中的向量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数，使得矩阵中的向量的线性组合等于零向量。

如果矩阵中的向量线性无关，则称矩阵是线性无关的。

线性相关性与矩阵的秩密切相关。

如果一个矩阵的秩小于其行数或列数，那么该矩阵线性相关。

反之，如果一个矩阵的秩等于其行数或列数，那么该矩阵线性无关。

矩阵的线性相关性对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常关键。

通过判断矩阵的线性相关性，我们可以确定矩阵是否存在解，进而求解出相关的数值。

综上所述，矩阵的向量空间与矩阵的秩、线性相关性之间存在密切的关系。

研究矩阵的向量空间可以帮助我们理解矩阵的性质和运算规律。

而矩阵的秩和线性相关性则是研究矩阵在线性代数中的一些重要性质的关键概念。

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

矩阵的秩与线性相关性矩阵是线性代数中的基础概念之一，而矩阵的秩与线性相关性是研究矩阵性质的重要方面。

本文将探讨矩阵的秩的概念、计算方法以及与线性相关性之间的关系。

一、矩阵的秩的概念在线性代数中，一个m × n的矩阵A可以视为由m个行向量和n个列向量组成的矩阵。

矩阵的秩是指矩阵中的线性无关向量组的极大数目。

具体来说，如果一个矩阵A的某一组向量可以通过线性组合得到另一组向量，那么这两组向量是线性相关的，反之则是线性无关的。

矩阵的秩就是这个线性无关向量组的向量个数。

二、矩阵秩的计算方法在实际计算矩阵的秩时，可以通过高斯消元法或者矩阵的特征值分解等方法来得到矩阵的秩。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种常用的计算矩阵秩的方法。

该方法通过行变换将矩阵转化为行阶梯形或者行最简形，然后通过矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

2. 特征值分解特征值分解是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算矩阵秩的方法。

根据特征值的个数以及零特征值的个数，可以确定矩阵的秩。

三、矩阵的秩与线性相关性的关系矩阵的秩与线性相关性有着密切的联系。

线性相关的向量组可以被表示为矩阵的列向量，而线性无关的向量组可以被表示为矩阵的行向量。

具体来说，对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，那么矩阵A 的列向量组即为n个线性相关的向量，其中r个向量是线性无关的。

同样地，矩阵A的行向量组即为m个线性相关的向量，其中m - r个向量是线性无关的。

线性相关的向量组会导致矩阵的秩下降，这是因为线性相关的向量组包含有冗余信息，可以通过其他向量来表示。

而线性无关的向量组则不会出现这种问题，每个向量都是不可替代的。

四、矩阵的秩与解的存在性矩阵的秩与线性方程组的解的存在性也有关联。

对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，则可以将其转化为行阶梯形或者行最简形。

如果方程组的个数n大于矩阵的秩r，则方程组有无穷多个解；如果n等于r，则方程组有唯一解；如果n小于r，则方程组无解。

第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。

这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。

去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。

（3）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。

为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。

通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。

定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的，（2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。

列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。

重点是列向量组表示的矩阵形式。

（4）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。

用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。

（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。

矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。

掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。