等腰三角形测试题

《等腰三角形》综合检测一、选择题（每题3分，共39分）每题有且只有一个正确答案 1．在射线、角和等腰三角形中，它们（ ）轴对称图形A ．都是B ．只有一个是C ．只有一个不是D ．都不是 2．如图1：△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，D 是AC 上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（ ）个等腰三角形。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．非等腰三角形D ．等边三角形 4．△ABC 中，AB=AC ，AB 边的中垂线与直线AC 所成的角为50°，则∠B 等于（ ）5. 如图2坐标平面内一点A （2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 56.如图3，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 相交于点O ，给出四个条件：①OB=OC ；②∠EBO=∠DCO ；③∠BEO=∠CDO ；④BE=CD ．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ）A ． 2种B ． 3种C ． 4种D ． 6种7．已知：如图4，下列三角形中，AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ） A ． ①③④ B ． ①②③④C ． ①②④D ． ①③8．如图5，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ） A ． 3.5 B ． 4.2 C ． 5.8 D ． 7 9．如图6，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为（ ） A ． 10 B ． 8 C ． 5 D ． 2.510．如图7，Rt △ABC 中，∠C=90°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC 的两边相交于点E ，F ，分别以点E 和点F 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线BM ，交AC 于点D ．若△BDC 的面积为10，∠ABC=2∠A ，则△ABC 的面积为（ ）图 1 图 3图4 图5 图6 图7 图2A ． 25B ． 30C ． 35D ． 4011．如图8，已知∠ABC=60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE ．则下列结论：①BE=AE ；②BD=AE ；③AE=2DE ；④S △ABE =S △CBE ，其中正确的结论是（ ） A ． ①②③ B ． ①②④ C ． ①③④ D ． ②③④12.如图10，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ） A ． 4cm B ． 3cm C ． 2cm D ． 1cm13.已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ． 直角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形 二、填空题（每题3分，共27分）1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________ 。

14.5等腰三角形的性质测试题一、填空题1. 等腰三角形中，相等的两边叫，另一边叫；相等的两个角叫，另一个角叫。

等腰三角形的两个底角，简称。

2. 等腰三角形的平分线，底边上的，底边上的，互相重合，简称“”。

3. 等腰三角形是对称图形，对称轴是所在的直线。

4. 如图（1），因为AB=AC,∠BAD=∠CAD(已知)，所以= ，⊥。

（）5. 如果等腰三角形的一个底角为34°，那么另外两个角的度数分别为、。

6. 等腰三角形的顶角是150°，底角的度数是。

图（1）7. 等腰三角形的底角是80°，顶角的度数是。

8. 等腰三角形的一个内角是100°，另两个内角的度数是。

9. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的3倍，顶角的度数是。

10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，这个三角形三个内角的度数是。

11. 如果等腰三角形的底边和一腰长分别为12cm、15cm，那么这个三角形的周长为cm。

12. 已知等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长是。

13. 已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长是。

14. 等腰三角形的两边长分别为12cm、8cm，那么这个三角形的周长为cm。

15. 已知等腰三角形的周长为20，一边长为6，另两边长分别是。

16. 等腰三角形的底边长为8，腰长a的取值范围是。

17. 已知等腰三角形周长为30cm，若底边为x cm，则x的取值范围cm。

18. 在△ABC中，∠C=90°,AC=BC，则∠B= 。

19. 已知AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠BDC= 。

20. 在△ABC中，AB=AC，∠A=64°，BC=6，AD⊥BC，垂足为点D，那么BD= ，∠CAD的度数是。

21. 在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，CD⊥AB，垂足为D，则∠BCD= °。

人教版八年级数学上册单元测试题：等腰三角形(含答案解析)第一题已知等腰三角形ABC中，AB = AC，角BAC = 70°。

求角ABC和角ACB的度数。

解析由于AB = AC，所以角ABC = 角ACB，设角ABC和角ACB 的度数都为 x。

根据角度和定理，得到方程：x + x + 70° = 180°解方程得到：2x + 70° = 180°移项得：2x = 110°解得：x = 55°所以，角ABC和角ACB的度数分别为 55°。

第二题在等腰三角形PQR中，PR = PQ，角PQR = 130°。

求角RPQ 的度数。

解析由于PR = PQ，所以角RPQ = 角RQP，设角RPQ和角RQP的度数都为 y。

根据角度和定理，得到方程：y + y + 130° = 180°解方程得到：2y + 130° = 180°移项得：2y = 50°解得：y = 25°所以，角RPQ的度数为 25°。

第三题在等腰三角形XYZ中，XY = YZ，角YXZ = 45°。

求角XYZ 和角YZX的度数。

解析由于XY = YZ，所以角XYZ = 角YZX，设角XYZ和角YZX 的度数都为 z。

根据角度和定理，得到方程：z + z + 45° = 180°解方程得到：2z + 45° = 180°移项得：2z = 135°解得：z = 67.5°所以，角XYZ和角YZX的度数分别为 67.5°。

13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【课前预习】1．______________的三角形叫做等腰三角形．2．等腰三角形的两个底角______(简写成“______________”)．3．等腰三角形的________________、________________、________________相互重合(简写成“__________”)．【当堂演练】1．若等腰三角形的两边长为3 cm和4 cm，则这个等腰三角形的腰长为( )A．4 cm B．3 cm C．4 cm或3 cm D．无法确定2．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为( )A．15 B．11 C．7 D．15或73．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°4．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线 B．底边上的高C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BCC．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B第5题图第6题图6．如图，点D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，则图中的等腰三角形有______个．7．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝68°，则∠ACD＝______．8．若等腰三角形的一个角为80°，则另两个角分别是______________．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠AED＝∠AFD＝90°，AE＝AF.求证：∠1＝∠2.【课后巩固】一、选择题1．(2016·湘西州)一个等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是()A．13 cm B．14 cmC．13 cm或14 cm D．以上都不对2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图3．(2015·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是()A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm5．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°第5题图第6题图二、填空题6．如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕交AC边于点E，则线段AE的长为______．7．等腰三角形中，一边与另一边之比为3∶4，该三角形周长为110，则腰长是________．8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF.求证：BF＝2AE.10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)如图①，若∠A＝40°，则∠DBC＝______；若∠A＝50°，则∠DBC＝______；若∠A ＝α，则∠DBC＝______；(2)如图②，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．①②第2课时等腰三角形的判定【课前预习】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“____________”)．【当堂演练】1．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为()A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm第1题图第3题图2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．如图，等腰三角形的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③BO＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．①②B．①③C．③④D．②③5．在△ABC中：(1)若∠B＝∠C，AB＝5，则AC＝______；(2)若∠B＝50°，∠C＝65°，则△ABC的形状是____________．6．如图，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E，C在同一条直线上．试判断△ABC为__________三角形．第6题图第7题图7．在一次夏令营活动中，小欢同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距______米．8．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.9．如图，已知锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【课后巩固】一、选择题1．如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°2．把两个都有一个锐角为30°且一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于点M、交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有______个．三、解答题5．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．6．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．7．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC外部，AB＝AC成立吗？请画图并证明你的结论．①②13．3. 2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课前预习】1．____________的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形是______对称图形，且有______条对称轴，对称轴是________________；(2)等边三角形是______的等腰三角形，具有等腰三角形的性质；(3)等边三角形的三个内角都______，并且每一个角都等于______．3．等边三角形的判定定理：(1)三个角都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的________________是等边三角形；(3)三条边都______的三角形是等边三角形．【当堂演练】1．等边三角形的对称轴有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A．30° B．60° C．120° D．180°第2题图第3题图3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°4．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠ABC的度数为______°.5．已知△ABC中，AB＝AC.①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形；③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形．上述结论中正确的有__________(填序号)．6．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成______个等边三角形．7．如图，△ABC是等边三角形．点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD ＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．【课后巩固】一、选择题1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4 个D．5个第1题图第2题图2．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，∠2的度数为() A．60°B．45°C．40°D．30°3．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______°.第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接AA′，则四边形ABC′A′ 的周长为______．6．如图，△ABC，△ADE，△EFG都是等边三角形，点D和G分别是AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长为______．第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．三、解答题8．如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数；(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．9．如图，已知在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：点M是BE的中点．第2课时 30°角的直角三角形的性质【课前预习】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半．【当堂演练】1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm2．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，这个三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．不可能是直角三角形D ．不可能是锐角三角形3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，CD 是斜边AB 上的高，则以下关系中不正确的是( )A ．CD ＝12ACB ．BD ＝12CDC ．BD ＝14AB D ．BC ＝12AB 4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米5．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝______.6．如图，点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，则AB ∶BD ＝______.第6题图 第7题图7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝4 cm ，则∠BCD ＝______，BD ＝______cm.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是______．第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝______.10．如图，在△ABC中，若∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交BC于点M、交AB于点N，BM＝12 cm，求AC的长．【课后巩固】一、选择题1．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且DE ⊥BC ，DE ＝12CD ，则∠B 的度数为( ) A ．60° B ．30° C ．20° D ．10°第1题图 第3题图2．三角形三个内角之比为1∶2∶3，最长的一边边长为16 cm ，则最短的一边边长为( )A ．8 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．10 cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，垂足为点D ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，AC ＝3 cm ，则∠B 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．如图，已知∠ABC ＝60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE.则下列结论：①BE ＝AE ；②BD ＝AE ；③AE ＝2DE ；④S △ABE ＝S △CBE ，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题5．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，则EF ＝______.第5题图 第6题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠C ＝30°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画圆弧交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .若DE ＝a ，则BC 长为______(用含a 的代数式表示)．三、解答题7．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB.过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠BAC的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？。

等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S △ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△A BC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG 是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。

中考数学复习《等腰三角形》测试题（含答案）一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是(B) A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(A) A．40°B．45°C．60°D．70°【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，图23－1∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(B)A．36°B．54°图23－2 C．18°D．64°【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)A．6 B．7C．8 D．9【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN.∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7 cm，∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，图23－3图23－4∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)， 又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)． 二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°，∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，图23－5图23－7∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－910．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.图23－10证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC.又∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作图23－11为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)解：(2)选择①③⇒②，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图23－12证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF 与△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，第14题答图⎩⎪⎨⎪⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A．4B．10C．4 或10D．6 或102．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．6cmC．8cm或6cm D．8cm或6cm或4cm3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（）A．50°B．60°C．30°D．40°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．35°B．30°C．25°D．15°7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150B．120C．90D．808．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（）A．10B．8C．6D．410．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（）A．B．C．D．无法确定二．填空题（共6小题，满分30分）11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝cm．15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F 作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题（共5小题，满分50分）17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE＝BD；（2）求证：MN∥AB．20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；（2）当BC＝8cm为腰时，①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，故选：D．3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故选：D．4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．5．解：∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠DBE＝∠BDE＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故选：D．6．解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：D．7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．8．解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．9．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．10．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．12．解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AEB＝25°，故答案为：25°．14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝4cm，DE＝3cm，∴DM＝1cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝cm，∴BN＝cm，∴BC＝2BN＝7cm，故答案为7．15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），故答案为：3cm．16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共5小题，满分50分）17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC＝NC，∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC＝∠DCN＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，∴MN∥AB．20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。

专题07 等腰三角形专题测试一、单选题（每小题3分）1．把直线a沿箭头方向水平平移2cm得直线b，这两条直线之间的距离是（）A．0.75cm B．0.8 cm C．1cm D．1.5cm【答案】C作AC⊥a，垂足为C，根据含30°角直角三角形性质求出AC，问题得解．【解析】解：如图，作AC⊥a，垂足为C，由题意得AB=2cm，∠ABC=30°，AB=1cm，∴AC=12∴直线a、b之间的距离是1cm．故选：C【点睛】本题考查了平移、平行线间的距离的定义、“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”等知识，熟知相关知识，并根据题意添加辅助线构造直角三角形是解题关键．2．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB【答案】C【分析】根据所给的补充条件证明△AOB≌△DOC或△ABC≌△DCB，然后再证明BO=CO或∠OCB=∠OBC即可得到△BOC是等腰三角形．【解析】解：A、补充AO=DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；B、补充AB=CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；C、补充∠ABO=∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形；D、补充∠ABC=∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边．3．如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【解析】解：如图，当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．4．如图，在ABC 中，,AB AC D =为BC 的中点，25BAD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．50︒【答案】D 【分析】在△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【解析】解：∵AB =AC ，点D 为BC 的中点，∴∠BAD =∠CAD =25°，∴∠BAC =50°，故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．在ABC 中，AB AC =，若40A ∠=︒，则C ∠为（ ）A ．40︒B ．70︒C ．40︒或70︒D ．100︒【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解析】解：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，又∵∠A =40°，∴∠C =12（180°-∠A ）=12（180°-40°）=70°．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，等边三角形ABC 中，AD⊥BC，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．7．下列说法正确的是（）A．三角形的外角等于两个内角的和B．等腰三角形的角平分线和中线重合C．含60°的两个直角三角形全等D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定方法以及等边三角形的判定方法逐项判断即可．【解析】解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项说法不正确；B、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合，故本选项说法不正确；C、含有60°的两个直角三角形的对应边不一定相等，则这两个直角三角形不一定全等，故本选项说法不正确；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项说法正确．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定、等边三角形的判定等知识点，灵活应用相关判定和性质是解答本题的关键．8．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．36°D．30°【答案】C【分析】设出∠B的度数，然后利用垂直平分线和角平分线的性质表示出∠BAC和∠C的度数，利用三角形内角和定理列出方程求解即可.【解析】解：设∠B＝x°，∵DE是边AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝x°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，∵BA＝BC，∴∠C＝∠BAC＝2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠B＝36°，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是设出未知数并列出方程求解．二、填空题（每小题3分）9．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．【答案】15【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.10．如图，将边长为5cm的等边三角形ABC沿边BC向右平移3cm，得到DEF，则四边形ADFB的周长为________cm．【答案】21【分析】根据平移的性质可得DF=AC=5cm，AD=CF=3cm，然后求出四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD，最后代入数据计算即可得解．【解析】解：∵△ABC沿边BC向右平移3cm得到△DEF，∴DF=AC=5cm，AD=CF=3cm，∴四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD，=5+5+3+5+3，=21（cm ），故答案为：21．【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．11．如图，60AOB ∠=︒，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t =______s 时，POQ △是等腰三角形？【答案】6或18【分析】分点P 在线段OC 上和点P 在线段OB 上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．【解析】解：由题意，分以下两种情况：（1）点P 在线段OC 上时，若ΔPOQ 是等腰三角形，则只有OP=OQ 才满足因此有18−2t=t解得t=6(s)（2）点P 在线段OB 上时，若ΔPOQ 是等腰三角形，∵60AOB ∠=︒∴ΔPOQ 也是等边三角形因此有2t −18=t解得t=18(s)综上，当t 等于6s 或18s 时，ΔPOQ 是等腰三角形故答案为：6或18．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．12．已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30．若在等腰三角形ABC中，AD BC⊥于点D，且12AD BC=，则ABC顶角的度数为________．【答案】90°或30°【分析】分AD是底边上的高和腰上的高两种情况解答即可【解析】解：当AB=AC，AD是底边上的高时，如图1，∵AB=AC，AD BC⊥，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=12BC，∵12AD BC=，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=45°，∴∠BAC=45°+45°=90°；当AB=BC，AD是腰边上的高时，如图2，∵AB=AC，12AD BC=，∴12AD AB=，∵AD BC⊥，∴∠ADB=90°，∴∠B=30°．综上可知，ABC顶角的度数为90°或30°．故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．13．如图，ABC 是等边三角形，点D 为AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，//EF AB ，6AD =，则EFC 的周长为_____．【答案】27【分析】利用含30度角的直角三角形求出AE 的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC 各边长，周长即可求．【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，AB =AC ．∵点D 为AB 的中点，AD =6，∴AB =2AD =12．∵DE ⊥AC 于点E ，AD =6，∴∠ADE =30°，∴AE =12AD =3，∴CE =AC -AE =9．∵EF //AB ，∴∠FEC =∠A =60°，∵∠C =60°，∴△EFC 是等边三角形．∴△EFC 的周长=9+9+9=27．故答案为27．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，平行形线的性质，等边三角形的性质和判定．找出30度角所对的直角边为本题的解题关键．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，△BCD 的周长为13，△ABC 的周长是19，若∠ACD ＝60°，则AD ＝___．【答案】6【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等边三角形的性质得到AD＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∵∠ACD＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴AD＝AC，∵△ABC的周长是19，∴AB+BC+AC＝19，∵△BCD的周长为13，∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，∴AC＝19﹣13＝6，∴AD＝AC＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．【答案】8，8【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．【解析】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x ，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另两边的长分别为8，8．故答案为：8，8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．16．如图，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，8AD =，AD 是BAC ∠的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是__________．【答案】9.6【分析】根据题意可证AD 是BC 边上的高，设点Q 关于直线AD 对称的对称点为Q '，可得PC PQ PC PQ '+=+，根据题意可证点Q '在AB 上，当CQ AB '⊥且C 、P 、Q '三点共线时，PC PQ +有最小值CQ '，根据等面积法计算求值即可．【解析】解：∵10AB AC ==，AD 是BAC ∠的平分线，∴AD BC ⊥（等腰三角形三线合一），设点Q 关于直线AD 对称的对称点为Q '，连接PQ '，如图，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴点Q '在AB 上（根据轴对称性质和角平分线性质），∴PC PQ PC PQ '+=+，∴当CQ AB '⊥且C 、P 、Q '三点共线时，PC PQ +有最小值，即PC PQ CQ '+=， ∵1122BC AD AB CQ '⨯⨯=⨯⨯, 10AB =，12BC =，8AD =，∴111281022CQ '⨯⨯=⨯⨯， 解得，9.6CQ '=，∴PC PQ +的最小值是9.6，故答案为：9.6【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求CQ '的值是解题关键．三、解答题（23题、24题每题8分，其他各小题每题6分）17．如图，在ABC 中，D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，且12∠=∠，34∠=∠，求证：AB AC =．【答案】见解析．【分析】先利用等角对等边证得BD =DC ，再根据SAS 证明△ABD ≌△ACD 即可．【解析】证明：∵12∠=∠，∴BD =DC ，在ABD △和ACD △中，∵34AD AD DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACD SAS ≅△△，∴AB AC =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．已知：如图，GB ＝FC ，AB =AC ，D 、E 是BC 上两点，作GE ⊥BC ，FD ⊥BC ，求证：GE ＝FD ．【答案】见解析．【分析】由等边对等角得到∠B ＝∠C ，由AAS 证得△BEG ≌△CDF 得GE ＝FD ．【解析】证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵GE ⊥BC ，FD ⊥BC ，∴∠GEB ＝∠FDC ＝90°，又∵GB ＝FC ，∴△BEG ≌△CDF （AAS ），∴GE ＝FD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握AAS 证三角形全等，是解题的关键．19．如图，在ABC 和BCD △中，AC CD =，180BAC BDC ∠+∠=︒，在BD 的延长线上取点E ，使DE AB =，连接CE ．（1）证明：ABC DBC ∠=∠；（2）连接AD 交BC 于点F ，若60ABD ∠=︒，40ADB ∠=︒，试说明：BD AB AF =+．【答案】见解析．【分析】（1）由“SAS”可证△BAC ≌△EDC ，可得∠ABC =∠CEB ，BC =CE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC =∠CEB =∠CBE ；（2）由“SAS”可证△ABF ≌△HBF ，可得∠BAD =∠BHF =80°，AF =FH ，可证FH =DH ，即可得结论．【解析】（1）∵180BAC BDC ∠+∠=︒，180EDC BDC ∠+∠=︒，∴EDC BAC ∠=∠．在CDE △和CAB △中，DE AB EDC BAC CD CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDE CAB ≅（SAS ），∴E ABC ∠=∠，CE CB =，∴E DBC ∠=∠，∴ABC DBC ∠=∠．（2）如图，在BD 上截取BH =AB ，连接FH ，∵∠ABD =60°，∠ADB =40°，∴∠BAD =80°，在△ABF 和△HBF 中，AB BH ABF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△HBF （SAS ），∴∠BAD =∠BHF =80°，AF =FH ，∵∠BHF =∠ADB +∠DFH =80°，∠ADB =40°，∴∠DFH =∠ADB =40°，∴DH =FH =AF ，∴BD =BH +DH =AB +AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，补角的性质，三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作//EF BC 交AB 于点F ．（1）若36C ∠=︒，求BAD ∠的度数；（2）求证：FB FE =．【答案】见解析．【分析】（1）先求出36ABC ∠=︒，再根据等腰三角形性质得到90ADB ∠=︒，即可求解；（2）先证明ABE CBE ∠=∠，再证明∠=∠FEB CBE ，得到FBE FEB ∠=∠，问题得证．【解析】（1）解：∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒，∴36ABC ∠=︒，∵D 是BC 边上的中点，AB AC =，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴903654BAD ∠=︒-︒=︒；（2）证明：∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∵//EF BC ，∴∠=∠FEB CBE ，∴FBE FEB ∠=∠，∴FB FE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟知等腰三角形的性质定理与判定定理是解题关键．21．如图，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点F 在AB 边上，延长CF 交AD 于点E ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）若∠ABC ＝30°，∠AFC ＝45°，求∠EAC 的度数．【答案】见解析．【分析】（1）通过证明ABD △≌CBE △即可得证；（2）根据三角形外角的性质可得15BCF ∠=︒，利用全等三角形的性质即可得到15EAB ∠=︒，根据等边对等角得到75BAC BCA ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【解析】解：（1）∵∠ABC ＝∠DBE ，∴ABC ABE DBE ABE ∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD △≌CBE △，∴AD ＝CE ；（2）∵∠ABC ＝30°，∠AFC ＝45°，∴15BCF ∠=︒，∵ABD △≌CBE △，∴15EAB ∠=︒∵BA ＝BC ，∴75BAC BCA ∠=∠=︒，∴90EAC EAB BAC ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．22．如图，CD 是ABC 的高，2,A B ACB ∠=∠∠的平分线CE 交AB 于点E ，设(),36B αα∠=≤︒．（1）求DCE ∠的度数（用含α的代数式表示）；（2）求证：2BC BE DE -=；【答案】见解析．【分析】（1）根据∠A =2∠B ，以及角平分线的定义表示出∠ACE ，再根据高的定义得到交ACD ，从而可以表示出∠DCE ；（2）在DA 上截取DM =DE ，连接CM ，求出∠ACM ，得到∠BCM ，再求出∠BMC ，可推出BC =BM ，根据BM =BE +2DE 可推出结论；【解析】解：（1）B α∠=，2A B ∠=∠，2A α∴∠=，180()1803ACB A B α∴∠=︒-∠+∠=︒-， CE 平分ACB ∠， 139022ACE ACB α∴∠=∠=︒-， CD 是ABC 的高，∴∠ADC =90°，∴∠ACD =90°-∠A =90°-2α，()319090222DCE ACE ACD ααα∴∠=∠-∠=︒--︒-=； （2）在DA 上截取DM =DE ，连接CM ，CD ME ⊥，DM DE =，CM CE ∴=，12MCD ECD α∴∠=∠=， 159029022ACM ACD MCD ααα∠=∠-∠=︒--=︒-， 118039090252BCM ACB ACM ααα︒∴∠=∠-∠=--=-︒+︒， 512909022BMC A ACM ααα∠=∠+∠=+-=︒-︒， BMC BCM ∴∠=∠，BC BM ∴=，2BM BE ME BE DE ∴=+=+，2BC BE DE ∴=+，2BC BE DE ∴-=；【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和，等角对等边，解题的关键是利用相应定理求出角的度数，结合边的关系推出结论．23．如图①，在等边△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BD =AE ，BE 与CD 交于点O ．（1）填空：∠BOC ＝ 度；（2）如图②，以CO 为边作等边△OCF ，AF 与BO 相等吗？并说明理由；（3）如图③，若点G 是BC 的中点，连接AO 、GO ，判断AO 与GO 有什么数量关系？并说明理由．【答案】见解析．【分析】（1）证明△EAB ≌△DBC （SAS ），可得结论．（2）结论：AF =BO ，证明△FCA ≌△OCB （SAS ），可得结论．（3）证明△AFO ≌△OBR （SAS ），推出OA =OR ，可得结论．【解析】解：（1）如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠A =∠CBD =60°，在△EAB 和△DBC 中，AE BD A CBD AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB ≌△DBC （SAS ），∴∠ABE =∠BCD ，∴∠BOD =∠BCD +∠CBE =∠ABE +∠CBE =∠CBA =60°， ∴∠BOC =180°-60°=120°．故答案为：120．（2）相等．理由：如图②中，∵△FCO ，△ACB 都是等边三角形，∴CF =CO ，CA =CB ，∠FCO =∠ACB =60°， ∴∠FCA =∠OCB ，在△FCA 和△OCB 中，CF CO FCA OCB CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCA ≌△OCB （SAS ），∴AF =BO ．（3）如图③中，结论：AO =2OG ．理由：延长OG 到R ，使得GR =GO ，连接CR ，BR ．在△CGO 和△BGR 中，GC GB CGO BGR GO GR =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGO ≌△BGR （SAS ），∴CO =BR =OF ，∠GCO =∠GBR ，AF =BO ，∴CO ∥BR ，∵△FCA ≌△OCB ，∴∠AFC =∠BOC =120°，∵∠CFO =∠COF =60°，∴∠AFO =∠COF =60°，∴AF ∥CO ，∴AF ∥BR ，∴∠AFO =∠RBO ，在△AFO 和△OBR 中，AF OB AFO RBO FO BR =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFO ≌△OBR （SAS ），∴OA =OR ，∵OR =2OG ，∴OA =2OG ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．如图，在Rt ABC ∆中，90,60,ACB A M ∠=︒∠=︒为AB 中点，D 为射线AB 上一动点，在CD 右侧作等边,CDE 直线DE 与直线CB 交于点F ．（1）如图1，当点D 与点M 重合时，求证：CE BE =；（2）如图2，当点D 在线段AM 上（不包括端点,A M ），CE BE =是否仍然成立，请说明理由；（3）点D 在射线AB 运动过程中，当BEF 为等腰三角形时，请直接写出ABE ∠的度数．【答案】见解析．【分析】（1）想办法证明DF ⊥BC ，CF =BF ，可得结论．（2）结论不变，证明ME 垂直平分线段BC 即可．（3）分三种情形：如图3-1中，当BE =BF 时，设∠EBC =∠ECB =x ，如图3-2中，当FE =FB 时，设∠EBC =∠ECB =∠FEB =m ，如图3-3中，当BE =BF 时，设∠EBC =∠ECB =n ，分别构建方程求解即可．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD =AD =BD ，∵∠A =60°，∴△ADC 是等边三角形，∴∠ADC =60°，∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE =60°，∴∠EDB =180°-60°-60°=60°，∴∠CDF =∠BDF ，∵DC =DB ，∴DF ⊥BC ，CF =FB ，∴EC =E B ．（2）结论仍然成立．理由：连接CM ，EM ．∵AM =BM ，∠ACB =90°，∴CM=AM =BM ，∵∠A =60°，∴△A CM 是等边三角形，∴∠AMC =∠A CM=60°，CA =CM ，∵△CDE 是等边三角形，∴∠A CM=∠DCE =60°，CD =CE ，∴∠ACD =∠MCE ，在△ACD 和△MCE 中，CA CM ACD MCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△MCE （SAS ），∴∠A =∠CM E =60°，∴∠CM E =∠BME =60°，∵MC =MB ，∴ME 垂直平分线段BC ，∴EC=E B．（3）解：如图3-1中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=x，（180°-x），则∠BFE=60°+x=12∴x=20°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+20°=50°．如图3-2中，当FE=FB时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，则∠EFB=60°+m=180°-2m，∴m=40°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+40°=70°．如图3-3中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=n，n=60°-（180°-2n），则有∠BEF=12∴n=80°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+80°=110°，综上所述，∠ABE的值为50°或70°或110°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

初中数学：等腰三角形测试题（含答案）时间40分钟总分100分一、选择题(每题5分)1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为（）A、75°或15°B、30°或60°C、75°D、30°【答案】A【解析】试题分析：分等腰三角形的顶角是锐角和钝角两种情况求解.解：当等腰三角形的顶角是锐角时,如图所示,∵BD=12 AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=∠C=75°；当等腰三角形的顶角是钝角时,如图所示,∵BD=12 AB,∴∠BAD=30°,∴∠BAC=150°,∴∠ABC=∠C=15°.故应选A.考点：等腰三角形的性质.2、等腰三角形的底边为7cm,一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为（）Ａ．20cm Ｂ．10cm Ｃ．10cm或4cm Ｄ．4cm 【答案】C【解析】试题分析：解：等腰三角形底边上的中线把等腰三角形分成的两部分的长度相等,∴把等腰三角形的周长分成差为3cm的两部分的中线是腰上的中线,设等腰三角形的腰长是2xcm,则被分成的两部分的长度分别是3xcm和(7+x)cm,当3x-(7+x)=3时,解得：x=5,则2x=10,∴等腰三角形的腰长为5cm；当(7+x)-3x=3时,解得：x=2,则2x=4,∴等腰三角形的腰长是4cm或10cm.故应选C考点：等腰三角形的性质.3、如图,坐标平面内一点A（2,﹣1）,O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】C【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义分情况讨论.解：如下图所示,当OA为等腰三角形的底边时,点P是线段OA的垂直平分线与x轴的交点；当AP为等腰三角形的底边时,符合条件的点P有2个；当OP为等腰三角形的底边时,符合条件的点P有1个.符合条件的点共有4个.故应选C考点：等腰三角形的定义.4、如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种【答案】C【解析】试题分析：利用等腰三角形的定义和判定定理进行判断.解：可以证明△ABC是等腰三角形的方法有：①②①③②④③④,所以共有4种,故应选C.考点：等腰三角形的判定5、下列说法中：（1）顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B． 2个C．3个D．4个【答案】A【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理进行判断.解：(1)顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形,根据SAS可证全等,故(1)正确；(2) 底边相等,且周长相等的两个等腰三角形,根据SSS可证全等,故(2)正确；(3)腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形,50°角可能是等腰三角形的顶角也可能是等腰三角形的底角,所以这两个等腰三角形不一定全等,故(3)错误；(4) 两条直角边对应相等的两个直角三角形,根据SAS可证全等,故(4)正确.所以错误的有1个.故应选A.考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定6、已知：如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【答案】A【解析】试题分析：根据三角形各内角的度数进行划分.解：如下图所示,所以①③④都可以.故应选A.考点：等腰三角形的判定二、填空题(每题6分)7、若一个等腰三角形的周长是20cm,一边长是5cm,则另两边的长是__________。

等腰三角形的轴对称性测试题题目1、（1）等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是；（2）等腰三角形的一个角是30度，则它的另外两个角分别为；（3）等腰三角形的一个角是100度，则它的另外两个角分别为；（4）等腰三角形的周长是10cm，腰长是4cm，则底边为；（5）等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为。

2、如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是( )A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角的对边的直线 D．某一个角的平分线3、如图，在△ABC中， AB = AC，点D在BC上，且AD = BD。

（1）找出相等的角并说明理由；（2）若∠ADC=70° ，求∠BAC的度数。

4、如图，已知∠A=150°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠FEN的度数。

八. 【课后作业】及时巩固、查漏补缺1、如果等腰三角形的`一个外角为1350，那么底角为（）A、450B、720C、67.50D、450或67.502、等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形，若这两个三角形的周长相差2，且等腰三角形底边长是8，则它的腰长是（）A、3或5B、 5或6C、5或10D、6或103、RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或者直线AC上取一点P，使ΔPAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个4、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长是（）A．12 B.17 C.17或19 D.195、如图，在△ABC中，∠A＝100 °，BD＝BE，CD＝CF，求∠EDF的度数。

6、已知 ABC中∠BAC=140°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E 、F ，你能求出∠EA F的度数吗？7、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，试说明DE=DF的道理。

全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题含答案一、腰或底边不确定时需讨论1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是()A．11 cm B．13 cmC．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10二、顶角或底角不确定时需讨论3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．三、三角形形状不确定时需讨论6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．答案：1. C2. A3. D4. 80°或20°5. 70°或100°或40°6. D7. 63°或27°8. 两种情况考虑：当∠ABC 为锐角时，如图1所示，∵AD ⊥DB ，BE ⊥AC ，∴∠MDB ＝∠AEM ＝90°，∵∠AME ＝∠BMD ，∴∠CAD ＝∠MBD ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠M ＝∠C ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135° .∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°9. C10. 当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或111. 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9。

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（25道）一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12 B 5C ．23 D 32．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A ．23B ．232C ．2D ．233．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC =，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．1或26．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．537．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC = 2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.29．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD的长是（ ）A B C D11．ABC 的三边长a b c 满足2()|0a b c --=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．参考答案一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12BC ．23 D【答案】D 【详解】解：①点O 是①ABC 的重心 ①OC =23CE ①①ABC 是直角三角形 ①CE =BE =AE ①①B =30° ①①F AE =①B =30° ①BAC =60° ①①F AE =①CAF =30° ①ACE 是等边三角形 ①CM =12CE ①OM =23CE ﹣12CE =16CE 即OM =16AE ①BE =AE ①EF①EF ①AB ①①AFE =60° ①①FEM =30° ①MF =12EF ①MF①MO MF1AE故选D ．2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A．2B．2 C ．2 D．【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得2cm AD CD == 由含30度角直角三角形的性质可得24cm BC CD == 由勾股定理可得BD 的长 即可得到结论．【详解】解：如图，在Rt ACD △中 45ACD ∠=︒①45CAD ACD ∠=︒=∠①2cm AD CD ==在Rt BCD 中 60BCD ∠=︒①30CBD ∠=︒①24cm BC CD == ①)22224223cm BD BC CD --= ①()233cm AB BD AD =-=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理 等腰直角三角形的性质 含30︒角直角三角形的性质 熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与36A ∠=︒ 得到72ABC C ∠=∠=︒ 根据角平分线定义得到36ABD CBD ∠=∠=︒ 根据线段垂直平分线性质得到EB ED = 得到EBD EDB ∠=∠ 推出EDB CBD ∠=∠ 得到DE BC ∥ 推出AED ABC ∠=∠ ①正确 根据等角对等边得到AD AE = AD BD = 根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠ 得到BC BD = 推出BC AE = ①正确 根据AED ABC △∽△ 得到ED AD AD BC AC AD DC ==+ 推出ED = ①错误 根据2AC =时CD AD = 2AD AD =-,推出1AD = ①正确． 【详解】①ABC 中 AB AC = 36A ∠=︒ ①()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒ 由作图知 BD 平分ABC ∠ MN 垂直平分BD ①1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒EB ED = ①EBD EDB ∠=∠①EDB CBD ∠=∠①DE BC ∥①AED ABC ∠=∠ ①正确 ADE C ∠=∠①AED ADE ∠=∠①AD AE =①A ABD ∠=∠①AD BD =①72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒ ①BDC C ∠=∠①BC BD =①BC AE = ①正确设ED x = BC a =则AD a = BE x =①CD BE x ==①AED ABC △∽△ ①EDADADBC AC AD DC ==+ ①x aa a x =+①220x ax a +-=①0x >①51x -= 即51ED -=①错误 当2AC =时 2CD AD =- ①51CD AD -=512AD AD -=-, ①51AD = ①正确①正确的有①①① 共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形 相似三角形 解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质 相似三角形的判定和性质 角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．4．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为27 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为23 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == BC AE == 6BD ==∴8DE =∴AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = BC = OE = 1CE =①CD = GE DF ==32CF =①52EF DG == OG①OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D 【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．53【答案】D 【分析】过点D 作DM AB ⊥于M 由勾股定理可求得4AC = 由题意可证明ADC ADM △≌△，则可得4AM AC == 从而有1BM = 在Rt DMB 中 由勾股定理建立方程即可求得结果．【详解】解：过点D 作DM AB ⊥于M 如图由勾股定理可求得4AC =由题中作图知 AD 平分BAC ∠①DM AB AC BC ⊥⊥，①DC DM =①AD AD =①Rt Rt ADC ADM △≌△①4AM AC ==①1BM AB AM =-=设BD x =，则3MD CD BC BD x ==-=-在Rt DMB 中 由勾股定理得：2221(3)x x +-= 解得：53x = 即BD 的长为为53故选：D ．【点睛】本题考查了作图：作角平分线 角平分线的性质定理 全等三角形的判定与性质 勾股定理 利用全等的性质 利用勾股定理建立方程是解题的关键．7．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【答案】B 【分析】作AD BC ⊥于点D 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒ 再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点DABC 中,120BAC ∠=︒ AB AC =∴()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒AD BC ⊥∴11126m 22AD AB ==⨯=故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 三角形内角和定理 含30度角的直角三角形的性质等解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC =2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2【答案】C【分析】证明ADC DEB ∽△△ 根据题意得出45BD BC = 进而即可求解．【详解】解：①ABC 为等边三角形①60B C ∠=∠=︒①ADB ADE BDE C DAC ∠=∠+∠=∠+∠ 60ADE ∠=︒①BDE DAC ∠=∠①ADC DEB ∽△△ ①AD ACDE BD =①4BD DC = ①45BD BC =①AD AC DE BD =5445BC BC == ① 2.4DE = ①534AD DE =⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 等边三角形的性质 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图 1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【详解】解：作直线PQ （两点确定一条直线）连接PA PB QA QB OC ，，，，①由作图 PA PB QA QB ==，①PQ AB ⊥且AO BO =（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．①90ACB ∠=︒ ①12OC AB =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ①OA OB OC ==①A B C 三点在以O 为圆心 AB 为直径的圆上．①O 为ABC 的外接圆．故选：D ．【点睛】本题考查作图-复杂作图 线段的垂直平分线的定义 直角三角形斜边中线的性质等知识 解题的关键熟练掌握基本知识 属于中考常考题型．10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A B C D 【答案】C 【分析】如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E 利用勾股定理求出5AC = 进而利用等面积法求出125BE =，则可求出95AE = 再由BD 平分ABC 的周长 求出32AD CD ==， 进而得到65DE =，则由勾股定理得BD ==【详解】解：如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E①在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， ①225AC AB +BC ①1122ABC S AC BE BC AC =⋅=⋅△ ①125AB BC BE AC ⋅== ①2295AE AB BE =-= ①BD 平分ABC 的周长①AD AB BC CD +=+ 即34AD CD +=+又①5AD CD AC +==①32AD CD ==， ①65DE AD AE =-= ①2265BD BE DE =+=故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．ABC 的三边长a b c 满足2()23|320a b a b c ----=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a b c 的等式 从而分别计算得到a b c 的值 再由222+=a b c 的关系 可推导得到ABC 为直角三角形．【详解】解①2()23|320a b a b c ---+-=又①()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--⎨-≥⎪⎩①()2000a b c ⎧-=-=⎪⎩①02300a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-⎩解得33a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ①222+=a b c 且a b =①ABC 为等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识 求解的关键是熟练掌握非负数的和为0 每一个非负数均为0 和勾股定理逆定理．12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得04AC << 再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在ACD 中 2AD CD ==①2222AC -<<+ 即04AC <<当4AC BC ==时 ABC 为等腰三角形 但不合题意 舍去若3AC AB ==时 ABC 为等腰三角形故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．【答案】23【分析】先求出AD=2 BD=4 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得①AMD+①A=①EDF+①BDN 然后求出①AMD=①BDN 从而得到①AMD 和①BDN 相似 根据相似三角形对应边成比例可得MA MD BD DN= 求出MA•DN=4MD 再将所求代数式整理出完全平方的形式 然后根据非负数的性质求出最小值即可．【详解】①AB=6 AB=1：3 ①AD=6×13=2 BD=6﹣2=4 ①①ABC 和①FDE 是形状 大小完全相同的两个等腰三角形①①A=①B=①FDE 由三角形的外角性质得 ①AMD+①A=①EDF+①BDN ①①AMD=①BDN①①AMD①①BDN ①MA MD BD DN= ①MA•DN=BD•MD=4MD ①MD+12⋅MA DN =MD+2233()(2323MD MD MD+- =①3MD MD 即3MD+12⋅MA DN 有最小值为23故答案为考点：相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 旋转的性质 最值问题 综合题．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．【答案】32/112/1.5 【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△ 推出5==BA CE 再利用勾股定理求出BC 最后根据中点的定义即可求CD 的长． 【详解】解：CE AB ∥∴BAD CED ∠=∠点D 为BC 的中点∴BD CD = 又BDA CDE ∠=∠∴BDA CDE △≌△()AAS∴5==BA CERt ABC △中 90ACB ∠=︒ 4AC =∴3BC === ∴1322CD BC ==． 故答案为：32． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 勾股定理 平行线的性质等 证明BDA CDE △≌△是解题的关键．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．541【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当D 在CA 上讨论 画出图形 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N 利用勾股定理解题即可【详解】解：当在线段上时 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N①当D 在线段AC 上时1AD =2CD AC AD ∴=-=90BCD ∠=︒22222313BD CD BC ∴=+=+点O 是线段BD 的中点1132OC OB OD BD ∴====ON BC ⊥1322CN BN BC ∴===AB DE45COE A CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒2CE CD ∴==31222NE ∴=-=221ON CO CN =-2222151()2OE ON NE ∴=++=②当D 在CA 延长线上时，则4CD AD AC =+=O 是线段BD 的中点 90BCD ∠=︒12OC OB OD BD ∴=== ON BC ⊥1322CN BN BC ∴=== OB OD =122ON CD ∴== AB DE45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒4CE CD ∴==35422EN CE CN ∴=-=-=OE ∴==OE ∴【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质 勾股定理 正确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．【答案】32【分析】连接CP 利用勾股定理列式求出AB 判断出四边形CDPE 是矩形 根据矩形的对角线相等可得DE CP = 再根据垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段DE 的值最小 然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CP①90,6C AC BC ∠=︒== ①22226662AB AC BC ++=①PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E 90ACB ∠=︒①四边形CDPE 是矩形①DE CP =由垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段CP 的值最小 此时线段DE 的值最小此时 1122ABC S AC BC AB CP ==△⋅⋅ 代入数据：11666222CP ①32CP =①DE 的最小值为32故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 垂线段最短的性质 勾股定理 判断出CP AB ⊥时 线段DE 的值最小是解题的关键．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．【答案】【分析】连接AC BD 交于点O 过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F 先证明BCD △是等边三角形 AC垂直平分BD 求得30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒ 6AE EC == 再解三角形求出AO AC CO =-= 4BO = 最后运用勾股定理求得AB 即可．【详解】解：如图：连接AC BD 交于点O又①BC DC = 60C ∠=︒①BCD △是等边三角形①8BD BC CD ===①AB AD = BC DC =①AC BD ⊥ 142BO DO BD === ①1302ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒ 又①AE CD ∥①30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒．①6AE EC ==过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F ①3cos30633CF CE =⋅︒==3cos30633AF AE =⋅︒==3cos3083CO BC =⋅︒==①63AC CF AF =+=①634323AO AC CO =-==①在Rt BOA 中 2222(23)427AB BO AO ++= 故答案为：27【点睛】本题属于四边形综合题 主要考查了等边三角形的判定和性质 平行线的性质 垂直平分线 勾股定理 解直角三角形等知识点 正确作出辅助线成为解答本题的关键．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．【答案】65【分析】根据题意可得BD BE = 再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：BD BE =①BDE BED ∠=∠①18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，①65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质 三角形内角和等知识点 掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．【答案】4【分析】利用圆的性质得出AP 垂直平分CD 和5AD AC == 运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知 以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P ①AP 垂直平分CD ,即90AED ∠=︒ ①132DE CD == 又①在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 其中5AC =①5AD AC ==在ADE 中 4AE =故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质 掌握相关知识点是解题的关键.20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M 证明ACG BMG ∽ 得出AG AC AC GB BM BC == 根据96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= 即可求解． 【详解】解：如图所示 过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M①ACM CMB ∠=∠由作图可得CG 是ACB ∠的角平分线①ACM BCM ∠=∠①BCM CMB ∠=∠①BC BM =①BM AC ∥①ACG BMG ∽ ①AG AC AC GB BM BC== ①96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= ①BCG 的面积为8①ACG 的面积为12故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 作角平分线 熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB 然后利用勾股定理即可得出BC 最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：①在Rt ABC △中 CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 5CD =①210AB CD ==①6BC①E 为AC 的中点 ①132DE BC == 故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质 三角形中位线定理 掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．【答案】5【分析】先根据题意画出图形 再运用勾股定理求得AB 然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：①△ACB =90° AC =6 BC =8 ①22226810AB AC BC①①ACB =90° D 为AB 的中点①CD =12AB =12×10=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．【答案】(1)见解析 (2)185BD = 【分析】（1）根据三角形高的定义得出90ADB ∠=︒ 根据等角的余角相等 得出BAD C ∠=∠ 结合公共角B B ∠=∠ 即可得证（2）根据（1）的结论 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：①90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．①90ADB ∠=︒ 90B C ∠+∠=︒①90B BAD ∠+∠=︒①BAD C ∠=∠又①B B ∠=∠①C ABD BA ∽△△（2）①C ABD BA ∽△△ ①AB BD CB AB=又610AB BC ==， ①23618105AB BD CB ===． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质 证出2E ∠=∠ 再利用等边对等角即可．【详解】证明：BD 为等边ABC 的中线BD AC ∴⊥ 160∠=︒330∴∠=︒BD DE =330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒230E ∴∠=∠=︒CD CE ∴=【点睛】本题考查了等边三角形 等腰三角形的性质和判定 理解记忆相关定理是解题的关键．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）由B AED ∠=∠求出BAE CED ∠=∠ 然后利用AAS 证明BAE CED ≅ 可得EA ED = 再由等边对等角得出结论（2）过点E 作EF AD ⊥于F 根据等腰三角形的性质和含30︒直角三角形的性质求出DF 和AD 然后利用勾股定理求出EF 再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：①B AED ∠=∠①180180B AED ︒-∠=︒-∠ 即BEA BAE BEA CED ∠+∠=∠+∠①BAE CED ∠=∠在BAE 和CED △中 B C BAE CED BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BAE CED ≅①EA ED =①EAD EDA ∠=∠（2）解：过点E 作EF AD ⊥于F由（1）知EA ED =①60C AED ︒∠=∠=①30AEF DEF ∠=∠=︒①4DE = ①122DF DE == ①24AD DF == 22224223EF DE DF =--①11422AED S AD EF =⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 含30︒直角三角形的性质以及勾股定理等知识 正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．。

.梅川高中学校八年学年度上学期等腰三角形测试题命题：X俊超一、选择题〔每空3分，共30 分〕1、如图4237，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40° B．35° C．25° D．20°2、图6，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE=BE，DF=DC，若∠A=40°，则∠EDF的度数为( )A.45°B.60°C.70°D.80°3、如图,周长为,点、都在边上，的平分线垂直于，垂足为，平分线垂直于，垂足为，若，则的长为--------〔〕A．3 B． C．D．4、已知BD是等腰的角平分线，如果，那么等于〔〕．A． B．C．D．或或5、如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB＝〔〕A、1cmB、2cmC、8cm D、16cm6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为〔〕A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°7、如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②；③；④图中有8个等腰三角形。

其中正确的是〔〕A、①③B、②④C、①④D、②③8、把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图5所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有〔〕个.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为A. 30°B. 22.5°C. 15°D. 45°10、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为〔〕A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°二、填空题〔每空3 分，共30 分〕11、如图12，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1=OB1，连接，在，上分别取点、，使，连接，…，按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则θ1=___________；θn=___________.12、如图，已知AB=2，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，连接PG，则PG的最小值是_______.13、如图，在△ABC中，AB＝AC，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的平分线，DE经过点M，且DE//BC，则图中有个等腰三角形．14、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是°．15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC. 则AB : AE＝.13题14题15题16、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为．17、如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是.18、光线以如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ间来回反射，已知=60°，β=50°，则= .19、如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用，，，，…表示，其中x轴与边，边与，与，…均相距一个单位，则顶点的坐标为；的坐标为；〔n为正整数〕的坐标为．20、等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为__________．三、解答题〔每空？分，共60分〕21、(8分〕已知：如图15，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.〔1〕求证：△ABC是等腰三角形；〔2〕判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.22、(8分〕作图：〔不写作法，但必须保留作图痕迹，如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，〔点M，N表示大学，AO，BO表示公路〕.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

ED C AF1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线 2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°ECAFG二、填空题 6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．AB C DAB C D练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C AE D ABFEDCBH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EF C ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．ECABFE D ABF2.等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形D ABF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题10．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB11．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDAH F等腰三角形测试题（1）1、等腰三角形的一边长为2，周长是7，则另外两边的长为________。