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第8章多元线性回归与相关分析2011年(上)林学09级生物统计学

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多元线性回归与相关(共30张PPT)

多元线性回归与相关(共30张PPT)

❖ 根据矩阵行列式性质，矩阵行列式的值等于
其特征根的连乘积。因此，当行列式| X'X|≈0
时，至少有一个特征根为零，反过来，可以
证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X的
列向量必存在多重共线性，同样也可证明 X ' X
有多少个特征根近似为零矩阵X就有多少个多
重共线性。根据条件数 K i
, m
i
其中 m为最
❖ 首先给出引入变量的显著性水平和剔除变量的显著性水平，然后 筛选变量。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归
❖ 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其 偏回归平方和（即贡献），然后选一个偏回归平方和最小的变量，在预 先给定的水平下进行显著性检验，如果显著则该变量不必从回归方程中 剔除，这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除（因为其它的几个变 量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除）。相反，如果不显 著，则该变量要剔除，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其 它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除，保留的都是显著的 。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和，并选其 中偏回归平方和最大的一个变量，同样在给定水平下作显著性检验，如 果显著则将该变量引入回归方程，这一过程一直继续下去，直到在回归 方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止，这时逐步回归 过程结束。
多重共线性检验
❖ 检查和解决自变量之间的多重共线性，多多 元线性回归分析来说是很必要和重要的一个 步骤，常用的共线性诊断方法包括：
❖ 直观的判断方法 ❖ 方差扩大因子法(VIF) ❖ 特征根判定法
直观的判断方法
❖ 在自变量 的相关系数矩阵中，有某些自变量 的相关系数值比较大。

生物统计课件第8章 多元线性回归和相关

生物统计课件第8章 多元线性回归和相关

多元线性回归方程的建立
多元线性回归中，自变量x个数有k个(k≥2)n组，设 x1、 x2、…、 xk为自变量观测值，y为因变量观测值， 则一个k元线性回归的数学模型为：
y 0 1x1 2x2 k xk
式中k>1，β0为截距， β1~ βk为偏回归系数，ε为 随机误差，服从N(0,σ)的正态分布 。
逐步回归与通径分析 在DPS中输入数据，选择数据：
逐步回归与通径分析 点击菜单多元分析→回归分析→逐步回归，弹出对 话框：
已经引入方程的变量为x1、x2、x3，调整的R为 0.94804
逐步回归与通径分析 按yes，则引入变量x4，结果：
已经引入方程的变量为x1、x2、x3、x4，调整的R为 0.94473<0.94804，因此不能引入x4，需要剔除。
引入6个变量时的最优回归方程：
X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)，X2 的影响也显著(p<0.05)，而X1、X3、X5对Y的而影响 不显著(p>0.05)，得到回归方程（略） 决定系数R2=0.9822（略高于引入4个自变量时的 0.9820），回归关系经方差分析，F=128.4913，p=0， 非常显著。
简单的相关系数与偏相关系数会差别很大， 符号也存在正负差异。
简单的相关系数往往不能反应两个变量之 间的真实的线性相关关系，而偏相关系数消 除了其他变量的取值的影响，反映两个变量 的真实关系。

逐步回归与通径分析
在实际研究中，影响y的因素有很多，这些因素之 间可能存在多重共线性问题，如温度和雨量、雨量 与雨日之间的关系。逐步回归分析就是一种自动从 大量变量中选择对建立回归方程比较重要的方法， 它是建立在多元线性回归的基础上派生出来的一种 更算法技巧。

《多元线性回归》PPT课件

《多元线性回归》PPT课件

ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，

第八章 多元线性回归与相关分析

第八章 多元线性回归与相关分析



偏相关系数解法是：由简单相关系数rij(i，j=1，
2，…，M )组成的相关矩阵：
r11 r21 r M1 r12 r22 rM 2 r1M r2 M rMM
R (rij ) M M

求得其逆矩阵：
c11 c 21 c M1 c12 c 22 c M2 M c1 M c2 c MM
方和，它反映了回归估计值和实测值y之间的差异。
ˆ ) 2 最小 Q (y y

自由度：

= n-(m+1)
sy/12…m
Qy/12m n (m 1)
二、多元回归的假设测验

(一) 多元回归关系的假设测验
测验 m 个自变数的综合对 Y 的效应是否显著。若令回归方
m ， 程中b1、b2、…、bm 的总体回归系数为1 、 2 、… 、
(8· 3)
b0是x1、x2、…、xm 都为0时y 的点估计值；b1是 by1· 23…m 的简写，它是在x2，x3，…，xm 皆保持一定
时，x1 每增加一个单位对y的效应，称为x2，x3，…，
xm 不变(取常量)时x1 对y 的偏回归系数(partial
regression coefficient) 。

通径系数 pi 统计意义是：若 Xi 增加一个标准差单位，
Y 将增加(pi＞0)或减少(pi＜0)pi 个标准差单位。
第二节 多元线性相关分析
一、多元相关
二、偏相关
一、 多元相关

多元相关或复相关(multiple correlation)：在
M=m+1个变数中，m个变数的综合和1个变数的相关。

多元线性回归分析简介

多元线性回归分析简介
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：

生物统计学课件7、回归与相关分析

生物统计学课件7、回归与相关分析

VS
最大似然法
最大似然法是一种基于概率的参数估计方 法，通过最大化似然函数来估计参数。这 种方法在某些情况下比最小二乘法更有效 ，尤其是在存在离群值或异常值的情况下 。
多元回归模型的假设检验
线性假设检验
线性假设检验是检验自变量与因变量之间是 否存在线性关系。如果线性假设不成立，可 能需要考虑其他形式的回归模型。
02
参数检验、非参数检验。
常用的假设检验方法
03
t检验、F检验、卡方检验等。
线性回归模型的预测与解释
1 2
预测
利用回归模型预测因变量的取值。
解释
通过回归系数解释自变量对因变量的影响程度和 方向。
3
实际应用
在生物医学研究中，线性回归分析常用于探索变 量之间的关系，如疾病与基因、环境因素之间的 关系等。
SUMMAR Y
01
回归与相关分析概述
定义与概念
回归分析
研究因变量与一个或多个自变量之间 关系的统计方法，通过建立数学模型 来描述变量之间的依赖关系。
相关分析
研究两个或多个变量之间关系的统计 方法，描述变量之间的关联程度和方 向。
回归与相关分析的分类
线性回归分析
因变量与自变量之间呈现线性关系的回归分 析。
共线性诊断
共线性是指自变量之间存在高度相关性的情 况。共线性可能导致回归系数不稳定，影响 模型的预测精度。因此，需要进行共线性诊 断，并采取措施缓解共线性问题。
多元回归模型的预测与解释
预测
多元回归模型可以用于预测因变量的取值。根据建立的回归方程和给定的自变量值，可 以计算出因变量的预测值。
解释
多元回归模型可以用于解释自变量对因变量的影响程度。通过分析回归系数的大小和符 号，可以了解各个自变量对因变量的贡献程度和影响方向。

第八讲多元线性回归分析-精选文档


ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20

生物医学统计lecture11多重线性回归分析


0.120 1.754 30.0 76 0.80 0.059 1.656 20.0 83 1.45
0.040 1.200 22.5 69 1.80 0.087 1.536 23.0 57 1.50
0.120 1.500 21.8 77 0.60 0.039 0.960 24.8 67 1.50
0.100 1.200 27.0 58 1.70 0.222 1.784 23.3 83 0.90
问题：
1. 这个回归方程是否有意义？即在所有自变量
中，是否至少存在一个自变量与Y的总体均
数呈线性关系？ 2. 回归方程的效果如何？也即是这四个自变量
能够解释反应变量的变异的百分比是多少？ 3. 四个自变量是否都对反应变量有影响？ 4. 哪个因素对Y的影响最大？
4. 回归系数的估计：
最小二乘估计（least square estimation，LSE） 寻找一套适宜的偏回归系数（b0 , b1 , b2 ,L, bp） 建立多重线性回归方程，使得反应变量的观 测值 Yi 与回归方程的估计值 Yˆi 之间的残差平 方和最小。
Yˆ = −0.142+ 0.116X1 + 0.004X2 − 6.55×10−6 X3 − 0.035X4
60.00
70.00 80.00 气湿（％）
90.00
一 0.250
氧 化 0.200
氮 浓
0.150
度 0.100
（ ppm ）
0.050
0.000
20.00 22.50 25.00 27.50 30.00 32.50 35.00
气温（摄氏度）
（ ppm ）
一 0.250 氧 化 0.200 氮 0.150 浓 度 0.100

多元线性相关与回归分析

多元线性相关与回归分析首先，我们来介绍多元线性相关的概念。

多元线性相关是指两个或多个变量之间存在着线性关系。

具体地说，如果我们有变量X1，X2，...，Xp和Y，我们可以通过寻找最佳的线性函数Y = a + b1*X1 + b2*X2+ ... + bp*Xp来拟合这些变量之间的关系。

为了得到最佳的拟合函数，我们使用了回归分析的方法。

回归分析是一种统计学方法，用来估计两个或多个变量之间的关系，并建立相应的回归模型。

回归模型可以用来预测或解释因变量Y。

在多元线性回归分析中，我们通常使用最小二乘估计法来确定回归系数，这样可以使得估计值和实际值的差异最小化。

在回归模型中，我们通常有一个因变量Y和多个自变量X1，X2，...，Xp。

回归模型可以写成以下形式：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βp*Xp+ε其中，β0，β1，β2，...，βp是回归系数，表示自变量对因变量的影响大小；ε表示误差项，表示不能被回归模型解释的因素。

回归分析的主要目的是通过估计回归系数来确定自变量对因变量的影响。

通过对回归系数进行显著性检验，我们可以判断自变量是否对因变量有统计显著的影响。

此外，还可以通过回归模型进行预测，例如根据给定的自变量值预测因变量的值。

然而，需要注意的是，回归分析有一些前提条件需要满足。

首先，多元线性回归模型假设因变量Y是一个连续的变量，而自变量X1，X2，...，Xp可以是任意的变量类型。

其次，回归模型假设自变量之间没有完全的多重共线性，即自变量之间的线性相关程度不是特别高。

此外，回归模型还假设误差项ε服从正态分布，并且方差是恒定的。

如果这些条件得到满足，我们可以使用各种统计方法来进行回归分析。

常见的方法包括简单线性回归、多元线性回归、逐步回归、回归诊断等。

这些方法可以帮助我们确定最佳的回归模型，并对模型进行检验和解释。

总之，多元线性相关与回归分析是一种重要的统计学方法，用来研究两个或多个变量之间的相关关系，并建立相应的回归模型。

12多元线性回归与相关分析

12多元线性回归与相关分析多元线性回归和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于了解多个自变量与一个因变量之间的关系。

本文将从两个方面对多元线性回归和相关分析进行详细介绍。

一、多元线性回归多元线性回归是一种通过建立多个自变量与一个因变量之间的线性关系模型，来预测和解释因变量变化的方法。

它的基本模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1，X2到Xn是自变量，β0，β1到βn是回归系数，ε是误差项。

多元线性回归通过最小二乘法估计回归系数，即通过求解使得误差平方和最小的参数估计值。

利用这些参数，可以对新的自变量值进行预测，从而实现预测和解释因变量的目的。

多元线性回归的优点包括：1.可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，从而提供更为全面的解释和预测能力。

2.可以通过回归系数的显著性检验，判断每个自变量的重要性。

3.可以检验回归模型的整体拟合程度。

然而，多元线性回归也有一些注意事项：1.自变量之间应该是独立的，不存在多重共线性，否则会影响参数估计的准确性。

2.残差应该满足正态分布和同方差性的假设，否则会影响回归系数的显著性检验和预测的准确性。

二、相关分析相关分析是一种用于研究两个变量之间关系的统计方法。

它可以通过计算相关系数来衡量两个变量之间的线性相关程度，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

皮尔逊相关系数适用于两个变量都是连续型变量且满足正态分布的情况，其取值范围在-1到1之间，代表着两个变量之间的相关程度。

当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。

斯皮尔曼相关系数适用于两个变量至少其中一个是有序变量或两个变量不满足正态分布的情况。

与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数基于两个变量的秩次，而不是实际的变量值。

它可以用来研究两个变量之间的非线性关系。

相关分析的应用主要有：1.了解两个变量之间的关系：通过计算和解释相关系数，可以得出两个变量之间的相关程度以及相关的方向。

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i 1 i i 1 0 1 i 1 i 1 2 i 1 i 2 m i 1 i m
2 0i 1 1i 1 2i 1 i 2
移项得： 对b2求偏导数：
x y x b b x x b x x b x x 0 b x b x b x x b x x x y b x b x x b x b x x x y
因变量 个体 y （样本点） 自变量
1 2 n
y 1 y2 yn
x 1 x 11 x 11 xn1
x2 x 12 x22 xn2
xm x 1m x2m xnm
二、数学模型
设y为因变量，x1、x2、…、xm为m个自变量。则y对x1、 x2、…、xm 的多元线性回归模型是：
y x x x 0 1 1 2 2 m m
x12 x22 xn2
b0 x1m b1 x2m b2 xnm b m
令
x y 1 x 1 1 1 1 2 y 1 x x 2 2 1 2 2 Y , X x n 1 n2 yn 1 x
第八章
多元线性回归分析
在现实世界中，变量之间的关系往往不是两个变量之间 的关系，许多变量往往受到多个变量的影响； 例如：树木的生长受到温度、降水量、土壤类型、造林 技术、抚育管理、自然灾害等多方面的影响； 例如：人的体重与身高、胸围之间有联系； 多元回归的概念：研究一个因变量与多个自变量之间关 系的回归关系称为多元回归多元回归的种类：多元线性回归， 多元非线性回归分析 多元线性回归：因变量与自变量之间回归方程的形式是 线性的；
y b b x b x b x 0 1 1 2 2 m m
多元非线性回归：因变量与自变量之间回归方程的形式 是非线性的；
一、多元线性回归的数据
现假定有一个因变量，用y表示，自变量有m个，分别用 x1、x2、…、xm表示。研究因变量与自变量间的关系。 现从总体中通过调查或者试验的方法随机抽取n个个体组 成一个样本，然后对每个个体进行测量。每个个体都有因变 量y和m个自变量的一组观察值， 每个个体上的一组观察值 就是一个样本点，总共有n个样本点。
m i 1 i m i 1 i
2 0i 2 1i 2 i 1 2i 2
m i 2 i m ii 2
…………………………
2 对bm求偏导数： b x b x x b x x b xx y 0i m 1i m i 1 2i m i 2 m i m i m i
型中的偏回归系数，从而建立回归方程：
ˆ y b b x b x b x 0 1 1 2 2 m m bb , j 等分别是 , j的估计值 0 0
为了求出回归系数，将前面的n组数据代入回归方程中， 得到n个方程：
y b b x b x b x 1 0 1 1 1 2 1 2 m 1 m
01 i 12 i 2 m i m i
移项得：
b b x b x b x y
b n b x b x b x y 0 1 i 12 i 2 m i m i
对b1求偏导数：
Q 2 ybb x b x b x i 0 1 i 1 22 i m i m b b 1 1 2 y b b x b x b x x 0 i 0 1 i 1 2 i 2 m i m i 1
b 0 x 1 m b 1 x 2m , bb 2 x n m b m
方程组可简单地表示为：
Y X b
同一元线性回归一样，多元线性回归的回归系数也可以用最小二乘法
估计。也就是用使观察值与估计值的离差平方和达到最小的方法估计，即
ˆi ) Q ( yi y y b b x b x b x i 0 1 1 22 m m
2 i 1
n
n
2
i 1
y b b x b x b x 最小 i 0 11 22 m m
2 i 1
n
根据高等数学中求极值的方法，要使Q达到最小，需要求函数Q关于每 个回归系数bj的偏导数,并令偏导数等于0，可得
n Q 2 2 ˆ y y y b b x b x b x i i i 0 1 i 1 2 i 2 m i m b b x b x 1 0 i 0 1 i 1 2 i 2 m i m
y b b x b x b x 2 0 1 2 1 2 2 2 m 2 m y b b x b x b x n 0 1 n 1 2 n 2 m n m
x ij
表示第i个样本点中第j个自变量的观察值。
方程组用矩阵形式表示：
bm x1m y1 b0 b 1x 11 b 2x 12 y1 1 x11 bm x2m y2 1 x21 y2 b0 b 1x21 b 2 x22 y b b x b x b x m nm n 0 1 n1 2 n2 yn 1 xn1

0

为常数项； 偏回归系数，表示当其他自变量都固定不变时，自变量 xi变化一个单位时，因变量y的改变量。 随机误差，相互独立、且都服从N（0，σ 2）。

j

数学模型中，所有的自变量都是普通的数学变量，因变量 y是随机变量，其分布与随机误差的分布相同。
三、线性回归方程的建立
多元线性回归方程的主要任务：根据样本数据估计回归模