非线性回归分析常见曲线及方程)

非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。

因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。

本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。

一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。

线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。

而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。

一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。

非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。

二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。

非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。

非线性回归剖析回归剖析中,当研讨的因果关系只涉及因变量和一个自变量时,叫做一元回归剖析;当研讨的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时,叫做多元回归剖析.此外,回归剖析中,又根据描写自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的照样非线性的,分为线性回归剖析和非线性回归剖析.平日线性回归剖析法是最根本的剖析办法,碰到非线性回归问题可以借助数学手腕化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相干关系并不是线性关系,而呈现某种非线性的曲线关系,如：双曲线.二次曲线.三次曲线.幂函数曲线.指数函数曲线(Gompertz).S型曲线(Logistic) 对数曲线.指数曲线等,以这些变量之间的曲线相干关系,拟合响应的回归曲线,树立非线性回归方程,进行回归剖析称为非线性回归剖析罕有非线性计划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x个中a>0,7. S 型曲线(Logistic)1e xy a b -=+8.对数曲线y=a+b log x,x >0 9.指数曲线y =a e bx个中参数a >01．回归：（1）肯定回归系数的敕令[beta,r,J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归敕令：nlintool （x,y,’model’, beta0,alpha ）2．猜测和猜测误差估量：[Y,DELTA]=nlpredci （’model’, x ,beta,r,J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的猜测值Y 及猜测值的明显性程度为1-alpha 的置信区间Y,DELTA.例2 不雅测物体下降的距离s 与时光t 的关系,得到数据如下表,求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模子y=a /e b x,树立M 文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); 2．输入数据： x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; 3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0); beta即得回归模子为： 1.064111.6036e xy -=4．猜测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J); plot(x,y,'k+',x,YY,'r') 2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y ＝＝＝u c bv +＝bxy ae＝ln ln c au y ＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y =＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y ＝＝u bv +＝a。

非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。

此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1b a yx2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=ab/xe其中a>0，7.S型曲线(Logistic) y1 abex8.对数曲线y=a+blogx,x>0bx9.指数曲线y=ae其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程s?a btct2.t(s)1/302/303/304/305/306/307/30s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解：b/x，建立M文件volum.m如下：e1.对将要拟合的非线性模型y=afunctionyhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3．求回归系数：[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta2.y11.6036ex即得回归模型为：4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数b y＝ax c＝lnavlnx＝u＝ylnu＝cbvbx y＝ae c＝alnu＝ylnu＝cbvc＝alny＝a1bvxxeu＝ylnu＝cbvy＝abxvlnxln＝＝u＝abvuy。

回归曲线方程一、引言回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的相关关系，并通过对自变量的已知值来预测因变量的未知值。

回归曲线方程是回归分析中常用的数学模型，用于描述因变量如何随自变量的变化而变化。

本文将介绍回归曲线方程的种类、参数估计以及应用。

二、回归曲线方程的种类1.线性回归方程：线性回归方程是最简单的回归模型，其形式为y=ax+b，其中a是斜率，b是截距。

线性回归方程假设因变量y与自变量x之间存在线性关系。

2.多项式回归方程：当线性回归方程不能很好地拟合数据时，可以考虑使用多项式回归方程。

多项式回归方程的一般形式为y=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中an是最高次项的系数。

3.非线性回归方程：非线性回归方程的形式与线性回归方程类似，但关系不是线性的。

常见的非线性回归方程包括对数回归方程、指数回归方程等。

三、回归曲线方程的参数估计在建立回归曲线方程后，需要估计方程中的参数。

最小二乘法是最常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差来估计参数。

最小二乘法能够给出参数的“最佳”估计值，使得预测值与实际观测值之间的差距最小。

四、回归曲线方程的应用1.生物医学研究：在生物医学领域中，回归曲线方程常被用来分析生物标志物与疾病之间的关系，或者评估治疗效果与药物剂量的关系。

通过建立回归曲线方程，可以更好地理解生物系统的复杂性和动态性。

2.社会科学调查：在社会科学调查中，回归曲线方程可以用于研究各种社会问题，例如收入水平、教育程度、性别等因素对就业的影响。

通过回归分析，能够深入了解各种因素之间的相关关系和因果关系。

3.工程领域：在工程领域中，回归曲线方程可以用于分析工程数据，例如机械性能、材料强度等。

通过建立回归曲线方程，可以更好地了解工程系统的性能和行为，优化设计并提高产品质量。

4.环境监测：在环境监测中，回归曲线方程可以用于分析环境因素与生态系统之间的关系。

非线性回归分析简介非线性回归分析是一种用于建立非线性关系模型的统计方法。

与线性回归不同，非线性回归可以更好地拟合非线性数据，提供更准确的预测结果。

在许多实际问题中，数据往往呈现出非线性的趋势，因此非线性回归分析在实际应用中具有广泛的应用价值。

一、非线性回归模型的基本形式非线性回归模型的基本形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是模型参数，f(x, β)是非线性函数，ε是误差项。

非线性函数可以是任意形式的函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。

二、非线性回归模型的参数估计与线性回归不同，非线性回归模型的参数估计不能直接使用最小二乘法。

常见的非线性回归参数估计方法有以下几种：1. 非线性最小二乘法（NLS）非线性最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数。

具体而言，通过迭代的方式不断调整参数，使得残差平方和最小化。

2. 非线性广义最小二乘法（GNLS）非线性广义最小二乘法是对非线性最小二乘法的改进，它在最小化残差平方和的同时，还考虑了误差项的方差结构。

通过引入权重矩阵，可以更好地处理异方差性的数据。

3. 非线性加权最小二乘法（WNLS）非线性加权最小二乘法是对非线性广义最小二乘法的进一步改进，它通过引入加权矩阵，对不同数据点赋予不同的权重。

可以根据数据的特点，调整权重矩阵，提高模型的拟合效果。

三、非线性回归模型的评估指标在进行非线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果。

常见的评估指标有以下几种：1. 残差分析残差分析是一种常用的评估方法，通过分析残差的分布情况，判断模型是否符合数据的分布特征。

如果残差呈现随机分布，说明模型拟合效果较好；如果残差呈现一定的规律性，说明模型存在一定的问题。

2. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合优度的指标，其取值范围为0到1。

决定系数越接近1，说明模型对数据的解释能力越强；决定系数越接近0，说明模型对数据的解释能力越弱。

非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2） εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。

对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。

回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。

（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。

因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。

概率统计——非线性回归方程非线性回归是通过非线性函数来建立因变量与自变量之间的关系。

在实际问题中，很多现象都无法用简单的线性模型来描述，因此非线性回归成为了统计学中重要的工具之一、在本文中，我们将介绍非线性回归方程的学生版。

首先，我们来回顾一下线性回归方程的基本形式。

线性回归方程可以表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn + ε其中，y表示因变量，x1, x2, ..., xn 表示自变量，β0,β1, ..., βn表示线性回归方程的系数，ε表示误差项。

而非线性回归方程则基于线性回归方程进行了一定的扩展和变化，使其可以更好地描述实际问题中的非线性关系。

非线性回归方程的形式可以表示为：y = f(x1, x2, ..., xn; β1, β2, ..., βk) + ε其中，f(x1, x2, ..., xn; β1, β2, ..., βk) 表示非线性回归方程的非线性函数部分，β1, β2, ..., βk 表示非线性回归方程的系数，ε表示误差项。

在实际问题中，非线性回归方程的形式是根据具体问题的特点而确定的，因此不同的问题可能会有不同的非线性函数形式。

常见的非线性函数形式有指数函数、对数函数、幂函数、多项式函数等。

在建立非线性回归方程时，一般需要经过以下几个步骤：1.数据的收集和准备：首先需要收集相关的样本数据，并对数据进行清洗和整理。

2.模型的选择：根据问题的特点，选择合适的非线性函数形式来建立非线性回归方程。

这一步需要依靠相关的统计方法和领域知识来确定。

3.参数的估计：利用最小二乘法或其他合适的统计方法来估计非线性回归方程中的参数。

参数的估计可以通过解析法、迭代法、数值优化算法等来实现。

4.模型的检验和评估：在参数估计之后，需要对建立的非线性回归方程进行检验和评估。

常见的方法有残差分析、拟合优度检验、参数显著性检验等。

这些方法可以用来评估模型的拟合程度和可靠性。

常见非线性回归模型1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。

有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。

柯布—道格拉斯生产函数模型εβα+=L AK y其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。

由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。

对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。

单方程非线性回归模型的一般形式为εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

（1）εββ++=x e y 10（2）εββββ+++++=p p x x x y 2210（3）ε+=bx ae y(4)y=alnx+b对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。