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初中数学知识归纳一元一次方程与一元一次不等式数学是一门基础学科，相关知识点的理解和掌握对于学生来说至关重要。
在初中数学学习中，一元一次方程与一元一次不等式是两个重要的知识点。
本文将对这两个知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用。
一、一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，且a≠0。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号的另一侧，得到形如ax=-b的方程。
2. 通过除以系数a，将方程变为x的系数为1的方程。
得出x=-b/a。
3. 将x=-b/a代入原方程，验证解的正确性。
举例说明，假设要解方程3x+5=0：1. 将常数项5移到等号的另一侧，得到3x=-5。
2. 通过除以系数3，得到x=-5/3。
3. 将x=-5/3代入原方程，3*(-5/3)+5=0，左右两边相等，验证解的正确性。
通过这个例子可以看出，一元一次方程的解是唯一的，且通过验证后发现解是正确的。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，其一般形式为ax+b>0或a x+b≥0。
解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式中的常数项移到不等号的另一侧，得到形如ax>-b或ax≥-b的不等式。
2. 通过除以系数a，将不等式变为x的系数为1的不等式。
3. 将解的范围表示出来，形如x>1或x≥2。
举例说明，假设要解不等式2x-3>1：1. 将常数项1移到不等号的另一侧，得到2x>4。
2. 通过除以系数2，得到x>2。
3. 表示解的范围，可写作x>2。
需要注意的是，当不等式中含有乘法和除法运算时，需要考虑系数的正负情况，进而确定解的范围。
三、一元一次方程与一元一次不等式的联系与应用一元一次方程与一元一次不等式之间存在着密切的联系与相互转化的关系。
常见的联系和应用包括以下几个方面：1. 通过方程求解不等式：当需要求解不等式时，可以将其转化为等价的方程，然后通过解方程的方法求解不等式。
一次方程和一次不等式的解法一次方程和一次不等式是数学中最基础且常见的问题类型之一，其解法对于学习数学的基础知识和提高逻辑思维能力非常重要。
本文将对一次方程和一次不等式的解法进行详细介绍。
一、一次方程的解法一次方程是指其各项指数均为1的方程，也就是形如ax + b = 0的方程。
其中，a和b为已知常数，而x为未知数。
解一次方程的关键在于找出未知数的值，使得方程等式成立。
解一次方程的一种常见方法是移项法。
具体步骤如下：1. 首先将方程中包含x的项移至方程左边，常数项移到方程右边，得到ax = -b的形式。
2. 接下来，通过除以a的操作，将方程化简为x = -b/a的形式即可。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以利用移项法解得x = (7-3)/2 = 2。
如果方程的系数较复杂，可以借助合并同类项的方法进行化简，然后再使用移项法解方程。
此外，还有使用代入法、等式法等方法解一次方程的常见技巧。
代入法是指找出方程中一个已知数的值，然后将其代入方程求解未知数的方法。
等式法则是通过两个等式之间的关系，将一个方程的解代入另一个方程求解未知数。
二、一次不等式的解法一次不等式是指其各项指数均为1的不等式，也就是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式。
同样地，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一次不等式就是找出所有满足不等式条件的x的取值范围。
解一次不等式的方法常见有图像法和代数法两种。
1. 图像法：可以将一次不等式的解集表示在数轴上，通过观察图像得出解的范围。
例如，对于不等式3x + 5 < 8，我们可以将其转化为方程3x + 5 = 8，在数轴上标出该方程的解x = 1，然后观察不等式的方向为<，所以解集为(-∞, 1)区间上的所有实数。
2. 代数法：通过代数方法来解一次不等式，可以借助于一次方程的解法。
对于不等式3x + 5 < 8，我们可以先将其转化为3x + 5 - 8 < 0的形式，然后化简得到3x - 3 < 0。
10.不等式的应用利用不等式的性质在解不定方程、最优策略、最大值、最小值、实际应用问题等方面有着广泛的应用。
例1已知a 、b 、c 为三个非负实数，且满足-+=++b a c b a 2,523.13=c 若,73c b a s -+=则S 的最大值与最小值之和为多少？分析 由前两个条件可以构成不定方程组，解出这个不定方程组，即用一个字母表示另外两个字母，并根据条件可以求出这个字母的取值范围，据此可把S 表示成这个字母的一次函数，从而求出取值范围．解 因为 ,132,523=-+=++c b a c b a解得 .117,37c b c a -=-=于是 .237)117()37(3-=--+-=c c c c S 因为a 、b 、c 均为非负实数，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥,0117,037,0c c c 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅≤≥≥117,73,0c c c 从而⋅≤≤11773c所以,1112375-≤-≤⋅-c 即S 最大值为,111-最小值为,75-两者之和为⋅-7762 例2 设7321,,,,x x x x 为自然数，且,721x x x <<< 又+1x ,15972=++x x 则321x x x ++ 的最小值为( )． (1997年安徽省初中数学竞赛）分析与解 由题设知,6543/211234567+≥+≥+≥++≥+≥x x x x x x x所以 ,2715911721+≥+++=x x x x 解得，75191≤x 所以1x 的最大值是19．取191=x 时，则,140732=+++x x x 而,5,,2,1272423+≥+≥+≥x x x x x x从而),54321(61402+++++≥x 从而得.202≤x于是,12076543=++++x x x x x 同理可得.223≤x 所以 ,61222019321=++≤++x x x 即321x x x ++的最小值为61．例3 有200个数1，2，3，…，200，任意分为两组（每组100个），将其中一组按由小到大顺序排列，设为;100321a a a a <<<< 另一组按由大到小的顺序排列，设为,100321b b b b >>>> 试求代数式+-||11b a ++- ||22b a ||||1001009999b a b a -+-的值．（1997年天津市初二数学竞赛）分析与解 无论怎样分，较大的数总为后100个数，较小的数总为前100个数，绝对值只能改变大小数的位置，因此100个绝对值的和为.10000100100)100321()200102101(=⨯=++++-+++例4 某一出租车的起步价为2千米5元，不足2千米按2千米收费，以后每增加1千米增加2元，不足1千米按1千米收费．现某人乘出租车从甲地到乙地共付费35元，如果他从甲地到乙地，先步行800米，然后再乘出租车，车费也是35元，问从甲乙两地的中点乘出租车到乙地应付费多少元？分析 根据已知条件确定甲乙两地之间距离的取值范围，再按要求计算车费． 解 设甲乙两地相距x 千米，k 为超过2千米后增加1千米的次数，依题意有 ,2535k +=解得.15=k于是 ,152142+≤<+x 即.1716≤<x又 ,178.016≤-<x 即.8.178.16≤<x综合得 .178.16≤<x所以,5.824.8≤<x 即.5.6224.62+≤<+ x 故从甲乙两地中点到达乙地应付费19725=⨯+元例5甲乙两人到某特价商店买商品，商店的商品只有两种单价8元和9元．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买商品各多少件？(2004年重庆市初中数学竞赛)分析与解 设两人共购买8元商品x 件，9元商品y 件，两人购买商品件数均为n 件，则有⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解得⎩⎨⎧-=-=.16172,17218n y n x 由于 ⎩⎨⎧≥≥,0,0y x 即⎩⎨⎧≥-≥-.016172,017218n n 解得⋅≤≤4310959n所以 .10=n 从而 .12,8==y x故甲乙两人共购买8元商品8件，9元商品12件．例6 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些产品每台所需工时和每台产值（单位为千元）如下表：分析 先根据已知条件列出不定方程组，再应用不等式知识求出产值的取值范围，从而求出最大值。
一元一次方程和一元一次不等式的解法一元一次方程和一元一次不等式是数学中基础的概念和解题方法。
在代数学的学习中，理解和掌握这两个概念的解法对于进一步学习数学以及应用数学非常重要。
本文将详细介绍一元一次方程和一元一次不等式的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，通常以以下形式表示：ax + b = 0其中，a和b都是已知常数，x是未知数。
我们的目标是寻找方程的解，即求出x的值。
解一元一次方程的基本步骤如下：Step 1: 将方程的形式整理为ax = -b，即将常数项移到等号的右边。
Step 2: 如果a不等于0，将两边同时除以a，得到方程的标准形式x = -b/a。
Step 3: 如果a等于0，那么方程没有解，因为当a等于0时，方程变为0x + b = 0，这个方程只有在b等于0时才有解。
例如，解方程2x + 3 = 0：Step 1: 将常数项移到等号右边，得到2x = -3。
Step 2: 将方程两边同时除以2，得到x = -3/2。
这就是方程的解。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只有一个未知数的一次不等式，通常以以下形式表示：ax + b > 0 或 ax + b < 0其中，a和b都是已知常数，x是未知数。
我们的目标是寻找不等式的解集，即满足不等式的所有x的取值范围。
解一元一次不等式的基本步骤如下：Step 1: 将不等式的形式整理为ax > -b 或 ax < -b，即将常数项移到不等号的右边。
Step 2: 如果a大于0，则不等式的解集为x > -b/a 或 x < -b/a。
Step 3: 如果a小于0，则不等式的解集为x < -b/a 或 x > -b/a。
例如，解不等式2x + 3 > 0：Step 1: 将常数项移到不等号右边，得到2x > -3。
Step 2: 由于a大于0（a=2），解集为x > -3/2。
如何求解一元一次方程和一元一次不等式一、一元一次方程的求解方法一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
求解一元一次方程的基本思路是通过逆运算将未知数从方程中分离出来，从而得到未知数的值。
常见的一元一次方程可以写作：ax + b = 0，其中a和b为已知常数。
求解一元一次方程的步骤如下：1. 将方程中带有未知数的项移到一个侧边，常数项移到另一个侧边，使方程变为等式的形式。
2. 利用逆运算，将未知数的系数约去，得到未知数的表达式。
3. 根据等式规则，将等式两侧的表达式相等，得到未知数的值。
举例说明：假设有一个一元一次方程2x - 3 = 7，按照上述步骤求解：1. 将方程中带有未知数的项移到一个侧边，常数项移到另一个侧边：2x = 7 + 3。
2. 利用逆运算，将未知数的系数约去，得到未知数的表达式：x = (7 + 3) / 2。
3. 根据等式规则，将等式两侧的表达式相等，得到未知数的值：x = 5。
因此，一元一次方程2x - 3 = 7的解为x = 5。
二、一元一次不等式的求解方法一元一次不等式是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
求解一元一次不等式的基本思路是找出使不等式成立的未知数的取值范围。
常见的一元一次不等式可以写作：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数。
求解一元一次不等式的步骤如下：1. 将不等式中带有未知数的项移到一个侧边，常数项移到另一个侧边，使不等式变为等式的形式。
2. 根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定未知数取值范围。
3. 根据取值范围，得出不等式的解。
举例说明：假设有一个一元一次不等式2x + 3 > 7，按照上述步骤求解：1. 将不等式中带有未知数的项移到一个侧边，常数项移到另一个侧边：2x > 7 - 3。
2. 根据不等式的类型，确定未知数取值范围：大于。
3. 根据取值范围，得出不等式的解：x > 2。
初中一年级方程与不等式知识点一、方程方程是数学中常见的一种表示关系的式子，它由等号连接的两个代数表达式组成。
初中一年级学习的方程主要以一元一次方程为主。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只有一个变量（未知数）的一次方程。
它的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知数，a≠0。
求解一元一次方程的基本步骤如下：（1）将方程中的常数项移到等号的另一边，得到ax = -b；（2）将方程中的系数a移到等号的另一边，得到x = -b/a；（3）求得x的值。
例如，解方程2x + 5 = 7，我们可以进行以下计算：（1）将常数项5移到等号的另一边，得到2x = 7 - 5，简化为2x = 2；（2）将系数2移到等号的另一边，得到x = 2/2，简化为x = 1；（3）最终得到方程的解为x = 1。
2. 实际问题中的方程方程不仅存在于抽象的数学计算中，还可以用来解决实际生活中的问题。
例如，假设小明身高为x，身高比小红多5厘米，那么可以用以下方程表示：x = (小红身高)x + 5。
通过解这个方程，可以求得小明的身高。
二、不等式不等式是数学中用于表示大小关系的式子，它与方程的结构类似，但包含了不等号。
初中一年级主要学习的不等式为一元一次不等式。
1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个变量（未知数）的一次不等式。
它的一般形式为：ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数，a≠0。
解一元一次不等式的方法与方程类似，只需要注意不等号的方向就可以了。
例如，解不等式2x + 5 > 7，我们可以进行以下计算：（1）将常数项5移到不等号的另一边，得到2x > 7 - 5，简化为2x > 2；（2）将系数2移到不等号的另一边时需要注意，由于2为正数，所以不等号的方向保持不变，得到x > 1。
（3）最终得到不等式的解为x > 1。
2. 实际问题中的不等式不等式同样可以用来解决实际生活中的问题。
一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程和一元一次不等式是初中数学中的基础概念和重要内容，它们在解决实际问题、推理和证明中起着重要作用。
本文将介绍一元一次方程和一元一次不等式的定义、解法以及应用。
一、一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数且最高次数是一次的方程。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0 （其中a、b为已知数，且a ≠ 0）。
要解一元一次方程，可以通过以下步骤进行。
步骤一：将含有未知数的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，使方程变为ax = -b。
步骤二：化简方程，将方程化为x = -b/a。
通过这样的步骤，我们可以求得一元一次方程的解。
若a ≠ 0，则方程有唯一解x = -b/a；若a = 0且b ≠ 0，则方程无解；若a = 0且b = 0，则方程有无穷解。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数且最高次数是一次的不等式。
一元一次不等式的一般形式为：ax + b < 0 或 ax + b > 0（其中a、b为已知数，且a ≠ 0）。
要解一元一次不等式，可以通过以下步骤进行。
步骤一：将含有未知数的项移到不等式的一侧，常数项移到另一侧，使不等式变为ax < -b 或 ax > -b。
步骤二：当a > 0时，解不等式的步骤与解一元一次方程相同；当a < 0时，解不等式的步骤与解一元一次方程相反。
通过这样的步骤，我们可以求得一元一次不等式的解。
解的形式可能是一个特定的实数解，也可能是一个满足一定条件的解集。
三、应用一元一次方程和一元一次不等式在实际中应用广泛。
下面以例子说明其应用。
例1：已知某商品原价为x元，现在打5折出售，售价为80元，求原价。
解：设原价为x元，根据题意可以得到一元一次方程：0.5x = 80。
通过求解可以得到x = 160，原价为160元。
例2：某商店购买商品，当购买数量小于10时，每件商品的售价为20元，当购买数量大于等于10时，每件商品的售价为15元。
3.含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程，在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，从而转化为不含绝对值的方程．如果a a x (,||=是常数）当0>a 时，;a x ±= 当0=a 时，;0=x 当0<a 时，此方程无解，例1 解方程.5|32|=+x 解 由题意可知532=+x 或,532-=+x则 1=x 或.4-=x例2 解方程.43|43|-=-x x分析 观察到绝对值内的式子和绝对值外面的式子是相同的，那么谁的绝对值会等于本身呢？ 解 由题意可知,043≥-x ,43≥x⋅≥34x 例3 解方程.3|4||1|=-+-x x分析 本题可以根据去绝对值符号的方法进行“分段讨论”，但是仔细观察方程自身的特点，利用绝对值的几何意义，能很快地解出这个方程，解 因为|1|-x 表示x 与1之间的距离（在数轴上），︱x-4︱表示x 与4之间的距离，而|4||1|-+-x x 一定大于等于1和4之间的距离，当x 落在1和4之间（包含1、4）时，取等号．因此，我们有,3|4||1|≥-+-x x 当且仅当41≤≤x 时取等号， 所以原方程的解为.41≤≤x例4 若,100<<x 则满足条件a x =-|3|的整数a 的值有 个，它们的和等于 ．（第10届初一希望杯）解 当30<<x 时，则有a a x x ,3|3|=-=-的解为1、2；当103<≤x 时，则a a x x .3|3|=-=-的解为0、1、2、3、4、5、6．则a 的值有9个，它们的和等于24.例5 使得关于x 的方程1||+=ax x 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是 ．（第12届初一希望杯）解 若x 为方程的正根，则,1+=ax x 即,1)1(=-x a 因为,01>,0>x 所以,01>-a 即;1<a若x 为方程的负根，则,1+=-ax x 即,1)1(-=+x a 因为,01<-,0<x 故,01>+a 即.1->a要使原方程同时有正根和负根，则,11<<-a 这样的整数a 只有.0=a 例6 若关于x 的方程x m x .|1|=-有解，则实数m 的取值范围是分析与解 分类讨论，去掉绝对值的符号．当1≥x 时，得,11,1)1(,1mx x m mx x -==-=-可得;10<≤m 当1<x 时，得;1)1(,1=+=-x m mx x 当1-<m 时，显然成立，当1->m 时，要求,111<+m 所以 .0>m综上所述，1-≤m 或.0≥m 例7 若方程01997||1997=--x x a只有负根，则实数a 的取值范围是 ．（1997年上海市初中数学竞赛）解 当0>x 时，原方程为.01997)11997(=--x a当1997=a 时，方程无解；当1997=/a 时，则,199719972-=a x 所以.1997<a当0<x 时，原方程为,01997)11997(=---x a 则,199719972+-=a x 所以.1997->a所以 .19971997≤<-a例8 解方程.1|2||4|+=--+x x x分析 要去掉绝对值符号，必须明确绝对值符号内的代数式4+x 和2-x 的符号，由04=+x和,02=-x 得4-=x 和,2=x 这样x 的取值范围从小到大排列依次为,2,24,4>≤<--≤x x x 由此可判定4+x 和2-x 的符号，这样的方法也称为“零点分段法”，解 令,04=+x 解得;4-=x 令,02=-x 解得.2=x 当4-≤x 时，原方程可化为,1)2()4(+=-++-x x x解得 ,7⋅-=x当24≤<-x 时，原方程可化为,1)2(4+=-++x x x解得 ,1⋅-=x时，原方程可化为,1)2(4+=--+x x x解得 .5=x综上所述，517、、--=x 是原方程的解.例9 解方程.3||12||=+-x x分析 方程中有两层绝对值符号，可以逐层去掉绝对值符号． 解 由,3||12||=+-x x可得 3|12|=+-x x 或.3|12|-=+-x x当3|12|=+-x x 时，,3|12|-=+x x则可得 312-=+x x 或者,312x x -=+ 解得 4-=x （不符合题意，舍去）或者;32=x 当3|12|-=+-x x 时，,3|12|+=+x x则可得 312+=+x x 或者,312--=+x x解得 2=x 或者34-=x （不符合题意，舍去）． 所以，原方程的解为2=x 或⋅=32x习 题 3一、选择题1. 若,||a x =则||a x -等于( )．a x A 22.或 a x B -⋅. x a C -. 0.D2. 若,200020|20002000|⨯=+x 则x=( )．（2000年重庆市初中数学竞赛）2120.-或A 2120.或-B 2119.或-C 2119.-或D3. 已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足,01|21|=--x 则m 的值为( )．5210.或A 5210.-或B 5210.或-C 5210.--或D二、填空题4. 当2||+=x x 时，则=++273194x x5. 解方程,12||21|21|2=+--x x 则x=6. 如果规定,2*b a =那么方程4||*3=x 的解是 ．（第14届迎春杯） 7. 已知关于x 的方程a x x =-++|6||3|有解，那么a 的取值范围是 8. 方程56|65|-=+x x 的解是 ．（1999年重庆市初二数学竞赛）参考答案。
一元一次方程与不等式一元一次方程是代数学中最基本的方程形式之一。
它通常由一个未知数和一个常数构成，通过对未知数进行运算，我们可以找到解使方程成立。
而不等式则描述了两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。
1. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：步骤一：移项通过将常数项 b 移至方程的右侧，使得方程变为 ax = -b。
步骤二：消元通过除以系数 a，将变量 x 的系数化为 1，得到 x = -b/a。
步骤三：验证将求得的解代入原方程，验证等号两侧是否相等。
1.1 例题解析：考虑一元一次方程 2x + 3 = 7，我们按照上述步骤解题：步骤一：移项将常数项 3 移至方程的右侧，得到 2x = 7 - 3。
步骤二：消元除以系数 2，得到 x = (7 - 3)/2。
步骤三：验证将 x = 2 代入原方程，得到 2 * 2 + 3 = 7，等号两侧相等，所以解为x = 2。
2. 不等式不等式描述了数之间的大小关系。
在不等式中，常见的符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
2.1 解不等式解不等式的基本思路是找到未知数的取值范围，使得不等式成立。
解不等式的步骤如下：步骤一：移项将不等式中的常数项移至一侧，得到形如 ax > b 或 ax < b 的不等式。
步骤二：消元通过除以系数 a，将变量的系数化为 1。
注意，如果除以负数，则会改变不等式的方向。
步骤三：根据不等式方向确定解集根据不等式的方向（大于还是小于），确定解集的范围。
2.2 例题解析：考虑不等式3x + 4 ≤ 10，我们按照上述步骤解题：步骤一：移项将常数项 4 移至不等式的右侧，得到3x ≤ 10 - 4。
步骤二：消元除以系数 3，得到x ≤ (10 - 4)/3。
步骤三：根据不等式方向确定解集由于不等式的方向是小于等于（≤），解集为x ≤ 2。
1.一元一次方程及其解法一、一元一次方程的识别方程的左右两端都是整式，并且未知数的次数为1的方程称为一元一次方程． 需要注意的地方是：(1)该方程是化简合并后具有)0(=/=a b ax 的形式，a 、b 都是常数．例如x x +=+44实际上就不是一元一次方程，因为它化简合并后变为,00=⋅x 未知数的系数为O ；而方程)1(422+=++x x x x 却是一元一次方程，因为它化简合并后得到.04=+x(2)含有字母系数的方程一定要认清真正的未知数，例如关于x 的方程,24m x mx +=+当m≠2时是一元一次方程；当2=m 时，由于化简后未知数x 的系数为O ，所以就不是一元一次方程，二、解一元一次方程的基本步骤解一元一次方程的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，检验．需要注意的地方有：(1)去分母时，在方程的左右两端都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项．如已知方程,62135--=--x x x 方程两边同时乘以6得 ),621(6)35(6--⨯=--⨯x x x,62663566-⨯-=-⨯-x x x).2(6)5(26--=--x x x此外，分数线除了表示除号外，还起着括号的作用；分子如果是一个多项式，就应该看作一个整体，在去分母时，要把它加上括号，如上面从第三式到第四式所示，从而避免以下错误：去分母得.26526--=-⨯-x x x(2)去括号时要正确运用去括号法则及乘法分配律，避免漏乘括号中的某一项或搞错符号．如方程),2(6)5(26.--=--x x x 去括号得--=+-x x x 6106,2去第一个括号时，数2漏乘了-x ，去第二个括号时，没有做到“都变号”．(3)移项的目的是为了把含未知数的项与不含未知数的项分列于方程的两边，移项要变号，没有移动的项不要变号．(4)系数化1时容易出现“倒除”形式的错误，如由方程,53=x 解得⋅=53x (5)解方程时，变形步骤没有一定的顺序，而且有些变形步骤可能用不到，要根据方程的特点灵活运用．例1 下面各式中为一元一次方程的是( )．6.=+y x A 7|3|.=+x B x x C 4554.+=+ )2(4.2+=++x x x x D分析A 选项，含有两个未知数，不是一元方程； B 选项，左端含有绝对值，是含有绝对值的方程；C 选项，化简后变为x x ,00=⋅前的系数为O ，不是一元一次方程；D 选项，是整式方程，化简后得,04=+-x 是一元一次方程． 所以选D ．例2 当m 为何值时，关于x 的方程273)(23434-+=+--x x x xm m 是一元一次方程？分析 若一个整式方程，经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为)0(=/=a b ax 的形式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，而且系数不等于O ，这样的方程才是一元一次方程．例如： =+4x x +4不是一元一次方程，而方程)2(32+=+x x x 能够化简为,23x =因此 方程)2(32+=+x x x 是一元一次方程，解 由题意得,273223434-+=+--x x x x m m整理得 .2534=+-x xm ①当,134=-m 即1=m 时，方程①即为,26=x 是一元一次方程．当),0(034=/=-x m 即43=m 时，因为任何非O 数的O 次幂等于1，所以方程①即为,15=x 也是一元一次方程．所以，当1=m 或)0(43=/=x m 时，原方程是一元一次方程. 例3 解方程 .5]}3)12(3[12{3=----x x分析 仔细观察，发现方程中含有未知数x 的地方都有,12-x 遇到这种情况，我们可以先将12-x 看成一个整体，即利用换元法，设,12-=x y 求得y ，再求x ．解 设,12-=x y 则原方程可化为.5]}33[{3=--y y整理得 ,596=+-y解得 ,32=y 即,32.12=-x 所以 ⋅=65x例4 已知方程)(32)]1(21[21k x kx x -=--的解为,12=x 求代数式122++k k 的值，解 由题意可知),12(32)]112(2112[21k k -=-- ,3284136k k -=+-,46833-=⋅+-k k⋅-==-43,4737k k 因此 ⋅==+-=+=++⋅1612)41()143()1(12222k k k例5 解方程.127)1(331)2(275)1(9=+--+--++x x x解 方程两边同时乘以42得,42147)1(6314)2(2830)1(54=------++x x x ,421476363145628305454=-+--+-++x x x ,147631456305442632854+-+---=--x x x,037=-x.0=x例6 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )．A ．乘以同一个数B ．乘以同一个整式C ．加上同一个代数式D ．都加上1分析 在方程的左右两端同时乘以一个数或整式，要保持与原方程同解，必须是非零的数或式子，例如：方程21=+x 的解是,1=x 如果在方程的左右两端同时乘以),1(+x 得到新的方程),1(2)1)(1(+=++x x x 则此方程有两个解：1=x 或.1-=x而在方程的左右两端同时加上一个数或整式，得到新的方程与原方程同解；但是在方程的左右两端同时加上一个代数式却不可以，因为有一些代数式中的字母有自身的条件限制．例如方程75=+x的解是,2=x 如果在方程的左右两端同时加上代数式,21-x 得到新的方程,217215-+=-++x x x 则 此方程无解，与原方程不是同解方程．综上所述，本题选D ．例7 规定),,(),(*),(d b c a d c b a +-=如果,3()2,3*),(=（y x ),2那么=),(*),(x y y x 解 由题意可得,22,33=+=-y x所以 .0,6==y x)6,0(*)0.,6(),(*),(=x y y x)60,06(+-=).6,6(=习 题 l一、选择题不同解的方程是( )．11547.-=-x x A 0231.=++x B )43)(1()3)(1.(22++=-+x a x a c )1)(115()1)(47.(--=--x x x x D 2. 方程甲：x x 3)4(43=-与方程乙：x x 44=-同解，其根据是( )． A ．甲方程的两边都加上同一个整式x B ．甲方程的两边同时乘以x 34 C ．甲方程两边都乘以34 D ．甲方程两边都乘以43 3. 方程7.352.22=x 的根是( )． 27.A 28.B 29.C 30.D4. 有理数：511821、、依次是下列三个方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+++=+-+=+--)1(32)]1(21[21),3(3)1(2)12(3,141212110312z z z y yy x x x & 的根，则xzy x -的值等于( )． 40171.-A 80347.-B 22071.C 55142.D5. 方程191191=-x 的解是( )．0.A 36118.B 191.C 3611.D 6. 如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么这两个方程( )．A ．是同解方程B ．不是同解方程C ．是同一个方程D ．可能不是同解方程7. 已知x 、y 满足,532=+y x 则当4=x 时，代数式22123y xy x ++的值是( )．（第12届初一希望杯）4.A 3.B 2.C 1.D二、填空题8. 0)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x= ．（第9届初一希望杯）9. 对于任意的实数x 、y ，定义,*72*3,*k y xy y x ==+=则k= （第7届新西兰达尼丁一中国上海初中数学友谊通讯赛）10. 如果5=x 是方程123434123-=-+-x m x x 的解，则m= 11. 方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解是 ；方程，03}3]3)321(21[21{21=----x的解是12. 已知方程132=-的解是,2+a 那么方程-+)3(2[2x aja x 3.)(3=-的解是 13. 当m x =时，多项式9999982-+x x 的值等于0，那么多项式+2m =+999998m （第14届迎春杯） 14. 方程)1(32)1(21)1(43)1(31++-=++-x x x x 的解是 15. 如果多项式199921x x x ++++Λ的值为3，且,3x a =则--x a 20002x x --Λ的值等于16. 如果21=x 是方程0522=-+x mx 的解，那么m 的值等于 17. 方程34.08.03.06.002.05.08.03.0-=+⋅-+x x x &的解是 18. 已知5是关于x 的方程043=+n mx 的解，那么=mn（第12届初一希望杯）三、解答题19. 解方程：;123]8)4121(34[43)1(+=--x x)2( .23710223311x x x x x ---=+--20. 已知方程08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式m m x x m 9)2)((199+-+的值，参考答案。
