子集、真子集及其性质-学易试题君之每日一题君2019学年上学期高一数学人教版(必修1)

1.2集合间的基本关系一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。

记作A B或(B A)【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.（4）如果A B，B C，则A C.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．四、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．五、韦恩图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

1 12月4日 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
方程22
4220200x y mx my m +-++-=能否表示圆?若能表示圆，求出圆心和半径． 【参考答案】当2m =时，不能表示一个圆；当2m ≠时，能表示一个圆，该圆的圆心坐标为(2)m m -，
，半径为52m -．
【解题必备】判断二元二次方程与圆的关系时，先看22,x y 项的系数是否均为1，有没有xy 项，当满足22,x y 项的系数均为1，且没有xy 项时，判断2240D E F +->是否成立，或直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数，从而作出判断．学科*网
1．方程x 2+y 2–2x +4y +5m =0表示圆的条件是
A ．m <1
B ．m >1
C ．14
m < D ．114m << 2．若方程x 2+y 2–2（t +3）x +2（1–4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆的方程，则t 的取值范围是 A ．–1<t <17 B ．–1<t <12。

（2019新版）人教A 版高中数学必修一 集合之间的关系一．知识点： 1．子集与真子集定义符号语言 图形语言(Venn 图)子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集. A ⊆B (或B ⊇A)真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集A B (或B A)(1)规定：空集是任何集合的子集．也就是说，对任意集合A ，都有∅⊆A. (2)任何一个集合A 都是它本身的子集，即A ⊆A. (3)如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C. (4)如果A B ，B C ，则A C. 3．集合相等定义符号语言 图形语言(Venn 图)集合相等如果集合A 的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素，那么就说集合A 等于集合BA ＝B若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；反之，若A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A.5．一般地，设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，如果A ⊆B ，则x ∈A ⇒x ∈B.于是，x 具有性质p(x)⇒x 具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)．反之，如果p(x)⇒q(x)，则A 一定是B 的子集，其中符号“⇒”是“推出”的意思． 6．如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“⇔”表示．于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)⇔q(x)．显然，如果p(x)⇔q(x)，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则p(x)⇔q(x)．二．考点突破考点一：集合间关系的判断例1：指出下列各对集合之间的关系： (1)A ＝{－1,1}，B ＝{x ∈Z|x 2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．解：(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示．由图可发现A B.练习：1．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，则有()A．A>B B．A=BC．B⊆A D．A⊆B解析：选C借助数轴，可得B⊆A.2．下列图形中，能正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()解析：选B由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}，则N M.作业：1. 指出下列各对集合之间的关系（1）A＝{北京市．上海市．天津市，重庆市}，B＝{重庆市}；（2）C＝{6}，D＝{x|x＜7}；（3）M＝{正三角形}，N＝{三角形}；（4）P＝{交通工具}，Q＝{摩托车}．解：（1）A＝{北京市．上海市．天津市，重庆市}，B＝{重庆市}，则B⊆A；（2）C＝{6}，D＝{x|x＜7}，则C⊆D；（3）M＝{正三角形}，N＝{三角形}，则M⊂N；（4）P＝{交通工具}，Q＝{摩托车}，则Q⊂P．例2：若集合A={﹣1，2}，B={0，1}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}的子集共有（）A．2个B．4个C．8个D．16个解：A={﹣1，2}，B={0，1}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，0，2，3}，其子集的个数是24=16，故选：D．练习：集合M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}的真子集个数是（）A．5B．6C．7D．8解：M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}，∵y∈N，x∈Z，∴y＝﹣x2+5≥0，x∈Z∴，x∈Z，因此，当x＝±2时，y＝1；当x＝±1时，y＝4；当x＝0时，y ＝5，∴M＝{1，4，5}，则M的真子集的个数是23﹣1＝7个．故选：C．作业：2．已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的子集个数为（）A．7B．8C．15D．16解：依题意，集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}＝{1，2，3}，所以集合C有3个元素，集合C子集个数为23＝8个．故选：B．例3：满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数是（）A．2B．3C．4D．8解：满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A为：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．故选：C．练习：满足{a，b}⊆A⊊{a，b，c，d，e}的集合A的个数是（）A．2B．6C．7D．8解：由题意，集合A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，故共有7个．故选：C．作业：3．设集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，B＝{2}，B⊆M⊆A，则满足条件的集合M的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，∴A＝{0，1，2}．又B⊆M⊆A，B＝{2}，∴M＝{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}．故满足条件的M有4个．故选：D．例4：已知集合A＝{－2,1,2}，B＝{a＋1，a}，且B⊆A，则实数a的值是________．解析：因为集合A＝{－2,1,2}，B＝{a＋1，a}，且B⊆A，所以a∈A，a＋1∈A，且a≥0，所以a＝1.答案：1练习：已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A．{0，1}B．{1，3}C．{﹣1，1}D．{0，5}解：A.0∈M，1∈M，则M⊆P成立，B.3∉M，则M⊆P不成立，C．﹣1∉M，则M⊆P不成立，D.5∉M，则M⊆P不成立，故选：A．作业：4．若集合A＝{1，x，4}，B＝{1，x2}，且B⊆A，则x＝（）A．2，或﹣2，或0B．2，或﹣2，或0，或1C．2D．±2解：∵集合A＝{1，x，4}，B＝{1，x2}，且B⊆A，∴x2＝x，或x2＝4，x≠1（元素需满足互异性），解得x＝0，±2．故选：A．例5：已知集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}．若B⊆A，则实数m的值为________．解析：∵A＝{x|x2－5x－6＝0}＝{－1,6}．又B⊆A，∴B＝∅或B＝{－1}或B＝{6}．当B＝∅时，m＝0；当B＝{－1}时，m＝1；当B＝{6}时，m＝－1 6；综上，m的值为0,1，－1 6答案：0,1，－1 6练习：设集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{1，﹣1}D．{﹣1，0，1}解：∵B⊆A，∴①当B是∅时，可知a=0显然成立；②当B={1}时，可得a=1，符合题意；③当B={﹣1}时，可得a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的取值集合为{1，﹣1，0}故选：D．作业：5.已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，0，2}解：当a=0时，B=∅，B ⊆A ； 当a ≠0时，B={}⊆A ，=1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a 的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}． 故选D ．例6：设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，ba ，b}，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C ∵b a 中，a ≠0，∴a ＋b ＝0.当b ＝1时，a ＝－1，这时b a ＝－1，符合题意；当ba ＝1时，a ＝0不合题意．故b －a ＝1－(－1)＝2.练习：已知集合A ＝{2，a ，b}，集合B ＝{2a,2，b 2}．若A ＝B ，求a ，b 的值．[精解详析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.作业：6．已知M ＝{0,2，b}，N ＝{0,2，b 2}，且M ＝N ，则实数b 的值为________． 解析：∵M ＝N ，∴b ＝b 2.解得b ＝1或b ＝0(舍去)，∴b ＝1.答案：1例7：设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．{a |a ≥2} B ．{a |a ＞2} C ．{a |a ≥1} D ．{a |a ≤2}解：在数轴上画出图形易得a ≥2．故选A ．练习：已知集合A ＝{x |﹣a ≤x ≤a }，B ＝{x |x ≤2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ． 解：∵集合A ＝{x |﹣a ≤x ≤a }，B ＝{x |x ≤2}，且A ⊆B ，∴a ≤2，∴实数a 的取值范围是：（﹣∞，2]， 作业：7.若A ＝{x |x ＞a }，B ＝{x |x ＞6}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．解：若A ＝{x |x ＞a }，B ＝{x |x ＞6}，且A ⊆B ，则a ≥6，实数a 的取值范围是{a |a ≥6}． 故答案为：{a |a ≥6}．例8：已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1<x<m ＋1}，且B ⊆A.求实数m 的取值范围． [精解详析] (1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1.解得m ≥2，这时B ⊆A. (2)当B ≠∅时，由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1.解得－1≤m ＜2. 综上得m ≥－1.练习：已知集合A ＝{x|x<－1或x>4}，B ＝{x|2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝∅时，只需2a>a ＋3，即a>3.当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a>4.解得a ＜－4或2＜a ≤3.综上，可得实数a 的取值范围为a ＜－4或a ＞2. 作业：8．已知集合A ＝{x|﹣1＜x ＜3}，B ＝{x|﹣m ＜x ＜m}，若B ⊆A ，则m 的取值范围为 ． 解：集合A ＝{x|﹣1＜x ＜3}，B ＝{x|﹣m ＜x ＜m}，若B ⊆A ，则A 集合应含有集合B 的所有元素，讨论B 集合：（1）当B ＝∅时，﹣m ≥m ，即：m ≤0，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足：①﹣m ＜m ，②﹣1≤﹣m ，③m ≤3，三个条件同时成立．解得：0＜m ≤1 综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：m ≤1即：（﹣∞，1]。

1．真子集不包含已知集合它本身。

如集合｛1，2，3｝的子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝；而真子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝。

不要忽略了空集哦~~2．通俗地说，对于集合A和集合B，若A中的每个元素都是B中的元素，那么A就是B的子集；若在满足上面的条件下，能够找到至少一个元素，这个元素属于B但不属于A，则A就是B的真子集。

3．已知集合M={x|x=m+1/6,m属于Z},N={x|x+n/2-1/3,n属于Z},P={x|x=p/2+1/6,P属于Z},则M,N,P满足关系?有4个选项:A.M=N真包含P B.M真包含N=P C.M真包含N真包含P D.N真包含P真包含M请告诉我这个题的意思和解法,我不是只要答案,我想知道怎样做的这题很简单，用通分即可。

集合M中X=（6M+1）/6N中X=（3N-2）/6P中X=（3P+1）/6N与P中的分子都是一个除以3余1的数，所以N=P而M中X可以表示成x=[3*(2M)+1]/6所以M中的元素都在N、P中，而且N、P的元素数量范围要比M中的大，所以M真包含于N（你的题目应该打少了个“于”字吧）所以答案是（B）4．如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集。

举例所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集。

所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

{1, 3} ⊂{1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} ⊆{1, 2, 3, 4}真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等 编辑本段真子集和子集举例子集比真子集范围大，子集里可以有全集本身，真子集里没有，还有，要注意非空真子集与真子集的区别，前者不包括空集，后者可以有。

比如全集I 为{1，2，3}，它的子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、再加个空集；而真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、再加个空集，不包括全集I 本身。