20070909高一数学(1.1.2-2真子集和空集)

第3课 子集、全集、补集（1）一、教学目的1、 了解集合于集合之间的包含、相等意义2、 理解子集、真子集、全集、补集的概念及符号表示（包括图形）3、 能够正确区分元素和子集、属于与包含之间的关系。

二、重、难点分析重点：（1）理解子集的概念、真子集的概念难点（1） 区别属于与包含的符号使用场合 （2）空集引入及与空集有关的符号表示 三、教学过程 （一）复习提问：1、 元素与集合之间的关系是什么？请举例并用符号表示？2、 举例说明集合有哪些表示法并书写表示？ （二）新课讲解1、请观察以下几组集合、并指出它们元素之间的关系(1){1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == 2(2){|1},{|1}A x xB x x =>=> (3){},{}A B ==三角形多边形 2(4){|10},{2}A x x B x =+==>从而引入子集的概念、空集的概念及相应的符号表示 2、判断集合A 是否为集合B 的子集？2(1){|10},{1,1}A x x B =-==- 2(2){|10},{0}A x xB =+== (3){1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == (4){1,2,3},{1,3,4,5}A B == (5){,,,},{,,,}A a b c d B d c a b ==从而通过例题使学生明确相等、包含、真包含、空集与其它集合的关系 3、几个重要结论：1、任何集合是它本身的子集2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3、,,A B B C A C ⊆⊆⊆则4、,,A B B A A B ⊆⊆=则（图示也是一种表示方法，借助直观有助理解）（三）释疑解难本节的重点是子集的概念与运用，难点在于正确运用子集、的意义解决综合问题。

学习时，应注意弄清元素与集合、属于与包含之间的区别，注意正确区分与运用“,,,⊆⊇= ”等符号。

疑点1 如何理解A 是B 的子集（真子集）？当A 是B 的子集时，能不能说集合B 中的元素比A 多？如果A 是B 的真子集呢？答：如果对于任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则称集合A 为集合B 的子集，当A 是B 的子集且A ≠B 时，则称集合A 是集合B 的真子集。

数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念-、集合(一)集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3. 集合的表示： (1)常用数集及其记法(2)列举法 (3)描述法4. 集合的分类：有限集、无限集、空集5. 常见集合的符号表示：(二)集合间的基本关系1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集;3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(三)集合的运算二、函数(一)函数的有关概念1. 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f : A T B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , x€ A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x € A }叫做函数的值域.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2. 常用的函数表示法及各自的优点：◎解析法：必须注明函数的定义域；①图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；◎列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6) 指数为零底不可以等于零；(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1) 表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；(2)定义域一致.求函数值域方法：(先考虑其定义域)(1) 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2) 应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3) 求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等2. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x € A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x , y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x € A)的图象.C上每一点的坐标(x , y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x , y)，均在C上.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法：描点法；图象变换法常用变换方法有三种：平移变换；对称变换；*伸缩变换.3 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.4 .映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“ f (对应关系)：A (原象集) B (象集)”对于映射f : A T B来说，则应满足：(1) 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2) 各部分的自变量的取值情况；(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.(二)函数的性质1. 函数的单调性(局部性质)(1) 定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, X2, 当x^时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值X1, X2，当X1<x时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的x1,x2 D ,且x1x2有f(x2)一空。

高一数学空集和子集知识点数学是一门精确而又严谨的学科，它的应用广泛，贯穿于我们生活的方方面面。

在我们高中数学的学习中，空集和子集是一个重要的知识点。

正是因为这个概念的理解，我们才能更好地理解集合、函数等数学概念，并能灵活运用于实际问题的解决。

空集，顾名思义，就是一个没有元素的集合。

它是一个概念上的存在，而在具体的实际中，我们很难找到真正意义上的空集。

举个例子，假设班级有30位学生，我们要找出所有既是男生又是女生的学生，很明显，这样的学生是不存在的，因此我们可以说这个集合为空集。

在数学中，我们用符号{}表示空集。

子集，顾名思义，就是一个集合中的元素都是另一个集合的元素。

用符号表示，假设集合A是集合B的子集，我们就用A ⊆ B来表示。

要判断一个集合是另一个集合的子集，我们需要通过逐个比较集合A的元素是否属于集合B来确定。

如果集合A的所有元素都属于集合B，那么我们就可以说A是B的子集。

在判断子集的过程中，我们还有一个相关概念，即真子集。

真子集是指一个集合是另一个集合的子集，但这两个集合却不相等。

用符号表示，假设集合A是集合B的真子集，我们就用A ⊂ B来表示。

举个例子，如果有一个班级的学生总数是30人，而小组的学生总数是20人，那么小组的学生就是班级学生的子集，但小组的学生不可能和班级学生的总数相等，因此小组的学生就是班级学生的真子集。

除了判断子集这个基本的概念外，我们还需要了解一些常见的集合运算。

交集就是指由两个集合中共同的元素组成的集合。

用符号表示，假设集合A和集合B的交集是C，我们就用C = A ∩ B 来表示。

并集就是指由两个集合的所有元素组成的集合。

用符号表示，假设集合A和集合B的并集是C，我们就用C = A ∪ B来表示。

差集就是指从一个集合中刨去与另一个集合共有的元素后，剩下的元素组成的集合。

用符号表示，假设集合A和集合B的差集是C，我们就用C = A - B或C = A \ B来表示。

空集和真子集的概念空集和真子集是集合论中的两个重要概念，它们是描述集合之间的关系和性质的概念。

首先，我们要理解集合的概念。

集合是指具有某种特定性质的对象的总体。

例如，我们可以有一个包含所有奇数的集合，或者一个包含所有大于0小于10的整数的集合。

集合中的对象称为元素，元素可以是数字、字母、词语、图形等等。

空集是指一个不包含任何元素的集合。

也就是说，空集中没有任何对象。

我们可以用符号{}或者∅表示空集。

空集是集合论中最简单，也是最基本的集合之一。

空集是任何集合的子集。

接下来，我们来谈论子集的概念。

子集是指一个集合的所有元素都包含在另一个集合中。

如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集。

常用的符号表示子集的关系是⊆（包含于或者等于）。

特别地，如果集合A是集合B的子集，但是集合A与集合B不相等，那么集合A是集合B的真子集。

真子集可以表示为A⊂B。

现在我们可以讨论空集和真子集之间的关系了。

首先，空集是任何集合的子集。

也就是说，对于任意集合A来说，空集都是A的子集。

这是因为空集中没有任何元素，所以它的元素也必然都包含在其他的集合中。

其次，空集不是任何集合的真子集。

这是因为真子集要求子集与集合不相等，而空集与任何集合都不相等。

我们可以通过一个例子来进一步理解空集和真子集的概念。

考虑一个包含所有正整数的集合N，以及一个包含所有奇数的集合O。

我们知道，集合O是集合N的真子集，因为集合N中既包含奇数，也包含偶数。

另一方面，O并不是N的真子集，因为集合N中的元素也包含了偶数，而集合O只包含奇数。

另外，{}（空集）是集合N的子集，因为空集中没有任何元素，所以必然都包含在集合N中。

总结起来，空集是任何集合的子集，但不是真子集；真子集是子集的一种特殊情况，表示一个集合是另一个集合的子集，但不相等。

空集和真子集是集合论中重要的概念，它们有助于描述和分析集合之间的关系，以及集合的性质。

跟踪知识梳理1，子集、真子集、集合相等、空集名称记号意义性质示意图子集BA⊆（或)AB⊇A中的任一元素都属于B(1)A⊆A(2)A∅⊆(3)若BA⊆且B C⊆，则A C⊆(4)若BA⊆且B A⊆，则A B=A(B)或B A真子集A≠⊂B（或B≠⊃A）BA⊆，且B中至少有一元素不属于A（1）A≠∅⊂（A为非空子集）(2)若A B≠⊂且B C≠⊂，则A C≠⊂B A集合相等A B=A中的任一元素都属于B， B中的任一元素都属于AA⊆B且B⊆A A(B)2，已知集合A有(1)n n≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.3，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.注：元素与集合的关系“∈”，集合与集合的关系“⊆”核心能力必练一、选择题1.若{1,2,3} A ⊆{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【-=答案=-】B2．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅. 其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【-=答案=-】B【解析】①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【-=答案=-】D【解析】由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又因A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．4.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为（）A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.以上都不正确【-=答案=-】B5.已知集合A={2,9},B={m2,2}，若A=B,则实数m的值为（）A.3B. －3C.9D.±3【-=答案=-】D【解析】∵A={2,9},B={m2,2},A=B，∴m2=9，m=±3.6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（）A．{a|3＜a≤4} B．{a|3 ≤a≤4} C．{a|3＜a＜4} D．∅【-=答案=-】B【解析】将集合A、B在数轴上表示出来，∵A⊇B，如图所示：则13,25,aa-≤⎧⎨+≥⎩∴3≤a≤4.7．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A【-=答案=-】D【解析】∵B的子集为∅，{1}，{2}，{1,2}.∴A＝{x|x⊆B}＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.8．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是（）A．S P M B．S＝P M C．S P＝M D．P＝M S【-=答案=-】C【解析】运用整数的性质求解．集合M、P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集．故选C.二、填空题9.设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．【-=答案=-】－1或2【解析】A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.10．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.【-=答案=-】1【解析】集合A、B中均含有元素3，由B⊆A得B中另一元素m2一定与A中元素－1,2m－1中一个相等，故m2＝2m－1，得m＝1.11.若＝{0，a＋b，a2}，则a2 016＋b2 016的值为________．【-=答案=-】1三、解答题12.已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．（1）写出集合M的子集、真子集；（2）求集合N的子集数、非空真子集数．【-=答案=-】见解析13.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【-=答案=-】{a|a＜－4，或a＞2}【解析】当B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得32,1,3a aa+≥⎧⎨+<-⎩或32,24,a aa>+≥⎧⎨⎩解得a＜－4，或2＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围为{a|a＜－4，或a＞2}．14设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.（1）求实数m的取值范围；（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．【-=答案=-】（1）；（2）128.【解析】（1）①当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝∅，符合题意；②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴，如图所示，得解得0≤m≤.所以0≤m≤.综合①②可知，实数m的取值范围为.（2）∵当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.。

空集与真子集的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊空集与真子集的关系，这可有趣啦！你知道吗？空集就像是一个超级特别的存在，它里面啥都没有，空空如也。

但是呢，千万别小瞧它，它在集合的世界里有着重要的地位。

真子集呢，就是一个集合的一部分，但又不是它本身。

比如说集合 A = {1, 2, 3}，那它的真子集就可以是 {1, 2} 或者 {1, 3} 等等。

那空集和真子集有啥关系呢？哈哈，空集是任何非空集合的真子集！是不是有点惊讶？这就好比说，任何一个有东西的集合，都能把空集当成它的一部分，但又不是全部。

比如说集合 B = {4, 5, 6}，空集就是它的真子集。

因为空集不包含任何元素，却又实实在在是 B 的一部分，只是不是完整的 B 啦。

所以呀，空集就像是一个默默的小配角，虽然不起眼，但是在集合的舞台上有着不可或缺的作用呢！怎么样，小伙伴们，是不是对空集和真子集的关系有点感觉啦？稿子二嗨嗨，朋友们！今天咱们来好好唠唠空集与真子集的关系哟！先来说说空集，它就好像是一个神秘的小盒子，打开一看，啥也没有。

但这并不代表它没有价值哦！真子集呢，就像是从一个大箱子里拿出一部分东西组成的小箱子。

那空集和真子集是怎么搭上边的呢？哈哈，你想啊，任何一个不是空的集合，里面都能找到空集这个“小透明”作为它的真子集。

比如说有个集合 C = {7, 8, 9}，那空集就是 C 的真子集。

这就好像 C 是一个大家庭，空集是那个不被注意但确实存在的一份子。

而且哦，空集是所有非空集合的真子集，这是个很特别的规定呢。

想象一下，一个满满的集合，里面居然还藏着一个啥也没有的空集，是不是有点神奇？总之呢，空集和真子集的关系就像是隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现和理解。

好啦，今天关于空集与真子集的关系就聊到这儿，希望大家都能搞明白哟！。