高一数学必修一子集真子集例题汇总

教 师 学生姓名 教材版本 人教版 学 科数学年级高一上课时间课 题 子集和真子集 教学目 标 集合与集合的关系教 学重 点子集和真子集教 学 过 程子集与真子集一、同步知识梳理 1、子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素， 我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素， 同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4、子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆5、空集是任何集合的子集Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆6、易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}7、含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n2-1，非空真子集数为22-n子集和真子集的运算一、例题精讲例1、在下列各组中的集合M 与N 中， 使M N =的是（ D ） A ．{(1,3)},{(3,1)}M N =-=- B ．,{0}M N =∅= C ．22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R N x y y x x R ==+∈==+∈ D ．22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R N t t y y R ==+∈==-+∈例2、设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（A ）A ．｛a ｜a ≥2｝B ．｛a ｜a ≤1｝ C.｛a ｜a ≥1｝． D.｛a ｜a ≤2｝．例3、满足{1，2，3} ≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（C ）A ．8B ．7C ．6D ．5例4、集合A={x |x =2n ＋1，n ∈Z}， B={y |y =4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为 （ C ）A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A ≠B例5、满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是____答案：7例6、已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集. 解析：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.例7、P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？解：a ＝0,S ＝∅，∅⊆P 成立 a ≠0，S ≠∅，由S ⊆P ，P ＝{3，－1}得3a ＋2＝0，a ＝－23或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－23或2.例8、A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

⼦集与真⼦集（含答案）⼦集与真⼦集⼀、单选题(共10道，每道10分)1.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集2.已知，，，则C 的真⼦集个数为( )A.2B.3C.7D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集3.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集4.已知集合M={0，1，2，3}，则集合M的不含元素0的⼦集的个数是( )A.16B.15C.8D.7答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集5.已知⾮空集合P⊆{3，4，6}，若P中⾄多有⼀个偶数，则满⾜条件的集合P共有( )A.2个B.4个C.5个D.6个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集6.满⾜{1，2}M{1，2，3，4，5}的集合M共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集7.已知集合，若集合A有且仅有2个⼦集，则a的值是( )A.1B.-1C.0或1D.-1，0或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合关系中的参数取值问题8.已知集合，，则集合M的⼦集个数是( )A.8B.16C.32D.64答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集9.设集合，，若A B，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系10.集合，⾮空集合，若B⊆A，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系。

子集与真子集练习题一、基本概念集合论中的子集与真子集是非常基础的概念，它们在解决问题和证明定理时经常被用到。

首先，我们来回顾一下这两个概念的定义。

在集合论中，给定两个集合A和B，如果A的所有元素都是B的元素，则A是B的子集，用符号表示为A⊆B。

严格来说，空集是每个集合的子集。

如果A是B的子集但不等于B，则称A是B的真子集，用符号表示为A⊂B。

现在我们可以尝试解决一些与子集和真子集相关的练习题。

二、练习题1给定集合A={1,2,3,4}和B={3,4,5}，判断以下命题是否正确：(1)A⊆B；(2) A⊂B。

解析：(1) A={1,2,3,4}，B={3,4,5}。

由于A中的所有元素都是B中的元素，所以A是B的子集，命题(1)正确。

(2) A={1,2,3,4}，B={3,4,5}。

由于A是B的子集，并且A≠B，所以A是B的真子集，命题(2)正确。

三、练习题2给定集合C={a,b,c}，D={a,{a,b,c}}和E={{a,b,c}}，判断以下命题是否正确：(1) C⊆D；(2) D⊆E；(3) C⊂E。

解析：(1) C={a,b,c}，D={a,{a,b,c}}。

由于C中的元素"a"是D中的元素，且C中没有元素不是D中的元素，所以C是D的子集，命题(1)正确。

(2) D={a,{a,b,c}}，E={{a,b,c}}。

由于D中的元素"a"是E中的元素，但D中的元素{a,b,c}不是E中的元素，所以D不是E的子集，命题(2)错误。

(3) C={a,b,c}，E={{a,b,c}}。

由于C是E的子集，并且C≠E，所以C是E的真子集，命题(3)正确。

练习题通过判断给定集合之间的包含关系，考察了对子集和真子集的理解和运用。

在解题过程中，我们需要明确子集的定义，并注意区分子集和真子集的不同。

解题时可以通过对比集合中的元素来判断子集和真子集的关系。

通过这些练习题的解析，我们巩固了子集和真子集的概念，并加深了对其应用的理解。

真子集与子集的区别例题摘要：1.子集与真子集的定义及区别2.子集与真子集的实例解析3.子集与真子集在集合运算中的应用正文：在数学的集合论中，子集和真子集是两个重要的概念。

它们描述了集合之间的关系，帮助我们理解和分析集合的性质。

下面我们将详细探讨子集与真子集的区别，并通过实例进行解析。

首先，我们来了解一下子集和真子集的定义。

子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，可以用符号A B 表示。

而真子集则表示一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等，可以用符号A B 表示。

举个例子，全集I 为{1, 2, 3}，它的子集有{1, 2, 3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，以及空集。

而真子集则为{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，不包括空集。

接下来，我们来看一下子集和真子集在集合运算中的应用。

在集合运算中，子集和真子集的区别主要体现在它们在并集、交集和补集运算中的表现。

对于并集运算，子集的并集就是本身，例如{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}。

而真子集的并集则可能是空集，例如{1} ∪ {2, 3} = 。

对于交集运算，子集的交集就是本身，例如{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}。

而真子集的交集可能是空集，例如{1} ∩ {2, 3} = 。

对于补集运算，子集的补集是全集减去本身，例如CU {1, 2} = {3}。

而真子集的补集则可能是全集，例如CU {1} = {1, 2, 3}。

总之，子集和真子集在集合运算中的表现有所不同，掌握它们的区别有助于我们更好地理解和应用集合运算。

通过以上的解析，我们可以明确地知道，子集包含本身，而真子集不包含本身。

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

【文库独家】子集、全集、补集典型例题及讲解例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析 作出4图形．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ] A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ] A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答 选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

【精编】《高中数学知识点：子集与真子集》提分练习题高中数学知识点命题规律研究组一、单选题1.若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（）A. Q∪PB. P∩QC. P∪C R QD. Q∪C R P2.若则就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A. 15B. 16C. 64D. 1283.设集合,则集合的子集个数为( )．A. 3B. 4C. 8D. 164.已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是( )A. 1B.C. 0，1D. ，0，15.若全集，则集合的非空真子集共有（）A. 16个B. 14个C. 32个D. 30个6.设集合，若A是B的真子集，则实数的取值集合为（）.A. B. C. D.7.若全集且，则集合的真子集共有（）个A. B. C. D.8.设全集，集合，若，则这样的集合的个数共有( )A. B. C. D.9.已知集合A={0，1}，若B∪A=A，则满足该条件的集合B的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知集合A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为( )A. {x | －2＜x＜0}B. {x | 0＜x＜2}C. {0}D. {Ø}11.若全集U-{0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，则集合A的子集共有（）A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个12.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A. 16B. 17C. 18D. 1913.如果则集合A的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 814.集合的真子集的个数是（）A. 9B. 8C. 7D. 615.若则满足条件的集合A的个数是A. 6B. 7C. 8D. 916.集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 1617.集合，若，则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 2或318.已知集合，，定义，则集合的所有非空真子集的个数为（）A. 32B. 31C. 30D. 以上都不对19.集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（）A. 9B. 8C. 7D. 620.对于任意两个正整数，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A. B. C. D.二、填空题21.若规定E={a1，a2，…，a10}的子集{a t1，a t2，…，a k}为E的第k个子集，其中，则E的第211个子集是________．22.设集合，若是的真子集，则的取值范围为________.（结果用区间表示）23.设集合A＝｛1，2｝，则的子集的个数为________，真子集的个数为________．24.已知集合，集合满足，则集合有________个．25.若规定集合的子集为M的第k个子集，其中,则M的第二十五个子集是________.26.集合，，若，则a的取值范围是________．27.已知集合0，，，若，则实数a的值为________．28.集合的真子集的个数为________29.满足条件的集合有________个．30.已知集合，且，则________．31.设集合，则满足的集合的个数是________．32.集合{a，b，c}共有________个子集．33.若集合A={x|（k﹣1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是________．34.若全集U={0，1，2，3，4，5}且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有________个．35.集合{1，2，3}的子集个数为________．36.设集合U={x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，则集合U的子集的个数是________．37.设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为________．38.已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}至多有两个子集，则a的取值范围________．39.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有________个．40.满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是________．三、解答题41.已知集合，写出集合的所有子集42.已知集合1，，且，试写出集合A的子集．43.已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．（1）写出集合M的子集、真子集；（2）求集合N的子集数、非空真子集数．44.写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.45.已知集合,又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B的一个子集,求集合C.46.已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，且﹣3∈A（1）求a．（2）写出集合A的所有子集．47.写出集合{2，3，4}的所有子集，并指出哪些是它的非空真子集．48.已知集合A={x|x2+2x+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax=0}的真子集．49.已知集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．50.集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．。

子集和真子集的习题及答案子集和真子集的习题及答案在集合论中，子集和真子集是两个重要的概念。

子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，而真子集则是指一个集合中的元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等。

接下来，我们将介绍一些与子集和真子集相关的习题，并提供答案。

习题一：给定两个集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，判断以下命题是否成立：1. A是B的子集。

2. B是A的真子集。

解答：1. A是B的子集，因为A中的所有元素（1，2，3）都是B中的元素。

2. B不是A的真子集，因为A和B中的元素完全相同，即A=B。

习题二：给定集合A={x|x是一个正整数，1≤x≤10}和集合B={x|x是一个偶数，2≤x≤10}，判断以下命题是否成立：1. A是B的真子集。

2. B是A的子集。

解答：1. A不是B的真子集，因为A中的所有元素（2，4，6，8，10）都是B中的元素。

2. B是A的子集，因为B中的所有元素（2，4，6，8，10）都是A中的元素。

习题三：给定集合A={a,b,c}，判断以下命题是否成立：1. A是它自己的真子集。

2. A是它自己的子集。

解答：1. A不是它自己的真子集，因为A和它自己相等，不满足真子集的定义。

2. A是它自己的子集，因为A和它自己相等，满足子集的定义。

习题四：给定两个集合A={a,b,c}和B={a,b,c,d}，判断以下命题是否成立：1. A是B的真子集。

2. B是A的真子集。

解答：1. A是B的真子集，因为A中的所有元素（a，b，c）都是B中的元素，且A和B不相等。

2. B不是A的真子集，因为B中的所有元素（a，b，c，d）都是A中的元素，且A和B相等。

通过以上习题，我们可以更好地理解子集和真子集的概念。

子集和真子集的判断可以通过比较两个集合的元素来完成，只有当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，才能称为子集；而真子集则要求两个集合不相等。

掌握了这些概念，我们可以更好地进行集合的运算和推理，为解决实际问题提供了基础。

(每日一练)人教版高中数学必修一集合知识总结例题单选题1、已知集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，则集合M的真子集的个数为（）A．29−1B．28−1C．25D．24+1答案：A解析：首先确定集合M的元素个数，接着根据公式求出集合M的所有子集个数，减掉集合M本身得出结果即可.因为集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，画出如下示意图：由图可知集合M有9个元素，集合M的所以子集的个数为29，所以集合M的真子集的个数为29−1，故选：A.小提示：集合M有n个元素,则集合M的所有子集个数为2n，集合M的所有非空子集个数为2n−1，集合M的所有真子集个数为2n−1，集合M的所有非空真子集个数为2n−2；2、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）.A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.填空题4、已知集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，则a=_________．答案：-3解析：由集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，得a2+4a=−3或a−2=−3，由此能求出结果．解：∵集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，∴a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1，或a=−3，当a=−1时，A={12，−3，−3}，不合题意，当a=−3时，A={12，−3，−5}，符合题意．综上，a=−3．所以答案是：−3.5、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________答案：15解析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x= y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．所以答案是：15．。

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集 如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集 符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集 精典例题透析。

子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念，理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。

下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，判断集合 B 是否为集合 A 的子集。

解：因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中，所以集合 B 是集合 A 的子集。

这里要明确子集的定义，如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 就是集合 A 的子集。

例 2：设全集 U ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，求集合 A 的补集。

解：全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9，所以集合 A 的补集为｛5, 6, 7, 8, 9}。

补集的概念就是在给定的全集中，除去某个集合中的元素，剩下的元素所组成的集合。

例 3：集合 M ＝｛x ｜ x ＜ 5}，集合 N ＝｛x ｜ x ＞ 2}，全集 U＝ R，求集合 M 的补集和集合 N 的补集。

解：集合 M 的补集是｛x ｜x ≥ 5}，集合 N 的补集是｛x ｜x ≤ 2}。

对于这种用不等式表示集合的情况，要注意理解实数轴上的范围来确定补集。

例 4：已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 5}，全集 U ＝ R，求（∁UA）∩（∁UB）。

解：∁UA ＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 3}，∁UB ＝｛x ｜x ≤ 1 或x ≥ 5}所以（∁UA）∩（∁UB）＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集，然后再求交集。

例 5：集合 P ＝｛（x, y）｜ x ＋ y ＝ 2}，集合 Q ＝｛（x, y）｜x y ＝ 4}，全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合，求∁UP 和∁UQ。

解：对于集合 P，解方程组{x ＋ y ＝ 2}可得 y ＝ 2 x，所以集合 P 表示直线 y ＝ 2 x 上的点。

子集、全集、补集【经典例题】例1. （1）{}a A ,3,1=，{}1,12+-=a a B ，B A ⊇，求a 。

（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。

（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。

经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。

（1） 若{}5=A C U ，求实数a 的值（2） 若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。

经典练习：1.设全集}3,5,31{--=U ,31-}053|{2=-+=∈px x x A 且31-}0103|{2=++=∈q x x x B ,求B C A C U U ,2. 已知全集{}{}222,4,3,2,2U x M x x =-=-+，}1{-=M C U ，求实数x 的值。

例3. },,14|{Z n n x x A ∈+==若},34|{Z n n x x B ∈-==},,18|{Z n n x x C ∈+==则A 、B 、C 之间的关系是什么？经典练习1、已知},312|{},,61|{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+==， 的关系为则P N M Z p p x x P ,,},,612|{∈+==2、},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==设，的关系为则N M ,巩固练习： 基础训练1． 给出6个关系式：①{}{}(,)(,)a b b a =； ②{}{},,a b b a =； ③∅{}0； ④{}00∈； ⑤{}0∅∈； ⑥{}0∅=；其中正确的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4D.32．已知集合{}24A x x =<≤，则下列关系中正确的是 （ ） A ．A π∉ B ．{}A π∈ C ．A π⊆ D ．{}A π⊆3． 已知集合{}0,2,3,A =，则A 的子集的个数是 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 4．下列各组集合中相等的是 （ ） A ．{}{}20,|10A B x x ==+= B ． {}3(,)|1,(,)|12y A x y y x B x y x -⎧⎫==+==⎨⎬-⎩⎭C ．A =｛n 条边都相等的多边形｝B =｛n 个内角都相等的多边形｝D ．{}{}|31,,|32,A x x n n Z B y y n n Z ==+∈==-∈5. 若集合},3,1{x A =,}1,{2x B =,且A B ⊆,则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（1）满足{},a b A ⊆⊂≠{,,,}a b c d 的集合A 可以是 ； （2）满足{}1,23，⊂≠{}1,2,3,4,5A ⊆的集合A 可以是 。