北京交通大学理论力学——达朗贝尔原理共79页

M gx
mi
zi
x i
2
mi yi zi
z
J yz J zy mi yi zi J zx J xz mi zi xi
刚体对z轴旳惯性积
ri
FIti
O
zi
yi
xi
x
FIin y
M gx J xz J yz 2 M gy J yz J xz 2
M gz miri2 J z
刚体作定轴转动时
FgR mac
M gc 0
（转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）
FgR mac
M g0 M gz J z
刚体作平面运动时
（设运动平行于质量对称面、向质心C简化)
Fgc mac
M gc Jc
例1：
a
FgR maC
HC
M gc JC
a Hy
H
an HC
aA aC
均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其
质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：
圆柱体A旳角加速度。
MI
FOy
FT
FOx
拓展：
M IA
FT
FIA
FN
已知：均质圆盘 m1, 纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动旳条件?
FgO
FOY MgO O
FOX C1
MgC2 A
FgC2 C2 B
？拟定惯性力大小
mg
mg
例3长均为l，质量均为m旳均质杆OA、AB铰接于O，在图
示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB旳角加速度。
？列什么方程 aC1

第7章 达朗贝尔原理
• 分析力学两个基本原理之一 • 提供研究约束动力系统的普遍方法—动静法
2020年5月19日
1
❖ 惯性力的概念 ❖ 达朗贝尔原理 ❖ 刚体惯性力系的简化 ❖ 达朗贝尔原理的应用
2020年5月19日
2
工程实例
问题：汽车底盘距路面的高度为什么不同？
2020年5月19日
3
底盘可升降的轿车
2 sin2
h
mg
B
FB
当角速度0时，情况怎样？
2020年5月19日
13
§7.3 惯性力系的简化
一、主矢与主矩
1.主矢: FIR maC 与质系运动形式无关
2.主矩:
e
QM OF Ii M OF i
故 同且 理 M M IIOC M O ddF ddiLO eC L ttdd L t,O 与质系运动形式相关
O
C
B
A
2020年5月19日
24
解：点C为系统的质心，且此瞬时角速度为零。
根据运动分析虚加惯性力、惯性力偶
FIy
I C
A
acxao r
acy
a CO
r
2020年5月19日
25
acxao r
acy
a CO
r
FIxmacxmr
FIy
a0 O
FIy macy mr
MICJC167mr2 Ff
FIx A
C
acy
acx M 2mg
IC
B
MA 0 M ICF IxrF Iyr2m grF N0
12g 29r
2020年5月19日
26
2020年5月19日
4

MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx

sin

l
0
dF I r cos 0
dF I
方法二：直接法
q1
P a
2
g
l
q2
P ( a l sin )
2
q1
1 2 l
P l sin
2
B
a
g
FI2
l
g
l
x
q1
FI 1 q1 l
p g

l 2
2
sin

M
A
0,
P
l 2
sin F I 1
J O 1
l 2
M
I2
J C 2 2
a1 l 2
B
M
I2
a 2 l 1
2
O
1
C2 a2
FI 2
A
M
FI1
C1
I1
O F Ox
2
P
a1
P
1 F Oy
[整体]

3 2
M
0
( P FI2 )
l P
l 2

P 3g
l 1
2
P 12 g
e
FI
F B ( a b ) ( F I G )a 0
FA
b ab
a ab
( FI G )
b ab
a ab
(
e g
2
a
1 )G
b
FB
( FI G )
(
e g
2
1 )G
理论力学
本章结束
理论力学

Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR

力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB


1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB


1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB



1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理

0tetftehtftegmmii2??????????????????????cossinsincoscos??????????0thftegmmi2????????????????coscos22i?emf?coscoscos22i2hgtemthftegmm??????????????????????31ppt课件?达朗贝尔原理应用示例例例题2长为l重为w的均质杆ab其a端闰接在铅垂轴z上并以匀角速绕此轴转动
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR

ma C

ma
t C

ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC

miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar

•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静
(c)
静,动
mr m
rm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
• 1)静约束力——与主动力平 衡
2)动约束力——与惯性力平衡
2.求解: 1)动量定理与动量矩定理
2)动静法 形式不同，本质相同。
7-4-2 惯性力系的简化
• 如图 已知ω 、α AB， l 向A点简化，且A-xyz
z
与刚体固结。
B
主矢 主矩
FIRmaC
MIA
d LA dt
而 L AJxω ziJyω zjJzω k
由 Mx 0
B
F BlyJx z Jyz 20 F B x
F By
F1
FByJxzlJyz2

aD
O
研究整体，由MA=0，经化简得:
aO
mg AD
A
FAx
FN ml AD 2 3mg
图(b)
FAy
(b)
7-3 动静法的应用
7-3-2 典型问题
再研究轮与BD杆，由MD=0,并注意到式(a),得
1 3 3 FN l AD mg (c) 3 2 F (b) – (c) 得
1. 质点达朗贝尔定理 由 F FN m a 即 F FN m a 0
FI ma
m
FN
引入惯性力 FI m a
F
ma
则 F FN FI 0 — 质点的达朗贝尔定理 即作用于质点的主动力，约束力与惯性力构成平衡力系。
2.关于惯性力: 1) 质点加速运动时,外部物质世界作用在质点上的
已知 G, ,求BC绳断瞬时,求AB绳张力。
A
C

FI
给小球加惯性力, 受力如图。 由 FT G FI 0
FT
B
a
FI
G
FT G cos
7-1 质点系的达朗贝尔原理
G FT
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 1. 一般形式 对 mi 有:
Fi e FNi FIi 0
FN
FBy
B
aD
aO
FBx
mg
图(b)
mg AD
A
FAx
FAy
图(c)
7-3-2 典型问题
运动至AEB水平时，速度如图(d)，易知BD=AD。
vB 3lωAD
由T–T0=W，有
(d)
B
B
C
E
A

惯性力的主矢和主矩
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统

§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理

惯性力系向质心简化得主矩为
M IC
1 P 2 J C l 12 g 1 P la A 12 g
B

FIe
O
C
FIrt
M IC
A
动力学
刚体惯性力系的简化
再向O点简化， 主矢不变
B

FIe
O
C
FIrt
M IC
P FIR aC g FIe FIr
主矩为
Fi(e)
O
Fi(i )
Ii
i
(e)
O
i
(i )
O ( FIi )
0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F
(i )
i
0,
M
Ii
O
(Fi ) 0
(i )
则上式可改写为
F 0 M (F ) M
Fi(e)
O i (e)
O ( FIi )
0
动力学
动力学
达朗贝尔原理
§15-2 达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯 性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 把作用于I质点的所有力分为外力的合力Fi ，内力的合力Fi ，则
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
惯性力 的概念
§15-1
惯性力 的概念
如图，人用手推车时，车在加速运 动过程中，人会感到受到力的作用，这 个力是由于车具有惯性，力图保持原来 的运动状态对人产生的反抗力，称为惯 性力。 如下图质点m 的运动，由牛顿第二定律： ma F FN