数学分析选讲

数学分析选讲范文数学分析是数学的一门基础课程，涵盖了微积分、函数论和级数等内容。

作为一门重要的数学工具，数学分析在理论和实践中都有着广泛的应用。

本文将以数学分析为主题，进行选讲，介绍数学分析的基本概念、主要定理和应用。

首先，让我们来了解数学分析的基本概念。

数学分析主要研究的对象是数学中的函数，函数是一种映射关系，将一个数集的元素映射到另一个数集中的元素。

函数的基本性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

在数学分析中，函数的极限是一个重要的概念，用于描述函数在其中一点附近的变化趋势。

例如，当自变量趋向于一些值时，函数的值是否趋近于一个确定的值，这就是极限的概念。

在数学分析中，微积分是一个核心的内容。

微积分主要研究函数的导数和积分。

导数用于描述函数的变化率，可以理解为函数在其中一点处的切线的斜率。

积分是导数的逆运算，用于求解函数的面积、体积和曲线长度等。

微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学和经济学等领域都有着重要的应用。

除了微积分，数学分析还包括函数论和级数等内容。

函数论研究的是函数的连续性和可导性等性质，以及函数的极值和最值等问题。

级数是由一系列数相加或相乘得到的无穷级数，研究级数的性质可以帮助我们了解数列的极限和数学问题的解等。

数学分析中的一些重要定理包括极限存在准则、洛必达法则、泰勒展开和傅里叶级数等。

极限存在准则是用于判断函数极限是否存在的方法，洛必达法则是计算函数极限的重要工具，泰勒展开是将函数表示为无限多项式的形式，傅里叶级数是将函数表示为三角函数的线性组合。

这些定理在数学分析中有着重要的应用，能够帮助我们求解各种数学问题。

数学分析作为一门基础学科，对其他学科的发展起着重要的推动作用。

在物理学中，微积分为描述物理量的变化和求解物理问题提供了强有力的工具。

在工程学中，微积分和函数论等内容为工程计算和优化提供了重要的方法。

在经济学中，微积分和级数等内容被应用于经济模型的求解和数据分析。

数学分析选讲教案教案-数学分析选讲一、教学目标1.了解数学分析选讲的内容和意义；2.掌握数学分析选讲中具体的知识点和方法；3.培养学生对数学问题的分析和解决能力。

二、教学内容1.极限与连续2.导数与微分3.积分与不定积分4.一元函数的级数展开5.二重积分与曲线积分三、教学过程1.首先介绍数学分析选讲的意义和重要性，引导学生对该学科的兴趣和学习动力。

2.然后分别介绍每个知识点的基本概念和定义，并通过一些具体的例子进行说明。

比如，对于极限与连续，可以通过函数在其中一点处的极限和函数的连续性来说明。

3.接着，讲解每个知识点的具体计算方法和应用。

比如，对于导数与微分，可以讲解导数的定义和性质，并介绍如何求导和微分的计算方法。

同时，通过一些实际问题的应用，如求速度、加速度等问题，来说明导数与微分的应用。

4.在讲解知识点的同时，可以穿插一些习题的讲解和训练，以检测学生对知识点的掌握情况，并培养学生的解题能力。

5.最后，总结每个知识点的要点和注意事项，并给出一些练习题供学生进行巩固和深化。

四、教学方法1.以讲授和演示为主，结合习题训练和实例分析，培养学生的数学分析思维和解题能力。

2.采用逐步推导和详细解释的方法，使学生更好地理解和掌握每个知识点。

3.灵活运用多种教学手段和教学资源，如课堂讨论、实验演示等，提高学生的主动参与和探索能力。

五、教学评价1.基于每个知识点的习题和问题进行评价，考察学生对知识点的掌握情况和解决问题的能力。

2.引导学生对学习过程进行自我评价和反思，发现自己的不足和提高的方法。

3.结合考试、小测验和作业等方式，全面评价学生的数学分析水平和综合能力。

六、教学反思1.整个教案的设计要简洁明了，符合学生的认知特点，避免内容过于冗杂和抽象，能够引起学生的学习兴趣和主动参与。

2.在教学过程中，要注意与学生的互动和沟通，帮助他们理解和解决问题，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。

3.针对每个知识点的讲解，要重点讲解基本概念和计算方法，并给出一些典型的例子和习题，帮助学生加深对知识点的理解和掌握。

数学分析选讲教学大纲一、课程简介本课程是一门针对高年级本科生的数学分析选修课，旨在为学生提供更深入的数学分析知识和技能。

通过本课程的学习，学生将进一步拓宽对数学分析的理解，并掌握其在实际问题中的应用。

二、教学目标1.掌握数学分析的基本概念和原理；2.能够运用数学分析的方法和技巧解决实际问题；3.增强数学分析的逻辑思维能力和抽象推理能力；4.培养学生严谨的数学论证能力和问题解决能力。

三、教学内容1.实数和数列a.实数的性质和运算规律b.数列的收敛性和极限c. 数列的一致收敛性和Cauchy准则2.函数极限和连续性a.函数极限的定义和性质b.函数连续性的定义和性质c.中值定理和连续函数的性质3.函数导数和微分a.导数的定义和性质b.微分的定义和性质c.高阶导数与泰勒展开4.不定积分和定积分a.不定积分的定义和性质b.定积分的定义和性质c.积分计算的基本方法和技巧5.级数和幂级数a.级数的收敛性和性质b.幂级数的收敛半径和性质c.幂级数的求和和收敛域四、教学方法1.传统讲授：通过讲授理论知识和解题技巧，向学生介绍数学分析的基本概念和原理。

2.问题导向：通过提出问题和引导学生讨论，培养学生的抽象思维和问题解决能力。

3.探究式学习：引导学生通过实际例子和实验观察，发现数学分析中的规律和性质。

五、评估方式1.平时成绩：包括课堂参与和作业完成情况（占比30%）；2.期中考试：对学生对前半学期内容的理解和掌握程度进行测试（占比30%）；3.期末考试：对全学期内容进行综合测试，检验学生对数学分析的综合能力（占比40%）。

六、参考教材。

数学分析选讲课程设计一、选课背景和目的本课程为数学专业的本科生选修课，旨在通过精心设计的教学内容和教学方法，帮助学生深入理解数学分析中的重要概念和定理，提高数学思维能力和分析问题的能力，为将来从事数学研究打下坚实基础。

二、课程教学内容与大纲该课程内容包括数学分析中的重要概念和定理，如极限、连续性、导数和微积分等，课程大纲如下：1. 数列和极限•数列的性质及极限概念•数列极限的性质及判别法•极限的运算法则•无穷小量和无穷大量2. 函数连续性•函数连续性的基本概念•函数连续性的基本性质及判别法•函数间的运算法则3. 导数•导数的概念和性质•函数可导的条件及判别法•高阶导数及其应用•导数的运算法则4. 微分学及其应用•微分学的基本概念和理论•中值定理及其应用•极值及其应用•曲率及其应用三、课程教学方法为了提高学生的自主学习能力和科学研究能力，本课程采取以下教学方法：1. 理论授课通过多媒体演示、板书讲解和互动答疑等方式，对数学分析中的基本概念和定理进行深入讲解和探讨，协助学生理解和掌握各部分的内容。

2. 经典例题讲解通过引导学生独立思考和分析解题思路，巩固和加深学生对数学分析的理解和应用能力。

3. 作业批改和指导通过给予学生具有实际应用价值和难度的习题，帮助他们巩固和加强对知识点的掌握程度，在对其作业进行批改和指导，帮助他们发现和解决问题。

4. 学科竞赛指导针对数学专业学生，加强其科学研究和竞赛能力的培养，引导学生参加各类学科竞赛，并提供相应的指导和解析，提高学生的学科水平和创新能力。

四、课程评价与改进教学评价是促进教学发展和提高教学质量的有效手段，本课程采用以下方法对教学效果进行评价：1. 学生满意度调查通过定期对学生的满意度进行调查，了解学生对课程内容、教学方法、作业布置、与教师互动等方面的满意度和不满意度，及时发现和解决教学问题。

2. 课堂表现评价通过对学生上课情况、作业情况等进行评价，发现学生的不足之处和优势所在，及时给予指导和鼓励。

《数学分析选讲》课程教学大纲一、《分析选讲》课程说明课程代码：0741123110课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis开课对象：数学与应用数学本科生课程的性质：考试学时：72数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。

本课程的前导课程为数学分析。

教学目的：通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.教学内容：本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。

教学时数教学时数：７2学时学分数：学分教学方式课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章 函数与极限教学要点：本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。

教学时数：8学时。

教学内容： 第一节 函数1.1 求函数的定义域与值域1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程第二节 极限2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法2.3 确定极限存在性的方法 考核要求：通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。

数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。

数学分析方法选讲
数学分析是现代数学的一个重要分支，它涉及到无穷序列、极限理论、微积分等基本概念和方法。

下面是关于数学分析方法选讲的一些内容：
1.微积分：微积分是数学分析的基础，它涉及到导数、积分、微分方程等许多重要的概念和方法。

微积分的应用非常广泛，例如在物理、工程、经济学等各个领域都有应用。

2.点集拓扑：点集拓扑是现代分析中的一门重要学科，它研究的是空间和集合的性质及其变化规律。

点集拓扑主要研究空间的连续性、紧致性、度量空间等概念和其相关定理，以及连续映射和同胚等映射的性质。

3.函数分析：函数分析是数学分析中一个重要的分支，它主要研究无限维空间中的函数和算子。

函数分析不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机等学科中也有重要的应用。

4.常微分方程：常微分方程是微积分的一个重要分支，它主要研究描述物体运动、力学、电路等过程中变化率的方程。

常微分方程中的基本概念包括初值问题、线性化、自由振动等，常微分方程的应用非常广泛。

5.偏微分方程：偏微分方程是微积分的另一个重要分支，它主要研究描述变量连续变化的方程。

偏微分方程经常被用于描述和解决物理、工程、流体力学等复杂
问题。

以上是数学分析方法选讲的一些内容，需要对这些基础知识进行系统学习和掌握。

《数学分析选讲》作业参考答案一．填空1． 点0P 的任一邻域内都有点集E 的无穷多个点。

2．}1:),{(22≤+y x y x 3．),(),(0d c b a E ⨯=4． }1)2()1(:),{(22≥++-y x y x ;5． 点0P 为点集E 的界点是指：点0P 的任一邻域中既有E 的点又有E 的余集的点; 6． φ,2R ．7． 存在0P 的一个邻域完全包含在点集E 之中 8． 曲顶柱体的体积 9． 22)()()(d b c a E d -+-=10．)()(lim 00P f P f P P =→11． (2,1); 12． 连通 二．判断题1． 对; 2． 对; 3． 对; 4． 对; 5． 错; 6． 错； 7． 对; 8． 对; 9． 对; 10． 错; 11． 对; 12．对;． 13． 对; 14． 对; 15． 对; 16． 错; 17． 对; 18． 对; 19． 对; 20． 对; 21．错 22． 对; 23． 对; 24． 对 三．计算题1． 解 视y 为x 的函数,对原方程两边关于x 求导得:022='--'+y ax ay y y x解出y '得:axy x ay y --='222． 令22),(αα+=x x f ,则函数f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续．从而,由定理19．1知:函数x x I d )(1122⎰-+=αα在]1,1[-上连续,特别在0=α处连续．于是1d ||)0()(lim d lim 1111220====+⎰⎰-→-→x x I I x x αααα．3． 由于}0,22:),{(2px px y px y x D ≤≤≤≤-=为x -型闭区域,所以由定理2知:002/0222/0===⎰⎰⎰⎰⎰-dx x ydy xdx xydxdy p px pxp D．4． 解 由公式计算知：().310d )12353210(d )1(4)1)1(2()1)1(2(d )(d 21231222=-+-=--+-++-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x x x yx y x xy L5． 解 由定理19．4知:()().d e y 22d e y -2d )(223535223522xy -2xy -2⎰⎰⎰--=-+=-+∂∂='-------x xx x x x x xx x x xxy y exee xey e x e y e xx F6． 由定义知.0 00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=-=-+=→→xx f x f f x x x同理可得0)0,0(=y f ．7． 解 视y 为常数,关于x 求导数得:)cos(23y x xy z x ++=． 视x 为常数,关于求导数得: )cos(3322y x y x z y ++=．8． 先求f 在点)3,1(关于x 的偏导数,为此,令3=y ,得到以x 为自变量的一元函 数276)3,(23-+=x x x f ,求它在1=x 的导数,得15)123()3,(d d)3,1(121=+====x x x x x x f x f ．再求f 在)3,1(关于y 的偏导数,先令1=x ,得到以y 为自变量的一元函数321),1(y y y f -+=,求它在3=y 的导数,得.25)32(),1(d d)3,(323-=-====y y y y y f y x f9． 令22),(by ax y x f +=,则ax y x f x 2),(=,by y x f y 2),(=在整个平面上连续,从而由定理17．2知:f 在),(000y x P =处可微．因此,由定理17．4知该曲面在),,(000z y x M =点有不平行于z 轴的切平面且其方程为)(2)(200000y y by x x ax z z -+-=-．再由(4．2)式知,法线方程为12200000--=-=-z z by y y ax x x ．10．令x x x f ααcos ),(2=,则函数f 在]2,0[]1,1[⨯-上连续．从而,则定理19．1知:函数x x x I d cos )(202⎰=αα在]1,1[-上连续,特别在0=α处连续．于是38d )0()(lim d cos lim 22022====⎰⎰→→x x I I x x x αααα; 11．0,0;12． 由定理知:.2012)13(41)13(213)d y y 3()d xy y ()(24422231323133+=-+-=+=+∂∂='⎰⎰x x y x y x x x I13．解 由公式知πθθππ)]0()([)]([)()(2200221022022f R f d r f rdr r f d dxdy y x f R RD-=='=+'⎰⎰⎰⎰⎰14．解 由于直线段→--AB 的方程为)10(21,1≤≤+=+=t t y t x ，所以由公式（1）知： .625d )251(d ]2)21)(1[(d )(d 1021=++=+++=-+⎰⎰⎰t t t tt t t y x y x xy L四．证明题1．证明 因为),(,0+∞-∞∈≥∀y x 有22111cos xx xy +≤+ 且反常积分⎰∞++02d 11x x 收敛,所以由M-判别法知含参量积分⎰∞++02d 1cos x x xy 在区间),(+∞-∞上一致收敛．2． 由推广的链式法则知:.cos )sin (cos cos )sin (d d d d d d d d t t t e tt u ve tt t z t v v z t u u z t z t t +-=+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 3． 证明 应用不等式：(1)000(,)||||n n n P P x x y y ρ≤-+-;(2) 0000||(,), ||(,) (1,2,)n n n n x x P P y y P P n ρρ-≤-≤=可知。

《数学分析选讲》课程教学大纲《数学分析选讲》课程教学大纲浙江教育学院《数学分析选讲》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码:22022总学时数:50课程类型:专业选修课适用对象:数学与应用数学专业四年制本科二、课程性质和目标1、课程的基本特性《数学分析选讲》是本科数学与应用数学专业的专业选修课,是在数学分析的基础上的提高和拓展，是对数学分析在理论上加以补充深化,在思想方法上介绍更为全面,作为数学分析的后续课之一,是让学生更完整、牢固掌握函数论的基本内容和方法，促进学生研究函数论能力的提高，训练学生的基本数学技能，同时也为学习函数论的其它课程打下良好的基础. 2、课程的教学目标通过本课程的学习，使学生从中学到分析问题和解决问题的方法和能力.提高函数论的理论水平和处理有关问题的能力，对函数论的基本思想有进一步的认识，形成解决函数论问题的思维方式.三、课程教学方法与手段课堂讲授+习题课训练四、课程教学内容、要求及重点、难点第一章一元函数极限(一)主要教学内容第一节(函数.第二节(用定义证明极限的存在性.第三节(求极限值的若干方法.第四节(上、下极限.(二)学习目的要求1. 理解函数的概念及一些基本性质.2(熟练掌握证明极限存在及求极限的值常用方法.(三)重点和难点1.教学重点:求极限的值;证明极限的存在性.2.教学难点:求极限的值;证明极限的存在性;讨论序列及函数的上、下极限问题. 第二章一元函数的连续性(一)主要教学内容第一节(连续性的证明与应用.第二节(一致连续性.(二)学习目的要求11.掌握函数连续性的证明方法及函数连续性的应用.2.掌握函数一致连续与非一致连续的证明方法.3.掌握一致连续与连续的区别.(三)重点和难点1.教学重点:连续性及一致连续的的证明;一致连续与连续的关系.2.教学难点:一致连续的与非一致连续的证明.第三章一元函数微分学(一)主要教学内容第一节(导数.第二节(微分中值定理.第三节(Taylor公式.第四节(不等式与凸函数.第五节(导数的综合应用.(二)学习目的要求1(掌握一元函数导数的计算及可微性的讨论. 2(掌握微分中值定理及Taylor 公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.3 .掌握凸函数的一些基本性质.4.掌握利用导数求最值或极值的方法，并证明一些不等式. (三)重点和难点1.教学重点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式;掌握利用导数求最值或极值的方法.2.教学难点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.第四章一元函数积分学(一)主要教学内容第一节(积分与极限.第二节(定积分的可积性.第三节(积分值估计、积分不等式及综合应用. 第四节(反常积分.(二)学习目的要求1(掌握积分的概念及可积性的证明.2(掌握常用的积分技巧.3(掌握一些积分值的估计;积分不等式的证明. 4. 掌握反常积分的计算，收敛性判断;反常积分的极限. (三)重点和难点1.教学重点:常用的积分技巧;积分值的估计;积分不等式的证明;反常积分的计算和收敛性判断.2.教学难点:积分值的估计;积分不等式;反常积分的收敛性判断;反常积分的极限.第五章级数(一)主要教学内容第一节(数项级数.2第二节(函数项级数.第三节(幂级数.第四节(Fourier级数.(二)学习目的要求1.掌握级数的敛散性判断的基本方法.2(掌握函数项级数的一致收敛的判断及应用. 3(掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法;求和问题. 4(掌握求Fourier展开式的基本方法.(三)重点和难点1.教学重点:级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断;求幂级数的收敛域及求和问题.2.教学难点: 级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断. 第六章多元函数微分学(一)主要教学内容第一节(多元函数的极限与连续.第二节(多元函数的偏导数.第三节(极值.第四节(方向导数与梯度.(二)学习目的要求1. 掌握多元函数的极限存在性的判断及连续性的判断.2. 掌握多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断.3. 掌握利用多元函数偏导数的性质解决极值问题.4. 掌握方向导数的与梯度的概念及计算.(三)重点和难点1.教学重点:多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断;极值问题.2.教学难点:多元函数可微性的判断;极值问题. 第七章多元函数积分学(一)主要教学内容第一节(含参变量积分.第二节(重积分.第三节(曲线积分与Green公式.第四节(曲面积分Gauss公式及Stokes公式. 第五节(场论.(二)学习目的要求1. 掌握含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断.2. 掌握反常积分的常用计算方法.3. 掌握重积分及曲线积分与曲面积分的计算.4. 掌握场论的一些基本概念.(三)重点和难点1.教学重点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;重积分及曲线积分与曲面积分的计算.32.教学难点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;重积分及曲线积分与曲面积分的计算.五、各教学环节学时分配其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节6 17 (一)一元函数极限4 4 (二)一元函数的连续性7 1 8 (三)一元函数微分学6 17 (四)一元函数积分学7 1 8 (五)级数(六)多元函数微分学 6 1 78 1 9 (七)多元函数积分学总计 44 6 50六、推荐教材和教学参考书教材:《数学分析中的典型问题与方法》(第二版), 裴礼文编,高等教育出版社,2006. 参考书:1(《数学分析》(第二版)，陈传璋等编,高等教育出版社，2006. 2.《分析中的基本定理和典型方法》，宋国柱编,科学出版社，2004. 3.《微积分教程》(第八版)，F.M.菲赫金哥尔茨著,高等教育出版社，2006.大纲制订人:阮建苗制订日期:2007年9月4。

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。

数学分析选讲
数学分析是一门重要的数学学科，在科学研究、工程设计、商业应用等各个领域都有着深远的影响。

数学分析的核心在于对实数、复数的认识，以及对函数的理解与分析。

在数学分析中，有很多有趣的知识，值得我们深入学习。

以下是关于数学分析选讲的介绍：
一、函数分析
函数分析是数学分析中最基础、最重要的知识，它涉及函数的概念、性质、解法，广泛应用于各种科学领域。

函数分析的具体内容包括：函数定义、函数增减性、函数的导数、极限、微分、积分、曲线的拐点及分类等。

二、线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵及其变换的数学学科，它是复杂问题分析的基础，具有重要的应用价值。

线性代数的内容包括：矩阵的运算、线性方程组的解法、向量空间及其子空间、矩阵特征值等。

三、微积分
微积分是探索连续变化与瞬时变化规律的数学理论，是数学分析的重要内容。

微积分的内容涉及微分、积分、微分方程以及各种解析和数值计算的方法。

四、概率论
概率论是研究不确定性随机事件、概率变量等概念及其运算的数学理论。

概率论的内容包括：随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、概率分布、条件概率等。

以上就是关于数学分析选讲的介绍。

通过数学分析，我们可以更好地掌握数学知识，运用数学原理解决复杂问题，从而为我们日常生活、科学研究、工程设计等提供有力的帮助。

数学分析选讲课程教学标准（合集5篇）第一篇：数学分析选讲课程教学标准《数学分析选讲》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。

本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。

这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，19992、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章一元函数的极限复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。

通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。

本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：§1.1数列极限和无穷大量§1.2函数极限§1.3数列的上、下极限第二章实数的基本定理及函数的连续性对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。

一、实训目的本次实训旨在通过学习数学分析选讲课程，提高我对数学分析理论知识的理解和运用能力，培养我在实际问题中运用数学分析方法解决问题的能力。

同时，通过实训，加深我对数学分析学科的认识，激发我对数学研究的兴趣。

二、实训内容本次实训主要内容包括以下几个方面：1. 数学分析的基本概念：极限、连续性、导数、微分、积分等。

2. 数学分析的基本方法：洛必达法则、泰勒公式、中值定理、最大值最小值定理等。

3. 数学分析在实际问题中的应用：物理、工程、经济、金融等领域。

4. 数学分析选讲课程中的典型问题及解题思路。

三、实训过程1. 理论学习：在实训过程中，我认真学习了数学分析选讲课程的理论知识，对极限、连续性、导数、微分、积分等基本概念有了更深入的理解。

2. 案例分析：通过分析典型问题，我学会了如何运用数学分析方法解决实际问题。

例如，在解决物理问题时，我运用洛必达法则求极限；在解决工程问题时，我运用中值定理求函数的最大值和最小值。

3. 实践操作：在实训过程中，我尝试运用所学知识解决实际问题。

例如，我利用泰勒公式求解一个函数在某一点的近似值，并验证其精度。

4. 小组讨论：在实训过程中，我与小组成员共同探讨数学分析选讲课程中的难点问题，通过集思广益，提高了自己的解题能力。

四、实训成果1. 理论知识方面：通过本次实训，我对数学分析的基本概念、基本方法有了更深入的理解，为今后进一步学习数学分析打下了坚实的基础。

2. 实践能力方面：在实训过程中，我学会了如何运用数学分析方法解决实际问题，提高了自己的实践能力。

3. 团队协作能力方面：在小组讨论中，我与小组成员共同探讨问题，学会了与他人合作，提高了自己的团队协作能力。

五、实训总结1. 数学分析是一门具有较强理论性和实践性的学科，通过本次实训，我深刻体会到了数学分析在实际问题中的应用价值。

2. 在学习数学分析的过程中，要注重理论知识的积累，同时要注重实践能力的培养，将所学知识运用到实际问题中。

计算题1、 求求242lim(1)(1)(1)(1)(1)nn x x x x x ®¥++++< 解：12422(1)(1)(1)(1)(1)1nn x x x x x x+-++++=- ，且1x <所以，原极限所以，原极限==()1211lim 111n x x x x+®¥-=--。

2、 求250ln(1)lim 1cos x x x x ®++- 解: 2525200ln(1)1limlim 1cos 22x x x x x xx x®®+++==-（等价无穷小的代换）（等价无穷小的代换） 3 3、设、设21sin 000x x x y x ì¹ï=íï=î , , 求求y ¢解：当0x ¹时，2111sin 2sin cos y x x x x x ¢æö¢==-ç÷èø 当0x =时，使用导数定义计算：201sin 01(0)limlim sin00x x x x y x x x®®-¢===-。

故112sin cos ,00, 0x x y x x x ì-¹ï¢=íï=î 4、求cos x dx xò解：令t x =则2,2x t dx tdt ==则原积分则原积分==cos 22cos 2sin ttdt tdt t C t ==+òò=2sin x C + 5、求幂级数0(1)(1)(2)n nn xn n ¥=-++å的收敛域。

的收敛域。

解：解由0(1)(1)(2)n n n x n n ¥=-++å知(1)(1)(2)nn a n n -=++，则1(1)(2)lim lim 1(2)(3)n n n n n n a a n n r +®¥®¥++==-=++， 收敛半径11R r==，又1R =时级数0(1)(1)(2)nn n n ¥=-++å是交错级数，收敛。

数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案一、选择题：(共18题，每题 3 分)1、下列命题中正确的是( A B )A、若F '(x) f(x)，则F(x) c是 f ( x)的不定积分，其中c为任意常数B、若 f (x) 在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上不可积C、若 f (x) 在［a,b］上有界，则f(x)在［a,b］上可积D、若 f (x) 在［a,b］上可积，则 f (x)在［a,b］上可积2、设 f (x) 3x4x2 ，则当x 0时，有( B )A．f(x)与x 是等价无穷小B．f(x)与 x同阶但非是等价无穷小C．f(x)是比 x高阶的无穷小D．f(x)是比x低阶的无穷小3、若 f 为连续奇函数,则 f sinx 为( A )A、奇函数 B 、偶函数C、非负偶函数 D 、既不是非正的函数, 也不是非负的函数.4、函数 f (x) 在［a,b］上连续是f(x)在［a,b］上可积的( A )条件A.充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要条件D. 非充分也非必要条件.5、若 f 为连续奇函数,则 f cosx 为( B )A、奇函数 B 、偶函数C、非负偶函数 D 、既不是非正的函数, 也不是非负的函数.6、设f(x) arctan x , 则x 0是f(x)的( B )xA. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 第二类间断点7、设N ,当n N 时,恒有a n b n ,已知lim a n A, limb n B .则正确的选nn 项是( A )A、 A BB、 A BC、 A BD、A和B的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点(x0, y0) 连续是它在该点偏导数都存在的( A )A.既非充分也非必要条 B 充分条件C.必要条件D. 充要条件9、极限lim3 23xx2311( D )xA、3 A、3 2B、3B、B、3 2C、3D、不存在3210、部分和数列{S n} 有界是正项级数u n收敛的( C ) 条件n1A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要111、极限lim sin x x( A )x 0 x11A、e 3 B 、e3 C 、e 3 D 、不存在.12、与l n im x n a的定义等价的是( B D )A、0, 总有x n aB、0, 至多只有{x n} 的有限项落在(a ,a ) 之外C、存在自然数N，对0,当n N ，有x n aD、0(0 1),存在自然数N，对n N, 有x n a1e曲线y 1 e x21 exA、没有渐近线 B 、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线 D 、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线13、14、下列命题中，错误的是( A D )A、若 f (x) 在点x0连续，则f(x)在x0既是右连续，又是左连续B、若对0, f (x) 在［a ,b ］上连续，则f(x)在(a,b)上连续C、若 f (x)是初等函数，其定义域为(a, b) ，x0 (a,b) ，则lim f(x) f(x0)x x0D、函数y f (x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点的左、右极限存在且相等15、设a n 为单调数列，若存在一收敛子列a n j，这时有( A )A、lim a n lim a n jjn jB、a n 不一定收敛C、a n 不一定有界D、当且仅当预先假设了a n 为有界数列时，才有 A 成立16、设 f (x) 在R 上为一连续函数，则有( C )A、当I 为开区间时 f ( I ) 必为开区间B、当 f ( I ) 为闭区间时I 必为闭区间C、当 f ( I ) 为开区间时I 必为开区间D、以上A,B,C 都不一定成立17、下列命题中错误的是( ＡＣ )uA、若lim un 1，级数v n收敛，则u n收敛；n v n n 1 n 1B、若u n v n(n 1,2 )，级数v n收敛，则u n 不一定收敛；n 1 n 1C、若u n是正项级数，且N, n N,有un 1 1,则u n收敛；n 1 u n n 1D、若l n im u n 0，则u n 发散nn 118、设u n 为一正项级数，这时有( D )n1xA 、若 limu n 0,则u n 收敛nn 1C 、若 u n 收敛，则 lim nu n1n 1 nD 、以上 A,B,C 都不一定成立、填空题：（共 15题，每题 2 分）1、设 x 2sin y cosy cos2y 0，则 y y2 或-2lim (1 1)n = 12、n nelim (1 1)n 1= e 3、nn5、设 (x n 10) 2收敛，则 l n im x n = 10 n 1 nsin 4x lim x 0x 1 139、设 F (x) cos 3 x ，则 F(x) sinx sin x C3 10、设 y ex，则y(2016)x 21 2 lim 2 =6、x 1 2x 2x 1 3B 、若unn1收敛，则 lim un 11 nu n4、x 21 2x2 x 27、 limxy(x,y) (0,0) xy 1 18、11、幂级数n1 3xnn21的收敛半径为x13212、积分1x4x s2in x2 x1dx的值为13、曲线y x22x 8 与x轴所围成部分的面积为36三、计算题：(共15题，每题8 分)1、求xsin xdx.解：x t, xsin xdx 2t 2 sin tdt 2 t2dcost 2t2 cost 4 tcostdt222t2cost 4 td sint 2t2cost 4t sin t 4 sin tdt2xcos x 4 xsin x 4cos x C2、将f(x) 2展开成x的幂级数，并指出其收敛域1 x 2x解：nf(x) 13[11x 112x] =31[n0x n n0(2x)] =13n1[1 ( 1)n12n]x nn13、求lim( sin n!)n n3 5解：原式＝０(有界量乘以无穷小量)14、l x im1xx22xy215、(x,yli)m(0,0) x2y且由x12x 1解：令x t ，原式＝2cos tdt 2sin t C 2sin x C25ln(1 x 2 x 5)1 cosx25 解：原式＝ lim ix x2x 2 x 0 x6、求极限limx0xe xln(1 x)2x解： xe x ln(1x) lim 2x 0x2li m x0xxexe2x2e x xe x 7、x 2 sin 1x0, 求yx011 解：当 x 0时，y 2xsin 1 cos 1xx1(1 x) 12(1 x)2x2 sin 10 x1 (sin 1) x2x sin ,x 0 x8、设 f(x) A,x 0 ，其中 A, a, b 为何值时， f (x) 在x=0 处可导，为什么， ax 2b,x 0并求 f'(0)2解： lim f(x) f(0) lim x sinx Alim ( xsin A)x 0 x x 0 x x 0x xlim xsin 0，故要使 f ' (0)存在，必须 A 0 x 0x2f (x) f (0) ax 2b又 lim lim x 0 x x 0 x要使有导数存在 , 必须 b=0.综上可知 ,当 A=b=0, a 为任意常数时， f (x) 在 x=0处可导，且f'(0) 09、计算下列第一型曲面积分： (x 2 y 2 z)ds,其中S 为 z 1,x 2 y 2 1.S解: S 由平面构成 : S 2 : z 1,x 2y 21.(x2S2y 2z)ds2 22 1 2 (x 2 y 2 1)dxdy 0 d 0(r 2 1) rdr 2, D 0 0 2x10、x(1 x)解：x1 1x(1 x) x 1xx 1 1 x(1x x)dx (1x 11x )dx ln x ln1 x C解：由洛必达( L 'Hospital )法则得lim (ax b) x 0x11、li xmcos 2tdtcos2 tdt l x im0sin x2cos x lim limcosx 1 x 0cosxx 04(cosx sin x)dx 2(sin x cos x)dx4(sin x cosx) 04 (sin x cossinxcosx dx 1 sin2x dx 1 d cos2x 1 cos2x Ccos 2 x sin 2x 2 cos2x 4 cos2x 21 cosx dxx sinx 1 cosx d x sin x dx ln x sinx x sin x x sin xln ln x 15、 dxx 解 : ln ln x dx ln ln x d ln x ln x ln ln x dxln x ln ln x 1 C xx四、证明题(共 17题，共 156 分)1、(6 分)设函数 f (x)在［a,b ］上连续，在 ( a, b )内可导，且 f'(x) 0 。