复习讲义导数及其应用

导数的几何意义及其应用某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q（x１，y１），则切线方程为y—y１＝f′（x）（x—x１），再由切线过点P（x0，y0）得１y0—y１＝f′（x１）（x0—x１），１又y１＝f（x１），２由１２求出x１，y１的值，即求出了过点P（x0，y0）的切线方程．【例１】（１）曲线y＝x e x—１在点（１,１）处切线的斜率等于（）Ａ．２e Ｂ．eＣ．２Ｄ．１（２）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）[思路探究] （１）曲线在点（１,１）处的切线斜率即为该点处的导数．（２）由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．[解析] （１）y′＝e x—１＋x e x—１＝（x＋１）e x—１，故曲线在点（１,１）处的切线斜率为k＝２．（２）从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f（x）的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．[答案] （１）C （２）B１．已知曲线y＝错误!x３＋错误!.（１）求曲线在点P（２,４）处的切线方程；（２）求曲线过点P（２,４）的切线方程；（３）求斜率为４的曲线的切线方程．[解] （１）∵P（２,４）在曲线y＝错误!x３＋错误!上，且y′＝x２，∴在点P（２,４）处的切线的斜率k＝４．∴曲线在点P（２,４）处的切线方程为y—４＝４（x—２），即４x—y—４＝0．（２）设曲线y＝错误!x３＋错误!与过点P（２,４）的切线相切于点A错误!，则切线的斜率k＝x错误!.∴切线方程为y—错误!＝x错误!（x—x0），即y＝x错误!·x—错误!x错误!＋错误!.∵点P（２,４）在切线上，∴４＝２x错误!—错误!x错误!＋错误!，即x错误!—３x错误!＋４＝0，∴x错误!＋x错误!—４x错误!＋４＝0．∴x错误!（x0＋１）—４（x0＋１）（x0—１）＝0，∴（x0＋１）（x0—２）２＝0，解得x0＝—１或x0＝２，故所求的切线方程为４x—y—４＝0或x—y＋２＝0．（３）设切点为（x0，y0），则切线的斜率k＝x错误!＝４，∴x0＝±２．∴切点为（２,４）或错误!.∴斜率为４的曲线的切线方程为y—４＝４（x—２）和y＋错误!＝４（x＋２），即４x—y—４＝0和１２x—３y＋２0＝0．利用导数判断函数的单调性规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f（x）为增函数⇔f′（x）≥0且f′（x）＝0的根有有限个，f（x）为减函数⇔f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个．【例２】设函数f（x）＝x e a—x＋bx，曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝（e—１）x＋４．（１）求a，b的值；（２）求f（x）的单调区间．[思路探究] （１）利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．（２）利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] （１）因为f（x）＝x e a—x＋bx，所以f′（x）＝（１—x）e a—x＋b.依题设，错误!即错误!解得错误!（２）由（１）知f（x）＝x e２—x＋e x.由f′（x）＝e２—x（１—x＋e x—１）及e２—x＞0知，f′（x）与１—x＋e x—１同号．令g（x）＝１—x＋e x—１，则g′（x）＝—１＋e x—１．所以，当x∈（—∞，１）时，g′（x）<0，g（x）在区间（—∞，１）上单调递减；当x∈（１，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在区间（１，＋∞）上单调递增．故g（１）＝１是g（x）在区间（—∞，＋∞）上的最小值，从而g（x）>0，x∈（—∞，＋∞）．综上可知，f′（x）>0，x∈（—∞，＋∞），故f（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞）．２．（１）讨论函数f（x）＝错误!e x的单调性，并证明当x＞0时，（x—２）e x＋x＋２＞0；（２）证明：当a∈[0,１）时，函数g（x）＝错误!（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．[解] （１）f（x）的定义域为（—∞，—２）∪（—２，＋∞）．f′（x）＝错误!＝错误!≥0，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0，所以f（x）在（—∞，—２），（—２，＋∞）上单调递增．因此当x∈（0，＋∞）时，f（x）>f（0）＝—１．所以（x—２）e x>—（x＋２），即（x—２）e x＋x＋２>0．（２）g′（x）＝错误!＝错误!（f（x）＋a）．由（１）知，f（x）＋a单调递增．对任意a∈[0,１），f（0）＋a＝a—１＜0，f（２）＋a＝a≥0．因此，存在唯一x a∈（0,２]，使得f（x a）＋a＝0，即g′（x a）＝0．当0<x<x a时，f（x）＋a<0，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x>x a时，f（x）＋a>0，g′（x）>0，g（x）单调递增．因此g（x）在x＝x a处取得最小值，最小值为g（x a）＝错误!＝错误!＝错误!.于是h（a）＝错误!.由错误!错误!＝错误!＞0，得y＝错误!单调递增，所以，由x a∈（0,２]，得错误!＝错误!＜h（a）＝错误!≤错误!＝错误!.因为y＝错误!单调递增，对任意λ∈错误!，存在唯一的x a∈（0,２]，a＝—f（x a）∈[0,１），使得h （a）＝λ.所以h（a）的值域是错误!.综上，当a∈[0,１）时，g（x）有最小值h（a），h（a）的值域是错误!.利用导数研究函数的极值、最值围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．【例３】已知函数f（x）＝x３＋ax２＋b的图象上一点P（１,0），且在点P处的切线与直线３x＋y ＝0平行．（１）求函数f（x）的解析式；（２）求函数f（x）在区间[0，t]（0<t<３）上的最大值和最小值；（３）在（１）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[１,３]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] （１）由错误!求出a，b即可．（２）对t分0<t≤２与２<t<３两种情况求最值．（３）构造函数g（x）＝f（x）—c转化为g（x）在[１,３]上有实根求解．[解] （１）因为f′（x）＝３x２＋２ax，曲线在P（１,0）处的切线斜率为：f′（１）＝３＋２a，即３＋２a＝—３，a＝—３．又函数过（１,0）点，即—２＋b＝0，b＝２．所以a＝—３，b＝２，f（x）＝x３—３x２＋２．（２）由f（x）＝x３—３x２＋２，得f′（x）＝３x２—6x.由f′（x）＝0，得x＝0或x＝２．１当0<t≤２时，在区间（0，t）上f′（x）<0，f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）的最大值为f（0）＝２，f（x）的最小值为f（t）＝t３—３t２＋２．２当２<t<３时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x0（0,２）２（２，t）tf′（x）0—0＋＋f（x）２单调递减↘极小值—２单调递增↗t３—３t２＋２f（t）—f（0）＝t３—３t２＝t２（t—３）<0．所以f（x）的最大值为f（0）＝２．（３）令g（x）＝f（x）—c＝x３—３x２＋２—c，g′（x）＝３x２—6x＝３x（x—２）．在x∈[１,２）上，g′（x）<0；在x∈（２,３]上，g′（x）>0．要使g（x）＝0在[１,３]上恰有两个相异的实根，则错误!解得—２<c≤0．３．（２0１9·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x—ln（１＋x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（１）f′（x）在区间—１，错误!存在唯一极大值点；（２）f（x）有且仅有２个零点．[解] （１）设g（x）＝f′（x），则g（x）＝cos x—错误!，g′（x）＝—sin x＋错误!，当x∈—１，错误!时，g′（x）单调递减，而g′（0）>0，g′错误!<0，可得g′（x）在—１，错误!有唯一零点，设为α.则当x∈（—１，α）时，g′（x）>0；当x∈α，错误!时，g′（x）<0．所以g（x）在（—１，α）单调递增，在α，错误!单调递减，故g（x）在—１，错误!存在唯一极大值点，即f′（x）在—１，错误!存在唯一极大值点．（２）f（x）的定义域为（—１，＋∞）．（ⅰ）当x∈（—１,0]时，由（１）知，f′（x）在（—１,0）单调递增，而f′（0）＝0，所以当x∈（—１,0）时，f′（x）<0，故f（x）在（—１,0）单调递减．又f（0）＝0，从而x＝0是f（x）在（—１,0]的唯一零点．（ⅱ）当x∈0，错误!时，由（１）知，f′（x）在（0，α）单调递增，在α，错误!单调递减，而f′（0）＝0，f′错误!<0，所以存在β∈α，错误!，使得f′（β）＝0，且当x∈（0，β）时，f′（x）>0；当x∈β，错误!时，f′（x）<0．故f（x）在（0，β）单调递增，在β，错误!单调递减．又f（0）＝0，f错误!＝１—ln１＋错误!>0，所以当x∈0，错误!时，f（x）>0．从而，f（x）在0，错误!没有零点．（ⅲ）当x∈错误!，π时，f′（x）<0，所以f（x）在错误!，π单调递减．而f错误!>0，f（π）<0，所以f（x）在错误!，π有唯一零点．（ⅳ）当x∈（π，＋∞）时，ln（x＋１）>１，所以f（x）<0，从而f（x）在（π，＋∞）没有零点．综上，f（x）有且仅有２个零点．函数与方程的思想符号都比较容易的函数，如果证明f（x）＞g（x），x∈（a，b），可转化为证明F（x）＝f（x）—g（x）与0的关系，若F′（x）＞0，则函数F（x）在（a，b）上是增函数．若F（a）≥0，则由增函数的定义，知当x∈（a，b）时，有F（x）＞F（a）≥0，即f（x）＞g（x）成立，同理可证明f（x）＜g（x），x∈（a，b）．【例４】设函数f（x）＝２x３＋３ax２＋３bx＋8c在x＝１及x＝２时取得极值．（１）求a，b的值；（２）若对任意的x∈[0,３]，都有f（x）<c２成立，求c的取值范围．[思路探究] （１）利用f′（１）＝0，f′（２）＝0，列方程组求解．（２）转化为求函数f（x）的最大值问题．[解] （１）f′（x）＝6x２＋6ax＋３b.因为函数f（x）在x＝１及x＝２时取得极值，则有f′（１）＝0，f′（２）＝0，即错误!解得错误!（２）由（１）可知，f（x）＝２x３—9x２＋１２x＋8c，则f′（x）＝6x２—１8x＋１２＝6（x—１）（x—２）．当x∈[0,１）时，f′（x）>0；当x∈[１,２]时，f′（x）<0；当x∈（２,３]时，f′（x）>0．所以当x＝１时，f（x）取得极大值f（１）＝５＋8c，当x＝２时，f（x）取得极小值f（２）＝４＋8c，又f（0）＝8c，f（３）＝9＋8c.所以当x∈[0,３]时，f（x）的最大值为f（３）＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,３]，有f（x）<c２恒成立，所以9＋8c<c２，解得c<—１或c>9．故c的取值范围为c<—１或c>9．４．已知函数f（x）＝错误!，且f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．[解] （１）对函数f（x）求导，得f′（x）＝错误!＝错误!.因为f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．所以错误!即错误!所以a＝４，b＝１，所以f（x）＝错误!.（２）因为f′（x）＝错误!，所以直线l的斜率k＝f′（x0）＝错误!＝４错误!，令t＝错误!，t∈（0,１]，则k＝４（２t２—t）＝8错误!错误!—错误!，所以k∈错误!.定积分及其应用的几何意义、物理意义及微积分基本定理．可以解决不规则平面图形的面积及变力作功问题．【例５】设两抛物线y＝—x２＋２x，y＝x２所围成的图形为M，求M的面积．[思路探究] 求出两抛物线的交点，画出图象、利用定积分求解．[解] 函数y＝—x２＋２x，y＝x２在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．由图可知，图形M的面积S＝错误!（—x２＋２x—x２）d x＝错误!（—２x２＋２x）d x＝错误!错误!＝错误!.５．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５Ｂ．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５Ｄ．４＋５0ln ２[解析] 由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，在此期间行驶的距离为错误!v（t）d t＝错误!错误!d t＝错误!错误!＝４＋２５ln ５．[答案] C１．设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝x[解析] ∵ f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax，∴ f′（x）＝３x２＋２（a—１）x＋a.又f（x）为奇函数，∴ f（—x）＝—f（x）恒成立，即—x３＋（a—１）x２—ax＝—x３—（a—１）x２—ax恒成立，∴ a＝１，∴ f′（x）＝３x２＋１，∴ f′（0）＝１，∴ 曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．[答案] D２．函数y＝—x４＋x２＋２的图象大致为（）[解析] f′（x）＝—４x３＋２x，则f′（x）>0的解集为—∞，—错误!∪0，错误!，f（x）单调递增；f′（x）<0的解集为—错误!，0∪错误!，＋∞，f（x）单调递减．故选Ｄ．[答案] D３．若x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，则f（x）的极小值为（）Ａ．—１Ｂ．—２e—３Ｃ．５e—３Ｄ．１[解析] 函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１，则f′（x）＝（２x＋a）e x—１＋（x２＋ax—１）·e x—１＝e x—１·[x２＋（a＋２）x＋a—１]．由x＝—２是函数f（x）的极值点得f′（—２）＝e—３·（４—２a—４＋a—１）＝（—a—１）e—３＝0，所以a＝—１．所以f（x）＝（x２—x—１）e x—１，f′（x）＝e x—１·（x２＋x—２）．由e x—１>0恒成立，得x＝—２或x＝１时，f′（x）＝0，且x<—２时，f′（x）>0；—２<x<１时，f′（x）<0；x>１时，f′（x）>0．所以x＝１是函数f（x）的极小值点．所以函数f（x）的极小值为f（１）＝—１．故选Ａ．[答案] A４．已知函数f（x）＝２sin x＋sin ２x，则f（x）的最小值是________．[解析] f′（x）＝２cos x＋２cos ２x＝２cos x＋２（２cos２x—１）＝２（２cos２x＋cos x—１）＝２（２cos x—１）（cos x＋１）．∵ cos x＋１≥0，∴ 当cos x<错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当cos x>错误!时，f′（x）>0，f（x）单调递增．∴ 当cos x＝错误!时，f（x）有最小值．又f（x）＝２sin x＋sin ２x＝２sin x（１＋cos x），∴ 当sin x＝—错误!时，f（x）有最小值，即f（x）min＝２×错误!×错误!＝—错误!.[答案] —错误!５．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为５cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△E CA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm３）的最大值为________．[解析] 如图，连接O D，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝错误!BC.设OG＝x，则BC＝２错误!x，DG＝５—x，三棱锥的高h＝错误!＝错误!＝错误!，S△ABC＝错误!×２错误!x×３x＝３错误!x２，则三棱锥的体积V＝错误!S△ABC·h＝错误!x２·错误!＝错误!·错误!.令f（x）＝２５x４—１0x５，x∈错误!，则f′（x）＝１00x３—５0x４.令f′（x）＝0得x＝２．当x∈（0,２）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减，故当x＝２时，f（x）取得最大值80，则V≤错误!×错误!＝４错误!.∴三棱锥体积的最大值为４错误!cm３.[答案] ４错误!6．已知函数f（x）＝a e x—ln x—１．设x＝２是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间．[解] f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝a e x—错误!.由题设知，f′（２）＝0，所以a＝错误!.从而f（x）＝错误!e x—ln x—１，f′（x）＝错误!e x—错误!.当0<x<２时，f′（x）<0；当x>２时，f′（x）>0．所以f（x）在（0,２）上单调递减，在（２，＋∞）上单调递增．。

导数及其应用复习讲义（解析版）考点一、导数的概念及运算 1.导数的概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．2.导数的运算①．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． ③．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【1】若()3ln f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意21()3f x x x'=+，所以(1)134f '=+=，所以()00(12)(1)(12)(1)lim2lim 2182x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选D ．【2】已知函数()()ln 1f x ax =-的导函数是f x ，且()22f '=，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．23 C ．34D ．1【答案】B【解析】求导得()1a f x ax '=-，则()2221a f a ='=-，解得23a =．故选B ． 【3】．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足1()2(1)ln f x xf x'=+，则(1)f =（ ）A ．-eB ．2C ．-2D ．e【答案】B【解析】因为()()121ln f x xf x'=+，所以()()()11121211f x f f x x x'⎛⎫'''=+⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()1211f f ''=-，()11f '=，所以()12lnf x x x=+，()12ln12f =+=．故选B ．【4】已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*n ∈N ，则()2023f x =（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --【答案】D【解析】因为()1sin cos f x x x =+，所以21()'()cos sin f x f x x x ==-，324354()'()sin cos ,()'()cos sin ,()'()sin cos f x f x x x f x f x x x f x f x x x==--==-+==+……可知()n f x 的解析式周期为4，因为202350543=⨯+，所以()20193()sin cos f x f x x x ==--，故选D ．考点二 导数的几何意义及应用几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．【5】函数()3ln f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．430x y --=B ．430x y +-=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A【解析】因为函数()3ln f x x x =+，所以()213f x x x'=+，所以()()11,14f f '==， 所以图象在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=-，即430x y --=，故选A 【6】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.【7】已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B【8】己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1. 【9】设曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为20x y b ++=，则a b -=（ ） A ．0 B ．1 C ．-2D ．2【答案】D【解析】由题得221()11a f x a x x ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭，则切线的斜率为()11f a '=--． 又()12f a =-，曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()()211y a a x --=---，即()1210a x y a ++-+=．又切线方程为20x y b ++=，所以比较系数得1221a a b +=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．所以2a b -=．故选D ．【10】若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线1y x =-的距离的最小值为（ ） A ．1 B 2 C ．22D 3【答案】C【解析】设平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点为(,)P x y ，由2ln ,0y x x x =->，则12y x x'=-， 令121x x-=，整理得(1)(21)0x x -+=，解得1x =或12x =-（舍去），由1x =，可得21ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)P ， 又由点到直线10x y --=的距离公式，可得2211121(1)d --==+- 即点P 到直线1y x =-的距离的最小值为22．故选C ．考点三 导数与函数的单调性 1.求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.2.函数单调性与导数的关系()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值． 【11】已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()02, B ．[)0,1 C ．()0,∞+ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】∵()32132a f x x x x =--，∴()21f x ax x '=-- ∵函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数 ∴()210f x ax x '=--=在区间()0,1上有根∴当a ＝0时，x ＝－1不满足条件当0a >时，∵()010f '=-<，∴()120f a '=->，∴2a >.故选：D ．【12】设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]0,3 C ．[)4,+∞D ．(],2-∞【答案】A【解析】由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤， 故选A．【13】已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞【答案】A【解析】()()220xf x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，即()22min 2123a x x ≤+=+=，故选A ．【14】设()f x 的定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，且满足()()0f x xf x '+>，若(1)a f =，2(2)b f =，3(3)c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数， 所以(1)(2)(3)g g g <<，即(1)2(2)3(3)f f f <<，故选B ．【15】已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A【解析】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21x x a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-， 所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦．故选A ．【16】已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈．求函数()f x 的单调区间；【解析】221()2ln 2f x a x x ax =-++ 22(2)()()a x a x a f x x a x x+-'∴=-++=，0x > ∴ ① 当0a =时，()0f x x '=> ，()f x ∴仅有单调递增区间，其为：(0,)+∞② 当0a >时，20x a +>，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴ 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a③ 当0a <时，0x a ->，∴当(0,2)x a ∈-时()0f x '<；当(2,)x a ∈-+∞时()0f x '> ()f x ∴的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -综上所述：当0a =时，()f x 仅有单调递增区间，单调递增区间为：(0,)+∞ 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a 当0a <时，()f x 的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -【17】已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．考点四 导数与函数的极值、最值 1.求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值． 2．函数的最值一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【18】函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0 【答案】B【解析】：f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.【19】已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．【答案】1或3【解析】依题意，()223216f x x m x m '=+-，因()f x 在x ＝2处取得极小值，则()22416120f m m '=-+=，解得m =1或m =3，经检验，当m ＝1或m ＝3时，()f x 在x＝2处均取得极小值，所以m 的值为1或3. 【20】当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【解析】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-． 故选：B.【21】已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()321132f x x ax x =-+，导函数()21f x x ax '=-+.因为()f x 在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，所以()0f x '=在1,32⎛⎫⎪⎝⎭内应有两个不同的异号实数根．()10230132202a f a f f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎨<<⎪⎪⎪⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩'''，解得：522a <<，实数a 的取值范围52,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C ．【22】已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下： x(),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x ' +-+()f x增 极大值 减极小值 增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【23】已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．(1)若3c =，求a ，b ；(2)若()ln ≥f x x 在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：()(0)b f x ax c a x=++>，∴2()bf x a x '=-，所以()11f a b '=-=，即1b a =- 又()1121f a a c a c =+-+=-+． 又点()()1,1f 在切线1y x =-上，210a c ∴-+=，所以12c a =-，又3c =，所以1a =-，2b =-． (2)解：1()12(0)a f x ax a a x-=++->， ()ln ≥f x x 在[1，)∞+上恒成立，设()()ln g x f x x =-，则()()ln 0g x f x x =-在[1，)∞+上恒成立，min ()0g x ∴，又22221(1)()11(1)(1)()aa x x a a x x a g x a x x x x -------'=--==，而当11a a -=时12a =．11 1︒当11aa -≤即12a ≥时，()0g x '在[)1,+∞上恒成立， ∴1()(1)02min g x g a ==⇒；2︒当11aa ->即102a <<时，()0g x '=时1a x a -=，且当11ax a -<时，()0g x '<，当1ax a ->时，()0g x '>；则1()0min a gx g a -⎛⎫= ⎪⎝⎭①，又1()(1)210ag g a a -≤=-<与①矛盾，不符题意，故舍去． ∴综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。

一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。

如果导数存在，则称f(x)在该点可导。

2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。

3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。

b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。

4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。

b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。

2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

导数及其应用复习讲义一、知识复习： 1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》<知识点>1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()0limx f x x f x x ∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。

3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x →∆'=∆V 。

4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。

5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=g 。

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。