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第二类边界条件先进格林函数节块法

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格林函数方法

格林函数方法
，S上
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（

格林函数法

格林函数法
应的单位点源的电势解； 原问题的解可以通过这个点源的解表示出来;
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
10/20/2014
格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
10/20/2014
几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算

三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算

三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算
胡永明;赵险峰
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】1997(14)4
【摘要】发展了中子扩散计算三维圆柱几何格林函数节块法。

首先通过横向积分
将中子扩散方程化为三个互相耦合的一维偏通量方程。

对于径向偏通量方程，将径向扩散微分算符分解为平板几何的扩散微分算符和一个修正项之和，将修正项移到方程右端作为修正源项，这样，三个方程都化为平板几何的一维方程形式。

再借助平板几何第二类边界条件格林函数，对圆柱几何相应体源作积分，建立偏通量积分方程。

对于修正源项，通过分部积分方法将偏通量导数项转化为对格林函数的求导。

通过源迭代法求解方程。

基准计算表明，该计算精度高、速度快，可成为三维圆柱几何堆芯设计和燃料管理计算的有效方法。

【总页数】2页(P429-430)
【关键词】格林函数;节块法;气冷堆;堆芯;中子扩散
【作者】胡永明;赵险峰
【作者单位】清华大学核能技术设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】TL425.025;TL325
【相关文献】
1.三维圆柱几何格林函数节块法 [J], 胡永明;赵险峰
2.用于轻水堆扩散计算的格林函数节块展开法 [J], 沈炜;谢仲生
3.两种圆柱几何格林函数节块法的比较 [J], 施工;杜启新;胡永明
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亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz

亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz

一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
G ( r r ' ), G
他们满足以下的方程：
e
m
(r r ' )
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场， G0(r,ri’)表示下半空间电流 元的镜像所产生的场
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数
ψe
引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function

电动力学电动力学二五(格林函数)

电动力学电动力学二五(格林函数)

a RdR
0
2 0
d1
3 2
R2
2RRcos
R2 z2
15 8
R2
2RRcos
R2 z2 2
2
V0a2 2
R2
z z2
32
1
3 4
a2 R2
z2
15R 2a 2 8 R2 z2
2
21
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上 半空间的格林函数用柱坐标表出为
G
x,
x
1
1
4 0 R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos -
R2 R2 2RRcos
1
RR R0 2 R02 2RRcos
13
三、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分 布ρ，边界S上给定电势|s ，求V内的电势 (x)。
设区域内有两个函数(x) 和 (x) ，有格林公式
2 2 dV dS
x
dS
对第二类边值问题，由于 G(x,x’)是点上单位点电荷 所产生的电势，其电场通 量在边界面S上应等于1/0 ，即
S
n
G x ,
x dS
1
0
满足上式的最简单的 边界条件是
Gx, x 1
n
xS
0S
第二类边值问题的解
x
V
G
x,
x
x
dV
0
S
G
x,
x

数学物理方法12格林函数

数学物理方法12格林函数

泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|

第四章格林函数法1


边界条件有三种类型，应用较多的是第一、第二边界条件。 1）第一边值问题：
边界条件 u f ， (是的边界,f 是上的连续函数)
要求的解u C 2 () C 0 (),即u在内有二阶连续偏导数，在( )上 连续，满足Laplace方程,且在边界上与f 吻合。
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirchlet)问题，简称狄氏问题。
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1）.调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域
边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在内任一点的值。
0
注意，当 0时，有 lim u u ( M 0 ), (u连续)
1 u(M 0 ) 4 1 1 u [u ( ) ]dS n r r n

1 4
1 1 u [u(M ) ( ) ]dS n rMM0 rMM0 n
注1：当M 0取在区域之外或边界上，也可用同样的方法导出公式，
2 2 2 u u u 2 u 2 2 2 0, ( x, y, z ) R3 \ x y z
3）Dirichlet外问题
边界条件为: u f ，f 是连续函数.
要求的解u ( x, y, z ), 在外部区域内调和，在 上连续， 并且满足边界条件。
[u(M )
Ka
1 1 u ( ) ]dS n r r n
1 4
1 4
1 4 a 2
1 1 u 1 1 u u ( M ) dS dS [ u ( M )( ) ] dS 2 2 4 a K 4 a K n r r n Ka

第二章 静电场 格林函数法


将（6）式减去（7）式，得
[ ]dV ( )dS （8） V S n n
2 2
该式称为Green第二公式。
Green第一、第二公式是等价的。Green公式对解静 电问题的意义是：在区域V 内找一个待定函数
通过这个 公式从已知确定未知。 ，（ 为待求） （2）边值问题的解


1
2


这也可看到 G( x, x) G( x, x )
（3）球外空间的 Green函数
即在接地导体球外的空间，由 G S 0 ，属于 第一类边值问题。
z R' R0 θ' o

x
r' θ

r
R
x
α
y
x
R2 x2 y2 z 2 R 2 x 2 y 2 z 2 其中： cos cos cos sin sin cos( ) 1 2 2 r | x x | R R 2 RR cos 2 R 1 2 2 4 2 | x ( 0 ) x | r R R R0 2 R0 RR cos R R
从 函数性质可知，保持小体积V 的面积为1， 从而有
1 1 1 V r dV V r dV S r dS r 1 2 3 dS 2 r d S r S r 4
2
1 21 V ( x x)dV V 4 r dV 1
b) 如果所取的Green函数属于第一类问题，即
G ( x, x ) ( x ) G ( x, x ) ( x)dV 0 ( x) dS V S n 这实质上就是第一类边值问题的解。

格林函数方法

设假想点电荷在
2 0 2
P ，它的坐标为
4 0 2
（它在 OP 连线上，题中b对应这里的
2 0 2
2 R0 x 2 R R 2
0
R R R R 2 P P r x x R 2R cos R R R R0 Q R0 R02 R02 ∵ Q 1 Q (b R ) R R a R
（3）球外空间的格林函数
P’
P
设点电荷Q = 1 坐标为 P ( x, y , z )
观察点为 P( x, y, z )
R x
R x
x2 y2 z 2
x 2 y 2 z 2
R 相当于题中的 a ） R0 R（
PP r x x R 2 R 2 2RR cos

(x)
S
解法: (1)先求第一类边值问题的格林函数

1 G ( x , x ) ( x x )
2
G s 0
0
(2)
(2). 把(2)的解(格林函数)代入下式即可:
( x ) G ( x , x ) ( x )dV 0 ( x ) G ( x , x )dS V S n
§2.5
内容提要
格林函数方法
一、格林函数
二、用格林函数求解一般的边值问题
机动
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结束
1. 处于 x 点上的单位点电荷的电荷分布密度: ( x ) ( x x )
回忆:点电荷密度的

函数表示

V
( x )dx ( x x )dV 1

格林函数--偏微分方程解的积分表示

第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。

理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。

1，Green 函数的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。

2，Green 函数的分类：边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。

2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠.3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！）4，Green 函数边值条件：设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。

1）齐次边值条件：()|0.GG n αβ∑∂+=∂ 2） |0r G →∞=有解：基本解。

5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式6，Green 函数的求法：1) 特殊方法：21(').|'|G r r G r r δ∇=--⇒=-。

2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。

3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。

4）积分变化法：LT ，FT 。

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