下载文档原格式
三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算
胡永明;赵险峰
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】1997(14)4
【摘要】发展了中子扩散计算三维圆柱几何格林函数节块法。
首先通过横向积分
将中子扩散方程化为三个互相耦合的一维偏通量方程。
对于径向偏通量方程，将径向扩散微分算符分解为平板几何的扩散微分算符和一个修正项之和，将修正项移到方程右端作为修正源项，这样，三个方程都化为平板几何的一维方程形式。
再借助平板几何第二类边界条件格林函数，对圆柱几何相应体源作积分，建立偏通量积分方程。
对于修正源项，通过分部积分方法将偏通量导数项转化为对格林函数的求导。
通过源迭代法求解方程。
基准计算表明，该计算精度高、速度快，可成为三维圆柱几何堆芯设计和燃料管理计算的有效方法。
【总页数】2页(P429-430)
【关键词】格林函数;节块法;气冷堆;堆芯;中子扩散
【作者】胡永明;赵险峰
【作者单位】清华大学核能技术设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】TL425.025;TL325
【相关文献】
1.三维圆柱几何格林函数节块法 [J], 胡永明;赵险峰
2.用于轻水堆扩散计算的格林函数节块展开法 [J], 沈炜;谢仲生
3.两种圆柱几何格林函数节块法的比较 [J], 施工;杜启新;胡永明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。
理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。
1，Green 函数的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。
2，Green 函数的分类：边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。
2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠.3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！）4，Green 函数边值条件：设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。
1）齐次边值条件：()|0.GG n αβ∑∂+=∂ 2） |0r G →∞=有解：基本解。
5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式6，Green 函数的求法：1) 特殊方法：21(').|'|G r r G r r δ∇=--⇒=-。
2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。
3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。
4）积分变化法：LT ，FT 。
第四章 格林函数方法自强●弘毅●求是●拓新4.3.1 格林函数方法的基本思想【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为 r的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间产生的电位：场点r 2r r rlimrr0r rr' dV 源点r'4.3.1 格林函数方法的基本思想在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位为：dr r' dV 4π r r' 引入格林函数：G r,ri'1 4π r r'根据叠加原理，电位函数表示为： r 由体积分定义，得：i r4π' dV r r' G r,ri' r' dV i r V r4π' dV r r' G r,ri' r' dV V4.3.1 格林函数方法的基本思想格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。
通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：2r r M MnShM其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数 0：第一类边界条件 0 ：第二类边界条件4.3.2 静态电磁场的格林函数方法 引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方程，得： 2G r,r'1 r r' G r,r'G r,r' n S0进一步处理，得：2rGr,r' 2G r,r' rdV V1 VrGr,r'dV1 r V r' rdV4.3.2 静态电磁场的格林函数方法对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，右边求体积分得：VS r V r G r, r 'dVS r G r,r'nG r,r' rndS 1如果 0 ，对（1）式进一步化简得： r' rGr,r' VdV Shr Gr,r' ndS2存在矛盾：我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是 r 点的源在 r' 产生的场。
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用别离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和〔或〕初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u 〔r 〕和v 〔r 〕在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u〔12-1-1〕这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v〔12-1-2〕〔12-1-1〕与〔12-1-2〕两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu〔12-1-3〕n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
〔12-1-3〕叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆〔12-1-4〕第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑〔12-1-5〕其中 ϕ〔M 〕是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
第5章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．5.1 格林公式TΣ上具有连续一阶导数,在区域及其边界中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理d d T T div =∇∫∫∫∫∫∫i A V =A V (5.1.1)单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量单位时间内V 内各源头产生的流体的总量将对曲面Σ的积分化为体积分d ()d d d T T Tu u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2)()uv u v u v∇=∇⋅+∇以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d ()d d d T T T u u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3)上述两式相减得到()d ()d Tu u u u V Σ∇−∇=Δ−Δ∫∫∫∫∫i S v v v v的外法向偏导数．5.1.4）为第二格林公式．进一步改写为()d ()d Tu S u u V n Σ∂∂−=Δ−Δ∂∂∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）5.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=−r r (5.2.1)（5.2.2）是区域边界Σ上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()u f u u n αβϕΣΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r (5.2.3)上沿界面外法线方向的偏导数格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（5.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类(,)()[]0G G G n δαβΣΔ=−−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩00r r r r （5.2.4）()δ−0r r 代表三维空间变量的δ函数，在直角坐标系中其形式为0()()()()x x y y z z δδδδ−=−−−r r 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内）0r 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(5.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函格林函数互易定理：因为格林函数0(,)G r r 代表0r 处的脉冲（或点源）在r 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||−r r 的函数,故它应该遵守如下的互易定理：(,)()G G ,=r r r r （5.2.5）)得到())d (()())d T u S u G G u V n ∂⋅=Δ−Δ∂∫∫∫r r r （5.2.6）0()]d (()())d ())()()]d T G u S G u u G Vf u V δ∂−⋅=Δ−Δ∂−+−∫∫∫r r r r r r r n (5.2.7)根据δ函数性质有：00()()]d ()T u V u δ−=∫∫∫r r r r (5.2.8)故有0(,)()]d G u S ∂−∂r r r)r n (5.2.9)泊松方程的基本积分公式．00000000((,))d [(,)()]d u G V G u S n Σ∂∂+−∂∂∫∫ r )r r r r r n 格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到（5.2.10）解的基本思想：通过上面解的形式（5.2.9）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(5.2.1)与任意边值问题（5.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（5.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（5.2.9）即可求出（5.2.1）和（5.2.2）定解问题的解．考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()u f u ϕΣΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r （5.2.11）相应的格林函数0(,)G r r 是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.2.12）考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（5.2.9）可得第一类边值问题的解000(,)()(,)()d ()d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫ nr r r r r r r （5.2.13）另一形式的第一类边值问题的解000(,)()d G S ∂∂0n r r r (5.2.5)2.第二类边值问题()()|()p u f unϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.15）00,)|0n Σ=r （5.2.16）5.2.9）可得第二类边值问题解00(,)()d ()(,)d G f V G SϕΣ+∫∫ r r r r r r （5.2.17）3.第三类边值问题()() []()p u f u u n αβϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.18）0(,)]0G G n βΣ∂+=∂r r （5.2.19）边值条件，两边同乘以格林函数G（5.2.19）的边值条件的两边同乘以函数u得[]0Gu G nαβΣ∂+=∂G ϕ[]()p uG u G nαβϕΣ∂+=∂r ）得到第三类边值问题的解001,)()d ((,)d f V G S ϕβΣ+∫∫ r r r r)r r (5.2.20)格林函数的互易性则得到000001)()d ()(,)d 0f V G S ϕβΣ+∫∫r r r r r (5.2.21)这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T 中分布的源0()f r 在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的对于拉普拉斯方程0()0f ≡r 第一边值问题的解为0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫ r r r r n (5.2.22)第三边值问题的解为1()()(,)d u G S ϕβΣ=∫∫ r r r r (5.2.23)5.3 无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式（5.2.10）中的面积分应为零，故有000()(,)()d T u G f V =∫∫∫r r r r (5.3.1)选取()u r 和0(,)G r r 分别满足下列方程()()u f Δ=−r r (5.3.2)00(,)(-)G δΔ=−r r r r (5.3.3)5.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00=r 对（5.3.3）式两边在球内积分)d V（5.3.4）T∫∫∫（5.3.5）5.1.1）得到2(,0)d (,0)d sin d d S S G G V G r r θθϕ∂⋅∇=∇⋅=∂∫∫∫∫ r r S (5.3.6)故有2sin d d (,0)d 1S T G r G V r θθϕ∂=Δ=−∂∫∫∫∫∫ r 使上式恒成立，有2(,0)4π1G r r∂=−∂r 14πcr=+0G →因此0c =，,故得到1(,0)4πG r=r对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||G =−r r r r （5.3.7）代入（5.3.1）得到三维无界区域问题的解为0（5.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式5.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即(,0)d ()d TTG V VδΔ=−∫∫∫∫∫∫r r ()d 1V δ=∫∫∫r ,0)d (,0)d SV G =∇∫∫i r SG只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即d d ()d 1T Gr z V r ϕδ=−=−∫∫∫r选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πG r r∂=−∂11(,0)ln 2πG c r =+r 令积分常数为0，得到11(,0)ln 2πG r=r 0011(,)ln 2π||G =−r r r r （5.3.9））代入式（5.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()ln d 2π|S u f S |=−∫∫r r r r。
传热学第一类边界条件和第二类边界条件
传热学中的第一类边界条件，也称为Dirichlet边界条件，是指在一个传热问题中，确定性地指定了边界上的温度或温度梯度。
这意味着在问题求解过程中，我们已经知道了边界上的温度或温度梯度，而不需要再进行计算。
这种边界条件可以用数学表达式或实验测量来确定。
例如，在一个热传导问题中，我们可能知道一块热板的一个表面的温度为100℃，这就是一个第一类边界条件。
通过这个边界条件，我们可以得出在该边界表面上的温度分布。
第二类边界条件，也称为Neumann边界条件，用于指定边界上的传热速率或热通量。
在这种情况下，我们并不知道边界上的温度或温度梯度，但我们知道边界上的传热速率或热通量。
传热速率是指单位时间内通过单位面积的热量。
以热传导问题为例，我们可能知道一块热板的一个表面的传热速率为200 W/m^2，这就是一个第二类边界条件。
通过这个边界条件，我们可以得出在该边界表面上的热流分布。
